专题02 不等式与不等式组的含参问题（2知识点+8考点+过关检测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材沪教版五四制

拓展专题02 不等式（组）含参问题 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点一 ：含参一元一次不等式的核心知识点 ◆1. 基本定义与形式 ①含参一元一次不等式的标准形式：（或、、），其中是未知数，、是参数（时为一元一次不等式；时需单独讨论）. ②核心关键：参数可在未知数系数（的位置）或常数项（的位置），两者对不等式的解影响不同. ◆2. 参数对不等式解的影响（核心考点） （1）参数在未知数系数位置（为参数） 当时：不等式解集为（不等号方向不变）； 当时：不等式解集为（不等号方向反转）； 当时：不等式变为常数不等式，需分情况讨论： 若，则恒成立，解集为全体实数； 若，则恒不成立，解集为空集。 （2）参数在常数项位置（为参数，） 先化简不等式为（或其他形式，含参数），解集的“边界值”由参数决定，需根据题目给出的解的范围反求参数. ◆3. 已知解集求参数（高频题型） 步骤：① 解含参不等式（分的正负讨论）； ② 对比题目给出的解集（如、等）； ③ 建立关于参数的方程或不等式，求解参数. 易错点：忽略的特殊情况，或不等号方向反转时的符号错误. 知识点二 ：含参一元一次不等式组的核心知识点 ◆1. 基本定义与解集规律 ①含参一元一次不等式组：由两个或多个含参一元一次不等式组成，形式如（、、、为参数）. ②解集核心规律：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”（含参时需结合参数分析边界关系）. ◆2. 参数对不等式组解集的影响（核心考点） （1）不等式组有解/无解的条件 以二元不等式组为例：（、为参数）： 有解条件：（解集为）； 无解条件：； 特殊情况：若不等式组为，则解集为（唯一解）. （2）不等式组解集为特定区间的条件 例如：已知不等式组的解集为，则可推出； 关键：找到两个不等式解集的“交集边界”，建立参数与边界值的等式/不等式. （3）参数在不等式系数中的复杂情况 当不等式组中未知数的系数含参时（如），需先分别讨论每个不等式的解集（分系数正、负、零），再结合不等式组的解集要求（有解、无解、特定解集）求参数范围. ◆3. 含参不等式组的整数解问题（高频拓展） 核心逻辑：先确定不等式组的解集（用参数表示），再根据题目给出的整数解个数/具体整数解，反推参数的取值范围. 示例：已知不等式组有3个整数解（0、1、2），则参数的范围是（注意边界值的“包含”与“不包含”）. 【题型1 利用不等式的性质求字母的取值范围】 【典例1】关于x的不等式（a﹣1）x＞b的解集是x，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＞0 C．a＜1 D．a＞1 【答案】D． 【分析】直接利用不等式的性质，得出a﹣1＞0，进而得出答案． 【详解】解：∵不等式（a﹣1）x＞b的解集是x， ∴a﹣1＞0， 解得：a＞1． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了不等式的解集，正确得出a﹣1的符号是解题关键． 【变式1】如果关于x的不等式（m﹣2）x＞3解集为，则m的取值范围 是（　　） A．m≤2 B．m≥2 C．m＜2 D．m＞2 【答案】D． 【分析】利用不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．可得m﹣2＜0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵关于x的不等式（m﹣2）x＞3解集为， ∴m﹣2＜0， 解得：m＜2， 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的基本性质，一元一次不等式的解法，掌握“不等式的基本性质”是解本题的关键． 【变式2】当 时，不等式的解集是． 【答案】/大于2 【分析】本题考查了不等式的解集，解题的关键是掌握不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．由已知的不等式的解集与不等式的基本性质可知，解此不等式即可． 【详解】解：由题意可知时，不等式的解集是， 解得． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·上海·月考）已知关于的不等式的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质、解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先根据不等式的性质可得，再解不等式即可得． 【详解】解：∵关于的不等式的解集是， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型2 解集对应法求字母的值】 【典例1】若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，据此即可确定m的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 不等式组的解集为， ， 故选：A． 【变式1】（2025七年级上·上海·专题练习）若关于的不等式组的解集是，则m的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式组的解集的确定，掌握口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集是解决本题的关键． 通过求解不等式组，根据解集条件确定参数范围即可． 【详解】解：由题意得，解第一个不等式： 解得， ∴第一个不等式的解集为， 第二个不等式的解集为， 当时，交集为，符合题意； 当时，交集为，不符合题意． ∴． 故选D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围． 解：∵一元一次不等式组的解集为， ， 解得． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知关于x的不等式组的解集为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求代数式的值，根据不等式组的解集求出m与n的值是解题的关键；先解不等式组，根据不等式组的解集得关于m与n的方程，求出m与n的值，即可求得代数式的值． 【详解】解：令 解不等式①，得．解不等式②，得． 不等式组的解集为， ，， 解得，， ． 【题型3 解含参数的不等式】 【典例1】（22-23七年级上·上海杨浦·开学考试）已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集 【答案】 【分析】先把原不等式系数化为1，表示出解集，根据已知解集确定出a与b的关系，即可求出所求不等式的解集． 【详解】解：不等式的解集是， ，且， ，， 整理，得：，， 把代入，得， 解得：， ， 解集为：， 把代入得：， 不等式的解集． 【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出的关系是解题关键． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）若关于x的不等式的解集是，求关于x的不等式的解集． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的解集和解一元一次不等式，根据解集确定参数的值或范围是解题的关键． 先利用不等式的解集确定，再解不等式即可． 【详解】解：由得：， 不等式的解集是， 且， 设， 则， ， 解得：， 即关于x的不等式的解集为． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x的不等式的解集是，求关于x的不等式的解集． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的解集是可求出的值，代入不等式，即可求出答案． 【详解】解：∵的解集是， ∴，解得：． 将代入得， 解得：． 【变式3】若关于的不等式的解集是，求的解集． 【答案】 【分析】根据不等式的解集为列方程即可解答． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， 解得， ∴可以写成：， 解得． 【点睛】本题考查了利用一元一次不等式解集求参数，求一元一次不等式解，解二元一次方程组，根据题意构造二元一次方程组式解题的关键． 【题型4 根据不等式组解的情况确定字母的取值范围】 【典例1】若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，由得，再结合“有解”这个条件得，解得．本题主要考查了由不等式组解集的情况求参数，以及解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴由得， ∴由得， 关于的不等式组有解， ∴， 解得：， 故选：B． 【变式1】（24-25六年级下·上海·期末）已知关于的不等式组无解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组解集的情况求参数，正确理解不等式组无解的情况、得出关于a的不等式是解题的关键； 先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据不等式组无解得出关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵原不等式组无解， ∴， 解得； 故答案为：． 【变式2】（24-25六年级下·上海宝山·期中）若不等式组有解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得不等式的解集，再根据不等式组有解，求解即可． 【详解】解：由不等式可得：，解得 ∵不等式组有解， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了不等式组的求解，已知不等式的解集求参数，解题的关键是正确求得不等式的解集． 【变式2】（24-25七年级下·上海·月考）若关于x的不等式组无解，那么m应满足的条件为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集的应用．根据已知得出关于m的不等式，求出即可． 【详解】解：∵x的不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【题型5 利用不等式整数解个数求字母的取值范围】 【典例1】（24-25七年级下·上海·月考）已知关于的不等式的正整数解有3个，求的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，先解原不等式得到，根据原不等式有3个正整数解得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵关于的不等式的正整数解有3个， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式1】（23-24六年级下·上海宝山·期末）已知关于的不等式的正整数解是1、2、3，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解出不等式的解集，正确确定的范围，是解决本题的关键．解不等式时要用到不等式的基本性质． 首先确定不等式组的解集，利用含的式子表示，再根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，然后根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【详解】解：， 不等式的解集是：， ∵不等式的正整数解恰是， ， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【变式2】已知关于x的不等式只有两个正整数解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出正整数解是解答本题的关键．解不等式得，由于只有两个正整数解，即1，2，故可判断的取值范围，进而求出的取值范围． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式只有两个正整数解， 这两个正整数解为1、2， 则， 解得， 故选：B． 【变式3】已知关于x的不等式只有两个正整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出关于x的一元一次不等式的解集，根据整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解：关于x的不等式ax-a+6＞0只有两个正整数解， ∴a＜0， ∴不等式的解集为x＜， 又∵关于x的不等式ax-a+6＞0只有两个正整数解， ∴2＜≤3， 解得-6＜a≤-3， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，掌握一元一次不等式的解法以及整数解定义是正确解答的关键． 