7.1.1 数系的扩充与复数的概念 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

高中数学人教A版必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 7.1.1《数系的扩充与复数的概念》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》必修课程“复数”主题，学生应能够：了解数系的扩充过程，理解复数的基本概念，掌握复数的代数形式，能对复数进行分类，理解复数相等的充要条件. 课标分析： 本节课是复数单元的起始内容，数系的扩充是数学发展史上的重要事件.课标强调“了解”和“理解”，教学中应从解方程 的现实需求出发，引导学生回顾自然数→整数→有理数→实数的扩充过程，归纳扩充的“规则”（包含旧数集、运算律不变等），进而引入虚数单位 ，建立复数集.重点是复数的代数形式、实部虚部、分类以及复数相等的条件.教学中应通过问题驱动，让学生经历知识发生的过程，培养数学抽象和逻辑推理素养. 2、 教材分析 “数系的扩充与复数的概念”是人教A版必修第二册第七章第1.1节内容，是复数学习的开篇.教材从解方程 在实数范围内无解这一矛盾出发，类比无理数的引入，提出引入新数 ，规定 .然后给出复数的代数形式 （），定义实部 和虚部 ，并对复数进行分类（实数、虚数、纯虚数）.接着通过例题让学生掌握复数相等的充要条件（实部虚部分别相等）.本节内容是后续学习复数的几何意义、代数运算的基础，在整个复数知识体系中具有奠基地位. 3、 学情分析 学生在初中已经学习了自然数、整数、有理数、实数的扩充过程，知道无理数的引入是为了解决开方问题，对“数不够用”有一定感性认识.同时，学生已经熟练掌握一元二次方程的求解，知道判别式小于0时方程无实数解，这为引入虚数单位提供了认知冲突.但是，从实数到复数的扩充是一次思维上的飞跃，学生可能对“虚数”的存在性感到怀疑，对 的规定感到抽象.此外，复数相等的条件、复数分类的判断（尤其是纯虚数要求实部为0且虚部不为0）容易出错.教师应通过对比、举例和分层练习，帮助学生逐步接受复数概念. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从解方程的需求中抽象出虚数单位 的定义，理解复数的代数形式，体会数系扩充的数学本质. 1. 逻辑推理素养：能根据数系扩充的规则（包含性、运算律保持性），推理得到复数的基本性质，能利用复数相等的条件进行逻辑推断. 1. 数学运算素养：能准确判断复数的实部与虚部，能对复数进行分类，能运用复数相等条件列方程求参数. 1. 直观想象素养：通过数系的包含关系图（），直观理解复数集的构成. 1. 数学建模素养：能将方程在实数范围内无解的矛盾抽象为复数模型，体会引入新数解决实际问题的建模思想. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：虚数单位 的规定；复数的代数形式、实部与虚部；复数的分类；复数相等的充要条件. 1. 难点：理解数系扩充的原则和虚数单位 的合理性；纯虚数与虚数的区别；复数相等条件的灵活应用. 6、 教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题： （1）虚数单位 满足 ______. 答案：. （2）复数 （）的形式叫做复数的______形式，其中 称为复数的______， 称为复数的______. 答案：代数；实部；虚部. （3）复数 是实数当且仅当______；是虚数当且仅当______；是纯虚数当且仅当______. 答案：；； 且 . （4）复数 与 相等的充要条件是______. 答案： 且 . 2. 请学生回答，教师点评并强调纯虚数的条件（实部为0，虚部不为0）. 环节二：引入课题 1. 教师提问： 我们学过了哪些数集？它们之间有什么关系？ 学生回答：自然数 、整数 、有理数 、实数 ，有 . 追问：每次数系扩充是因为什么？扩充后原有的运算律还成立吗？ 学生回答：为了解决实际问题的需要，如自然数不够用引入负数，整数不够用引入分数等；原有的加法、乘法运算律仍然成立. 2. 教师引入：方程 在实数范围内有解吗？没有.那么能否像过去一样，引入新数来使它有解？今天我们就来学习复数的概念. 环节三：合作探究 1. 数系的扩充与虚数单位的引入（5分钟） 教师引导学生回顾：从自然数到整数，从整数到有理数，从有理数到实数，每次扩充都是为了解决某些方程在原有数集中无解的问题. 