双曲函数与数列的综合新定义问题讲义-2026届高三数学二轮复习

双曲函数与数列的综合新定义问题 一、试题导入 (安微省六安市2026年2月高三学业水平检测19)双曲正余弦函数是数学中重要的 超越函数，其定义基于指数函数的线性组合：双曲正弦函数定义为sh(x)=“, 双曲余弦函数定义为cosh(x)=生学. (1)求双曲余弦函数c0sh(x)在x=0处的切线方程； (2)冷f(x)=cosh(x)-c0s,讨论f(x)在(0，+o)的单调性； (3)证明： 2tan吃cosh(号)+3ta时cosh(号)+…+ta哈cosh(合)>n+六-名(n>l,neN) 二、解法探究 2.1求双曲余弦函数在x=0处的切线方程 根据导数的几何意义，函数在某点处的切线斜率为该点的导数值，结合点斜式可求 切线方程。 已知osh()=告，求导得cosh(x)=“字， 则cosh(0)==0,又cosh(0)=1, 即函数在x=0处的切点为(0,1)，斜率为0. 因此，coSh(x)在x=0处的切线方程为y=1. 2.2讨论f(x)=cosh(x)-coSx在(0+∞)的单调性 利用导数研究函数单调性，通过求导判断导函数的符号，若f(x)>0,则函数单调递 增：若f(x)<0,则函数单调递减。 f(x)=cosh (x)-cosx=-cosx,xE(0+), 求导得f(x)=“+snx, F(x)=f (x)=+sinx,xE(0 +o). 再次求导得PF(x)=+c0sx,， 由基本不等式得≥Ve,ex=1,当且仅当e=ex,即x=0时，等号成立， 因此在(0+∞)上，学>1. 故F(x)>1+cosx≥0，得F(x)=f(x)在(0，+∞)上单调递增， 因此f(x)>f(0)=0,可得f(x)在(0，+∞)上单调递增. 2.3证明数列不等式 本题采用放缩法结合裂项相消法证明，需先证明两个辅助不等式，再结合前两问结论 逐步放缩，最终求和得证。 步骤1：证明辅助不等式：当x∈(0,1)时，sx>x-晋. 令g(x)=sinx-x+,xe(01),求导得g(x)=cosx-1+号， 再令h(x)=g(x)=cosx-1+号，x∈(0,1)，求导得h(x)=-snx+x, 令p(x)=h(x)=-sx+x,x∈(0,1)，求导得p(x)=-cosx+1>0, 故p(x)=h(x)在(0,1)上单调递增，因此h(x)>h(0)=0, 即h(x)>0,h(x)=g(x)在(0,1)上单调递增，得g(x)>g(0)=0, 故g(x)在(0,1)上单调递增，g(x)>g(0)=0, 即sinx>x-爱，x∈(0,1) 步骤2：结合前两问结论放缩通项 由(2)知，当x∈(0,1)时，f(x)>f(0)=0,即cosh(x)>cosx, 又xe(0,1)时，tanx>0,故tanx,cosh(x)>tanx·cosx=sinx, 结合辅助不等式得nx包>变>1-号. 步骤3：令x=贵并进一步裂项放缩 令x=贵(n>1neN),则 tan哈cosh(贵)=iad>1-à， 又京<点=点一贵， 因此，ntan哈cosh(合)>1-含（六-分）. 步骤4：裂项相消求和得证 当n≥2，neN时，对通项依次放缩： 2tan吃cosh(2)>1-音(1-)， 3tan时cosh(号)>1-言(3-专) taun哈cosh(合)>1-合（己-合）， 将以上各式相加得 2tan吃cosh(号)+3tan时cosh(专)+…+ntan片cosh(告) >1-(1-)+1-(-)+…+1-含（点-贵） =n-1-含(1-声)=n+品-， 因此， 2tan吃cosh(号)+3tan时cosh(侍)+…+tan哈cosh(贵)>n+六-(a>1,neN) ,得证 补充证法（基础放缩法） 先证xe(O,受)时，tanx>x. 令g(x)=tanx-x,xe(0,受)，求导得g(x)=-1=tan2x>0, 故g(x)在(0)上单调递增，g(x)>g(0)=0,即x∈(0，受)时，tanx>x 又cosh(x)=告≥1，当且仅当x=0时，等号成立， 故当x∈(0,1)时，cosh(x)>1. 因此x∈(0,1)时，tanxcosh(x)>x,即nxo>1. 令x=(n≥2ner),则ta cosh(告)=图>1， 求和得 2tam吃c0sh(3)+3ta时cosh(3)+.+tan哈cosh(合)>n-1>n-1-合(1-合)=n+à ,故不等式得证 三、试题背景 3.1双曲函数与三角函数的复变联系 双曲函数与三角函数并非孤立存在，二者通过复数建立紧密联系，核心关系式为： cosh(x)=cos(),sinh(x)=-in(ix).(其中i为虚数单位，平=-1)， 该关系式揭示了两类函数的本质关联。 3.2泰勒公式与麦克劳林公式 本题中三角函数的放缩依托泰勒公式展开，泰勒公式是将函数在某点展开为幂级数 的重要工具，其一般形式为： f(x)=f(0)+f(x)(x-)+型(x-x)2+…+型2(x-)+o(x-x) 当x0=0时，泰勒公式退化为麦克劳林公式（特殊形式）： f(x)=f(0)+f(0)x+9+…+型x+0(x0) 常见函数的麦克劳林展开式 (指数函数：e=1+x+受+…+器+o(x)； 2正弦函数：si=x-号+背-…+(-1)m+o(x2m): (3)余弦函数：c0sx=1-号+普-…+(-1)m册+o(x2+1)； (④正切函数：tanx=x+等+等+器+…(x到<受). 四、试题改编 基于原试题的解题思路，对数列不等式进行强化放缩，改编试题如下： 改编题：证明： 2tam吃cosh(3)+3tan时cosh(3)+,+tan哈cosh(a)>n-点-音(n>1neN) 证明思路：先证0<x≤专时，tanx>x+号，cosh(x)>1+号， tanx·cosh(x)>(x+号)(1+) 令x=(n≥2nEN),则ntan(合)cosh(合)>n(合+)(1+) =（1+京)(1+品)=1+品+a>1+品>1+(-贵)， 对通项裂项放缩后求和： 2tan吃cosh(2)+3tan时cosh(3)+…+tan÷cosh(贵)） >1+(1-)+1+8(3-专)+…+1+(-合) =n-1+号(1-)=n-品-言，不等式得证. 五、试题点评 本题为新定义下函数与数列的综合题，融合了双曲函数、三角函数、导数、数列不 等式等多个高中数学核心知识点，试题设计层层递进，考查学生的数学抽象、逻辑 推理、数学运算等核心素养： 1.第(1)问考查导数的几何意义，属于基础题型，通过直接求导计算切点和斜率即 可求解，注重对基本公式和概念的掌握： 2.第(2)问考查利用导数研究函数单调性，需要多次求导并结合基本不等式判断导 函数符号，注重对导数工具的灵活运用： 3.第(3)问是试题的难点，需要综合前两问的结论，结合辅助函数证明、放缩法、 裂项相消法证明数列不等式，注重对知识的综合运用和逻辑推理能力的考查： 4.试题背后蕴含双曲函数与三角函数的复变联系、泰勒公式等数学背景，体现了数 学知识的系统性和关联性，同时通过试题改编，展示了放缩法的灵活性，为学生的解 题思路拓展提供了方向。 此类试题的解题关键在于：准确理解新定义函数的性质，熟练运用导数工具研究函 数单调性、最值，掌握数列不等式证明的常见方法（放缩法、裂项相消法、数学归 纳法等)，并能将不同模块的知识融会贯通，逐步推导求解。