【题型6 利用不等式整数解个数求字母的取值范围】 【典例1】（24-25七年级下·上海长宁·期末）关于x的不等式组有5个整数解，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集求参数的取值范围，先求出不等式组的解集，再由题意可得，求解即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∵关于x的不等式组有5个整数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式1】已知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 不等式组整理后，表示出解集，根据整数解共有3个，确定出的取值范围即可． 【详解】解：不等式组整理得：， 不等式组的整数解共有3个， ，整数解为，0，1， 则的取值范围是． 故选：A． 【变式2】若关于x的不等式组的解集中有6个整数解，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据题意求出关于a的不等式组．先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集是， ∵不等式组有6个整数解， ∴整数解是2，3，4，5，6，7， ∴m的取值范围是， 故选：D． 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）若不等式组恰好有4个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先解不等式组用a表示出解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，得到关于a的不等式组求解即可． 【详解】 解： 解不等式①，得 解不等式②，得 由题意可知原不等式组有解 ∴原不等式组的解集为 ∵不等式有4个整数解 ∴整数解为：9，10，11，12 ∴，解得：． 故答案为：． 【题型7 分式方程与不等式（组）的综合】 【典例1】（24-25八年级下·上海闵行·月考）若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况，求参数的范围，求出方程的解，根据方程的解的情况结合分式有意义的条件，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵分式方程的解是非负数， ∴，解得：且； 故答案为：且． 【变式1】若关于x的不等式组的解集为，关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先分别解不等式组里的两个不等式，根据解集求出的取值范围，再由分式方程的解求出的范围，得到两个的范围必须同时满足，即求得可得到的整数的值． 【详解】解：解不等式：，得：， 解不等式：，得：， ∵不等式组的解集为， ∴，即：， 解关于的分式方程， 得， ∵分式方程的解为整数解， ∴为整数，且，，即，， ∴所有满足条件的整数的值有：2，，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及应用，解分式方程．解题关键是由条件得到的取值范围． 【变式2】关于的一元一次不等式组的解集为，关于的分式方程解为正数，试求出满足条件的整数的值之和． 【答案】11 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，分式方程的解法．先根据不等式组的解集的情况求解的取整范围，再结合分式方程的解为正数进一步求解即可． 【详解】解： 由①得， 由②得， 关于的不等式组的解集为， ， ， 解得， 又， 方程两边同时乘，得， 解得． 关于的分式方程的解为正数， 由③得，由④得， 且． 的取值范围为，且， 满足条件的整数的值为2，4，5 所有满足条件的正数的值之和为． 【变式3】已知关于x的分式方程． (1)若该分式方程无解，则m的值是多少？ (2)该分式方程的解大于1，求m的取值范围． 【答案】(1)4 (2)且 【分析】此题主要考查了分式方程的解，以及分式方程的无解问题，弄清题意是解本题的关键． （1）先解分式方程，得出，再根据分式方程无解，得到最简公分母为，即可求出的值，从而得出，求出m的值即可； （2）根据解大于且，得出且，求出的范围即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵该分式方程无解， ， ， ∴， 解得：． （2）解：根据解析（1）得：， ∵该分式方程的解大于1且， ∴且， 解得：且． 【题型8 方程（组）与不等式（组）的综合】 【典例1】（2024六年级下·上海·专题练习）已知不等式，它的最大整数解恰好是方程的解，求的值． 【答案】 【分析】此题考查的是一元一次不等式的解，将的值解出再代入方程即可得出的值．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．此题可先将不等式化简求出的取值，然后取的最大整数解代入方程，化为关于的一元一次方程，解方程即可得出的值． 【详解】解：由得 ， 所以最大整数解为， 将代入中， 解得． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解含有参数的二元一次方程组和一元一次不等式组，根据题意，求出k的范围是解题的关键．先求出关于x，y的方程组的解，再根据，，列不等式求出k的范围，再根据关于k的不等式的解集为，可得，进一步缩小k的范围，最后再根据k为整数，即可得出k的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵，， ∴， 解得， 又∵关于k的不等式的解集为：， ∴， 解得， ∴k的范围为． 又∵k为整数， ∴． 故选：B． 【变式2】（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程和解一元一次不等式，掌握好方程和不等式的解法是关键． （1）先求出方程的解，由，求出a的取值范围； （2）先解不等式，取范围内最小的整数解，代入方程求出a的值． 【详解】（1）解：， 解得，， ∵， ∴， 解得，； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得，，范围内的最小整数解为， 将，代入方程，得： ， 解得，． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于的方程组 (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足均为正数，求的取值范围． 【答案】(1)的值为2024 (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式； （1）用得到，再根据条件，得到，解方程即可； （2）利用加减消元法求出，再根据均为正数，建立不等式求解即可． 【详解】（1）解： ①+②，得，即③， 代入， 得， 解得， 故的值为2024； （2）解方程组， 得 均为正数, 解得． 【变式4】（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组、一元一次不等式组及绝对值的性质，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）解方程组得出，由x为非正数，y为负数知，解之即可； （2）根据m的取值范围判断出，，再去绝对值符号、合并同类项即可； （3）由不等式的解为，知；据此可得，结合以上所求m的范围知，继而可得整数m的值． 【详解】（1）解：解方程组得：， ∵x为非正数，y为负数， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴，， 则原式． （3）解：由不等式可得 ∵不等式的解为， ∴； ∴， 又∵， ∴， ∵m为整数， ∴． 1、 选择题 1．（24-25六年级下·上海长宁·期末）若关于x的不等式组的解集是，则m的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据不等式组的解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）可得，即可求解． 【详解】解：∵关于x的不等式组的解集是，且， ∴， 解得：． 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 2．若不等式组的解集为，则的值是（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】先解不等式组，根据解集求得，再代入代数式即可求解． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，代数式求值，正确理解题意是解题的关键． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期末）关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式组解集的定义进行解答即可． 本题考查不等式的解集，理解不等式组解集的定义是正确解答的关键． 【详解】解：∵关于x的不等式组的解集是， ∴． 故选：A． 4．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先求出不等式组的解集为，再根据恰好有3个整数解可得，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组有解， ∴， 又∵关于的不等式组恰好有3个整数解， ∴这个不等式组的3个整数解为， ∴， 解得， 故选：B． 5．（24-25八年级上·重庆·期末）关于的方程的解是非负整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及一元一次方程的解．先根据所给方程的解为非负整数，得出的取值范围，再结合所给不等式组的整数解只有3个即可解决问题． 【详解】解：由方程得：， ∵关于的方程的解是非负整数， ∴， 解得， 解不等式组得：， ∵此不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得：， ∴， ∵关于的方程的解是非负整数，， ∴符合条件的所有整数的和是：， 故选：A． 2、 填空题 6．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先计算第一个不等式，得到，不等式组无解，即两个不等式没有公共解集，据此解题． 【详解】解：由不等式组可得， 因为不等式组无解，根据大大小小找不到的原则可知， 故答案为：． 【点睛】本题考查由一元一次不等式组的解集求参数，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 7．（2023·黑龙江佳木斯·三模）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集是， 故的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 8．已知关于x的不等式的正整数解是1，2，3，4．则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】首先解不等式，再根据不等式的正整数解，可得，据此即可求解． 【详解】解：解不等式，得， ∵不等式的正整数解是1，2，3，4， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据不等式的解集求参数，熟练掌握和运用根据不等式的解集求参数的方法是解决本题的关键． 9．（24-25八年级上·上海·月考）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 根据解分式方程的方法求出题目中分式方程的解，然后根据关于x的方程的解为正数且，即可求得m的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘以，得， 解得， ∵关于x的方程的解为正数，且， ∴，且， 即，且， ∴，且， 解得且． 故答案为：且． 10．关于x，y的方程组有正整数解，且关于x的不等式组有解，则满足条件的整数m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于m的不等式组．根据不等式组求出m的范围，然后再根据方程组求出m的取值，从而确定的m的可能值即可得出答案． 【详解】解：解方程组得：， ∵方程组有正整数解， ∴，3， 解得：或， 解不等式组，得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得：， ∴满足条件的整数m的值为． 故答案为：． 3、 解答题 11．（24-25七年级下·上海静安·期中）已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解不等式求出其最大整数解，再代入计算即可．严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【详解】解：解不等式， 得， 则该不等式组的最大整数解为， 将代入方程得：， 解得． 12．设关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集． 【答案】 【分析】对不等式移项，系数化1求出解集，结合已知解集确定出a与b的关系，然后即可求出所求不等式的解集． 【详解】解：解关于的不等式得或， ∵解集为， ，即，且， ， 即， ， ， ， ∴关于的不等式的解集为：， 即． 【点睛】此题考查了解不等式，熟练掌握不等式求解集的方法是解本题的关键． 13．（23-24六年级下·上海·月考）已知关于的方程的解不小于，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式，先求出一元一次方程解，由一元一次方程的解不小于，得到关于的一元一次不等式，解不等式即可求解，由一元一次方程的解得出关于的一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：解方程得，， ∵关于的方程的解不小于， ∴， 解得． 14．（24-25八年级上·全国·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集即可得出a的取值范围． 【详解】解：．不等式可化为， ∴． ； 不等式可化为， ∴． ∴， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴． ． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的方程的解为负数． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了方程与不等式． （1）先解出关于x的方程的解，再根据解是负数列出不等式，解关于a的不等式即可， （2）变形，把第一问的结果代入，即可． 【详解】（1）解：解得， 因为解为负数， 所以， 解这个不等式，得， 所以a的取值范围是； （2） ， ， ∴， ， ∴， ， ． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于，的二元一次方程组的解均为正数，且不等式组的解集为，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法与解集的确定，掌握根据方程组的解的符号和不等式组的解集列不等式是解题的关键． 先解二元一次方程组，根据解为正数得到的初步范围，再解不等式组，结合解集条件得到的另一范围，最后取两个范围的交集． 【详解】解：解方程组 得 方程组的解均为正数， ，即． 解不等式，得， 解不等式，得． 不等式组的解集为， ，解得． ， 的取值范围为． 17．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于的不等式组． (1)当为何值时，该不等式组的解集为； (2)若该不等式组只有个正整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的能力，并根据不等式组的整数解个数得出关于的不等式组． （1）先解每个不等式得出其解集，结合已知的不等式组的解集得出关于的方程，解之即可； （2）根据不等式组只有个正整数解知解之即可． 【详解】（1）解不等式，得：， 解不等式， 则不等式组的解集为 该不等式组的解集为， 解得； （2）不等式组只有个正整数解， 解得． 18．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的方程组的解满足． (1)的取值范围是________； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组； （1）根据得，，得出，根据，即可求解； （2）先解不等式得出，根据不等式组的解集为，可得不等式的解集为．进而得出，结合（1）得结论，且为正整数，即可求解． 【详解】（1）解： 得， ∴ ∵ ∴ 解得： 故答案为：． （2）解不等式，得． ∵不等式组的解集为， ∴不等式的解集为． ∴，解得． 由（1）知， ∴，且m为正整数，故正整数m的值为1． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题02 不等式（组）含参问题 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点一 ：含参一元一次不等式的核心知识点 ◆1. 基本定义与形式 ①含参一元一次不等式的标准形式：（或、、），其中是未知数，、是参数（时为一元一次不等式；时需单独讨论）. ②核心关键：参数可在未知数系数（的位置）或常数项（的位置），两者对不等式的解影响不同. ◆2. 参数对不等式解的影响（核心考点） （1）参数在未知数系数位置（为参数） 当时：不等式解集为（不等号方向不变）； 当时：不等式解集为（不等号方向反转）； 当时：不等式变为常数不等式，需分情况讨论： 若，则恒成立，解集为全体实数； 若，则恒不成立，解集为空集。 （2）参数在常数项位置（为参数，） 先化简不等式为（或其他形式，含参数），解集的“边界值”由参数决定，需根据题目给出的解的范围反求参数. ◆3. 已知解集求参数（高频题型） 步骤：① 解含参不等式（分的正负讨论）； ② 对比题目给出的解集（如、等）； ③ 建立关于参数的方程或不等式，求解参数. 易错点：忽略的特殊情况，或不等号方向反转时的符号错误. 知识点二 ：含参一元一次不等式组的核心知识点 ◆1. 基本定义与解集规律 ①含参一元一次不等式组：由两个或多个含参一元一次不等式组成，形式如（、、、为参数）. ②解集核心规律：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”（含参时需结合参数分析边界关系）. ◆2. 参数对不等式组解集的影响（核心考点） （1）不等式组有解/无解的条件 以二元不等式组为例：（、为参数）： 有解条件：（解集为）； 无解条件：； 特殊情况：若不等式组为，则解集为（唯一解）. （2）不等式组解集为特定区间的条件 例如：已知不等式组的解集为，则可推出； 关键：找到两个不等式解集的“交集边界”，建立参数与边界值的等式/不等式. （3）参数在不等式系数中的复杂情况 当不等式组中未知数的系数含参时（如），需先分别讨论每个不等式的解集（分系数正、负、零），再结合不等式组的解集要求（有解、无解、特定解集）求参数范围. ◆3. 含参不等式组的整数解问题（高频拓展） 核心逻辑：先确定不等式组的解集（用参数表示），再根据题目给出的整数解个数/具体整数解，反推参数的取值范围. 示例：已知不等式组有3个整数解（0、1、2），则参数的范围是（注意边界值的“包含”与“不包含”）. 【题型1 利用不等式的性质求字母的取值范围】 【典例1】关于x的不等式（a﹣1）x＞b的解集是x，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＞0 C．a＜1 D．a＞1 【变式1】如果关于x的不等式（m﹣2）x＞3解集为，则m的取值范围 是（　　） A．m≤2 B．m≥2 C．m＜2 D．m＞2 【变式2】当 时，不等式的解集是． 【变式3】（24-25七年级下·上海·月考）已知关于的不等式的解集是，则的取值范围是 ． 【题型2 解集对应法求字母的值】 【典例1】若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025七年级上·上海·专题练习）若关于的不等式组的解集是，则m的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 【变式3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知关于x的不等式组的解集为，求的值． 【题型3 解含参数的不等式】 【典例1】（22-23七年级上·上海杨浦·开学考试）已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）若关于x的不等式的解集是，求关于x的不等式的解集． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x的不等式的解集是，求关于x的不等式的解集． 【变式3】若关于的不等式的解集是，求的解集． 【题型4 根据不等式组解的情况确定字母的取值范围】 【典例1】若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25六年级下·上海·期末）已知关于的不等式组无解，则实数的取值范围为 ． 【变式2】（24-25六年级下·上海宝山·期中）若不等式组有解，则m的取值范围是 ． 【变式2】（24-25七年级下·上海·月考）若关于x的不等式组无解，那么m应满足的条件为 ． 【题型5 利用不等式整数解个数求字母的取值范围】 【典例1】（24-25七年级下·上海·月考）已知关于的不等式的正整数解有3个，求的取值范围是 ． 【变式1】（23-24六年级下·上海宝山·期末）已知关于的不等式的正整数解是1、2、3，那么的取值范围是 ． 【变式2】已知关于x的不等式只有两个正整数解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知关于x的不等式只有两个正整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6 利用不等式整数解个数求字母的取值范围】 【典例1】（24-25七年级下·上海长宁·期末）关于x的不等式组有5个整数解，那么m的取值范围是 ． 【变式1】已知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若关于x的不等式组的解集中有6个整数解，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）若不等式组恰好有4个整数解，则a的取值范围是 ． 【题型7 分式方程与不等式（组）的综合】 【典例1】（24-25八年级下·上海闵行·月考）若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 【变式1】若关于x的不等式组的解集为，关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】关于的一元一次不等式组的解集为，关于的分式方程解为正数，试求出满足条件的整数的值之和． 【变式3】已知关于x的分式方程． (1)若该分式方程无解，则m的值是多少？ (2)该分式方程的解大于1，求m的取值范围． 【题型8 方程（组）与不等式（组）的综合】 【典例1】（2024六年级下·上海·专题练习）已知不等式，它的最大整数解恰好是方程的解，求的值． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于的方程组 (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足均为正数，求的取值范围． 【变式4】（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 1、 选择题 1．（24-25六年级下·上海长宁·期末）若关于x的不等式组的解集是，则m的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 2．若不等式组的解集为，则的值是（    ） A． B． C． D．0 3．（23-24七年级下·福建泉州·期末）关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·重庆·期末）关于的方程的解是非负整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 2、 填空题 6．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 7．（2023·黑龙江佳木斯·三模）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 8．已知关于x的不等式的正整数解是1，2，3，4．则a的取值范围是 ． 9．（24-25八年级上·上海·月考）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 10．关于x，y的方程组有正整数解，且关于x的不等式组有解，则满足条件的整数m的值为 ． 3、 解答题 11． （24-25七年级下·上海静安·期中）已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求m的值． 12．设关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集． 13．（23-24六年级下·上海·月考）已知关于的方程的解不小于，求的取值范围． 14．（24-25八年级上·全国·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的方程的解为负数． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于，的二元一次方程组的解均为正数，且不等式组的解集为，求的取值范围． 17．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于的不等式组． (1)当为何值时，该不等式组的解集为； (2)若该不等式组只有个正整数解，求的取值范围． 18．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的方程组的解满足． (1)的取值范围是________； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $