专题 9.7 图形的变换（全章知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 9.7 图形的变换（全章知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】平移 2 ★【题型 1】判断平移现象、根据平移性质求线段长度、角的度数 2 ★【题型 2】按要求画出平移后的图形并求平移的方向和距离及相关的角 4 ★★【题型 3】平移的应用 8 【知识点二】轴对称 10 ★★【题型 4】利用轴对称性质求线段长度、角的度数 11 ★★【题型 5】轴对称作图 14 ★【题型 6】垂直平分线及垂直的作图 17 【知识点三】轴对称图形 20 ★【题型 7】轴对称图形的识别 20 ★【题型 8】角平分线的作法 22 ★★【题型 9】折叠问题 25 【知识点四】旋转 28 ★★【题型 10】旋转中心、旋转角的识别 28 ★★【题型 11】利用旋转的基本性质求值 31 ★★【题型 12】旋转作图 34 ★【题型 13】利用中心对称性质求值证明 37 ★【题型 14】轴对称图形与中心对称图形的识别 39 二.中考模拟真题 42 （一）单选题（8题） 43 （二）填空题（8题） 47 （三）解答题（3题） 53 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示中档题，带★★★表示拨高题 【知识点一】平移 1、定义：一般地，在平面内，将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定的距离后得到另一个图形的平面变换叫作平移. 2、性质：平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变位置；对应线段平行且相等，对应角相等. ★【题型 1】判断平移现象、根据平移性质求线段长度、角的度数 【例题1】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）在直角中，，，，将沿直线向右平移得到，若，．    (1)求向右平移的距离． (2)求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查四边形综合，涉及平移性质及求四边形周长等知识，熟记平移性质，数形结合是解决问题的关键． （1）由平移性质得到，数形结合，进而列式求解即可得到向右平移的距离是； （2）由平移性质得到，，利用四边形的周长为，代值求解即可得到答案． （1）解：将沿直线向右平移得到， ，则， ，， ，即，解得， 向右平移的距离是； （2）解：将沿直线向右平移得到， ，， ，， 四边形的周长为． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列现象中属于平移的是（   ） A．升降电梯从一楼升到五楼 B．卫星绕地球运动 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 【答案】A 【分析】本题考查了平移的定义，理解平移的定义：物体在运动过程中，所有点移动相同距离和方向，形状和大小不变是解题的关键． 根据平移的定义，逐项分析判断即可得出答案． 解：∵平移的定义是物体在运动过程中，所有点移动相同距离和方向，形状和大小不变. 选项A：升降电梯从一楼升到五楼，是沿直线移动，电梯本身形状不变，符合平移； 选项B：卫星绕地球运动，是圆周运动，方向不断变化，不符合平移； 选项C：树叶从树上随风飘落，运动轨迹不规则，且常有旋转，不符合平移； 选项D：纸张沿着中线对折，是对称折叠，形状改变，不符合平移. ∴属于平移的是A， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图，经过平移得到，连接、，若，则平移的距离为________． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动．根据平移的性质可知，图形平移后对应点所连线段平行且相等，所以平移得到的过程中，对应点所连线段的长度等于平移的距离． 解：∵经过平移得到，点与点是对应点，且， ∴平移的距离为． 故答案为：． 【变式3】如图，将沿射线的方向平移个单位到的位置，点的对应点分别点． (1)若，则______． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移的定义可知，进而可知； （2）根据平移的性质可知，，再利用平行线的性质解答即可． （1）解：∵将沿射线的方向平移个单位到的位置， ∴， ∵， ∴， 故答案为； （2）解：由平移的性质可知：，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平移的性质，平移的定义，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 3、平移的作图步骤 （1） 确定平移要素：明确平移的方向和平移距离； （2） 找对应点：分别将线段的两个端点按照指定方向和距离进行平移，得到它们的对应点； （3） 连接对应点：用线段连接两个对应点； （4） 得到图形：得到的图表即为平移后的图形。 ★【题型 2】按要求画出平移后的图形并求平移的方向和距离及相关的角 【例题2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，将方格纸中的三角形先向右平移2格得到三角形，再将三角形向上平移3格得到三角形，设与相交于点． (1)按上述步骤画出经过两次平移后分别得到的三角形，并标出点． (2)图中与既平行又相等的线段有___________，图中与相等的角有___________． (3)若，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)； 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，平行线的性质： （1）根据所给平移方式作图即可； （2）根据平移的性质即可得答案； （3）根据平移的性质得到，则，得到，则，由平移可知，，则，即可得到． （1）解：如图，即为所求， （2）图中与既平行又相等的线段有，图中与相等的角有． 故答案为：； （3）由平移可知，， ∴， ∴， ∴， 由平移可知，， ∴， ∴ 【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．也考查了平行线的判定．先利用平移的性质得到，然后根据同位角相等两直线平行判断即可． 解：利用平移的性质得到， 可知小明作图的原理是同位角相等两直线平行， 故选：B． 【变式2】作图题：将如图的三角形先水平向右平移4格，再竖直向下平移4格得到三角形．观察线段与的关系是_____． 【答案】AB∥DE，AB=DE 【分析】根据网格结构找出平移后的点D、E、F的位置，然后解答即可． 解：△DEF如图所示， AB∥DE，AB=DE． 故答案为：AB∥DE，AB=DE． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 【变式3】如图，将平移后得到，其中点C的对应点是点， (1)请将点、点在图中标出来， (2)画出； (3)若边与网格线的交点为M，请标出点M的对应点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查坐标与图形的变化--平移，作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形． （1）根据平移的性质画出点、点即可； （2）连接点、点、点即可； （3）根据平移的性质画出点即可； （1）如图所示，点、点即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，点即为所求． 4、平移的应用 ★★【题型 3】平移的应用 【例题3】（25-26八年级上·山东济宁·月考）某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价25元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要多少元． 【答案】400元 【分析】本题考查了生活中的平移现象，解题的关键是掌握平移的性质，不改变图形的大小和形状． 根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求． 解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，长、宽分别为米，米， 即地毯的长度为米， 地毯的面积为平方米， 故买地毯至少需要元． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江·月考）如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移现象．将三块图形平移组合成一个完整的长方形是解决问题的关键． 从图中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后求出面积即可． 解：由图片可看出，剩余部分的草坪经过平移，正好可以拼成一个长方形，且 这个长方形的长为（米）， 这个长方形的宽为（米）， 所以草坪面积（平方米）， 故选：B 【变式2】（24-25七年级下·四川泸州·期中）如图，在长方形长，宽地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分作为耕地，道路宽为3米时耕地面积为______平方米． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，利用平移的性质将耕地部分组成一个矩形是解题的关键． 利用平移思想，得到耕地面积为长为，宽为的长方形的面积，进行求解即可． 解：由题意得，道路宽为3米时耕地面积为：； 故答案为： 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，将面积为5的沿方向平移至的位置，平移的距离是边长的3倍． (1)那么图中线段与的关系是_____________， (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是关键． （1）根据平移的性质进行解答即可； （2）设点A到的距离为h，根据平移的性质可得，然后求出，，再根据梯形的面积公式列式计算即可得到四边形的面积，根据四边形的面积即可求出答案． （1）解：根据平移的性质得到； 故答案为： （2）解：设点A到的距离为h， 则， ∵沿方向平移的距离是边长的3倍， ∴，， ∴， ∴四边形的面积 ． ∴四边形的面积． 【知识点二】轴对称 1、定义：一般地，将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图形的平面变换叫作轴对称，这条直线叫作对称轴，此时称这两个图形成轴对称. 2、成轴对称的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等. ★★【题型 4】利用轴对称性质求线段长度、角的度数 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，和关于直线MN对称，BC和DE的交点F在直线MN上． (1)若，，求EF的长． (2)连接BD和EC，判断BD和EC的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)   见解析 【分析】本题考查轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质得出，进而可得出结论； （2）根据轴对称的性质可得出，，据此得出结论． （1）解：和关于直线对称，，， ， ． （2）解：． 理由如下：由题意知，， ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线，的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可，解题的关键是掌握轴对称的性质． 解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴，垂直平分，与的面积相等，故B、C选项正确； ∴是等腰三角形，故A选项正确； 直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D选项错误； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·河北张家口·月考）如图，内一点，分别是点关于的对称点，交于，交于，若，则的周长是_______． 【答案】 【分析】此题考查了轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 由轴对称的性质得到，，，由此可得到的周长． 解：由于轴对称的性质， ∴，， 的周长为， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点P在的内部，点C和点P关于直线对称，点P关于直线的对称点是点D，连接交于点M，交于点N． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为 ． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． （1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ∴ ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为． 故答案为：． 3、轴对称作图基本步骤 （1）找：找出已知图形的关键点（如线段的端点、顶点）； （2）作：分别作出这些关键点关于对称轴的对称点； （3）连：按原图形的顺序依次连接各对称点，得到的图形即为原图形关于这条对称轴的轴对称图形。 ★★【题型 5】轴对称作图 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，军营和军营在河岸的同一侧，将军骑马从军营到河岸上的点处，沿河岸向东遛马至点处后骑马去军营，遛马的距离同图中的长度，遛马点，如何设置才能使军营到点与军营到点的距离之和最短？请画出示意图，并说明原因． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查轴对称的性质，解题关键是利用轴对称的性质得出线段相等，进而将问题转化为在直线上找一点，使得最小． 将点向东平移的长度得到点，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，在直线上任取一点，连接，，，将问题转化为求的最小值，当点，，在同一条直线上时，取得最小值，由此即可得到点，的位置． 解：点，的位置如图所示．理由如下： 将点向东平移的长度得到点，作点关于直线的对称点， 连接交直线于点，在直线上任取一点，连接，，． 连接，将向西平移的长度得到． 由作图可得，，，． 要求的最小值，即求的最小值． ， 当点，，在同一条直线上时，取得最小值， 即点与点重合时，最小， 故点，即为所求． 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂O，分别向两个小镇供水，考虑到供水所用水管铺设的长度应最短的选址要求，从数学的角度看，下列图形中自来水厂O的选址设计正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，掌握轴对称的性质是解题的关键；根据轴对称的性质作图即可求解． 解：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点O，可得，则，由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，将军在图中点处，现在他要带马去河边l喝水，之后返回军营处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点使得最小． 解决方法是：作点关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是__________． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了两点之间，线段最短、线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．依据是两点之间线段最短得出答案． 解：点与点关于直线对称， ， ， 两点之间，线段最短， 当点、、三点共线时，的值最小为． 故答案为：两点之间，线段最短． 【变式3】（25-26八年级上·江西萍乡·期末）如下图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个．请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)作关于直线对称的； (2)在直线上找一点P，使得最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作轴对称图形以及轴对称的性质； （1）分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）连接，与直线的交点即为所求． （1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，点P即为所求． ∵和关于对称， ∴， ∴， 当三点在一条直线上时最短为． 4、垂直平分线的定义与垂直平分线作法 （1）.定义：垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 （2）垂直平分线作法： （a）定圆心与半径：分别以线段的两个端点 A、B 为圆心，以大于的长度为半径，在线段 AB 的两侧作两条相交的弧，交点记为 C、D； （b）作直线：过两个交点 C、D 作直线 CD，该直线与线段AB交于点O； （c）结论：直线 CD 即为线段 AB 的垂直平分线。 (3).过一点作直线垂线作法： （a）以该点为圆心，取大于该点到直线距离的长度为半径作弧，与已知直线交于两点； （b）分别以这两个交点为圆心，取大于两交点间距离一半的长度为半径，在直线同侧作弧，两弧交于一点； （c）连接该交点与已知点，所得直线即为所求垂线。 ★【题型 6】垂直平分线及垂直的作图 【例题6】（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图，，，三点均为方格图中的格点．按下述要求画图并回答问题． (1)①过点画出线段的垂线，垂足为； ②画出线段的垂直平分线． (2)在（1）的条件下，点到直线的距离是线段________的长度，点到直线的距离是线段________的长度． 【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)， 【分析】本题考查了点到直线的距离，线段垂直平分线的性质，画垂线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①结合网格特征，过点作线段的垂线，即可作答． ②结合网格特征，过线段的中点，作线段的垂线，即可作答． （2）点到直线的距离即为该点到直线的垂线段长度，据此即可作答． （1）解：如图所示： ①是线段的垂线，②是线段的垂直平分线； （2）解：点到直线的距离是线段的长度，点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：，． 【变式1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）在数学课上，老师提出如下问题：如图所示，已知中，，用尺规作图的方法在上取一点，使得．下面四个同学的做法，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．利用得到，利用线段垂直平分线定理的逆定理，作的垂直平分线即可． 解：， 而， ， 点为的垂直平分线与的交点． 故选：A． 【变式2】下列尺规作图能得到平行线的是________．（填序号） ①  ② ③  ④ 【答案】①②③ 【分析】本题考查平行线的判定、基本尺规作图，根据基本尺规作图和平行线的判定逐个判断即可． 解：①根据同位角相等，两直线平行，该尺规作图能得到平行线，故①符合题意； ②根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，该尺规作图能得到平行线，故②符合题意； ③根据内错角相等，两直线平行，该尺规作图能得到平行线，故③符合题意； ④根据尺规作图不能得到平行线，故④不符合题意， 故答案为：①②③． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，请用尺规作图法在边上找一点D，连接，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】作出线段的垂直平分线，与的交点就是所求点． 本题考查了线段的垂直平分线基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 解：如图所示，点D即为所求． 【知识点三】轴对称图形 1、如果一个图形关于某条直线成轴对称的图形是其本身，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. ★【题型 7】轴对称图形的识别 【例题7】（25-26八年级上·广西崇左·月考）找出下面图形中的轴对称图形，并画出它们的对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画对称轴，轴对称图形的识别，解题关键是识别出轴对称图形． 先识别图，确定是轴对称图形，再找出所给图的对称轴，然后画出所给图的对称轴． 解：如图所示：第三个图和第七个图不是轴对称图形． 【变式1】（25-26八年级上·浙江舟山·月考）在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．如图四个美术字中可以看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 解：这四个美术字中可以看作轴对称图形的是“美”． 【变式2】（25-26八年级上·山东滨州·期末）下列图形：线段、角、正方形、圆，其中轴对称图形的个数为_____． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，判断每个图形是否为轴对称图形即可，轴对称图形的关键是确定对称轴． 解：线段是轴对称图形，有两条对称轴；角是轴对称图形，有一条对称轴；正方形是轴对称图形，有四条对称轴；圆是轴对称图形，有无数条对称轴．因此，所有四个图形都是轴对称图形，故个数为4． 故答案为：4 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）指出下列图形中的轴对称图形，并画出轴对称图形的对称轴． 【答案】见解析 【分析】根据轴对称图形的定义，画出对称轴即可． 本题考查了轴对称图形，对称轴的确定，熟练掌握定义是解题的关键． 解：根据题意，有三个图形是轴对称图形，对称轴作图如下： 2、角平分线的作法 （1）画弧截边：以角的顶点为圆心，任意长度为半径画弧，与角的两条边分别相交。 （2）画弧找交点：分别以上一步得到的两个交点为圆心，以大于这两点间距离一半的长度为半径，在角的内部画弧，使两弧相交。 （3）作射线：过角的顶点和两弧的交点作一条射线，这条射线就是该角的平分线。 ★【题型 8】角平分线的作法 【例题8】（25-26八年级上·上海·期末）尺规作图：如图，已知，点在上，在的内部求作点，使点到直线的距离相等，且．（保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线，垂直平分线，线段的作图．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图分解成基本作图；作出的角平分线；再作出的垂直平分线，交于点，则，最后以点为圆心，的长为半径画弧交的角平分线于点，连接，可得． 解：如图所示为所求： 【变式1】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图——基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法；观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可. 解：A、作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故A不符合题意； B、作图痕迹可知，D在的平分线上，能确定，故B符合题意； C、作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故C不符合题意； D、作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，不能确定，故D不符合题意. 故选：B. 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，，以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两条弧交于点，作射线交于点，若，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】此题主要考查了基本作图以及平行线的性质，由作图步骤得到平分，是解题关键． 直接利用平行线的性质结合角平分线的作法得出，即可得出答案． 解：由题意可得：平分， ∵， ， ， ， 平分， ． ∵， ∴． 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，按下列要求作图： (1)用尺规作图作出的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)用尺规作图作出的高；（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图的基本操作，解题关键是掌握角平分线和三角形高的尺规作图方法． （1）以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于两点；分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点；过点A与该交点作射线，即为的平分线； （2）延长；以点B为圆心，适当长度为半径画弧，交的延长线于两点；分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点；过点B与该交点作直线，交于点F，即为所求． （1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求． 3、轴对称——折叠问题 （1）重合性：折叠前后的图形是形状大小相同，对应边相等，对应角相等； （2）对称性：折痕是对应点连线的垂直平分线，对应点到折痕的距离相等； （3）角与边的转化：折叠后重合的角相等，重合的线段相等，可用于角度计算和线段长度计算。 ★★【题型 9】折叠问题 【例题9】（25-26七年级上·江苏连云港·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使得，折叠后的，落在同一条直线上，其中，为折痕． (1)和有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)的度数为． 【分析】本题主要考查了折叠问题，角度和与差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意可得，，又，所以，则，得，从而求解； （）由题意可得，，又，所以，然后代入即可求解． （1）解：，理由如下， 由题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式1】（25-26七年级上·河南信阳·期末）按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（    ） A．平分 B． C．与互余 D．与互补 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质、余角和补角．由折叠的性质可得，求出，即可判断C；求出即可判断B；根据即可判断D． 解：由折叠的性质可得， ， ∴与互余，故C正确，不符合题意； ∴，故B正确，不符合题意； ， ∴与互补，故D正确，不符合题意； 不能得出平分，故A错误，符合题意； 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·广东深圳·月考）如图，将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，若，则__________． 【答案】/38度 【分析】本题考查正方形与折叠的性质，由正方形的性质及折叠的性质可得，，，利用角之间的和差关系可得，进而求得，再利用即可求得结果． 解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2． (1)若，则的度数为_____________； (2)在图2的基础上，再沿折叠成图3，则的度数为____________．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了邻补角，平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图，理清翻折前后重叠的角是解题的关键． （1）根据邻补角的定义解答即可； （2）根据两直线平行，同旁内角互补可得，然后得出图中度数；再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出图中，再根据翻折的性质可得，然后代入数据计算即可得解． （1）解：，， ； 故答案为：； （2）长方形对边， ， 图中，， 长方形对边， ， 图中，， 由翻折的性质得，图中， 图中，， 图中，． 故答案为：． 【知识点四】旋转 （1） 一般地，在平面内，把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度得到另一个图形的平面变换叫作旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。 （2） 旋转前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等. ★★【题型 10】旋转中心、旋转角的识别 【例题10】（25-26九年级上·天津宝坻·月考）如图，正方形中，点为边上的一点，将顺时针旋转后得到． (1)指出旋转中心及旋转角的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由： 【答案】(1)旋转中心是，旋转角是 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，旋转只是改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，旋转前后的两个图形一定全等． （1）将旋转后得到，要确定旋转中心及旋转的角度，首先确定哪个点是对应点，即可确定； （2）根据旋转的性质可知，旋转前后两个图形一定全等，根据全等三角形的对应角相等，即可作出判断． （1）解：旋转中心是，旋转角是； （2），理由如下： 延长交于点． 由旋转可知：， ，． 又，， ， ． 【变式1】（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，三角形绕点顺时针旋转得到三角形．，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 根据旋转的性质，利用旋转角，计算即可． 解：∵三角形绕点顺时针旋转得到三角形， ∴是旋转角， ∵，， ∴， ∴旋转角的度数是， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·安徽淮南·期中）如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是________． 【答案】点 【分析】本题考查了旋转的定义和旋转中心的判定，掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键． 观察图形，由旋转的性质即可得到答案． 解：根据旋转的定义，结合图形上的对应点到点的距离相等， ∴旋转中心为点， 故答案为：点． 【变式3】（25-26七年级上·河北邢台·期中）如图，三角形逆时针旋转到三角形，其中，点、、在同一直线上． (1)旋转中心是点___________． (2)求旋转角的大小． 【答案】(1) (2)旋转角大小是 【分析】此题考查旋转的性质，解题关键在于掌握其性质定义结合图形进行解答． （1）根据经过旋转得到，可得旋转中心为点； （2）根据点在同一直线上，可得旋转角为，结合即可求出旋转度数； （1）解：依题意，经过旋转得到， ∴旋转中心为点， 故答案为：． （2）解：点在同一直线上，， ， 旋转角大小是． （3） 旋转的基本性质 旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角. ★★【题型 11】利用旋转的基本性质求值 【例题11】（25-26七年级上·河北衡水·月考）如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，，，． (1)如图1，当点落在边上时，求的长； (2)在旋转的过程中，若，请就图2中情形求旋转角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查旋转的性质、角度的和差关系，解题的关键是熟悉旋转的性质． （1）由旋转得，结合即可得； （2）由，得到，结合求得，由旋转得旋转角的度数为即可． （1）解：∵三角形绕点逆时针旋转得到三角形， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴，即， ∵， ∴， 解得， 则图2中情形求旋转角的度数为． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将绕点逆时针旋转得到．已知，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转变换，掌握旋转前后两图形全等、对应点与旋转中心的连线所成的夹角等于旋转角是解答本题的关键． 由旋转的性质可得，然后根据角度的和差关系即可求出的度数． 解：∵将绕点逆时针旋转得到， ， ， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，将绕点旋转得到，点，，在同一条直线上．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、平角的定义、角的和差等知识点，掌握旋转不改变角的大小是解题的关键． 根据旋转的性质可得，再根据平角的性质列式计算即可． 解：∵将绕点旋转得到， ∴， ∵点，，在同一条直线上． ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，O为直线上一点，将一副直角三角板按图中方式放在点O处，使．将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转后停止，设运动时间为t秒． (1)当时，_______． (2)若在三角板开始旋转的同时，三角板也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转．在线段与第一次相遇前，t为何值时，平分． 【答案】(1)80(2) 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线，三角板中的角度计算等知识，解题的关键在于准确表示出旋转后的角． （1）记旋转后的位置为，先计算旋转前的的值，求解时的旋转的角度，然后根据计算求解即可； （2）记，，旋转后的位置分别为，，，在线段与第一次相遇前，平分，则有，根据，列方程即可求解． （1）解：如图1，记旋转后的位置为， 由题意知，， ， ， 当时，此时， ， 故答案为：； （2）解：如图2，记，，旋转后的位置分别为，，， 线段与第一次相遇前，平分， ， ，即， 解得， 在线段与第一次相遇前，时，平分． （4） 画旋转图形步骤 （1） 确定旋转中心、旋转方向、旋转角三个要素； （2）找出原图形的所有关键点（顶点、端点）； （3）依次连接每个关键点与旋转中心，按规定方向和角度旋转，得到对应点； （4）顺次连接所有对应点，形成旋转后的图形。 ★★【题型 12】旋转作图 【例题12】（25-26九年级上·湖北·月考）已知的顶点，，在格点上，按下列要求在网格中画图． (1)将绕点顺时针旋转得到(点的对应点是点)，画出； (2)若与关于点中心对称，其中，分别为点，的对应点，画出． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查图形的旋转与中心对称作图，核心是掌握“旋转时对应点到旋转中心的距离相等、夹角等于旋转角”以及“中心对称时对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分”的性质． （1）根据旋转的性质作出图形，如图所示，即为所求作的三角形； （2）根据中心对称的性质作出图形，如图所示，即为所求作的三角形． （1）解：作出绕点顺时针旋转得到的如图所示； （2）解：作出关于点的中心对称的图形如图所示； 【变式1】（23-24九年级上·四川绵阳·月考）将如图方格纸中的图形绕O点顺时针旋转得到的图形是() A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了运用旋转变换作图，旋转作图要注意：(1)旋转方向；(2)旋转角度．整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动． 根据旋转的特征，图形绕点顺时针旋转，点的位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数，即可画出旋转后的图形． 解：∵方格纸中的图形绕点顺时针旋转， ∴右边的阴影部分旋转到点的下方，左边的阴影部分旋转到点的上方， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，已知的顶点在格点上，在网格中按下列要求作图： (1)将绕点逆时针旋转得到； (2)作出与关于点成中心对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作旋转图形，作中心对称图形． （1）根据旋转的性质分别作出A、B的对应点，再顺次连接即可； （2）根据中心对称的性质分别作出A、B、C的对应点，再顺次连接即可． （1）解：如图所示，为所作图形； （2）解：如图所示，为所作图形． （5） 中心对称与中心对称性质 定义：一般地，在平面内，若一个图形是由另一个图形绕某个点旋转180度得到的，则称这两个图形成中心对称，这个点叫作对称中心，两个对称图形上的对应点叫作对称点. 中心对称性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线段经过对称中心且被对称中心平分. ★【题型 13】利用中心对称性质求值证明 【例题13】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解此题的关键． （1）连接、，其交点就是对称中心； （2）根据和关于点成中心对称，得出，，，再由三角形周长公式计算即可． （1）解：如图所示，点即为所求．（作法不唯一） （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴，，， ∴的周长， 答：的周长为18． 【变式1】如图，与关于成中心对称，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的基本性质“1、中心对称的两个图形是全等图形；2、中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；3、中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等”，熟练掌握中心对称的基本性质是解题关键．根据中心对称的基本性质、平行线的性质逐项判断即可得． 解：A、由中心对称的基本性质得：，则此项不符合题意； B、由中心对称的基本性质得：，则此项不符合题意； C、由中心对称的基本性质得：，则此项不符合题意； D、由中心对称的基本性质得：， ∴，， ∴，即，则此项符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，直线互相垂直且相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对应点是，于点，于点若，，则阴影部分的面积之和为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答． 解：如图所示，过点作于点， 阴影部分的面积矩形的面积的面积， ， 阴影部分的面积为 故答案为：． 【变式3】如图，点D是中边上的中点，连接并延长使，连接．请指出图中成中心对称的线段、三角形，并写出面积相等的三角形． 【答案】线段与线段关于点D成中心对称，线段与线段关于点D成中心对称，线段与线段成中心对称，与关于点D成中心对称，． 【分析】根据中心对称的定义即可得到成中心对称的线段、三角形；再根据关于中心对称的两个三角形的面积相等、等底同高的两个三角形的面积相等解答即可 解：∵， ∴线段与线段关于点D成中心对称． 同理，线段与线段关于点D成中心对称，线段与线段成中心对称， 又∵， ∴与关于点D成中心对称． ∴． ∵与是等底同高的两个三角形， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了中心对称的定义、面积相等的三角形等知识点，掌握中心对称的定义和面积相等的三角形的条件是解答本题的关键． （6） 中心对称图形 定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形就是其本身，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 ★【题型 14】轴对称图形与中心对称图形的识别 【例题14】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线，垂足为O，点与点A关于直线对称，点与点A关于直线对称．点与点有怎样的对称关系？你能说明理由吗？ 【答案】点与点关于点O成中心对称，理由见解析 【分析】本题考查轴对称的性质，中心对称的性质等知识，由轴对称的性质得，，，，进而得，，即可得出结论． 解：如图，点与点关于点O成中心对称，理由如下： 如图， ∵点与点A关于直线对称， ∴，， ∵点与点A关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， 即点、的连线经过点O，且， ∴点与点关于点O成中心对称． 【变式1】（25-26九年级上·安徽黄山·期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：． 【变式2】（25-26七年级上·上海松江·期末）有下列图形：①等边三角形；②正方形；③平行四边形；④圆；⑤等腰梯形．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是_____（填序号）． 【答案】②④ 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断各图形是否同时具备两种对称性． 解：①等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形； ②正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形； ③平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； ④圆既是轴对称图形，又是中心对称图形； ⑤等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形． 故答案为：②④． 【变式3】（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上. (1)画出沿水平方向向左平移5个单位长度得到的，画出关于点O成中心对称的； (2)与是否成中心对称?若是，画出其对称中心点Q的位置； (3)在直线MN上找一点P，使的周长最小，请确定点P的位置. 【分析】1）根据平移的方向和距离进行作图即可；根据中心对称图形的性质作图即可； （2）根据关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分进行作图确定中心点Q的位置； （3）过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点． 本题主要考查了利用图形的基本变换进行作图，解题时注意，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，根据轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． （1）解：如图，和即为所作； （2）与成中心对称，对称中心Q的位置如图所示； （3）如图，点P即为所作． 二.中考模拟真题 （一）单选题（8题） 1．（2025·山东东营·中考真题）中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的概念逐项判断即可． 解：A、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， 不是中心对称图形； B、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形； C、图案能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴是中心对称图形； D、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形． 故选：C． 2．（2025·江苏南通·中考真题）如图，将沿着射线平移到．若，则平移的距离为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】利用平移性质，确定对应点，通过线段长度计算平移距离．本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移中对应点间的距离为平移距离是解题的关键． 解：∵沿射线平移得到， ∴点与点是对应点．平移的距离为的长度， 又∵，， ∴． 故选：． 3．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解， 解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4．（2024·河北·中考真题）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D． 解：由轴对称图形的性质得到，， ∴， ∴B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 5．（2025·浙江杭州·三模）如图，的边长，，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，熟练掌握平移的性质：“对应点所连线段平行（或共线）且相等；对应线段平行（或共线）且相等．”是解题的关键．利用平移的性质，找出对应线段相等的关系，进而求出阴影部分的周长． 解：由题知，由沿方向平移得到， ， 阴影部分的周长为：（cm）． 故选：B． 6．（2025·河南漯河·一模）如图，设计的字母“”是一个轴对称图形，设计线条之间互相平行．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，轴对称图形的性质，延长至，由题意得，，进而根据平行线的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：延长至， 由题意得，，， ∴，， ∴， 即， 故选：． 7．（2025·吉林通化·模拟预测）如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转60°．得到三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了旋转的性质，根据旋转的性质得到，再利用即可求出的度数. 解：∵将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8．（2025·浙江杭州·三模）如图，绕着点旋转，得到，与相交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的性质，角的和差计算，首先求出，然后由旋转得到，然后得到． ∵ ∴ ∵绕着点旋转，得到， ∴ ∴ ∴． 故选：B． （二）填空题（8题） 9．（2025·陕西·中考真题）如图，将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是_____（写出一个符合题意的数即可）． 【答案】（或或或）（答案不唯一）． 【分析】本题考查图形的中心旋转，此图案是正五边形，然后根据正五边形的性质求解即可． 解：∵， ∴此图案绕旋转中心旋转的整数倍时能够与自身重合， ∴n可以为（或或或）． 故答案为：（或或或）（答案不唯一）． 10．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片折叠，使点A落在边上的点D处，折痕为．若的面积为8，的面积为5，则_______． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，三角形面积，先求解的面积为，的面积为，进一步可得答案． 解：∵的面积为8，的面积为5， ∴的面积为， 由折叠可得：的面积为， ∴的面积为， ∴， 故答案为： 11．（2025·四川凉山·中考真题）如图，将周长为20的沿方向平移2个单位长度得，连接，则四边形的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，掌握平移的不变性是解题的关键． 根据平移的性质可得、，然后求出四边形的周长等于的周长与、的和，再求解即可． 解：沿方向平移个单位长度得到， ，， 四边形的周长 的周长 ． 故答案为：． 12．（2025·江苏无锡·模拟预测）线段、等腰三角形、正方形、圆、等腰梯形、平行四边形、等边三角形、正五边形、正六边形、正八边形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有 ____________________ ． 【答案】线段，正方形，圆，正六边形，正八边形 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断每个图形是否符合条件，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 解：线段是轴对称图形（有对称轴）和中心对称图形（绕中点旋转180度重合）； 正方形是轴对称图形（有4条对称轴）和中心对称图形（绕中心旋转180度重合）； 圆是轴对称图形（有无数条对称轴）和中心对称图形（绕圆心旋转180度重合）； 正六边形是轴对称图形（有6条对称轴）和中心对称图形（绕中心旋转180度重合）； 正八边形是轴对称图形（有8条对称轴）和中心对称图形（绕中心旋转180度重合）． 等腰三角形、等腰梯形、、等边三角形、正五边形是轴对称图形但不是中心对称图形，平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故它们不符合题意． 故既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段，正方形，圆，正六边形，正八边形， 故答案为：线段，正方形，圆，正六边形，正八边形． 13．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，中，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点．若点是的中点，，的面积为，则点，之间的距离为_______ ． 【答案】 【分析】此题考查翻折变换的性质，三角形的面积等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，由，得，则，由翻折得，则，由点与点关于直线对称，得垂直平分，则，求得，于是得到问题的答案． 解：连接， 点是的中点， ， ， ， 把沿着翻折，得到， ， ， 点与点关于直线对称，， 垂直平分， ， ， 故答案为：． 14．（2025·宁夏银川·三模）已知射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等，如图，淇淇同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面与水平面的夹角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板 的夹角，反射光束为，则反射光束与平面镜的夹角的度数为____________．      【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，结合图形求解是解题关键．过点D作，根据平行线的性质得出，，结合图形求解即可． 解：过点D作， 根据题意得， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）一副三角板如图摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图，即时，则__________． 【答案】/45度 【分析】本题考查三角板，平行线的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握题意，可得，，根据，可得，则，即可． 解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）如图，在中，，如果将绕点A顺时针旋转得到，点D、E分别与点B、C对应，如果，那么旋转角（大于且小于）的大小为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了旋转的性质，分点D在上方，点D在下方两种情况，根据角的和差关系分别求出的度数即可得到答案． 解：如图所示，当点D在上方时， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角的大小为； 如图所示，当点D在下方时， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴旋转角的大小为； 综上所述，旋转角的大小为或； 故答案为：或． （三）解答题（3题） 17．（2025·安徽淮南·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出； (2)如图，O为格点，以点O为中心，在网格中画出的中心对称图形． 【分析】本题主要考查了平移变换、中心对称变换等知识点，掌握平移的性质以及中心对称变换的性质是解题的关键． （1）先根据平移变换确定的对应点，然后再顺次连接即可； （2）先根据中心对称变换确定的对应点，然后再顺次连接即可． （1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：即为所求． 18．（2025·江西赣州·一模）如图在正方形网格中，已知顶点为格点的．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作一个四边形，使它是中心对称图形； (2)在图2中，作一个，使它是轴对称图形． 【分析】本题主要考查了在正方形网格中利用无刻度的直尺作中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解题的关键． （1）根据中心对称图形的定义画图即可； （2）根据轴对称图形的定义画图即可． （1）如图，四边形即为所求； （2）如图，即为所求． 19．（2025·安徽·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均为格点（网格线的交点）． (1)以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转得到线段，请画出线段； (2)将线段向右平移5个单位长度，得到线段（点与对应，点与对应），画出线段； (3)判断线段与的位置关系为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)垂直 【分析】本题考查了画旋转图形，平移作图，熟练掌握旋转和平移的性质是解决问题的关键． （1）根据题意，找到的对应点，连接，即可求解； （2）根据平移的性质画出图形，即可求解； （3）由旋转的性质可知，由平移的性质可知，进而可求解． （1）解：如图即为所求， （2）解：如图即为所求， （3）解：由（1）可知， 由（2）可知， ∴， 故答案为：垂直． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 9.7 图形的变换（全章知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】平移 2 ★【题型 1】判断平移现象、根据平移性质求线段长度、角的度数 2 ★【题型 2】按要求画出平移后的图形并求平移的方向和距离及相关的角 4 ★★【题型 3】平移的应用 8 【知识点二】轴对称 10 ★★【题型 4】利用轴对称性质求线段长度、角的度数 11 ★★【题型 5】轴对称作图 14 ★【题型 6】垂直平分线及垂直的作图 17 【知识点三】轴对称图形 20 ★【题型 7】轴对称图形的识别 20 ★【题型 8】角平分线的作法 22 ★★【题型 9】折叠问题 25 【知识点四】旋转 28 ★★【题型 10】旋转中心、旋转角的识别 28 ★★【题型 11】利用旋转的基本性质求值 31 ★★【题型 12】旋转作图 34 ★【题型 13】利用中心对称性质求值证明 37 ★【题型 14】轴对称图形与中心对称图形的识别 39 二.中考模拟真题 42 （一）单选题（8题） 43 （二）填空题（8题） 47 （三）解答题（3题） 53 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示中档题，带★★★表示拨高题 【知识点一】平移 1、定义：一般地，在平面内，将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定的距离后得到另一个图形的平面变换叫作平移. 2、性质：平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变位置；对应线段平行且相等，对应角相等. ★【题型 1】判断平移现象、根据平移性质求线段长度、角的度数 【例题1】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）在直角中，，，，将沿直线向右平移得到，若，．    (1)求向右平移的距离． (2)求四边形的周长． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列现象中属于平移的是（   ） A．升降电梯从一楼升到五楼 B．卫星绕地球运动 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 【变式2】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图，经过平移得到，连接、，若，则平移的距离为________． 【变式3】如图，将沿射线的方向平移个单位到的位置，点的对应点分别点． (1)若，则______． (2)若，求的度数． 3、平移的作图步骤 （1） 确定平移要素：明确平移的方向和平移距离； （2） 找对应点：分别将线段的两个端点按照指定方向和距离进行平移，得到它们的对应点； （3） 连接对应点：用线段连接两个对应点； （4） 得到图形：得到的图表即为平移后的图形。 ★【题型 2】按要求画出平移后的图形并求平移的方向和距离及相关的角 【例题2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，将方格纸中的三角形先向右平移2格得到三角形，再将三角形向上平移3格得到三角形，设与相交于点． (1)按上述步骤画出经过两次平移后分别得到的三角形，并标出点． (2)图中与既平行又相等的线段有___________，图中与相等的角有___________． (3)若，求和的度数． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【变式2】作图题：将如图的三角形先水平向右平移4格，再竖直向下平移4格得到三角形．观察线段与的关系是_____． 【变式3】如图，将平移后得到，其中点C的对应点是点， (1)请将点、点在图中标出来， (2)画出； (3)若边与网格线的交点为M，请标出点M的对应点． 4、平移的应用 ★★【题型 3】平移的应用 【例题3】（25-26八年级上·山东济宁·月考）某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价25元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要多少元． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江·月考）如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 【变式2】（24-25七年级下·四川泸州·期中）如图，在长方形长，宽地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分作为耕地，道路宽为3米时耕地面积为______平方米． 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，将面积为5的沿方向平移至的位置，平移的距离是边长的3倍． (1)那么图中线段与的关系是_____________， (2)求四边形的面积． 【知识点二】轴对称 1、定义：一般地，将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图形的平面变换叫作轴对称，这条直线叫作对称轴，此时称这两个图形成轴对称. 2、成轴对称的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等. ★★【题型 4】利用轴对称性质求线段长度、角的度数 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，和关于直线MN对称，BC和DE的交点F在直线MN上． (1)若，，求EF的长． (2)连接BD和EC，判断BD和EC的位置关系，并说明理由． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线，的交点不一定在上 【变式2】（25-26八年级上·河北张家口·月考）如图，内一点，分别是点关于的对称点，交于，交于，若，则的周长是_______． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点P在的内部，点C和点P关于直线对称，点P关于直线的对称点是点D，连接交于点M，交于点N． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为 ． 3、轴对称作图基本步骤 （1）找：找出已知图形的关键点（如线段的端点、顶点）； （2）作：分别作出这些关键点关于对称轴的对称点； （3）连：按原图形的顺序依次连接各对称点，得到的图形即为原图形关于这条对称轴的轴对称图形。 ★★【题型 5】轴对称作图 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，军营和军营在河岸的同一侧，将军骑马从军营到河岸上的点处，沿河岸向东遛马至点处后骑马去军营，遛马的距离同图中的长度，遛马点，如何设置才能使军营到点与军营到点的距离之和最短？请画出示意图，并说明原因． 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂O，分别向两个小镇供水，考虑到供水所用水管铺设的长度应最短的选址要求，从数学的角度看，下列图形中自来水厂O的选址设计正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，将军在图中点处，现在他要带马去河边l喝水，之后返回军营处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点使得最小． 解决方法是：作点关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是__________． 【变式3】（25-26八年级上·江西萍乡·期末）如下图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个．请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)作关于直线对称的； (2)在直线上找一点P，使得最短． 4、垂直平分线的定义与垂直平分线作法 （1）.定义：垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 （2）垂直平分线作法： （a）定圆心与半径：分别以线段的两个端点 A、B 为圆心，以大于的长度为半径，在线段 AB 的两侧作两条相交的弧，交点记为 C、D； （b）作直线：过两个交点 C、D 作直线 CD，该直线与线段AB交于点O； （c）结论：直线 CD 即为线段 AB 的垂直平分线。 (3).过一点作直线垂线作法： （a）以该点为圆心，取大于该点到直线距离的长度为半径作弧，与已知直线交于两点； （b）分别以这两个交点为圆心，取大于两交点间距离一半的长度为半径，在直线同侧作弧，两弧交于一点； （c）连接该交点与已知点，所得直线即为所求垂线。 ★【题型 6】垂直平分线及垂直的作图 【例题6】（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图，，，三点均为方格图中的格点．按下述要求画图并回答问题． (1)①过点画出线段的垂线，垂足为； ②画出线段的垂直平分线． (2)在（1）的条件下，点到直线的距离是线段________的长度，点到直线的距离是线段________的长度． 【变式1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）在数学课上，老师提出如下问题：如图所示，已知中，，用尺规作图的方法在上取一点，使得．下面四个同学的做法，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列尺规作图能得到平行线的是________．（填序号） ①   ② ③   ④ 【变式3】（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，请用尺规作图法在边上找一点D，连接，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【知识点三】轴对称图形 1、如果一个图形关于某条直线成轴对称的图形是其本身，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. ★【题型 7】轴对称图形的识别 【例题7】（25-26八年级上·广西崇左·月考）找出下面图形中的轴对称图形，并画出它们的对称轴． 【变式1】（25-26八年级上·浙江舟山·月考）在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．如图四个美术字中可以看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东滨州·期末）下列图形：线段、角、正方形、圆，其中轴对称图形的个数为_____． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）指出下列图形中的轴对称图形，并画出轴对称图形的对称轴． 2、角平分线的作法 （1）画弧截边：以角的顶点为圆心，任意长度为半径画弧，与角的两条边分别相交。 （2）画弧找交点：分别以上一步得到的两个交点为圆心，以大于这两点间距离一半的长度为半径，在角的内部画弧，使两弧相交。 （3）作射线：过角的顶点和两弧的交点作一条射线，这条射线就是该角的平分线。 ★【题型 8】角平分线的作法 【例题8】（25-26八年级上·上海·期末）尺规作图：如图，已知，点在上，在的内部求作点，使点到直线的距离相等，且．（保留作图痕迹） 【变式1】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，，以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两条弧交于点，作射线交于点，若，则的度数为__________． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，按下列要求作图： (1)用尺规作图作出的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)用尺规作图作出的高；（保留作图痕迹，不写作法） 3、轴对称——折叠问题 （1）重合性：折叠前后的图形是形状大小相同，对应边相等，对应角相等； （2）对称性：折痕是对应点连线的垂直平分线，对应点到折痕的距离相等； （3）角与边的转化：折叠后重合的角相等，重合的线段相等，可用于角度计算和线段长度计算。 ★★【题型 9】折叠问题 【例题9】（25-26七年级上·江苏连云港·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使得，折叠后的，落在同一条直线上，其中，为折痕． (1)和有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，求的度数． 【变式1】（25-26七年级上·河南信阳·期末）按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（    ） A．平分 B． C．与互余 D．与互补 【变式2】（25-26七年级上·广东深圳·月考）如图，将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，若，则__________． 【变式3】（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2． (1)若，则的度数为_____________； (2)在图2的基础上，再沿折叠成图3，则的度数为____________．（用含的式子表示） 【知识点四】旋转 （1） 一般地，在平面内，把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度得到另一个图形的平面变换叫作旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。 （2） 旋转前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等. ★★【题型 10】旋转中心、旋转角的识别 【例题10】（25-26九年级上·天津宝坻·月考）如图，正方形中，点为边上的一点，将顺时针旋转后得到． (1)指出旋转中心及旋转角的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由： 【变式1】（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，三角形绕点顺时针旋转得到三角形．，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·安徽淮南·期中）如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是________． 【变式3】（25-26七年级上·河北邢台·期中）如图，三角形逆时针旋转到三角形，其中，点、、在同一直线上． (1)旋转中心是点___________． (2)求旋转角的大小． （3） 旋转的基本性质 旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角. ★★【题型 11】利用旋转的基本性质求值 【例题11】（25-26七年级上·河北衡水·月考）如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，，，． (1)如图1，当点落在边上时，求的长； (2)在旋转的过程中，若，请就图2中情形求旋转角的度数． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将绕点逆时针旋转得到．已知，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，将绕点旋转得到，点，，在同一条直线上．若，则的度数为______． 【变式3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，O为直线上一点，将一副直角三角板按图中方式放在点O处，使．将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转后停止，设运动时间为t秒． (1)当时，_______． (2)若在三角板开始旋转的同时，三角板也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转．在线段与第一次相遇前，t为何值时，平分． （4） 画旋转图形步骤 （1） 确定旋转中心、旋转方向、旋转角三个要素； （2）找出原图形的所有关键点（顶点、端点）； （3）依次连接每个关键点与旋转中心，按规定方向和角度旋转，得到对应点； （4）顺次连接所有对应点，形成旋转后的图形。 ★★【题型 12】旋转作图 【例题12】（25-26九年级上·湖北·月考）已知的顶点，，在格点上，按下列要求在网格中画图． (1)将绕点顺时针旋转得到(点的对应点是点)，画出； (2)若与关于点中心对称，其中，分别为点，的对应点，画出． 【变式1】（23-24九年级上·四川绵阳·月考）将如图方格纸中的图形绕O点顺时针旋转得到的图形是() A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，已知的顶点在格点上，在网格中按下列要求作图： (1)将绕点逆时针旋转得到； (2)作出与关于点成中心对称的． （5） 中心对称与中心对称性质 定义：一般地，在平面内，若一个图形是由另一个图形绕某个点旋转180度得到的，则称这两个图形成中心对称，这个点叫作对称中心，两个对称图形上的对应点叫作对称点. 中心对称性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线段经过对称中心且被对称中心平分. ★【题型 13】利用中心对称性质求值证明 【例题13】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 【变式1】如图，与关于成中心对称，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，直线互相垂直且相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对应点是，于点，于点若，，则阴影部分的面积之和为______． 【变式3】如图，点D是中边上的中点，连接并延长使，连接．请指出图中成中心对称的线段、三角形，并写出面积相等的三角形． （6） 中心对称图形 定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形就是其本身，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 ★【题型 14】轴对称图形与中心对称图形的识别 【例题14】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线，垂足为O，点与点A关于直线对称，点与点A关于直线对称．点与点有怎样的对称关系？你能说明理由吗？ 【变式1】（25-26九年级上·安徽黄山·期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海松江·期末）有下列图形：①等边三角形；②正方形；③平行四边形；④圆；⑤等腰梯形．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是_____（填序号）． 【变式3】（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上. (1)画出沿水平方向向左平移5个单位长度得到的，画出关于点O成中心对称的； (2)与是否成中心对称?若是，画出其对称中心点Q的位置； (3)在直线MN上找一点P，使的周长最小，请确定点P的位置. 二.中考模拟真题 （一）单选题（8题） 1．（2025·山东东营·中考真题）中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南通·中考真题）如图，将沿着射线平移到．若，则平移的距离为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·河北·中考真题）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江杭州·三模）如图，的边长，，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为（    ）    A． B． C． D． 6．（2025·河南漯河·一模）如图，设计的字母“”是一个轴对称图形，设计线条之间互相平行．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·吉林通化·模拟预测）如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转60°．得到三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·浙江杭州·三模）如图，绕着点旋转，得到，与相交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． （二）填空题（8题） 9．（2025·陕西·中考真题）如图，将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是_____（写出一个符合题意的数即可）． 10．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片折叠，使点A落在边上的点D处，折痕为．若的面积为8，的面积为5，则_______． 11．（2025·四川凉山·中考真题）如图，将周长为20的沿方向平移2个单位长度得，连接，则四边形的周长为______． 12．（2025·江苏无锡·模拟预测）线段、等腰三角形、正方形、圆、等腰梯形、平行四边形、等边三角形、正五边形、正六边形、正八边形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有 ____________________ ． 13．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，中，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点．若点是的中点，，的面积为，则点，之间的距离为_______ ． 14．（2025·宁夏银川·三模）已知射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等，如图，淇淇同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面与水平面的夹角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板 的夹角，反射光束为，则反射光束与平面镜的夹角的度数为____________．      15．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）一副三角板如图摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图，即时，则__________． 16．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）如图，在中，，如果将绕点A顺时针旋转得到，点D、E分别与点B、C对应，如果，那么旋转角（大于且小于）的大小为______． （三）解答题（3题） 17．（2025·安徽淮南·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出； (2)如图，O为格点，以点O为中心，在网格中画出的中心对称图形． 18．（2025·江西赣州·一模）如图在正方形网格中，已知顶点为格点的．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作一个四边形，使它是中心对称图形； (2)在图2中，作一个，使它是轴对称图形． 19．（2025·安徽·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均为格点（网格线的交点）． (1)以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转得到线段，请画出线段； (2)将线段向右平移5个单位长度，得到线段（点与对应，点与对应），画出线段； (3)判断线段与的位置关系为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $