第六章 计数原理章末综合检测卷-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第六章 计数原理章末综合检测卷 1. 计算的值为（   ） A．114 B．99 C．142 D．198 2. 某游泳锦标赛上有四名运动员甲、乙、丙、丁，他们每人参加项目且每人只能参加一个项目，有三个游泳项目供选择，这四人参赛方案的种类共有（    ） A． B． C．12 D．9 3. 的展开式中常数项为（   ） A．-15 B．15 C．-20 D．20 4. 五一假期期间，一家6人（5大人和1小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比一名小孩高，则不同的排法共有（   ） A．72种 B．90种 C．108种 D．180种 5. 将6个相同的小球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子都要有小球，则不同的放球方法共有（   ） A．4种 B．6种 C．10种 D．12种 6. 若，则的值为（   ） A．10 B．45 C． D． 7. 六艺，是我国周朝教育体系中的六种技能，即：礼､乐､射､御､书､数.在周朝官学中开设这六门课程，从这六门课中选5门，连排5节课，每门排一节，要求每天必须学“礼､乐､数”，并要求“礼”与“乐”相邻排课，但均不与“数”相邻排课，且“御”不能排在第一节，则不同的排课方案种数为（    ） A．24 B．48 C．64 D．128 8. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（   ） A． B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．记杨辉三角中第行的第个数为，则 9. （多选）下列关于排列数、组合数的计算中，正确的是（    ）． A． B． C． D．是一个常数 10. （多选）李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才女”之称．现将李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本），则下列选项正确的有（   ） A．若刚好每人分到3本书，则有1680种不同的分法 B．若每人至少分到2本书，则有11508种不同的分法 C．若刚好有1人只分到1本书，则有6326种不同的分法 D．若每人至多分到4本书，则有13020种不同的分法 11. （多选）下列说法中，正确的有（   ） A．若，则 B．的展开式中，所有项的系数之和是 C．的展开式中，的系数是 D．从中任取个数字，从中任取个数字，一共可以组成个没有重复数字的五位数 12. 今有甲、乙、丙、丁、戊、己6名学生站成一排拍照，要求甲乙相邻，且丙在丁的左边，则符合要求的排法共有______种． 13. 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的总数为________． 14. 被9除的余数是___________. 15. 解下列方程. (1)若，求. (2) (3). 16. 设．求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 17. 现有0，1，2，3，4，5六个数字 (1)可组成多少个没有重复数字的偶数； (2)组成没有重复数字的五位数，从小到大排列21350是第多少个数字？ 18. 从甲、乙等6人中选4人参加米接力比赛. (1)甲跑第一棒的排法有多少种？ (2)甲、乙均参加，且不相邻上场的排法有多少种： (3)甲、乙两人均不跑中间两棒的排法有多少种？ 19. 已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大. (1)求展开式的所有二项式系数之和； (2)求的值； (3)判断的展开式中第几项系数的绝对值最大. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 计数原理章末综合检测卷 1. 计算的值为（   ） A．114 B．99 C．142 D．198 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】组合数的计算、排列数的计算 【分析】由排列数和组合数的计算公式可得结果. 【详解】．故选：A． 2. 某游泳锦标赛上有四名运动员甲、乙、丙、丁，他们每人参加项目且每人只能参加一个项目，有三个游泳项目供选择，这四人参赛方案的种类共有（    ） A． B． C．12 D．9 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】由分步乘法计数原理即可得到结果. 【详解】甲、乙、丙、丁每人均有3种选择，可以采用分步计数原理，得四人参赛方案的种类为． 故选：A. 3. 的展开式中常数项为（   ） A．-15 B．15 C．-20 D．20 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数、求二项展开式的第k项 【分析】结合二项式定理的通项公式求解即可. 【详解】该二项式展开式通项为. 令，则，所以. 故选：C. 4. 五一假期期间，一家6人（5大人和1小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比一名小孩高，则不同的排法共有（   ） A．72种 B．90种 C．108种 D．180种 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】此问题可等价于将人分为三组，每组两人，安排到三个不同的列上，每组中身高较高者在后，身高较矮者在前，再结合分步乘法计数原理求结论. 【详解】此问题可等价于将人分为三组，每组两人，安排到三个不同的列上，每组中身高较高者在后，身高较矮者在前，第一步：为第一列挑选两人，有种方法； 第二步：为第二列挑选两人，有种方法； 第三步：剩下两人到第三列，有种方法， 根据分步乘法计数原理，总排法为种， 故选：B 5. 将6个相同的小球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子都要有小球，则不同的放球方法共有（   ） A．4种 B．6种 C．10种 D．12种 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】根据隔板法来解决相同元素分组问题，通过在元素之间插入隔板来将元素分成不同的组. 【详解】本题是6个相同的小球放入3个不同的盒子，且每个盒子至少有1个小球的组合问题，可以使用隔板法， 将6个小球排成一排，中间形成5个空隙，在这5个空隙中插入2个隔板， 即可将小球分成3份，每份至少有1个， 因此，不同的放法共有种， 故选：C． 6. 若，则的值为（   ） A．10 B．45 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二项展开式的应用、求指定项的系数 【分析】根据写出二项展开式，得出第9项系数的表达式. 【详解】, ． 故选：B 7. 六艺，是我国周朝教育体系中的六种技能，即：礼､乐､射､御､书､数.在周朝官学中开设这六门课程，从这六门课中选5门，连排5节课，每门排一节，要求每天必须学“礼､乐､数”，并要求“礼”与“乐”相邻排课，但均不与“数”相邻排课，且“御”不能排在第一节，则不同的排课方案种数为（    ） A．24 B．48 C．64 D．128 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】本题相邻用捆绑法，不相邻用插空法，然后减去御在第一节的情况. 【详解】情况一：不选“御”，则课程为{礼, 乐, 数, 射, 书}，将(礼,乐)捆绑， 先排“射”､“书”有种，再将(礼,乐)和“数”插入3个空中，有种，(礼,乐)内部有种，共种； 情况二：选择“御”，则另一门从“射”､“书”中选，有种， 以选{礼, 乐, 数, 御, 射}为例，先不考虑“御”的限制，排法同情况一，有24种， 再减去“御”在第一节的情况：固定“御”在第一位，(礼,乐)只能在(2,3)或(4,5)位， 对应“数”和“射”的位置唯一确定，故有种，因此该课程组合有种排法. 综上所述，总共有种； 汇总两种情况，总排课方案为种. 故选：C 8. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（   ） A． B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．记杨辉三角中第行的第个数为，则 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用、二项式的系数和、杨辉三角 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质判断AB；利用二项式定理推理判断CD. 【详解】对于A， ， A正确； 对于B，第2025行的第1013个数和第1014个数分别为，而，B正确； 对于C，第行所有数字的平方和， 第行的中间一项的数字是展开式中项的系数， 而， 又展开式中项的系数为， 因此，C正确； 对于D，因为，所以，D不正确. 故选：D 9. （多选）下列关于排列数、组合数的计算中，正确的是（    ）． A． B． C． D．是一个常数 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用、排列数的计算 【分析】由排列数公式判断AB，由组合数的性质化简判断C，根据组合数的性质得，然后代入计算判断D. 【详解】由排列数公式知A不正确， ，B正确， 由组合数的性质可知，，故C不正确， D选项中，n应该满足，且，，解得， 因此，D正确． 故选：BD． 10. （多选）李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才女”之称．现将李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本），则下列选项正确的有（   ） A．若刚好每人分到3本书，则有1680种不同的分法 B．若每人至少分到2本书，则有11508种不同的分法 C．若刚好有1人只分到1本书，则有6326种不同的分法 D．若每人至多分到4本书，则有13020种不同的分法 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、实际问题中的计数问题、分组分配问题 【分析】考虑在各选项的条件下，3个人分书的本数可能的情况，结合平均分组以及不平均分组问题的解法求解各选项中的分法，即可求得答案. 【详解】若刚好每人分到3本书，则有种不同的分法，故A正确； 若每人至少分到2本书，则3人分书的本数可能是，，， 所以有种不同的分法，故B正确； 若刚好有1人只分到1本书，则3人分书的本数可能是，，， 所以有种不同的分法，故C不正确； 若每人至多分到4本书，则3人分书的本数可能是，，， 所以有种不同的分法，故D不正确． 故选：AB 11. （多选）下列说法中，正确的有（   ） A．若，则 B．的展开式中，所有项的系数之和是 C．的展开式中，的系数是 D．从中任取个数字，从中任取个数字，一共可以组成个没有重复数字的五位数 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、组合数的计算、二项展开式各项的系数和、数字排列问题 【分析】利用组合数的对称性和运算即可判断选项A，对，令即可求得所有项的系数之和判断选项B，结合组合分析，的展开式中，含的项的构成是个式子取，有个式子取常数，即可得到的系数是，来判断选项C，利用排列组合结合，来求解，即可判断选项D. 【详解】因为， 所以由，得．解得，故A正确； 令，则的展开式中，所有项的系数之和是，故B错误； 因为的展开式中，含的项的构成是个式子取， 有个式子取常数，所以的系数是，故C正确； 从中任取个数字，有种不同的取法； 从中任取个数字，有种不同的取法． 取出的个数字可以组成个没有重复数字的五位数， 所以一共可以组成个没有重复数字的五位数，故D正确． 故选：ACD 12. 今有甲、乙、丙、丁、戊、己6名学生站成一排拍照，要求甲乙相邻，且丙在丁的左边，则符合要求的排法共有______种． 【答案】120 【难度】0.65 【知识点】其他排列模型、相邻问题的排列问题 【分析】根据相邻问题“捆绑法”和排列数公式，利用分步乘法计数原理计算即得. 【详解】先将甲乙“捆绑”看成一个元素，与另外四人在五个位置上进行全排，甲乙内部全排； 再考虑丙在丁的左边，和丁在丙的左边的情况的排列数相等，故有种方法. 故答案为：120. 13. 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的总数为________． 【答案】420 【难度】0.65 【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】按，是否同色分两类，求出两类的染色情况数； 再利用分类加法计数原理进行计算求解即可. 【详解】按照的顺序进行染色，按照，是否同色分类： 第一类，，同色，则有（种）不同的染色方法． 第二类，，不同色，则有（种）不同的染色方法． 根据分类加法计数原理，共有（种）不同的染色方法． 故答案为：420 14. 被9除的余数是___________. 【答案】7 【难度】0.4 【知识点】整除和余数问题、二项展开式的应用 【分析】本题可先根据二项式定理将原式变形，然后分析变形后的式子被9除的余数. 【详解】根据二项式定理， 对进行变形， 可得，即. 因为，所以. 根据二项式定理展开： ， 则. 除了最后一项，其余各项都含有因数9，都能被9整除， 所以除以9的余数就是. 即被9除的余数是. 故答案为：7. 15. 解下列方程. (1)若，求. (2) (3). 【答案】(1) (2) (3). 【难度】0.65 【知识点】组合数方程和不等式、排列数方程和不等式 【分析】（1）（2）（3）利用排列数和组合数的性质对给定方程不断化简，进而得到未知数的值即可. 【详解】（1）由题意得， 则， 则同除得， 同乘得到， 则，又，故解得. （2）因为，所以， 又因为，所以，解得. （3）由题意得， 即，因为，所以， 得到，则， 化简可得，解得或， 又，即，所以解得. 16. 设．求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】 （1）根据题意，由求出的值，求出的值，即可求出的值； （2）由求出的值，由求出的值，两式相减即可求出的值； （3）根据展开式的通项公式知，结合展开式的各项系数，即可求出的值． 【详解】（1） 由， 令，得，则； 令，得， 则， 所以； （2） 令，得①， 令，得②， ①②得，， 所以； （3） 根据展开式的通项公式知，，为负，，为正； 令， 所以． 17. 现有0，1，2，3，4，5六个数字 (1)可组成多少个没有重复数字的偶数； (2)组成没有重复数字的五位数，从小到大排列21350是第多少个数字？ 【答案】(1)848 (2)155 【难度】0.85 【知识点】数字排列问题 【分析】（1）先对组成几位数讨论，再对末位元素进行分类讨论，再利用排列、组合即可求出结果； （2）通过对万位、千位、百位、十位元素进行分类讨论，再利用排列、组合即可求出结果； 【详解】（1）当组成的数是一位数时，一位偶数有个； 当组成的数是二位数时， 可分两类：末位是0时有个，末位是2或4时有个，二位偶数共有13个； 当组成的数是三位数时， 可分两类：末位是0时有个，末位是2或4时有个，三位偶数共有52个； 当组成的数是四位数时， 可分两类：末位是0时有个，末位是2或4时有个，四位偶数共有156个； 当组成的数是五位数时， 可分两类：末位是0时有个，末位是2或4时有个，五位偶数共有312个； 当组成的数是六位数时， 可分两类：末位是0时有个，末位是2或4时有个，六位偶数共有312个； 综上，组成的没有重复数字的偶数的个数为. （2）万位是1的五位数有个, 万位是2、千位为0的五位数有个, 万位是2、千位为1、百位为0的五位数有个, 万位是2、千位为1、百位为3、十位为0或4的五位数有个, 因此，在21350的前面共有154个数字，所以21350是第155个数. 18. 从甲、乙等6人中选4人参加米接力比赛. (1)甲跑第一棒的排法有多少种？ (2)甲、乙均参加，且不相邻上场的排法有多少种： (3)甲、乙两人均不跑中间两棒的排法有多少种？ 【答案】(1)60 (2)72 (3)144 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、不相邻排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】（1）甲跑第一棒，从剩下的5人里选出3人排序即可； （2）不相邻问题，插空法； （3）特殊位置优先安排. 【详解】（1）甲跑第一棒，从剩下的5人里选出3人排序即可，即； （2）先从剩下的4人里选出2人排好，共种情况， 排好的2个人会产生3个空，选2个空，将甲乙排进去即可，共情况， 所以总情况为： （3）先从剩下的4人里选出2人排到中间两棒，共种情况， 再从剩下的4人里选2人排前后两棒，共种情况， 所以总情况为： 19. 已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大. (1)求展开式的所有二项式系数之和； (2)求的值； (3)判断的展开式中第几项系数的绝对值最大. 【答案】(1)1024 (2) (3)第5项系数的绝对值最大 【难度】0.65 【知识点】二项式的系数和、求系数最大（小）的项、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）由“第6项二项式系数最大”确定，利用二项式系数之和公式求解. （2）通过赋值得，赋值代入展开式，变形后求得目标式子的值. （3）写出展开式通项，建立不等式组求解系数绝对值最大的项对应的值，确定项数. 【详解】（1）因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以， 所以展开式的所有二项式系数之和为. （2）令，得. 令，得， 所以. （3）展开式的通项. 由得. 因为r为整数，所以，所以的展开式中第5项系数的绝对值最大. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $