专题 7.7 幂的运算（全章知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 7.7 幂的运算（全章知识梳理 + 题型精析 +中考真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】同底数幂相乘 1 ★★【题型 1】同底数幂相乘运算 2 【知识点二】同底数幂相乘逆运算 3 ★★【题型 2】同底数幂相乘的逆运算 4 【知识点三】幂的乘方 5 ★★【题型 3】幂的乘方的运算 6 【知识点四】幂的乘方逆运算 7 ★★【题型 4】幂的乘方的逆运算 8 【知识点五】积的乘方运算 9 ★★【题型 5】积的乘方运算 10 【知识点六】积的乘方逆运算 11 ★★【题型 6】积的乘方逆运算 12 【知识点七】同底数幂的除法 14 ★★【题型 7】同底数幂的除法 14 【知识点八】同底数幂的除法逆运算 16 ★★【题型 8】同底数幂的逆运算 16 【知识点九】零指数、负整数指数 18 ★★【题型 9】零指数、负指数的运算 18 二.综合培优题型精析 20 ★★【题型 10】幂的运算法则辨析 20 ★★【题型 11】幂的综合运算 22 ★★【题型 12】幂的逆运算综合 24 ★★【题型 13】幂的运算规律探究 26 ★★【题型 14】幂的运算与新定义探究 30 三.中考真题专练 34 （一）选择题（6题） 34 （二）填空题（6题） 36 （三）解答题（1题） 38 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】同底数幂相乘 （1） 运算性质 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 ★★【题型 1】同底数幂相乘运算 【例题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）-（4）根据同底数幂的乘法法则进行求解即可； （1）解：； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26八年级上·天津·期中）下列四个算式，①；②；③；④．正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的运算，根据同底数幂的乘法可判断①、③；根据乘方的意义及同底数幂的乘法可判断②；根据合并同类项可判断④．掌握相应的运算法则是解题的关键． 解：①∵和的底数不同， ∴指数不能相加，故原算式不正确； ②，故原算式正确； ③，故原算式正确； ④，故原算式正确， 综上，正确的有②③④，共个． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，将看作整体，根据同底数幂的乘法进行计算即可求解． 解： 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级上·上海静安·月考）计算： 【答案】． 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，合并同类项，先把底数化为同底数幂，再计算乘法，最后合并同类项即可,掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 解： ． 【知识点二】同底数幂相乘逆运算 （2） 运算性质 一个同底数幂，可拆分为两个同底数幂的乘积，拆分后指数之和等于原指数。 一个同底数幂，可拆分为两（多）个同底数幂的乘积，拆分后指数之和等于原指数。 ★★【题型 2】同底数幂相乘的逆运算 【例题2】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，求的值． （2）若，，求的值． （3）若，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则：底数不变，指数相加是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法运算法则变形，然后代入运算即可； （2）先逆用同底数幂的乘法运算法则求出，然后代入运算即可； （3）逆用同底数幂的乘法运算法则进行代值求解即可． 解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴，则， ∴； （3）∵，，， ∴． 【变式1】（23-24七年级下·广东清远·期中）已知，，则（    ） A． B．6 C．8 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用．熟练掌握同底数幂乘法的逆用是解题的关键． 根据，代值求解即可． 解：由题意知，， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·四川成都·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与乘法分配律的逆运算，先利用同底数幂的乘法逆运算法则将原式变形为，再利用乘法分配律逆运算进行计算即可求解． 解： ． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）（1）试说明能被5整除； （2）若能被8整除，试说明一定也能被8整除． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了同底数幂的乘法， （1）根据即可判断； （2）先逆用乘法分配律将变形为，进而可说明结论成立． 解：（1） 为整数 能被5整除 （2） 能被8整除，能被8整除 能被8整除 【知识点三】幂的乘方 （3） 运算性质 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 拓展延伸： ★★【题型 3】幂的乘方的运算 【例题3】（25-26八年级上·吉林松原·期末）计算： 【答案】0 【分析】本题主要考查了幂的混合运算、幂的乘方、同底数幂相乘、合并同类项等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 先运用幂的乘方化简，然后按同底数幂相乘的运算法则计算，最后再合并同类项即可． 解： ． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列四个算式中，正确的有（   ） ①；②；③；④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方运算法则与符号处理，掌握幂的乘方指数相乘，以及多层符号的化简规则是解题的关键． 根据指数运算法则和符号规则，逐一判断每个算式的正确性． 