青海海南州高级中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学

海南州高级中学2025~2026学年第一学期期末考试 高二数学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指 定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将 答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 4.本卷主要命题范围：必修第二册第九章、第十章，选择性必修第一册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.若方程x2十y2一4x十2y+k=0表示圆，则k的取值范围是 A.k>5 B.k≥5 C.k<5 D.5 2.抽样统计某位学生10次的英语成绩分别为86,84,88,86,89,89,88,87,85,91，则该学生这 10次成绩的50%分位数为 A.88.5 B.87.5 C.91 D.89 3.向量a=(-2,m,1),b=(1,1,2),若(a-b)⊥b,则m= A.-3 B.6 C.2 D.4 4.已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P(C)=0.8,P(B)=0.3,则P(AUB)= A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 5.已知直线l:2x-y十1=0与l2:4x一2y一3=0，则l与l2之间的距离为 A.1 B.5 C.2 6.如图，已知四棱锥P-ABCD,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是矩形，且EC=2PE,若AB= a,AD=b,AP=c,则BE= A-号a+b+号c B.a+b- C.a-e D.-a+2b+39 【高二数学第1页（共4页）】 6275B 7.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为1，点P(x。,1)(x。>0)在抛物线C上，过 P作l的垂线，垂足为Q,若PO=|PQ(O为坐标原点)，则xo= A.4 B.3 C.3√2 D.2√2 8直线)=号x与双前线号苦=1。>0)相交于A,B两点，且A,5两点的横坐标之积为一9，则 离心率e为 A号 B.4 6 C.② D.①4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知双曲线C:5y2一4x2=20,则C的 A.焦点在y轴上 B.焦距为3 .离心率为是 D.渐近线为y=土 2 10.已知直线l:x一y=0与圆C:x2十y2十2x一3=0相交于E,F两点，则 A.圆心C的坐标为（一1,0） B.圆C的半径为√2 C.圆心C到直线1的距离为 2 D.EF=14 11.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件A =“取出的两球同色”，事件B=“第一次取出的是白球”，事件C=“第二次取出的是白球”， 事件D=“取出的两球不同色”，则 AP(C-号 B.A与B相互独立 C.A与C相互独立 D.P(A)+P(D)=1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知男、女生共有200人，其中女生有80人，按性别采用分层随机抽样的方法从这200人中 抽取25人，则这25人中男生有 人 13.直线（经过点(1,3）且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线（的方程为 1已知第圆C:后+苦-1a>>0)的左，右焦点分别为，F,点P,Q分别是以线段F,F 为直径的圆与椭圆C在第一象限内和第三象限内的一个交点，若PF≤2QF1,则椭圆C 的离心率的取值范围为 【高二数学第2页（共4页）】 6275B 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知直线l:3x十y一6=0和圆心为C的圆x2十y2一2y一4=0，判断直线1与圆C的位置关 系；如果相交，求直线（被圆C所截得的弦长. 16.(本小题满分15分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点M(1,2). (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)过该抛物线的焦点作斜率为1的直线，交抛物线于A,B两点，求线段AB的长度， 17.(本小题满分15分) 某校为了调动学生学习诗词的热情，举办了诗词测试，随机抽取了400名学生的测试成绩， 根据测试成绩（所得分数均在[40,100]），将所得数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)， [70,80),[80,90),[90,100]分成6组，得到频率分布直方图如图所示. (1)求a的值，并求出测试成绩在[80,100]内的学 频率 组距 生人数； (2)试估计本次测试成绩的平均分；（同一组中的数0.030 据用该组区间的中点值作代表) 0.025 (3)从测试成绩在[80,90)和[90,100]内的学生用 分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机 抽取两人分享背诵诗词的方法，求这两人中恰0.010 好有一人的成绩在[90,100]内的概率 0.005 405060708090100分数 【高二数学第3页（共4页）】 6275B 18.(本小题满分17分)》 如图，在四棱锥P一ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，AP= AB,E为CD的中点， (1)求证：CD⊥平面PAE; (2)求平面PAE与平面PBC成二面角的正弦值. D A 19.(本小题满分17分) 已知椭圆C若+芳=1(a>6>0)的左，右熊点分别为F,F,离心率为7点P(0.1,且 △PFF2为等腰直角三角形 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设点Q为C上的一个动点，求△PFQ面积的最大值： (3)若直线l与C交于A,B两点，且∠PF2A=∠PF2B,证明：直线l过定点. 【高二数学第4页（共4页）】 6275B海南州高级中学2025~2026学年第一学期期末考试·高二数学 参考答案、提示及评分细则 1.C由题意，得D+E2-4F=16十4-4k>0,∴.k<5.故选C 2.B该学生10次的英语成绩从小到大分别为84,85,86,86,87,88,88,89,89,91.又10×50%=5，这10次成 绩的50%分位数为878=87.5. 2 3.Ba-b=(-3,m-1,-1),.(a-b)⊥b,∴.(a-b)·b=-3十m-1-2=0,.m=6.故选B. 4.D 由A和C对立，可得P(A)十P(C)=1,解得P(A)=0.2, 又由随机事件A和B互斥可知P(AB)=0, P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB), 将P(A)=0.2,P(B)=0.3代入计算可得P(AUB)=0.5.故选D. 5.D因为l1与2的斜率相等，且两直线不重合，所以l4与l2平行；4：2x一y十1=0即41：4x一2y十2=0，d= √/4+(-2)9 9,故选D 6.A由题意，Pi=号Pp心=号（花-护）=子A花号Ai-专(A店+A)-号a-3a+36子c, i-A成-Ai-a-e,则成-应-i=言a+号b专-(a-c)=-子a+宁b+号c,故选A 2 7.D因为P01=1PQ=PF,所以=1X2,即p=4,x2=8y,x=8X1,又：x>0=2/E. 8.C双曲线号-苦-1a>0)的虚轴长为4厄，联立直线y=号x与双曲线方程，消去y可得：1 18ax2=1, 直线y=号：与双曲线交于A,B两点A,B两点的横坐标之积为-5，所以，5×9=1.解得a=厅，所以 c=Va+B=4,可得=￡=厘= a√6 3.故选C. 9,AC因为双曲线C5y2-4r=20,所以C的标准方程为苦-号-1，故熊点在y轴上，d=4,8=5,=d 十公=9，故焦距为2=6，离心率为台-子，渐近线为y=士后，放A,C正确，B,D铝误放选AC a 10.ACD对于AB,圆C:(x+1)+y2=4的圆心C(-1,0),半径r=2,A正确，B错误； 对于C,点C(-1,0)到直线1：x-y=0的距离d=1 ② +示=之，C正确： 对于D,|EF|=2√2-=√I4,D正确.故选ACD. 11.BCD设2个白球为a1,a2,2个黑球为b1,b2, 则样本空间为：2={(a1,a2),(a1,b),(a1,b),(a2,a),(a2,b),(a2,b),(b,a）,(b,a2）, (b,b),(b2,a1),(b2,a2),(b,b1)},共12个基本事件. 事件A={(a,a2),(a2,a1),(b,b2),(b,b)},共4个基本事件： 事件B={(a1a2),(a1,b1),(a1,b),(a2,a1),(a2,b1),(a2b2)},共6个基本事件： 事件C={(a1,a2),(a2,a1),(b,a1),(bi,a2),(b2,a1),(b2,a2)},共6个基本事件： 事件D={(a1,b),(a1,b),(a2,b),(a2,b2),(bi,a1),(b,a2),(b2,a1),(b2,a2)},共8个基本 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 6275B 事件， 对于A,曲P(C=是=号，故A错误： 对于B,因为P(A)=是=号，P(B)=8=2,P(AB)=日， 则P(AB)=P(A)·P(B),故事件A与B相互独立，故B正确： 对于C,由P(AC)=石=P(A)P(C),故事件A与C相互独立，故C正确： 对于D,因为A∩D=财，AUD=2,所以事件A与D互为对立，有P(A)十P(D)=1,故D正确.故选BCD. 12.15这25人中男生的人数为25×20080-=15人 200 13.y=3x或x-y十2=0当截距均为0时，即过(0,0)，此时直线1的方程为y=3x;当截距不为0时，设直线 的方程为三击义三，满足。十。，解得2 ,此时直线l的方程为x一y十2=0：综上可得直线l a b 1b=2 a+b=0 的方程为y=3x或x一y十2=0. 4(停】 设|PF|=n,|PF2|=m,由点P在第一象限，知m<n, 因为P,Q在椭圆C和以F,F2为直径的圆上， 所以四边形PFQF2为矩形，|QF|=|PF2. 由PF|≤21QF1,可得1<”≤2， 由椭圆的定义可得m十n=2a,n2十m2=4c2①， 平方相减可得mn=2(a-c2)②， 由0e得=-吕+片 令=只+品令=”∈1,2]， 所以1=叶士e(么，号]即2<≤号 所以d-c<c≤号(a-2), 所以1-t<≤(1-e心)， 所以宁<号解得号<。 13x+y-6=0,① 15.解：联立直线1与圆C的方程，得 （x2+y2-2y-4=0.② 消去y,得x2-3x十2=0，解得x1=2,x2=1.…4分 所以，直线1与圆C相交，有两个公共点，…6分 把x1=2,x2=1分别代入方程①，得y1=0,y2=3,…9分 所以，直线（与圆C的两个交点是A(2,0),B(1,3),……………………11分 因此|AB引=(1-2)+(3-0)7=√/10.…13分 16.解：(1)y2=2px(p>0)过点M(1,2),.2p=4,解得p=2,……4分 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 6275B ∴.抛物线C:y=4x,准线方程为x=一1；…… 5分 (2)由(1)知，抛物线焦点为（们，0），………6分 设直线AB:y=x-1,A(x1,y),B(x2,y2),………8分 y=x-1, 由 得x2一6x十1=0，则x1十x2=6,… 12分 y2=4x, 则AB引=x十x2十p川=|6十2=8.……………………15分 17.解：(1)由题意知(0.005十a十0.030十0.025十a十0.010)×10=1，…3分 解得a=0.015,………4分 故测试成绩在[80,100]内学生的人数为400×(0.015十0.010)×10=100；…5分 (2)x=45×0.05+55×0.15+65×0.3+75×0.25+85×0.15+95×0.1=71, 故本次测试成绩的平均分为71；…………………………8分 0.015 (3)抽取的成绩在[80,90)内的人数为5×0.015+0.00-3，记为a,bc, 油取的成绩在[90,100]内的人数为5X。,000010三2，记为A,B.………了 10分 从这5人中随机抽取两人，有(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(b,c),(b,A)(b,B),(c,A),(c,B), (A,B),共10种，………………12分 其中这两人中恰好有一人的成绩在[90,100]内有(a,A),(a,B),(b,A)(b,B),(c,A),(c,B),共6种， ………14分 所以这两人中恰好有一人的成镇在[90,10]内的概率P品=号 …………15分 18.(1)证明：连接AC, 底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，.AC=AD,……2分 AC=AD,DE=CE,AE⊥CD,…3分 PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,∴.PA⊥CD,…5分 PA⊥CD,AE⊥CD,AE,PAC平面PAE,AE∩AP=A,CD⊥平面PAE;… ……………7分 (2)解：由(1)知CD⊥AE,又由AB∥CD,可得AB⊥AE,可得AB、AE、AP两两 垂直， 令AB=2,可得AD=AP=2,AE=√3，ED=CE=1,………9分 以A为坐标原点，向量AB,A它，AP方向分别为x,y,:轴建立如图所示空间直角坐标系， 可得点A的坐标为(0,0,0)，点P的坐标为(0,0,2)，点B的坐标为(2,0,0)，点E的坐标为(0√3,0)，点C 的坐标为(1W3,0),… ………11分 AB=(2,0,0),BC=(-1W5,0),Bp=(-2,0,2), 由(1)可知AB为平面PAE的法向量， BC·m=-x十√3y= 设平面BCP的法向量为m=(x,y,z),有 取x=√5，y=1,x=√3， B2.m=-2x十2x=0 可得m=(√3,1，w3), ……15分 由A店·m=25,A=2,m=7,有cosA成，m=2E=红 2X7 7, 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 6275B 放平面PAE与平面PEC所成二面角的正孩值为，√一（一-2， 7 …17分 19.(1)解：设C的焦距为2c,依题意，c=1, ……………………………………………1分 又e=c=1 ),所以a=2=02一c2=3,……………………………3分 a 所以椭圆C的标准方程为号+苦=1， 4分 (2)解：易知，F2(1,0),直线PF2的斜率为-1，且PF2=√2，…5分 |y=一x+m, 设直线y=一x十，联立椭圆方程 可得7x2-8.x+4m2-12=0, 3x2+4y2-12=0, 令△=0可得，64m2-4×7×(4m2-12)=0,解得m2=7,… …………6分 当m=万时，直线y=一x十万与直线P℉，：y=一x十1的距离为71 所以△PF,Q的面积为号×厄×1-1， …………………………………………7分 2 2 当m=一√F时，直线y=-x√万与直线PF,y=一x十1的距离为F十1 √2 所以△PF:Q的面积为x×十1-+1，+1、-1 2 2 8分 所以△PF,Q面积的最大值为+1， 2 9分 (3)证明：易知直线l的斜率存在，不妨设直线l:y=kx十t,A(x1,y),B(x2,y2), 依题意，cos∠PF,A=cOs∠PFB,即 F市.F2A FP.FB ………………11分 F2P|·F2A|F2P1·F2B1 1R,A=+=√，-1)+3-要=2-号 同理可得，FB引=2号，…13分 所以1一西十业=1一十边，即1一x十kx十t=1一x十k2十t ……………15分 2-2 2 2-受 2- 2 整理可得(4k十t-3)(x1一xg)=0,所以4k十t-3=0, 所以直线：y=kx十3一4k=k(x一4)十3，……………16分 所以直线（过定点(4,3）.…………… ……17分 【高二数学参考答案第4页（共4页）】 6275B