现在方程 在实数中无解，因为它要求 ，而任何实数的平方非负. 类比引入无理数 的过程，规定一个新数 ，使得 ，称为虚数单位. 规定：实数可以与 进行四则运算，且原有的加法、乘法运算律仍然成立. 2. 复数的定义与分类（5分钟） 定义：形如 （）的数叫做复数.全体复数组成的集合记作 . 是实部，记作 ； 是虚部，记作 . 分类： 当 时， 是实数； 当 时， 是虚数； 当 且 时， 是纯虚数. 关系图：，虚数集与实数集无交集，纯虚数是虚数集的子集. 3. 复数相等的条件（5分钟） 两个复数 与 相等，当且仅当 且 . 一个复数等于0，当且仅当实部、虚部同时为0. 注意：复数不能比较大小（除非都是实数）. 例题：已知 ，求实数 . 解：由复数相等得 ，即 ，，.. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”： （1）复数 的实部是3，虚部是 . （ ） （2）纯虚数一定是虚数. （ ） （3）若复数 是纯虚数，则 . （ ） （4）两个虚数不能比较大小. （ ） 答案：（1）√；（2）√；（3）×（ 且 ，得 ）；（4）√（但若都是实数时能比，虚数不能比）. 例2：实数 取何值时，复数 是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零. 解： （1）虚部为0：，即 ， 或 . （2）虚部不为0： 且 . （3）实部为0且虚部不为0： 即 ，得 或 ，但 时虚部为0，故舍去，所以 . （4）实部=0且虚部=0：，第一式解 或 ，代入第二式： 时 ； 时 ，所以 . 例3：已知复数 的实部与虚部相等，且 的实部为 ，求实数 . 解：由题意，实部 ，得 .又实部=虚部，即 ，解得 ，. 答案：. 2. 综合练习（7分钟） 例4（多选题）：下列命题中正确的有（ ） A. 若 为复数，且 ，则 B. 复数 的实部是 ，虚部是 C. 若复数 是纯虚数，则 D. 若 都是纯虚数，则 也是纯虚数 答案：B、C 解析：A错误，复数不能比较大小；B正确；C正确；D错误，如 ，和为0是实数. 例5：已知 为实数，且满足 ，求 . 解：由复数相等得 . 第一式化简： 即 ，. 代入第二式：，即 ，，除以2得 ，解得 ，从而 . 例6：已知复数 为实数，求实数 的值. 解：复数为实数，则虚部为零且实部有意义. 虚部：，即 ，得 或 . 同时要求分母 ， 或 均满足. 当 时，实部 ；当 时，实部 ，都是实数. 答案： 或 . 例7：已知 ，，且 ，求实数 . 解：由复数相等得 . 由第一式得 ，. 代入第二式：. 两边消去 得 ，即 ，，，则 . 答案：.. 小试牛刀： 一、单选题 1．已知复数，则复数z的虚部为（   ） A．1 B．i C．3 D．3i 2．复数是实数，则实数（   ） A． B．-3 C． D．3 二、多选题 3．下列命题错误的是（   ） A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 三、填空题 4．若复数是纯虚数，则的值为__________. 四、解答题 5．复数z满足（其中）. (1)若复数z为实数，求m的值； (2)若复数z为纯虚数，求m的值. 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾： (1) 数系扩充的脉络和规则. (2) 虚数单位 的规定（）. (3) 复数的代数形式、实部、虚部. (4) 复数的分类（实数、虚数、纯虚数）. (5) 复数相等的充要条件. 1. 教师强调： (1) 复数不能比较大小（除非是实数）. (2) 纯虚数要求实部为0且虚部不为0. 3.复数相等是解复数方程的重要工具. 环节六：布置作业 1. 书面作业： (1) 完成课本第70页练习第1、2、3题. (2) 配套课时达标检测《数系的扩充与复数的概念》. 1. 拓展作业： (1) 思考：复数集为什么要引入虚数单位？请从方程求解的角度举例说明. 1. 预习引导： 预习下一节“复数的几何意义”，思考复数与平面直角坐标系中的点如何对应. 授课人个案修改记录： 本节课通过数系扩充的历史脉络和解决方程 的实际需求引入虚数单位 ，学生能够理解复数产生的必要性.复数的代数形式、实部虚部的定义清晰，分类的练习帮助学生巩固了概念.复数相等的充要条件通过解方程组训练，学生掌握较好.不足之处：对于 的运算性质（）的拓展（如 等）未深入，将在后续课程中补充.另外，部分学生对“虚数不能比较大小”的原因理解不深，可通过反例说明.整体上，本节课达成了教学目标. 学科网（北京）股份有限公司 $