解：① ∵ ，而原式写为 ，错误，不符合题意； ② ∵ ，且指数相乘过程正确，正确，符合题意； ③ ∵ ，∴ ，正确，符合题意； ④ ∵ ，∴ ，错误，不符合题意； ∴正确的有②和③，共个． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，掌握将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件中的指数和进行计算是解题的关键． 将和化为以为底的幂，再利用同底数幂的乘法法则和已知条件求解． 解：∵， ∴． 由已知 得 ， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·上海·期中）已知：，，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了幂的乘方． 通过将方程两边化为同底数幂，比较指数求出m和n的值，进而计算的值即可． 解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，且 ， ∴， ∴， ∴； ∴． 【知识点四】幂的乘方逆运算 （4） 运算性质 一个同底数幂，可将其指数拆分为两个整数的乘积，转化为幂的乘方形式，两种拆分底数的幂次、交换指数位置的写法均成立。 拓展延伸： ★★【题型 4】幂的乘方的逆运算 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知，求的值． （2）已知，求所有满足条件的整数的值． 【答案】（1）8；（2）整数的值为或0或2 【分析】本题考查了幂的运算法则、整体代入思想以及乘方为的分类讨论思想，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）考察幂的运算法则和整体代入思想，核心是将不同底数的幂统一为同底数，再结合已知条件整体代入求值； （2）考察乘方结果为的分类讨论，需考虑“的任何次幂为”“的偶次幂为”“非零数的次幂为”三种情况，全面求解并验证条件． 解：（1）∵， ∴， ∴． （2）①当，时，； ②当时，； ③当且为偶数时，． 综上所述，所有满足条件的整数的值为或或． 【变式1】（25-26八年级上·四川自贡·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的运算法则，包括幂的乘方与同底数幂的乘法，同底数幂乘方的逆运算，将已知条件转化为以2为底的指数形式，利用指数运算法则求解． 解：∵， ∴． ∵，且， ∴ ， ∴． ∴， 故选A． 【变式2】（23-24七年级上·上海·期中）已知：，，则的值为 ． 【答案】288 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，逆用同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则是解题的关键． 逆用同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则即可求解． 解：∵，， ∴ ， 故答案为：288． 【变式3】（25-26八年级上·吉林·期末）（1）已知，求的值．（用含m，n的代数式表示） （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方法则的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）逆用同底数幂的除法法则解答即可； （2）逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则解答即可． 解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴ ． 【知识点五】积的乘方运算 （5） 运算性质 积的乘方等于乘方的积 拓展延伸： ★★【题型 5】积的乘方运算 【例题5】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项，掌握幂的乘方，底数不变指数相乘，积的乘方等于各因式分别乘方再相乘，最后合并同类项是解题的关键． （1）先对两个项分别运用积的乘方和幂的乘方法则展开，再合并同类项； （2）先计算积的乘方展开所有项，再合并同类项得到最简结果． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级上·广东深圳·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 直接运用合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘法则逐项判断即可． 解：A．，故A错误，不符合题意； B．，故B错误，不符合题意； C．，故C错误，不符合题意； D．，故D正确，符合题意． 故选D． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方的性质，熟记性质并转化成已知条件的形式是解题的关键． 利用已知条件 和 ，通过指数法则化简表达式 ，逐步计算得到结果。 解：由 ，得 ； 由 ，得 ； 因此，； 则 ． 故答案为：． 【变式3】（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）先化简，再求值：，其中，，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法运算，代数式求值，先进行乘方运算，再进行乘法运算，然后把，，代入到结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 解：原式 ， ∵，，， ∴原式． 【知识点六】积的乘方逆运算 （6） 运算性质 拓展延伸： ★★【题型 6】积的乘方逆运算 【例题6】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）计算：． （2）若，，用，的代数式表示． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了积的乘方逆运算、幂的乘方，掌握逆用积的乘方公式简化计算，以及通过分解底数将未知幂转化为已知幂的技巧是解题的关键． （1）观察到与互为倒数，逆用积的乘方公式，将指数相同的部分合并，再计算剩余项； （2）将分解为，再把转化为，结合已知条件用代换，最后整理成含的代数式． 解：（1）原式 ． （2）∵，， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·湖南·期末）计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方，逆用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则是解题的关键．将化为分数形式，再逆用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则简便计算即可． 解： ， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握指数运算性质是解题的关键． 将带分数转换为假分数，利用指数运算性质合并底数，结合负数的奇次幂性质计算即可． 解： 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，求x的值． 【答案】4 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，将等式两边化为同底数的幂的形式，通过比较指数建立方程求解． 解：∵ ∴ 解得： 【知识点七】同底数幂的除法 （7） 运算性质 同底数幂相乘，底数不变，指数相减 ★★【题型 7】同底数幂的除法 【例题7】（25-26八年级上·吉林长春·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法运算和幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）运用幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则，先分别计算各项，再进行除法运算； （2）根据多项式的运算法则进行计算． （1）原式； （2）原式． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）已知，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，幂的乘方，同底数幂相除，熟练掌握其运算法则是解题的关键．先将已知式子通过移项，幂的乘方逆运算进行变形，然后将相关值代入所求式子中即可得解． 解： ， ， ，，， ． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·江苏·假期作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，根据指数运算法则，先计算幂的乘方，再进行同底数幂的乘除运算，注意符号处理． 解：首先，计算（因为负数的偶次幂为正）， 然后，计算， 接着，计算 ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，属于基础题型，计算时注意运算法则的准确运用． （1）先计算幂的乘方和积的乘方，再计算单项式的乘除； （2）原式变形为，将看成整体，根据同底数幂的除法法则计算解答即可． （1）解： ； （2）解： ． 【知识点八】同底数幂的除法逆运算 （8） 运算性质 ★★【题型 8】同底数幂的逆运算 【例题8】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·月考）如果，，（m，n为正整数），求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除运算及幂的乘方运算法则，熟练掌握相关法则是解题关键． 逆用幂的运算公式，将转化为，再代入，计算即可． ， ， ， ， ， ． 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）若，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】将所求表达式利用指数法则化简为，再根据已知条件求出的值． 本题主要考查了同底数幂除法以及幂的乘方的逆应用，熟练掌握并运用是解决问题的关键． 解：∵，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期中）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法逆用，幂的乘方逆用，熟练掌握运算法则，是解题的关键． 逆用同底数幂除法，逆用幂的乘方将转化为，再代入已知条件求解即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）（1）已知，，求代数式的值； （2）已知，求x的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、除法和幂的乘方运算法则． （1）利用同底数幂的除法和幂的乘方逆运算计算； （2）利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算计算． 解：（1）∵， ． （2）∵， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ， ， ， ． 【知识点九】零指数、负整数指数 ★★【题型 9】零指数、负指数的运算 【例题9】（苏科版版七下第23页复习题第2题改编）（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别计算乘方、负整数指数幂和绝对值，再进行四则运算； （2）先分别计算乘方、负整数指数幂、零指数幂和绝对值，再进行四则运算． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂和绝对值的运算，解题关键是牢记各类幂的运算法则，注意区分与的不同，以及零指数幂的条件． 【变式1】（25-26八年级上·湖南永州·月考）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂运算．关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小． 利用零指数，负整数指数幂，有理数乘方运算法则分别计算，然后比较即可． 解：， ∵， ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·山东日照·月考）若等式成立，则x的值为 ． 【答案】 或或 【分析】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方，正确分类讨论是解题关键．直接利用当时，当时，当时，分别分析得出答案． 解：当时， 解得， 此时，，更符合题意， 成立； 当时， 解得， 则等式成立； 当时， 解得， 则等式成立； 综上所述，x的值为或或． 故答案为：或或． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，，，，则最大值和最小值的和为 ． 【答案】7 【分析】先分别计算、、、的值，再比较大小找出最大值和最小值，最后计算它们的和． 解：①计算各值： ②比较大小： ∴最大值为，最小值为 ③计算最大值与最小值的和： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了零指数幂、负整数指数幂和乘方的运算，解题关键是准确计算每个表达式的值，并正确比较大小． 二.综合培优题型精析 ★★【题型 10】幂的运算法则辨析 【例题10】（25-26八年级上·河南开封·期末）下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，合并同类项法则，负整数指数幂的意义，单项式的乘法法则逐一计算后判断即可． 解：选项A：，A错误； 选项B：，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：，D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，负整数指数幂，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·北京海淀·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方等知识点，能求出每个式子的值是解题关键．根据幂的运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于每个因式分别乘方的积；同底数幂相除，底数不变，指数相减；逐一验证各选项． 解：A中 ，选项A正确； B中 ，选项B错误； C中 ，选项C错误； D中 ，选项D错误； 故选A． 【变式2】（25-26八年级上·天津滨海新·月考）下面是一名同学所做4道练习题：①，②，③，④，他对的题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据零指数幂、合并同类项、整式除法和积的乘方等基本运算规则．逐项判断即可． 解：①（任何非零数的零次幂为1），正确； ②，错误； ③，错误； ④，正确． ∴正确的个数是2， 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，幂的乘方运算，积的乘方运算，同底数幂的除法运算，零指数幂，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查指数运算规则，包括同底数幂的乘除法则和运算顺序．需注意负号与指数的结合方式，以及括号对运算的影响． 解：A选项：根据同底数幂的乘法法则和同底数幂的除法法则可得：，故A选项计算正确； B选项：根据同底数幂的乘法法则和同底数幂的除法法则可得：，故B选项计算正确； C选项：根据同底数幂的除法法则可得：，故C选项计算正确； D选项：根据乘方的定义和同底数幂的除法法则可得：，故D选项计算错误． 故选：D． ★★【题型 11】幂的综合运算 【例题11】（苏科版版七下第23页复习题第1题改编）（2025七年级下·全国·专题练习） （1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2）0 【分析】本题考查了同底数幂的除法：底数不变，指数相减，即（是正整数，）．也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． （1）应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． （2）应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． 苏科版解：（1）原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25八年级下·全国·假期作业）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1)a； (2) (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂除法、同底数幂乘除混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用幂的乘方化简，然后再运用同底数幂除法计算即可； （2）先运用同底数幂除法计算，然后再运用幂的乘方计算即可； （3）先运用幂的乘方化简，然后再运用同底数幂乘除混合运算法则计算即可； （4）先运用幂的乘方化简，然后再运用同底数幂除法计算即可． 苏科版（1）解：． （2）解：． （3）解： ． （4） ． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查幂的混合运算： （1 ）先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； （2 ）先计算积的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可； （3 ）先计算同底数幂除法，然后去括号，最后合并同类项即可； 苏科版（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【变式3】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简，熟练掌握去括号法则、合并同类项法则和幂的运算法则是解题的关键． （1）去括号，合并同类项即可； （2）先计算同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂的除法，再合并同类项即可． 苏科版（1）解：原式 （2）原式 ． ★★【题型 12】幂的逆运算综合 【例题12】（苏科版版七下第24页复习题灵活运用第13题改编）（23-24七年级下·广东佛山·期中）幂的运算逆向思维可以得到；；等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，求的值． (2)比较大小：若，，，则，，的大小关系是什么? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂的乘方及同底数幂的乘法的逆运算求解． （2）将a、b、c化简为相同的指数进行比较大小． 【详解】（1）解： 解得： （2）解： 【点睛】此题考查了幂的计算法则及拓展应用，解题的关键是正确运用计算法则及逆运算． 【变式1】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方，进行计算即可； （2）逆用幂的乘方和同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：， ； （2）解：，，， ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，逆用法则是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法法则即可求解； （2）先逆用同底数幂的除法法则，再逆用幂的乘方法则求解即可 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式3】（23-24八年级上·四川内江·开学考试）比较与的大小：因为，，而，所以，即．据此可知、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂的乘法把、、化为指数都为11的幂，然后比较底数的大小即可． 【详解】解：因为355＝（35）11＝24311，444＝（44）11＝25611，533＝（53）11＝12511， 而125＜243＜256， 所以12511＜24311＜25611，即533＜355＜444． 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即（am）n＝amn（m，n是正整数）；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab）n＝anbn（n是正整数）． ★★【题型 13】幂的运算规律探究 【例题13】（23-24九年级下·湖南永州·期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简， ． 【答案】 【分析】先具体计算出S1，S2，S3，S4的值，得出面积规律，表示S2021，再设①，两边都乘以，得到②，利用①−②，求解S，从而可得答案． 苏科版解：∵ 设① ② ①-②得， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是图形的面积规律的探究，有理数的乘方运算的灵活应用，同底数幂的乘法与除法的应用，方程思想的应用，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期末）观察下列等式： 按此规律，第n个等式为 【答案】 【分析】观察给定等式，右边数字均为2乘以3的从到次幂之和，符合因式分解规律． 本题是对数字变化规律的考查，观察等式的变化是解题关键． 苏科版根据因式分解公式， ； ； ； ； ， 故答案为：， 【变式2】（2023·山东泰安·一模）观察下列等式： ； ； ； ； …… 已知按一定规律排列的一组数：，，，，．…，，，若，，则 （结果用含m、n的代数式表示） 【答案】 【分析】根据规律将所求式子变形为，再变形代入即可． 苏科版解：由题意可得：， ∵，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：． 【变式3】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．如；． (1)请你写出和的展开式； (2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期五，再过7天还是星期五，则再过天是星期___________． (3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； (4)你能在（3）的基础上求出的值吗？若能，请写出过程． 【答案】(1)； (2)六 (3) (4) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，掌握“杨辉三角”揭示（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，是解决问题的关键． （1）由题中所给杨辉三角形，由各项系数的有关规律即可得到和的展开式； （2）由（1）中可知，，从而得到除以7余1，即可得到答案； （3）由题中令，则，从而令，则，即可得到答案； （4）由（3）中的方法，令，列式求解即可得到答案． 苏科版（1）解：由杨辉三角规律，如图所示： ；； （2）解：由（1）中可知， ， 除以7余1，则今天是星期五，再过7天还是星期五， 再过天是星期六， 故答案为：六； （3）解：由题意可知，令，则， 令，则， ； （4）解：令，则，， ． ★★【题型 14】幂的运算与新定义探究 【例题14】（23-24七年级下·安徽池州·期末）定义：两正数，之间的一种运算，记作；若，则．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：＝ ； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：． 小明给出了如下的证明：设，则根据定义，得，即所以，即，所以． 请你尝试运用这种方法解决问题：已知a、m、n均为正数，填空： 【答案】 / 【分析】（1）根据零指数幂即可求解； （2）设，，根据新定义可得，即可求解． 解：（1）∵， ∴， 故答案为：． （2）设， ∴ ∴ ∴ 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，零指数幂，同底数幂的乘法，幂的乘方的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式1】（2025·黑龙江绥化·二模）定义一种新的运算：一般地，如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且，，那么会有．求（   ） A．19 B．21 C．16 D．40 【答案】B 【分析】本题是材料问题，考查了对数的定义及性质，幂的运算性质，理解题中对数的定义及性质是解题的关键与难点．把化为，再结合新定义可得答案． 苏科版解：∵， ∴ ； 故选：B 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期中）在数学的世界里，新定义的运算常常能为我们探索数的规律打开新的窗口．有一种名为“幂记号”的新定义：如果、、是整数，且，那么我们规定一种记号，例如：，那么记作．现已知、是正整数，且，，，利用定义可以得到 ．（用含、的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，关键是根据新定义进行转换； 根据幂记号的定义，将已知条件转化为指数形式，再代入求解. 苏科版解：由已知，，根据定义得：； 同理，，得 ； 则：， 又∵， ∴ ， ∴ ， 故答案为： . 【变式3】（24-25八年级上·吉林·期末）阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系； （1）根据对数式的定义转化即可； （2）根据对数式的定义进行计算，即可求解； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，类比所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式：和的逆用，计算可得结论． 苏科版（1）解：将指数式转化为对数式为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； （4） 三.中考真题专练 （一）选择题（6题） 1．（2025·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则一一判断即可． 解：A、，计算正确，符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：A． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方逐项判断即可得． 解：A、，则此项正确，符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 3．（2025·江苏无锡·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了幂的运算和合并同类项，根据幂的运算法则和合并同类项法则进行判断即可． 解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．（2025·江苏苏州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的运算性质，计算判断即可． 本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘除法、幂的乘方以及积的乘方。需逐一验证各选项是否符合相关运算法则． A. ，但选项A结果为，错误． B. ，但选项B结果为，错误． C. ，符合积的乘方法则，正确． D. ，但选项D结果为，错误． 故选：C． 5．（2025·四川达州·中考真题）下列各式运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 6．（2025·四川宜宾·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、合并同类项及同底数幂的乘法分别进行各选项的判断即可． 本题考查整式的运算，涉及同底数幂的除法、积的乘方、合并同类项及同底数幂的乘法法则． A.根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，即，计算正确． B.根据积的乘方法则，，且负号的平方为正，故．选项B中结果为，符号和指数均错误，计算错误． C.合并同类项时，系数相减，即，选项C中结果为常数2，未保留项，计算错误． D.根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即，选项D中指数错误，计算错误． 故选：A． （二）填空题（6题） 7．（2023·重庆·中考真题）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握运算法则即可． 解：原式 故答案为： 8．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法，底数不变，指数相减是解题的关键． 解：， 故答案为：． 9．（2023·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用，根据幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用进行运算，即可求得． 解： 故答案为：． 10．（2023·湖南·中考真题）已知实数a，b满足，则 ． 【答案】 【分析】由非负数的性质可得且，求解a，b的值，再代入计算即可． 解：∵， ∴且， 解得：，； ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是绝对值的非负性，偶次方的非负性的应用，负整数指数幂的含义，理解非负数的性质，熟记负整数指数幂的含义是解本题的关键． 11．（2023·四川乐山·中考真题）若m、n满足，则 ． 【答案】16 【分析】先将已知变形为，再将变形为，然后整体代入即可． 解：∵ ∴ ∴ 故答案为：16． 【点睛】本题考查代数式值，幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法法则是解题的关键． 12．（2023·四川资阳·中考真题）计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”二进制数和十进制数可以互换例如，二进制数“01011011”换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制数“01001001”换成十进制数表示的数为 ． 【答案】73 【分析】本题考查了用数字表示数及有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键．根据二进制和十进制的互换规则即可解答． 解：由二进制和十进制的互换规则得： ． 故答案为：73． （三）解答题（1题） 13．（2025·江西·中考真题）（1）计算：； （2）如图，已知点C在上，，．求证：． 【答案】（1）5；（2）见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，零次幂以及绝对值和相反数的性质． （1）根据绝对值和相反数的性质，零次幂的性质化简，再计算即可求解； （2）根据平行线的性质求得，等量代换得到，再利用平行线的判定定理即可得到． （1）解： ； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 7.7 幂的运算（全章知识梳理 + 题型精析 +中考真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】同底数幂相乘 1 ★★【题型 1】同底数幂相乘运算 2 【知识点二】同底数幂相乘逆运算 3 ★★【题型 2】同底数幂相乘的逆运算 4 【知识点三】幂的乘方 5 ★★【题型 3】幂的乘方的运算 6 【知识点四】幂的乘方逆运算 7 ★★【题型 4】幂的乘方的逆运算 8 【知识点五】积的乘方运算 9 ★★【题型 5】积的乘方运算 10 【知识点六】积的乘方逆运算 11 ★★【题型 6】积的乘方逆运算 12 【知识点七】同底数幂的除法 14 ★★【题型 7】同底数幂的除法 14 【知识点八】同底数幂的除法逆运算 16 ★★【题型 8】同底数幂的逆运算 16 【知识点九】零指数、负整数指数 18 ★★【题型 9】零指数、负指数的运算 18 二.综合培优题型精析 20 ★★【题型 10】幂的运算法则辨析 20 ★★【题型 11】幂的综合运算 22 ★★【题型 12】幂的逆运算综合 24 ★★【题型 13】幂的运算规律探究 26 ★★【题型 14】幂的运算与新定义探究 30 三.中考真题专练 34 （一）选择题（6题） 34 （二）填空题（6题） 36 （三）解答题（1题） 38 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】同底数幂相乘 （1） 运算性质 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 ★★【题型 1】同底数幂相乘运算 【例题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（25-26八年级上·天津·期中）下列四个算式，①；②；③；④．正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： ．（结果用幂的形式表示） 【变式3】（23-24七年级上·上海静安·月考）计算： 【知识点二】同底数幂相乘逆运算 （2） 运算性质 一个同底数幂，可拆分为两个同底数幂的乘积，拆分后指数之和等于原指数。 一个同底数幂，可拆分为两（多）个同底数幂的乘积，拆分后指数之和等于原指数。 ★★【题型 2】同底数幂相乘的逆运算 【例题2】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，求的值． （2）若，，求的值． （3）若，，，求的值． 【变式1】（23-24七年级下·广东清远·期中）已知，，则（    ） A． B．6 C．8 D．2 【变式2】（25-26七年级上·四川成都·月考）计算： ． 【变式3】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）（1）试说明能被5整除； （2）若能被8整除，试说明一定也能被8整除． 【知识点三】幂的乘方 （3） 运算性质 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 拓展延伸： ★★【题型 3】幂的乘方的运算 【例题3】（25-26八年级上·吉林松原·期末）计算： 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列四个算式中，正确的有（   ） ①；②；③；④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 【变式3】（25-26七年级上·上海·期中）已知：，，求的值． 【知识点四】幂的乘方逆运算 （4） 运算性质 一个同底数幂，可将其指数拆分为两个整数的乘积，转化为幂的乘方形式，两种拆分底数的幂次、交换指数位置的写法均成立。 拓展延伸： ★★【题型 4】幂的乘方的逆运算 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知，求的值． （2）已知，求所有满足条件的整数的值． 【变式1】（25-26八年级上·四川自贡·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·上海·期中）已知：，，则的值为 ． 【变式3】（25-26八年级上·吉林·期末）（1）已知，求的值．（用含m，n的代数式表示） （2）已知，求的值． 【知识点五】积的乘方运算 （5） 运算性质 积的乘方等于乘方的积 拓展延伸： ★★【题型 5】积的乘方运算 【例题5】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【变式1】（25-26七年级上·广东深圳·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则 ． 【变式3】（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）先化简，再求值：，其中，，． 【知识点六】积的乘方逆运算 （6） 运算性质 拓展延伸： ★★【题型 6】积的乘方逆运算 【例题6】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）计算：． （2）若，，用，的代数式表示． 【变式1】（25-26七年级上·湖南·期末）计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，求x的值． 【知识点七】同底数幂的除法 （7） 运算性质 同底数幂相乘，底数不变，指数相减 ★★【题型 7】同底数幂的除法 【例题7】（25-26八年级上·吉林长春·期中）计算： (1) (2) 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）已知，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏·假期作业）计算： ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【知识点八】同底数幂的除法逆运算 （8） 运算性质 ★★【题型 8】同底数幂的逆运算 【例题8】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·月考）如果，，（m，n为正整数），求的值． 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）若，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期中）若，，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）（1）已知，，求代数式的值； （2）已知，求x的值． 【知识点九】零指数、负整数指数 ★★【题型 9】零指数、负指数的运算 【例题9】（苏科版版七下第23页复习题第2题改编）（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【变式1】（25-26八年级上·湖南永州·月考）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东日照·月考）若等式成立，则x的值为 ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，，，，则最大值和最小值的和为 ． 二.综合培优题型精析 ★★【题型 10】幂的运算法则辨析 【例题10】（25-26八年级上·河南开封·期末）下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·北京海淀·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·天津滨海新·月考）下面是一名同学所做4道练习题：①，②，③，④，他对的题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． ★★【题型 11】幂的综合运算 【例题11】（苏科版版七下第23页复习题第1题改编）（2025七年级下·全国·专题练习） （1）计算： （2）计算： 【变式1】（24-25八年级下·全国·假期作业）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 【变式3】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）化简： (1)； (2) ★★【题型 12】幂的逆运算综合 【例题12】（苏科版版七下第24页复习题灵活运用第13题改编）（23-24七年级下·广东佛山·期中）幂的运算逆向思维可以得到；；等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，求的值． (2)比较大小：若，，，则，，的大小关系是什么? 【变式1】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，．求： (1)的值； (2)的值． 【变式3】（23-24八年级上·四川内江·开学考试）比较与的大小：因为，，而，所以，即．据此可知、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． ★★【题型 13】幂的运算规律探究 【例题13】（23-24九年级下·湖南永州·期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简， ． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期末）观察下列等式： 按此规律，第n个等式为 【变式2】（2023·山东泰安·一模）观察下列等式： ； ； ； ； …… 已知按一定规律排列的一组数：，，，，．…，，，若，，则 （结果用含m、n的代数式表示） 【变式3】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．如；． (1)请你写出和的展开式； (2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期五，再过7天还是星期五，则再过天是星期___________． (3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； (4)你能在（3）的基础上求出的值吗？若能，请写出过程． ★★【题型 14】幂的运算与新定义探究 【例题14】（23-24七年级下·安徽池州·期末）定义：两正数，之间的一种运算，记作；若，则．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：＝ ； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：． 小明给出了如下的证明：设，则根据定义，得，即所以，即，所以． 请你尝试运用这种方法解决问题：已知a、m、n均为正数，填空： 【变式1】（2025·黑龙江绥化·二模）定义一种新的运算：一般地，如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且，，那么会有．求（   ） A．19 B．21 C．16 D．40 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期中）在数学的世界里，新定义的运算常常能为我们探索数的规律打开新的窗口．有一种名为“幂记号”的新定义：如果、、是整数，且，那么我们规定一种记号，例如：，那么记作．现已知、是正整数，且，，，利用定义可以得到 ．（用含、的代数式表示） 【变式3】（24-25八年级上·吉林·期末）阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 三.中考真题专练 （一）选择题（6题） 1．（2025·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏无锡·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·江苏苏州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川达州·中考真题）下列各式运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川宜宾·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C．3 D． （二）填空题（6题） 7．（2023·重庆·中考真题）计算 ． 8．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 9．（2023·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 10．（2023·湖南·中考真题）已知实数a，b满足，则 ． 11．（2023·四川乐山·中考真题）若m、n满足，则 ． 12．（2023·四川资阳·中考真题）计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”二进制数和十进制数可以互换例如，二进制数“01011011”换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制数“01001001”换成十进制数表示的数为 ． （三）解答题（1题） 13．（2025·江西·中考真题）（1）计算：； （2）如图，已知点C在上，，．求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $