第六章 计数原理(章末能力达标测试）-2025--2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

数学人教A版选择性必修第三册 第六章 计数原理 B卷——高考能力达标卷 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，不同的选法共有(　　) A．756种 B．56种 C．28种 D．255种 2.将1,2,3，…，9这9个数字填在如图所示的空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法有(　　) A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 3．设常数a∈R，若5的二项展开式中x7项的系数为－10，则a等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 4．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有(　　) A．16种 B．36种 C．42种 D．60种 5．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼­15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有(　　) A．12种 B．18种 C．24种 D．48种 6．在(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn中，若2a2＋an－5＝0，则自然数n的值是(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 7．设函数f(x)＝则当x>0时，f(f(x))表达式的展开式中常数项为(　　) A．－20 B．20 C．－15 D．15 8.用三种不同的颜色填涂如图所示的3×3方格中的9个区域，要求每行每列的三个区域都不同色，则不同的填涂种数为(　　) A．8 B．12 C．14 D．16 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列说法正确的是(　　) A．AA与A相等 B．过三棱柱任意两顶点的异面直线共有36对 C．若C＝C，则x＝4 D．从5个人中选3人站成一排，则不同的排法为60种 10．某学生想在物理、化学、生物学、思想政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是(　　) A．若任意选择三门课程，选法总数为A B．若物理和化学至少选一门，选法总数为CC C．若物理和历史不能同时选，选法总数为C－C D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为CC－C 11．已知n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是(　　) A．展开式中奇数项的二项式系数和为256 B．展开式中第6项的系数最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含x15项的系数为45 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．(x2＋2)5的展开式的常数项是________． 13．有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有________种．(结果用数字作答) 14．(2024·新课标Ⅱ卷)在如图所示的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有__________种选法，在符合上述要求的选法中，选中方格中的四个数之和的最大值是__________. 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知n展开式中的倒数第3项的系数为45，求： (1)含x3的项； (2)系数最大的项． 16．(15分)用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图所示)，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色． (1)若n＝6，为①着色时共有多少种不同的方法？ (2)若为②着色时共有120种不同的方法，求n. 17．(15分)已知(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，且a2＝60. (1)求n的值； (2)求－＋－＋…＋(－1)n的值． 18．(17分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球． (1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？ (2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？ 19．(17分)从－1,0,1,2,3中选三个(不重复)数字组成二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数． (1)开口向上且不过原点的不同抛物线有几条？ (2)与x轴正、负半轴均有交点的不同抛物线有几条？ (3)与x轴负半轴至少有一个交点的不同抛物线有几条？ 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $数学人教A版选择性必修第三册 第六章 计数原理 B卷——高考能力达标卷 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，不同的选法共有(　　) A．756种 B．56种 C．28种 D．255种 解析：选D　推选两名来自不同年级的两名学生，有N＝9×12＋12×7＋9×7＝255(种). 2.将1,2,3，…，9这9个数字填在如图所示的空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法有(　　) A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 解析：选A　根据数字的大小关系可知，1,2,9的位置是固定的，如图所示，则剩余5,6,7,8这4个数字，而8只能放在A或B处，若8放在B处，则可以从5,6,7这3个数字中选一个放在C处，剩余两个位置固定，此时共有3种方法，同理，若8放在A处，也有3种方法，所以共有6种方法． 3．设常数a∈R，若5的二项展开式中x7项的系数为－10，则a等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选A　Tr＋1＝C(x2)5－rr＝ar·C·x10－3r，令10－3r＝7，得r＝1，故Ca＝－10⇒a＝－2. 4．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有(　　) A．16种 B．36种 C．42种 D．60种 解析：选D　若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项，共CA种方法．由分类加法计数原理知共A＋CA＝60(种)方法． 5．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼­15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有(　　) A．12种 B．18种 C．24种 D．48种 解析：选C　把甲、乙看作1个元素和另一飞机全排列，调整甲、乙，共有A·A种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中，有A种方法，由分步乘法计数原理可得总的方法种数为A·A·A＝24. 6．在(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn中，若2a2＋an－5＝0，则自然数n的值是(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：选B　∵a2＝C，an－5＝(－1)n－5C ＝(－1)n－5C，∴2C＋(－1)n－5C＝0， 即＝－1， ∴(n－2)(n－3)(n－4)＝120且n－5为奇数，∴n＝8. 7．设函数f(x)＝则当x>0时，f(f(x))表达式的展开式中常数项为(　　) A．－20 B．20 C．－15 D．15 解析：选A　当x>0时，f[f(x)]＝6＝6的展开式中，常数项为C3(－)3＝－20. 8.用三种不同的颜色填涂如图所示的3×3方格中的9个区域，要求每行每列的三个区域都不同色，则不同的填涂种数为(　　) A．8 B．12 C．14 D．16 解析：选B　将9个区域分别标号为1～9号，如图，第一步给区域1涂色有3种不同方法；第二步给区域2涂色有2种不同方法；第三步给区域4涂色，可分为两类，第一类区域4与区域2同色，则此时区域5不能与区域1同色，有1种涂色方法；第二类区域4与区域2不同色，则区域4有1种涂色方法，此时，区域5也有1种涂色方法，故第三步共有1＋1＝2(种)不同方法；第四步涂3,6,7,8,9五个区域，由于1,2,4,5四个区域所涂颜色确定，所以3,6,7,8,9五个区域所涂颜色也唯一确定，故不同的涂色方法有3×2×2×1＝12(种)． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列说法正确的是(　　) A．AA与A相等 B．过三棱柱任意两顶点的异面直线共有36对 C．若C＝C，则x＝4 D．从5个人中选3人站成一排，则不同的排法为60种 解析：选ABD　A中，AA＝10×9×8×7！，A＝10×9×8×7！，故AA＝A，正确． B中，三棱柱有6个顶点，可组成C－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线，则共有12×3＝36对，正确． C中，∵C＝C，∴x＝3x－8或x＋(3x－8)＝28，即x＝4或9，C错误． D中，从5个人中选出3人，共有A＝5×4×3＝60种不同选法，正确． 10．某学生想在物理、化学、生物学、思想政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是(　　) A．若任意选择三门课程，选法总数为A B．若物理和化学至少选一门，选法总数为CC C．若物理和历史不能同时选，选法总数为C－C D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为CC－C 解析：选ABD　对于A，若任意选择三门课程，选法总数为C，错误； 对于B，若物理和化学选一门，有C种方法，其余两门从剩余的五门中选，有C种选法；若物理和化学选两门，有C种选法，剩下一门从剩余的五门中选，有C种选法，由分类加法计数原理得，总数为CC＋CC，错误； 对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为 C－CC＝C－C，正确； 对于D，有3种情况：①只选物理且物理和历史不同时选，有CC种选法；②选化学，不选物理，有CC种选法；③物理与化学都选，有CC种选法，故选法总数为CC＋CC＋CC＝6＋10＋4＝20(种)，错误． 11．已知n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是(　　) A．展开式中奇数项的二项式系数和为256 B．展开式中第6项的系数最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含x15项的系数为45 解析：选BCD　因为n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，所以C＝C，得n＝10.因为展开式的各项系数之和为1 024，所以令x＝1，得(a＋1)10＝1 024，得a＝1.故给定的二项式为10，其展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝512，故A不正确；由n＝10可知二项式系数最大的项是展开式的第6项，而10展开式的系数与对应的二项式系数相等，故B正确；展开式的通项公式为Tk＋1＝C(x2)10－k·k＝Cx20－(k＝0,1,2，…，10)，令20－＝0，解得k＝8，即常数项为第9项，故C正确；令20－＝15，得k＝2，故展开式中含x15项的系数为C＝45，故D正确． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．(x2＋2)5的展开式的常数项是________． 解析：第一个因式取x2，第二个因式取含的项得：1×C(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取常数项得：2×(－1)5＝－2，故展开式的常数项是5＋(－2)＝3. 答案：3 13．有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有________种．(结果用数字作答) 解析：先考虑相声、跳舞相邻的情况，只需将相声、跳舞这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，然后再将这个“大元素”与其他三个节目进行排序，共有AA＝48(种)排法．接下来考虑相声节目与小品、跳舞都相邻的情形，需将相声与小品、跳舞这三个节目进行捆绑，其中相声节目位于中间，然后将这个“大元素”与其他两个节目进行排序，此时共有AA＝12(种)排法．综上所述，由间接法可知，共有48－12＝36种不同的排法． 答案：36 14．(2024·新课标Ⅱ卷)在如图所示的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有__________种选法，在符合上述要求的选法中，选中方格中的四个数之和的最大值是__________. 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 解析：由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选， 第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选， 所以共有4×3×2×1＝24种选法． 每种选法可标记为(a，b，c，d)，a，b，c，d分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为 (11,22,33,44)，(11,22,34,43)，(11,22,33,44)，(11,22,34,42)，(11,24,33,43)，(11,24,33,42)，(12,21,33,44)，(12,21,34,43)，(12,22,31,44)，(12,22,34,40)，(12,24,31,43)，(12,24,33,40)，(13,21,33,44)，(13,21,34,42)，(13,22,31,44)，(13,22,34,40)，(13,24,31,42)，(13,24,33,40)，(15,21,33,43)，(15,21,33,42)，(15,22,31,43)，(15,22,33,40)，(15,22,31,42)，(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15＋21＋33＋43＝112. 答案：24　112 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知n展开式中的倒数第3项的系数为45，求： (1)含x3的项； (2)系数最大的项． 解：(1)由题意可知C＝45， 即C＝45，所以n＝10， Tr＋1＝C10－rr＝Cx， 令＝3，得r＝6， 所以含x3的项为T7＝Cx3＝Cx3＝210x3. (2)系数最大的项为中间项即T6＝Cx＝252x. 16．(15分)用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图所示)，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色． (1)若n＝6，为①着色时共有多少种不同的方法？ (2)若为②着色时共有120种不同的方法，求n. 解：(1)分四步：第1步涂A有6种不同的方法，第2步涂B有5种不同的方法，第3步涂C有4种不同的方法，第4步涂D有4种不同的方法． 根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480(种)不同的方法． (2)由题意，得n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，注意到n∈N*，可得n＝5. 17．(15分)已知(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，且a2＝60. (1)求n的值； (2)求－＋－＋…＋(－1)n的值． 解：(1)因为T3＝C(－2x)2＝a2x2， 所以a2＝C(－2)2＝60， 化简可得n(n－1)＝30，且n∈N*，解得n＝6. (2)因为Tr＋1＝C(－2x)r＝arxr， 所以ar＝C(－2)r， 所以(－1)r＝C， 故－＋－＋…＋(－1)n ＝－＋－＋…＋ ＝C＋C＋…＋C＝26－1＝63. 18．(17分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球． (1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？ (2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？ 解：(1)将取出4个球分成三类情况： ①取4个红球，没有白球，有C种； ②取3个红球1个白球，有CC种； ③取2个红球2个白球，有CC种， 故有C＋CC＋CC＝115(种)． (2)设取x个红球，y个白球(x，y∈N*)， 则故或或 因此，符合题意的取法种数有 CC＋CC＋CC＝186(种)． 19．(17分)从－1,0,1,2,3中选三个(不重复)数字组成二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数． (1)开口向上且不过原点的不同抛物线有几条？ (2)与x轴正、负半轴均有交点的不同抛物线有几条？ (3)与x轴负半轴至少有一个交点的不同抛物线有几条？ 解：(1)若要满足题意，则a>0且c≠0， 共有AAA＝27(条)． (2)要满足题意，则需ac<0，故a，c中必有一个为－1， 有2A·A＝18(条)． (3)可分为三类：第一类：与x轴正、负半轴均有交点的抛物线有18条； 第二类：过原点且与x轴负半轴有一个交点，此时，c＝0，ab>0，共有A＝6(条)； 第三类：只与x轴负半轴有交点，则必须满足即 故b＝3，a，c在1,2中取，有2条， 由分类加法计数原理得共有18＋6＋2＝26(条)． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $