重难点 4类含参不等式（组）的参数确定问题（逻辑推理・难点）（专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

重难点 4类含参不等式（组）的参数确定问题（逻辑推理・难点） 目录 题型一、由一元一次不等式组的解集求参数 1 题型二、由不等式组解集的情况求参数 4 题型三、不等式组和方程组结合的问题 9 题型四、列一元一次不等式组 15 核心重难点: 1.逆向思维:已知解集(或整数解的个数)，反求参数的取值范围。 2.等号的取舍:这是此类题目的最大易错点，需结合数轴进行"临界值”检验。 3.综合结合:不等式组与方程组的联立，利用方程组表示未知数，代入不等式求解。 题型一、由一元一次不等式组的解集求参数 例1（24-25七年级下·上海·月考）不等式组有80个整数解，则m的取值范围为_______． 【变式1-1】（2025·上海·模拟预测）如果不等式组的解集为，那么的取值范围为_______ ． 【变式1-2】（24-25七年级下·上海闵行·月考）不等式的解集是，则的值为___ ． 【变式1-3】若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是________． 【变式1-4】如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ________． 【变式1-5】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【变式1-6】已知关于的不等式组． (1)当为何值时，该不等式组的解集为； (2)若该不等式组只有个正整数解，求的取值范围． 题型二、由不等式组解集的情况求参数 例2 已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知不等式组有3个整数解，求m的取值范围是________． 【变式2-3】 若关于的不等式组只有一个整数解，则实数a的取值范围是______． 【变式2-4】（24-25七年级下·上海宝山·月考）若关于x的不等式组有三个整数解，求实数a的取值范围． 【变式2-5】（24-25七年级下·上海·月考）若关于的不等式组无解，求的取值范围． 【变式2-6】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，那么我们把这个一元一次方程叫作为这个不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是 ．（只需填序号） (2)如果不等式组的某个关联方程的根是整数，那么这个关联方程可以是 ．（写出一个即可） (3)如果方程是关于的不等式组的关联方程，请求出的取值范围． 题型三、不等式组和方程组结合的问题 例3 已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】 已知平面直角坐标系上的动点，满足，，其中，则下列结论：①；②；③；④若，则 其中正确的有 （   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 【变式3-2】若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【变式3-3】已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 _______． 【变式3-4】若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是_______． 【变式3-5】已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 【变式3-6】已知关于、的二元一次方程组． (1)若方程组的解、互为相反数．求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 题型四、列一元一次不等式组 例4 “双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】 已知，且，，则的取值范围是______． 【变式4-2】 应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 【变式4-3】 已知方程组的解满足：为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，是否存在，使成立？ (3)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为？ 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点 4类含参不等式（组）的参数确定问题（逻辑推理・难点） 目录 题型一、由一元一次不等式组的解集求参数 1 题型二、由不等式组解集的情况求参数 4 题型三、不等式组和方程组结合的问题 9 题型四、列一元一次不等式组 15 核心重难点: 1.逆向思维:已知解集(或整数解的个数)，反求参数的取值范围。 2.等号的取舍:这是此类题目的最大易错点，需结合数轴进行"临界值”检验。 3.综合结合:不等式组与方程组的联立，利用方程组表示未知数，代入不等式求解。 题型一、由一元一次不等式组的解集求参数 例1（24-25七年级下·上海·月考）不等式组有80个整数解，则m的取值范围为_______． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于m的不等式组． 求出不等式组的解集，然后根据不等式组有80个整数解，进而求得m的取值范围． 【详解】解：， 解得：， ∵不等式组有80个整数解， ∴， 解得：． 故答案为： 【变式1-1】（2025·上海·模拟预测）如果不等式组的解集为，那么的取值范围为_______ ． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了不等式组的解集情况，熟练掌握不等式组的解集取值方法是解题的关键． 根据不等式组解集情况分析求解即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴； 故答案为：． 【变式1-2】（24-25七年级下·上海闵行·月考）不等式的解集是，则的值为___． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，根据解的情况求参数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据得出解集，再代入，解出的值 . 【详解】， ， ， 又， ， ． 故答案为：． 【变式1-3】若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查不等式组求参数问题，解题的关键是掌握解不等式组的方法． 先解出不等式组，根据它有个整数解求出的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， 该不等式组有个整数解， 整数解为，，， ； 故答案为： 【变式1-4】如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ________． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围． 解：∵一元一次不等式组的解集为， ， 解得． 故答案为：． 【变式1-5】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题主要考查由一元一次不等式组的解集求参数，根据不等式的解集确定a的取值范围是解题的关键． 先求解一元一次不等式组，再根据题意建立关于参数的不等式求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴，解得：． 【变式1-6】已知关于的不等式组． (1)当为何值时，该不等式组的解集为； (2)若该不等式组只有个正整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求不等式组的解集、由一元一次不等式组的解集求参数、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的能力，并根据不等式组的整数解个数得出关于的不等式组． （1）先解每个不等式得出其解集，结合已知的不等式组的解集得出关于的方程，解之即可； （2）根据不等式组只有个正整数解知解之即可． 【详解】（1）解不等式，得：， 解不等式， 则不等式组的解集为 该不等式组的解集为， 解得； （2）不等式组只有个正整数解， 解得． 题型二、由不等式组解集的情况求参数 例2 已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组是解题的关键．解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出，解之可得． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组有4个整数解，则整数解为， ， 解得：． 故选：A． 【变式2-1】关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先求出不等式组的解集为，再根据恰好有3个整数解可得，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组有解， ∴， 又∵关于的不等式组恰好有3个整数解， ∴这个不等式组的3个整数解为， ∴， 解得， 故选：B． 【变式2-2】（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知不等式组有3个整数解，求m的取值范围是________． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤．先根据已知条件判断不等式组的解集，再根据不等式组有三个整数解，求出的取值范围即可． 【详解】解：不等式组有个整数解， 不等式组的解集为：， 这三个整数解为，，， 的取值范围是， 故答案为：． 【变式2-3】 若关于的不等式组只有一个整数解，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于的不等式组只有一个整数解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得， 关于的不等式组只有一个整数解， ， 故答案为：． 【变式2-4】（24-25七年级下·上海宝山·月考）若关于x的不等式组有三个整数解，求实数a的取值范围． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后根据有三个整数解列不等式组求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 不等式组的解集为， 又不等式组有三个整数解， ∴不等式组的整数解为， ， 解得：． 实数a的取值范围为． 【变式2-5】（24-25七年级下·上海·月考）若关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求出两个不等式的解集，再根据原不等式组无解得到关于的一元一次不等式求解即可． 【详解】解： 由①得：； 由②得：， ∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：． 【变式2-6】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，那么我们把这个一元一次方程叫作为这个不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是 ．（只需填序号） (2)如果不等式组的某个关联方程的根是整数，那么这个关联方程可以是 ．（写出一个即可） (3)如果方程是关于的不等式组的关联方程，请求出的取值范围． 【答案】(1)③ (2)（答案不唯一） (3)m的取值范围为 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次方程与一元一次不等式组，理解关联方程的意义并正确求解是解题的关键． （1）分别求出3个方程的解，求出一元一次不等式组的解集，根据关联方程的概念即可判断； （2）求出不等式组的解集，根据关联方程的概念写出一个方程即可； （3）求出不等式组中每个不等式的解集，则方程的解满足每个解集，从而求得m的范围． 【详解】（1）解：解得；解得；解得， 解不等式组得； 则，不是不等式组的解，是不等式组的解， ∴是不等式组的关联方程； 故答案为：③； （2）解：由于不等式组的解集为，此范围的整数有1，2，3； 而方程的解为，则方程是不等式组的关联方程； 故答案为：（答案不唯一）； （3）解：解关于的不等式组，得； 解得； 由题意得：，解得：； 故m的取值范围为． 题型三、不等式组和方程组结合的问题 例3 已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．解方程组可得，再结合列出不等式组，求出不等式组的解集即可得出结论． 【详解】解：关于x，y的方程组为， 解得：， 因为， 所以， 解得：． 故选：C． 【变式3-1】 已知平面直角坐标系上的动点，满足，，其中，则下列结论：①；②；③；④若，则 其中正确的有 （   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，先分别用x、y表示a得到，，则根得，，于是解两个不等式组可对①②进行判断；先计算出，则，所以，然后解关于的不等式组可对③进行判断；当，则，解得，则a的范围为，然后解不等组可对④进行判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：，故①正确； ∵， ∴， ∴， 解得：，故②错误； ， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，解得：， ∴， 即， 解得：，故④正确； 综上所述正确的为①④； 故选：C． 【变式3-2】若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【答案】D 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 【变式3-3】已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 _______． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查根据方程组的解集的情况求参数的范围，求不等式组的解集，根据方程组的解集的情况，得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：， 得：，即， 得：， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式3-4】若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是_______． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 【变式3-5】已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1) (2)整数的值为， 【知识点】不等式组和方程组结合的问题、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二元一次方程组的整体解法、一元一次不等式的解法及解集与系数的关系，掌握整体相加求解的技巧和不等式系数正负与解集方向的关系是解题的关键． （1）通过将方程组的两个方程整体相加，直接得到的表达式，无需单独解出，再根据建立关于的不等式求解范围； （2）先整理不等式，根据解集判断不等式系数的正负，得到 m 的新范围，并结合（1）中所得结果确定的取值范围，然后确定其整数解即可． 【详解】（1）解： ①+②，得， 解得． ， ， ，． （2）解：移项，得． 的解集为， ， ． ， ， ∴整数的值为，． 【变式3-6】已知关于、的二元一次方程组． (1)若方程组的解、互为相反数．求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）将两个方程相加可得，由相反数的性质知，据此可得关于的方程，解之可得； （2）将两个方程相加可得，即，结合题意得出的不等式组，解之可得． 【详解】（1）解： 得：， 、互为相反数， ， 则， ， 解得； （2） 得：，即， ， ， 解得：． 题型四、列一元一次不等式组 例4 “双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 【变式4-1】 已知，且，，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集、列一元一次不等式组 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，关键是先根据已知条件用一个量如表示另一个量如，然后根据题中已知量的取值范围，构建另一量的不等式，从而确定的取值范围，同法再确定另一未知量的取值范围． 利用不等式的性质解答即可． 【详解】解：， ， 又， ， ． 又， ① 同理得：② 由①②得： 的取值范围是： 故答案为：． 【变式4-2】 应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 【答案】(1) (2)且且． 【知识点】列一元一次不等式、列一元一次不等式组 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）先求出所需乙种原料的质量为，再根据要求含有4200单位以上的维生素列出不等式即可得； （2）先求出所需乙种原料的质量为，再根据含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，列出不等式即可得． 【详解】（1）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素， ∴． （2）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元， ∴且且． 【变式4-3】 已知方程组的解满足：为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，是否存在，使成立？ (3)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1)． (2)存在，使成立． (3)时，不等式的解集为． 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、加减消元法、求一元一次不等式的整数解、列一元一次不等式组 【分析】（1）解关于和的二元一次方程，根据题意可得到关于的一元一次不等式组，求解即可得到的取值范围． （2）根据的取值范围取值范围，可将化简，得到关于关于的一元一次方程，求解即可得到答案． （3）将不等式移项并合并同类项，根据题目要求，可知，解不等式，即可得到的取值范围，取符合条件的整数即可． 【详解】（1）解关于和的二元一次方程 解得 由于为非正数，为负数，得不等式组 解得 ． （2）， ，． ，． 化简，得 ， 解得 ． 经检验，满足． 所以，存在，使成立． （3）将移项并合并同类项，得 解集为， ． 解得 ． 又， 的解集为． 的整数值为． 时，不等式的解集为． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解法、一元一次不等式和一元一次不等式组的解法、绝对值的性质等，熟悉绝对值的性质，牢记二元一次方程、一元一次不等式和一元一次不等式组的解法是解题的关键 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $