第五单元 认识方程 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）-2025-2026学年北师大版数学四年级下册

第五单元 认识方程 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、用字母表示数 1 二、等量关系 2 三、方程的意义 2 四、解方程 2 五、列方程解决实际问题 3 考点讲练 4 考点一：字母表示数 4 考点二：等式的认识及列等量关系式 6 考点三：方程的认识 8 考点四：列简易方程 9 考点五：应用等式的性质1解方程 10 考点六：应用等式的性质2解方程 13 考点七：列方程解含一个未知数的问题 16 考点八：列方程解含两个未知数的问题 19 考点九：列方程解稍复杂的实际问题 22 综合训练 25 知识梳理 一、用字母表示数 1.意义：用字母可以表示不确定的数、数量关系、运算定律和计算公式，使表达更简洁、通用。 2.写法规则 数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可写作“·”或省略，数字写在字母前面（如：3×a写作3a，a×b写作ab）。 1与字母相乘时，1省略（如：1×x写作x）。 带单位的式子，若式子是加减运算，需加括号（如：“a+5米”应写作“(a+5)米”）。 3.用字母表示数量关系：如“小明今年a岁，妈妈比他大25岁，妈妈今年(a+25)岁”；“每支笔x元，买5支笔需要5x元”。 4.用字母表示计算公式：如长方形周长C=2(a+b)（a为长，b为宽），正方形面积S=a²（a为边长，a²表示a×a）。 二、等量关系 1.定义：数量之间相等的关系，是列方程的基础。 2.常见类型 和差关系：如“男生人数+女生人数=总人数”“苹果质量-梨的质量=多的质量”。 倍数关系：如“甲数是乙数的3倍→甲数=乙数×3”“红花数量是黄花的1.5倍→红花数量=黄花数量×1.5”。 公式中的等量关系：如“路程=速度×时间”“总价=单价×数量”“三角形面积=底×高÷2”。 3.找等量关系的方法 抓关键词：“一共”“比……多/少”“是……的几倍”“平均”等。 画图法：用线段图、示意图表示数量关系（如用线段表示甲、乙两数，标注倍数或差量）。 列表法：整理已知条件，明确各量之间的关系。 三、方程的意义 1.定义：含有未知数的等式叫做方程。 核心条件：①是等式（有“=”）；②含有未知数（如x、y等字母）。 反例：3+5=8（是等式但不含未知数，不是方程）；2x+3（含未知数但不是等式，不是方程）。 2.方程与等式的关系：方程一定是等式，等式不一定是方程（只有含未知数的等式才是方程）。 四、解方程 1.相关概念 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值（如x=3是方程x+2=5的解）。 解方程：求方程的解的过程。 2.等式的性质（解方程的依据） 性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 例：若x+5=10，则x+5-5=10-5（两边同时减5），得x=5。 性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 例：若3x=12，则3x÷3=12÷3（两边同时除以3），得x=4；若x÷4=2，则x÷4×4=2×4（两边同时乘4），得x=8。 3.解方程的步骤（以“2x-15=25”为例） 写“解”字：解： 利用等式性质变形：2x-15+15=25+15（两边加15，依据性质1）→2x=40 继续变形：2x÷2=40÷2（两边除以2，依据性质2）→x=20 检验（可选但推荐）：把x=20代入原方程，左边=2×20-15=25，右边=25，左边=右边，所以x=20是方程的解。 4.注意事项 每一步等号要对齐，确保变形依据明确。 未知数一般写在等号左边。 除以一个数时，除数不能为0。 五、列方程解决实际问题 1.步骤 审题：明确题意，找出已知量和未知量（设未知数为x）。 找等量关系：根据关键词、公式或生活经验确定等量关系（关键步骤）。 列方程：根据等量关系列出含有未知数的等式。 解方程：利用等式性质求出未知数的值。 检验作答：检验结果是否符合题意，写出完整答语。 2.设未知数的技巧 直接设：求什么设什么（如“求苹果有多少千克”，设苹果有x千克）。 间接设：当直接设未知数难以列方程时，设与未知量相关的量为x（如“甲比乙的2倍多3，甲是15，求乙”，设乙为x，则甲=2x+3）。 3.典型题型示例 和差问题：“五年级共有学生120人，男生比女生多10人，男、女生各有多少人？” 解：设女生有x人，则男生有(x+10)人，等量关系：男生人数+女生人数=总人数→x+(x+10)=120，解得x=55，男生=55+10=65人。 倍数问题：“一个数的3倍加上5等于20，求这个数。” 解：设这个数为x，等量关系：3x+5=20，解得x=5。 图形问题：“一个长方形周长是30厘米，长是宽的2倍，求长和宽。” 解：设宽为x厘米，则长为2x厘米，等量关系：2×(长+宽)=周长→2×(2x+x)=30，解得x=5，长=10厘米。 考点讲练 考点一：字母表示数 【典例精讲】在里填上适当的数或字母，在里填上适当的运算符号。 a＋18＋82＝a＋（）    m×（a＋b）＝m＋m xy－yz＝y（）    a÷b÷18＝a÷（） 2.5×b×4＝b×（）    428－m－n＝428－（） 【答案】18；＋；82；×；a；＋；b； y；×；x；－；z；b；×；18； 2.5；×；4；m；＋；n 【分析】根据加法的结合律，乘法分配律，除法的性质，乘法交换律，乘法结合律，减法的性质，进行分析。 【详解】根据分析得： 【变式训练】王阿姨买了4打鸡蛋，1打12个，一共花了y元。每个鸡蛋（    ）元。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】王阿姨买了4打鸡蛋，1打12个，首先计算鸡蛋总数是个；每个鸡蛋的价格＝总花费÷鸡蛋总数，即 。 【详解】由分析可得： 王阿姨买了4打鸡蛋，1打12个，一共花了y元。每个鸡蛋元。 故答案为：C 【变式训练】今年园园比乐乐小a岁，两年后园园比乐乐小（    ）岁。 A．a B． C． D．2a 【答案】A 【分析】年龄差是固定不变的。今年园园比乐乐小a岁，两年后两人的年龄同时增加2岁，年龄差仍保持为a岁。 【详解】由分析可得： 今年园园比乐乐小a岁，两年后园园比乐乐小a岁。 故答案为：A 【变式训练】1只螃蟹1张嘴，2只眼睛8条腿； 2只螃蟹2张嘴，4只眼睛16条腿； 3只螃蟹3张嘴，6只眼睛24条腿； …… n只螃蟹( )张嘴，( )只眼睛，( )条腿。 【答案】n；2n；8n 【分析】一只螃蟹对应着1张嘴、对应着2只眼睛、对应着8条腿，因此：嘴的张数和螃蟹只数一一对应、眼睛只数是螃蟹只数的2倍、腿的条数是螃蟹只数的8倍。据此解答。 【详解】    n只螃蟹张嘴，只眼睛，条腿。 考点二：等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】a的5倍是45，数量关系式是a×5＝45。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意可知“a的5倍是45”，根据乘法的定义，“a的5倍”表示a与5相乘，结果为45，写成对应的数量关系式判断即可，据此解答。 【详解】根据分析可得：“a的5倍是45”可得数量关系式为。 验证：当时，，符合题意。 因此，该关系式正确。 故答案为：√ 【变式训练】请你根据等量关系补充一个条件。 超市运回两箱苹果，每箱15千克，( )，还剩10千克。 等量关系：运回的苹果的千克数－卖出去的苹果千克数＝剩下的苹果千克数 【答案】卖出去了20千克苹果 【分析】根据等量关系：运回的苹果的千克数－卖出去的苹果千克数＝剩下的苹果千克数，题中已有运回的苹果的千克数——“超市运回两箱苹果，每箱15千克”以及剩下的苹果千克数——“还剩10千克”，还缺“卖出去的苹果千克数”这个条件，再根据等量关系求出卖出去的苹果的质量即可解答。 【详解】（千克） （千克） 卖出去的苹果有20千克。 超市运回两箱苹果，每箱15千克，（卖出去了20千克苹果），还剩10千克。 等量关系：运回的苹果的千克数－卖出去的苹果千克数＝剩下的苹果千克数 【变式训练】请你根据等量关系补充一个条件。 一个音乐盒90元，( )，买一个音乐盒和一只玩具熊共用去138元。 等量关系：买一个音乐盒的钱数＋买一只玩具熊的钱数＝一共用去的钱数 【答案】一只玩具熊48元 【分析】该步骤需要用到等量关系：买一个音乐盒的钱数＋买一只玩具熊的钱数＝一共用去的钱数。已知买一个音乐盒的钱数是90元，一共用去的钱数是138元，要求买一只玩具熊的钱数，根据加法各部分之间的关系，一个加数＝和-另一个加数，所以用一共用去的钱数减去买一个音乐盒的钱数，即可求出买一只玩具熊的钱数。据此解答。 【详解】（元） 一个音乐盒90元，一只玩具熊48元，买一个音乐盒和一只玩具熊共用去138元。 【变式训练】什么时候相等？你能说出等量关系吗？ 【答案】天平平衡时相等；见详解 【分析】天平保持平衡时，表示天平左右两边的物体质量相等。天平哪边偏低那边物体质量就较重，第一幅图一个苹果的重量＞一个梨和一个樱桃的重量，第二幅图一个梨的重量＋100克＞一个苹果的重量，第三幅图，100克和一个樱桃的重量＝一个苹果的重量，据此解题。 【详解】天平平衡时相等； 苹果的重量＞梨＋樱桃的重量      苹果的重量＜100克＋梨的重量     100克＋樱桃的重量＝苹果的重量 考点三：方程的认识 【典例精讲】下列式子中，（    ）不是方程。 A．5x＋3＝10 B．a＋5＝9 C．2x－6 【答案】C 【分析】首先要明确方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，需要同时满足“含未知数”和“是等式”两个条件。 【详解】A．5x＋3＝10，既含有未知数x，又是等式，是方程。 B．a＋5＝9，既含有未知数a，又是等式，是方程。 C．2x－6，只含有未知数x，但不是等式，不是方程。 故答案为：C 【变式训练】式子45＋20x中含有未知数，所以它是方程。( ) 【答案】× 【分析】方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。据此解答。 【详解】式子中含有未知数，但不是一个等式，所以它不是方程。 原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练】4x＋5和6x＞12都含有x，所以都属于方程。( ) 【答案】× 【分析】根据方程的定义，方程是含有未知数的等式。题目中的“4x＋5”不是等式；“6x＞12”是一个不等式，也不是等式。虽然两者都含有未知数x，但均不满足方程的定义（必须是等式）。 【详解】4x＋5不是等式，6x＞12是不等式，因此它们都不属于方程，原说法错误。 故答案为：× 【变式训练】在2y－4＝10，9x＋2＜70，25＋6＝31，12a－5a，18÷x中，方程有（    ）个。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】方程必须具备两个条件：①必须含有未知数；②必须是等式；据此解答。 【详解】，含有未知数，而且是等式，所以是方程； ，含有未知数，但不是等式，所以不是方程； ，是等式，但不含未知数，所以不是方程； 、，含有未知数，但不是等式，所以不是方程； 所以方程有1个。 故答案为：D 考点四：列简易方程 【典例精讲】三个连续自然数的和是102，求中间的数是多少。列方程是( )。 【答案】 【分析】三个连续自然数，中间的自然数为x，则前一个自然数是，后一个自然数为，根据题意，三个数加起来是102，列出方程即可。 【详解】由分析可知： 中间的自然数为x，则前一个自然数是，后一个自然数为 三个连续自然数的和是102，求中间的数是多少。列方程是。 【变式训练】5个x和6个y的值相等，列出的方程是( )。 【答案】 【分析】根据5乘x等于6乘y，列出方程即可。 【详解】由分析可知： 5个x和6个y的值相等，列出的方程是。 【变式训练】一件上衣x元，一条裤子38元，它们一共100元，列方程为( )。 【答案】 【分析】一件上衣x元，一条裤子38元，它们一共100元，根据上衣的价格＋裤子的价格＝100，列出方程即可。 【详解】一件上衣x元，一条裤子38元，它们一共100元，列方程为。 【变式训练】如下图，整个图形的面积为100，则下面方程错误的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】整个图形的面积为100，写出数量关系：左边小长方形的面积（长为8，宽为5）＋右边小长方形的面积（长为x，宽为5）＝100，据此列出方程：； 也可写出数量关系：整个图形的面积-右边小长方形的面积＝左边小长方形的面积，据此列出方程：。 【详解】A.符合题意，方程正确； B.不符题意，方程错误； C.符合题意，方程正确。 故答案为：B 考点五：应用等式的性质1解方程 【典例精讲】解方程。 x＋0.5＝2.1    y－5＝35    200－x＝40.5 【答案】x＝1.6；y＝40；x＝159.5 【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时减去0.5即可求出x的值。 （2）根据等式的性质，方程两边同时加上5即可求出y的值。 （3）根据等式的性质，方程两边同时加上x，再同时减去40.5即可求出x的值。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 【变式训练】解方程。          【答案】x＝32；y＝150；x＝57 【分析】根据等式的性质，方程两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立，据此求解各方程。 【详解】 解： 解： 解： 【变式训练】看图列式，并计算。   【答案】x＋80＝240 x＝160 【分析】看了的页数x页＋剩下没看的80页＝这本书一共的页数240页。据此列出算式并进行计算即可。 【详解】x＋80＝240 解：x＋80－80＝240－80 x＝160 所以看了160页。 【变式训练】看图列方程并解方程。 【答案】x＝25° 【分析】三角形内角和等于180°，根据等量关系列方程：x＋65°＋90°＝180°，再根据等式的性质解方程即可。 【详解】x＋65°＋90°＝180° 解：x＋155°＝180° x＋155°－155°＝180°－155° x＝25° 考点六：应用等式的性质2解方程 【典例精讲】解方程。 75x＝150    x÷3＝5.4    425÷x＝5 【答案】x＝2；x＝16.2；x＝85 【分析】（1）方程75x＝150，根据等式的性质，两边同时除以75即可求出x的值。 （2）方程x÷3＝5.4，根据等式的性质，两边同时乘3即可求出x的值。 （3）方程425÷x＝5，根据除法各部分间的关系，除数x＝被除数425÷商5，据此求出x的值。 【详解】（1）     解：                       （2）   解：                       （3） 解：                                      【变式训练】解方程。 3x＋9＝15    x÷14＝70    6x－x＝40 【答案】；； 【分析】，先将等式两边同时减去9，再等式两边同时除以3，即可求出方程的解； ，等式两边同时乘14，即可求出方程的解； ，先计算出的差，然后再将等式两边同时除以5，即可求出方程的解。 【详解】                解：                                                                                     解：                                 解：                          【变式训练】解方程。 x÷37＝0    13x－16＝36    4x＋6.5＝18.5 【答案】x＝0；x＝4；x＝3 【分析】解方程的本质是利用“等式的基本性质”，通过一系列等价变形，把方程逐步简化，最终得到未知数＝具体数值的形式。 【详解】                   解：                                                解：                                                                                               解：                                                                                        【变式训练】看图列方程，并解方程。 【答案】 【分析】由图可知，一件外套的价格为x元，有4件外套，共4x元，外套的总价格是160元，据此列出方程为：。解这个方程时，方程两边同时除以4即可解方程。 【详解】 解： 考点七：列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】李奶奶家养了x只鸡，王奶奶家养的鸡是李奶奶家养的2倍。王奶奶家养了72只，李奶奶家养了多少只？（列方程解）。 【答案】36只 【分析】根据李奶奶家养鸡的只数乘2等于王奶奶家养鸡的只数，列出方程，再根据等式的性质2解方程。 【详解】解：设李奶奶家养了x只鸡。                  答：李奶奶家养了36只。 【变式训练】陇西车站为了适应“新时代让出行更便捷”的要求，对车站列车进行了提速处理。列车提速后每小时行驶174千米，比提速前的2倍还多6千米，提速前火车每小时行驶多少千米？ 【答案】84千米 【分析】设提速前火车每小时行驶x千米，根据“提速后速度比提速前的2倍还多6千米”这一数量关系，列出方程2x＋6＝174，解方程求出x的值，即可解答。 【详解】解：设提速前火车每小时行驶x千米。 2x＋6＝174 2x＋6－6＝174－6 2x＝168 2x÷2＝168÷2 x＝84 答：提速前火车每小时行驶84千米。 【变式训练】某商场打折出售一种照相机，每部y元。如果第1天卖出3部，第2天卖出4部，这些照相机一共卖了4193元钱，那么每部照相机多少元钱？ 【答案】 599元 【分析】根据等量关系式：照相机的单价×第一天卖出的数量＋照相机的单价×第二天卖出的数量＝4193，列出方程，先化简左边的等式使得方程变为，再方程两边同时除以7即可求解。 【详解】解：设每部照相机y元。 答：每部照相机599元。 【变式训练】服装厂有240米花布，做了一批连衣裙，每件用布3米，还剩48米。做了多少件连衣裙？（用方程解） 【答案】 64件 【分析】根据题意可得，设做了x件连衣裙，每件连衣裙用布3米，x件连衣裙用布的米数为3x米，剩下48米，总布长240米；等量关系为：用掉的布的米数＋剩下的布的米数＝总布的米数，即，根据等式的基本性质解出方程即可得到答案。 【详解】解：设做了x件连衣裙。                                                               答：做了64件连衣裙。 考点八：列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】班级图书角共有故事书56本，童话故事书本数的和漫画故事书本数的相等。童话故事书和漫画故事书各有多少本？（列方程解答） 【答案】童话故事书有21本，漫画故事书有35本。 【分析】设童话故事书有本，根据题中的等量关系，漫画故事书本数＝56本－童话故事书本数，，据此列方程即可得童话故事书的本数，再用总本数减童话故事书本数即可得漫画故事书本数。 【详解】解：设童话故事书有本，则漫画故事数为本。 （本） 答：童话故事书有21本，漫画故事书有35本。 【变式训练】小红和小丽一起编手串参加手工市集。小红编的手串数量比小丽的2倍少3串，两人一共编了24串。求小丽编了多少串手串？（用方程解答） 【答案】9串 【分析】根据题意，数量关系有小丽编的手串数量×2－3＝小红编的手串数量，小丽编的手串数量＋小红编的手串数量＝24，设小丽编了x串手串，再用含有未知数x的式子表示小红编的手串数量，最后根据小丽编的手串数量＋小红编的手串数量＝24列出方程，并根据等式的性质1和2解方程。 【详解】解：设小丽编了x串手串，则小红编了（2x－3）串手串。 2x－3＋x＝24 3x－3＝24 3x－3＋3＝24＋3 3x＝27 3x÷3＝27÷3 x＝9 答：小丽编了9串手串。 【变式训练】国家对纯电动汽车规定的补贴标准如表。一家汽车店5月份卖出的续航400千米以上的车刚好是400千米及以内车的2倍，共发放补贴75万元，卖出续航400千米及以内的车有多少辆？ 续航里程档次 400千米以上 400千米及以内 补贴价格 2万元/辆 1万元/辆 【答案】15辆 【分析】设卖出续航400千米及以内的车的数量为x辆。因为题目中提到卖出续航400千米以上的车是续航400千米及以内车的2倍，所以卖出续航400千米以上的车的数量为2x辆。然后，我们根据补贴价格来计算补贴的总金额，对于续航400千米以上的车，每辆补贴2万元，所以这部分车的补贴金额为2×2x万元；对于续航400千米及以内的车，每辆补贴1万元，所以这部分车的补贴金额为1×x万元。已知总共发放补贴75万元，所以我们可以列出方程2×2x＋1×x＝75，据此解答即可。 【详解】解：设卖出续航400千米及以内的车有x辆，则卖出续航400千米以上的车有2x辆。 2×2x＋1×x＝75 4x＋x＝75 5x＝75 5x÷5＝75÷5 x ＝15 答：卖出续航400千米及以内的车有15辆。 【变式训练】某玩具厂5月份生产一款玩具905个，下半月比上半月生产个数的2倍少127个，上半月生产了多少个？（列方程求解） 【答案】344个 【分析】由题意得，假设上半月生产的玩具个数为x，下半月比上半月生产个数的2倍少127个，那么下半月生产的玩具个数为：2x－127。玩具厂5月份一共生产了玩具905个，据此列出等量关系为：上半月生产的玩具个数＋下半月生产的玩具个数＝905。然后根据等量关系式列出方程并解方程即可。 【详解】解：设上半月生产了x个玩具 x＋2x－127＝905 3x－127＝905 3x－127＋127＝905＋127 3x＝1032 3x÷3＝1032÷3 x＝344 答：上半月生产了344个玩具。 考点九：列方程解稍复杂的实际问题 【典例精讲】有一个三层的书架，上面一共放了450本书，上层比下层多放了50本书，下层比中层少放了10本书。这个书架的上、中、下三层各放了多少本书？ 【答案】上层180本；中层140本；下层130本 【分析】根据题意可知，下层放书的数量＋50本＝上层放书的数量，下层放书的数量＋10本＝中层放书的数量，上层放书的数量＋中层放书的数量＋下层放书的数量＝450本，故设下层放书x本，进而就可知上层放书（x＋50）本，下层放书（x＋10）本，根据等量关系式列出方程，再根据等式的基本性质解方程即可。 【详解】解：设下层放书x本 x＋50＋x＋10＋x＝450 3x＋60＝450 3x＋60－60＝450－60 3x＝390 3x÷3＝390÷3 x＝130 130＋50＝180（本） 130＋10＝140（本） 答：这个书架上层放书180本，中层放书140本，下层放书130本。 【变式训练】贝贝和丽丽做兰花，贝贝已经做了120个，丽丽已经做了150个，从现在开始贝贝每天做15个，丽丽每天做12个，多少天后两人做的兰花数量同样多？（列方程解答） 【答案】10天 【分析】根据题意可知数量关系为：贝贝已做的120个＋贝贝再做的个数＝丽丽已做的150个＋丽丽再做的个数，并设x天后两人做的兰花数量同样多；根据每天做的个数×做的天数＝再做的个数，分别表示出贝贝再做的个数是15x个，丽丽再做的个数是12x个；根据数量关系列出方程，再根据等式的性质（一）（二）及乘法分配律解方程即可。据此解答。 【详解】解：设x天后两人做的兰花数量同样多； 120＋15x＝150＋12x 120＋15x－120＝150＋12x－120 15x＝150－120＋12x 15x＝30＋12x 15x－12x＝30＋12x－12x （15－12）x＝30 3x＝30 3x÷3＝30÷3 x＝10 答：10天后两人做的兰花数量同样多。 【点睛】本题首先要抓住“多少天后两人做的兰花数量同样多”找到等量关系；解方程时，要根据等式的性质把方程两边的数字和未知数分别合并到一起，再根据乘法分配律把两个未知数变成一个未知数，从而把复杂的方程逐步变得简单。 【变式训练】某食堂运进大米、面粉和面条共13.2吨，已知大米的重量比面粉的3倍少0.6吨，面粉的重量比面条的3倍多0.2吨，该食堂运进大米、面粉和面条各多少吨？ 【答案】大米9吨；面粉3.2吨；面条1吨 【分析】设面条重量为x吨。面粉重量比面条的3倍多0.2吨，因此面粉重量为（3x＋0.2）吨；大米重量比面粉的3倍少0.6吨，将面粉重量代入，得大米重量为：3×（3x＋0.2）－0.6吨，三种食材总重量为13.2吨，因此列方程：x＋（3x＋0.2）＋3×（3x＋0.2）－0.6＝13.2，然后解方程即可。 【详解】解：设面条重量为x吨。 x＋（3x＋0.2）＋3×（3x＋0.2）－0.6＝13.2 x＋3x＋0.2＋9x＋0.6－0.6＝13.2 13x＋0.2＝13.2 13x＋0.2－0.2＝13.2－0.2 13x＝13 13x÷13＝13÷13 x＝1 3×1＋0.2 ＝3＋0.2 ＝3.2（吨） 3×3.2－0.6 ＝9.6－0.6 ＝9（吨） 答：该食堂运进大米9吨、面粉3.2吨和面条1吨。 【变式训练】下面是一张破损的票据，请你算出每把椅子的价格。（列方程解答） 【答案】40元 【分析】设每把椅子x元，根据等量关系：每把椅子的钱数×椅子的数量＋每张桌子的钱数＝230元，列方程解答即可。 【详解】解：设每把椅子x元。 4x＋70＝230 4x＋70－70＝230－70 4x＝160 4x÷4＝160÷4 x＝40 答：每把椅子40元。 综合训练 1．当a＝8，b＝6时，a＋b的值为（    ）。 A．2 B．14 C．27 D．48 【答案】B 【分析】将a＝8，b＝6代入a＋b求值即可。 【详解】根据分析： 故答案为：B 2．五（1）班有男生24人，女生比男生少a人。该班有女生（    ）人。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题目，女生人数＝男生人数－a，据此列式即可。 【详解】女生有：（24－a）人 五（1）班有男生24人，女生比男生少a人。该班有女生（24－a）人。 故答案为：C 3．如果0.84元人民币兑换1港元，标价为a港元的奶粉需要（    ）元人民币。 A．a＋0.84 B．a÷0.84 C．0.84÷a D．a×0.84 【答案】D 【分析】用港元乘汇率即可将港元换算为人民币。 【详解】用a港元乘汇率0.84即可换算为人民币，即标价为a港元的奶粉需要a×0.84元人民币。 故答案为：D 4．四（1）班有男生m人，女生人数比男生的1.5倍少2人。女生有（    ）人。 A．m＋1.5－2 B．1.5m－2 C．1.5m＋2 D．1.5m－m＋2 【答案】B 【分析】女生人数比男生的1.5倍少2人，数量关系式是：男生人数×1.5－2＝女生人数，根据数量关系式解答。 【详解】数量关系式是：男生人数×1.5－2＝女生人数，男生人数是m人，女生人数： 故答案为：B 5．方程3x＝42的解是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求方程的解，根据等式的基本性质求解即可。 【详解】                解：                   故本题答案为：B 6．张老师买了一个篮球和一个排球。篮球的价格是45元，比排球价格的2倍多1元。如果设排球的价格是x元，那么可以列出的方程是（    ）。 A．2x＋1＝45 B．2x－45＝1 C．2x－1＝45 D．2x＝45＋1 【答案】A 【分析】排球的价格是x元，篮球的价格比排球价格的2倍多1元，篮球的价格为（2x＋1）元，又已知篮球的价格是45元，，则列出方程为2x＋1＝45，据此解答。 【详解】张老师买了一个篮球和一个排球。篮球的价格是45元，比排球价格的2倍多1元。如果设排球的价格是x元，那么可以列出的方程是2x＋1＝45。 故答案为：A 7．小林的邮票张数是小红的4倍，小林有36张，小红有( )张。 【答案】9 【分析】根据题意可知，用小林的张数÷4即可求出小红的张数。 【详解】（张） 所以小林的邮票张数是小红的4倍，小林有36张，小红有9张。 8．1张桌子4条腿，2张桌子( )条腿，3张桌子( )条腿……n张桌子( )条腿。 【答案】8；12；4n 【分析】几张桌子的腿数就是一张桌子腿数的几倍，用一张桌子的腿数乘桌子张数即可。据此解答 【详解】一张桌子4条腿，2张桌子的腿数是4×2＝8（条），3张桌子的腿数是4×3＝12（条），n张桌子的腿数是4×n＝4n（条） 1张桌子4条腿，2张桌子8条腿，3张桌子12条腿……n张桌子4n条腿。 9．水果超市一周的销售额是a元，平均每天的销售额是( )元。 【答案】a÷7 【分析】已知一周有7天，求平均每天的销售额，用一周的销售额除以7即可；据此解答。 【详解】 所以，水果超市一周的销售额是a元，平均每天的销售额是（）元。 10．一个皮球的价钱是12元，买a个皮球应付( )元；如果一个皮球的价钱是a元，买b个皮球应付( )元。 【答案】 【分析】依据总价＝单价×数量，用皮球的单价12元乘a即可；用皮球的单价a元乘b即可。 【详解】一个皮球的价钱是12元，买a个皮球应付元；如果一个皮球的价钱是a元，买b个皮球应付元。 11．是三个边长为a厘米的正方形拼成的一个长方形，这个长方形的周长是( )厘米。 【答案】8a 【分析】由题意可知：三个边长为a厘米的正方形拼成的长方形的长是3a，宽是a，根据长方形的周长（长宽）2代入数据计算出结果即可，据此解答。 【详解】（厘米） 即是三个边长为a厘米的正方形拼成的一个长方形，这个长方形的周长是（8a）厘米。 12．看图填空。     ( )个橘子和4颗草莓一样重。    1棵白菜和( )根胡萝卜一样重。 【答案】 1 3 【分析】由图可知，天平保持平衡，即天平左右两边物体的质量相等，所以1个橘子和4颗草莓一样重，1棵白菜和3根胡萝卜一样重。 【详解】1个橘子和4颗草莓一样重，1棵白菜和3根胡萝卜一样重。 13．解方程。 8x÷2＝68    5x－0.05＝24.95 【答案】x＝17；x＝5 【分析】（1）应用等式的性质2，等式两边同时乘2，等式两边同时除以8，解方程。 （2）应用等式的性质1和2，等式两边同时加上0.05，等式两边同时再除以5，解方程。 【详解】8x÷2＝68 解：8x÷2×2＝68×2 8x＝136 8x÷8＝136÷8 x＝17 5x－0.05＝24.95 解：5x－0.05＋0.05＝24.95＋0.05 5x＝25 5x÷5＝25÷5 x＝5 14．解方程。 x÷2.7＝0.4         18＋5x＝93         7m＝175         2x－3.6＝2.4 【答案】x＝1.08；x＝15；m＝25；x＝3 【分析】（1）依据等式的性质，方程两边同时乘2.7求解。 （2）依据等式的性质，方程两边同时减18，再同时除以5求解。 （3）依据等式的性质，方程两边同时除以7求解。 （4）依据等式的性质，方程两边同时加3.6，再同时除以2求解。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： 15．看图列方程并求解。 【答案】5x＝150 x＝30 【分析】由图中可知水泥有x千克，沙子是水泥的5倍，沙子有150千克，由此可列出5x＝150，根据等式性质2左右两边同时除以5可解决方程。 【详解】5x＝150 5x÷5＝150÷5 x＝30 所以水泥有30千克。 16．一个长方形的长为a米，宽为10米。若宽增加3米，则面积比原来增加45平方米。求a是多少。 【答案】 a＝15 【分析】宽增加3米，面积比原来增加45平方米，增加的是一个长是a米，宽是3米的长方形，面积是45平方米，求a值。列方程：，根据等式的基本性质解出方程即可得到答案。 【详解】                解：                    答：a是15米。 17．新学期开学时，学校买来一批新的桌椅。已知一张桌子a元，一把椅子b元，则30张桌子和60把椅子一共多少元？（用含有字母的式子表示） 【答案】元 【分析】已知一张桌子a元，一把椅子b元，30张桌子则是（）元，60把椅子则是（）元，30张桌子和60把椅子一共是元，据此解答。 【详解】（元） 答：30张桌子和60把椅子一共（）元。 18．奋进小学购进白色粉笔和彩色粉笔共64箱，其中白色粉笔的数量是彩色粉笔的3倍。白色粉笔和彩色粉笔各买了多少箱？（用方程解） 【答案】白色粉笔买了48箱，彩色粉笔买了16箱。 【分析】设彩色粉笔买了x箱，则白色粉笔买了3x箱，根据等量关系：“彩色粉笔的箱数＋白色粉笔的箱数＝64箱”列方程解答即可求出彩色粉笔的箱数，再乘3就是白色粉笔的箱数。 【详解】解：设彩色粉笔买了x箱。 x＋3x＝64 4x＝64 x＝64÷4 x＝16 16×3＝48（箱） 答：白色粉笔买了48箱，彩色粉笔买了16箱。 19．天山胜利隧道是世界上最长的高速公路隧道，全长22.13千米，比秦岭终南山隧道还长4.11千米，终南山隧道全长多少千米？（列方程解答） 【答案】18.02千米 【分析】由题意得，天山胜利隧道全长22.13千米，比秦岭终南山隧道还长4.11千米，据此列出等量关系式为：秦岭终南山隧道的长度＋4.11千米＝天山胜利隧道的长度。可以设终南山隧道的长度为未知数，根据等量关系式列出方程并解方程即可。 【详解】解：设终南山隧道全长x千米。 x＋4.11＝22.13 x＋4.11－4.11＝22.13－4.11 x＝18.02 答：终南山隧道全长18.02千米。 20．李白的《将进酒》全文有176个字，比辛弃疾的《清平乐·村居》全文字数的4倍少8个，辛弃疾的《清平乐·村居》全文有多少个字？（列方程求解） 【答案】46个 【分析】设辛弃疾的《清平乐·村居》全文有x个字，李白的《将进酒》全文有176个字，比辛弃疾的《清平乐·村居》全文字数的4倍少8个，所以《清平乐·村居》全文字数×4－8＝176，据此列方程为4x－8＝176，解方程，据此解答。 【详解】解：设辛弃疾的《清平乐·村居》全文有x个字。 4x－8＝176 4x－8＋8＝176＋8 4x＝184 4x÷4＝184÷4 x＝46 答：辛弃疾的《清平乐·村居》全文有46个字。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 认识方程 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、用字母表示数 1 二、等量关系 2 三、方程的意义 2 四、解方程 2 五、列方程解决实际问题 3 考点讲练 4 考点一：字母表示数 4 考点二：等式的认识及列等量关系式 5 考点三：方程的认识 5 考点四：列简易方程 5 考点五：应用等式的性质1解方程 6 考点六：应用等式的性质2解方程 7 考点七：列方程解含一个未知数的问题 8 考点八：列方程解含两个未知数的问题 9 考点九：列方程解稍复杂的实际问题 10 综合训练 11 知识梳理 一、用字母表示数 1.意义：用字母可以表示不确定的数、数量关系、运算定律和计算公式，使表达更简洁、通用。 2.写法规则 数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可写作“·”或省略，数字写在字母前面（如：3×a写作3a，a×b写作ab）。 1与字母相乘时，1省略（如：1×x写作x）。 带单位的式子，若式子是加减运算，需加括号（如：“a+5米”应写作“(a+5)米”）。 3.用字母表示数量关系：如“小明今年a岁，妈妈比他大25岁，妈妈今年(a+25)岁”；“每支笔x元，买5支笔需要5x元”。 4.用字母表示计算公式：如长方形周长C=2(a+b)（a为长，b为宽），正方形面积S=a²（a为边长，a²表示a×a）。 二、等量关系 1.定义：数量之间相等的关系，是列方程的基础。 2.常见类型 和差关系：如“男生人数+女生人数=总人数”“苹果质量-梨的质量=多的质量”。 倍数关系：如“甲数是乙数的3倍→甲数=乙数×3”“红花数量是黄花的1.5倍→红花数量=黄花数量×1.5”。 公式中的等量关系：如“路程=速度×时间”“总价=单价×数量”“三角形面积=底×高÷2”。 3.找等量关系的方法 抓关键词：“一共”“比……多/少”“是……的几倍”“平均”等。 画图法：用线段图、示意图表示数量关系（如用线段表示甲、乙两数，标注倍数或差量）。 列表法：整理已知条件，明确各量之间的关系。 三、方程的意义 1.定义：含有未知数的等式叫做方程。 核心条件：①是等式（有“=”）；②含有未知数（如x、y等字母）。 反例：3+5=8（是等式但不含未知数，不是方程）；2x+3（含未知数但不是等式，不是方程）。 2.方程与等式的关系：方程一定是等式，等式不一定是方程（只有含未知数的等式才是方程）。 四、解方程 1.相关概念 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值（如x=3是方程x+2=5的解）。 解方程：求方程的解的过程。 2.等式的性质（解方程的依据） 性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 例：若x+5=10，则x+5-5=10-5（两边同时减5），得x=5。 性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 例：若3x=12，则3x÷3=12÷3（两边同时除以3），得x=4；若x÷4=2，则x÷4×4=2×4（两边同时乘4），得x=8。 3.解方程的步骤（以“2x-15=25”为例） 写“解”字：解： 利用等式性质变形：2x-15+15=25+15（两边加15，依据性质1）→2x=40 继续变形：2x÷2=40÷2（两边除以2，依据性质2）→x=20 检验（可选但推荐）：把x=20代入原方程，左边=2×20-15=25，右边=25，左边=右边，所以x=20是方程的解。 4.注意事项 每一步等号要对齐，确保变形依据明确。 未知数一般写在等号左边。 除以一个数时，除数不能为0。 五、列方程解决实际问题 1.步骤 审题：明确题意，找出已知量和未知量（设未知数为x）。 找等量关系：根据关键词、公式或生活经验确定等量关系（关键步骤）。 列方程：根据等量关系列出含有未知数的等式。 解方程：利用等式性质求出未知数的值。 检验作答：检验结果是否符合题意，写出完整答语。 2.设未知数的技巧 直接设：求什么设什么（如“求苹果有多少千克”，设苹果有x千克）。 间接设：当直接设未知数难以列方程时，设与未知量相关的量为x（如“甲比乙的2倍多3，甲是15，求乙”，设乙为x，则甲=2x+3）。 3.典型题型示例 和差问题：“五年级共有学生120人，男生比女生多10人，男、女生各有多少人？” 解：设女生有x人，则男生有(x+10)人，等量关系：男生人数+女生人数=总人数→x+(x+10)=120，解得x=55，男生=55+10=65人。 倍数问题：“一个数的3倍加上5等于20，求这个数。” 解：设这个数为x，等量关系：3x+5=20，解得x=5。 图形问题：“一个长方形周长是30厘米，长是宽的2倍，求长和宽。” 解：设宽为x厘米，则长为2x厘米，等量关系：2×(长+宽)=周长→2×(2x+x)=30，解得x=5，长=10厘米。 考点讲练 考点一：字母表示数 【典例精讲】在里填上适当的数或字母，在里填上适当的运算符号。 a＋18＋82＝a＋（）    m×（a＋b）＝m＋m xy－yz＝y（）    a÷b÷18＝a÷（） 2.5×b×4＝b×（）    428－m－n＝428－（） 【变式训练】王阿姨买了4打鸡蛋，1打12个，一共花了y元。每个鸡蛋（    ）元。 A． B． C． D． 【变式训练】今年园园比乐乐小a岁，两年后园园比乐乐小（    ）岁。 A．a B． C． D．2a 【变式训练】1只螃蟹1张嘴，2只眼睛8条腿； 2只螃蟹2张嘴，4只眼睛16条腿； 3只螃蟹3张嘴，6只眼睛24条腿； …… n只螃蟹( )张嘴，( )只眼睛，( )条腿。 考点二：等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】a的5倍是45，数量关系式是a×5＝45。( ) 【变式训练】请你根据等量关系补充一个条件。 超市运回两箱苹果，每箱15千克，( )，还剩10千克。 等量关系：运回的苹果的千克数－卖出去的苹果千克数＝剩下的苹果千克数 【变式训练】请你根据等量关系补充一个条件。 一个音乐盒90元，( )，买一个音乐盒和一只玩具熊共用去138元。 等量关系：买一个音乐盒的钱数＋买一只玩具熊的钱数＝一共用去的钱数 【变式训练】什么时候相等？你能说出等量关系吗？ 考点三：方程的认识 【典例精讲】下列式子中，（    ）不是方程。 A．5x＋3＝10 B．a＋5＝9 C．2x－6 【变式训练】式子45＋20x中含有未知数，所以它是方程。( ) 【变式训练】4x＋5和6x＞12都含有x，所以都属于方程。( ) 【变式训练】在2y－4＝10，9x＋2＜70，25＋6＝31，12a－5a，18÷x中，方程有（    ）个。 A．4 B．3 C．2 D．1 考点四：列简易方程 【典例精讲】三个连续自然数的和是102，求中间的数是多少。列方程是( )。 【变式训练】5个x和6个y的值相等，列出的方程是( )。 【变式训练】一件上衣x元，一条裤子38元，它们一共100元，列方程为( )。 【变式训练】如下图，整个图形的面积为100，则下面方程错误的是（    ）。 A． B． C． 考点五：应用等式的性质1解方程 【典例精讲】解方程。 x＋0.5＝2.1    y－5＝35    200－x＝40.5 【变式训练】解方程。          【变式训练】看图列式，并计算。   【变式训练】看图列方程并解方程。 考点六：应用等式的性质2解方程 【典例精讲】解方程。 75x＝150    x÷3＝5.4    425÷x＝5 【变式训练】解方程。 3x＋9＝15    x÷14＝70    6x－x＝40 【变式训练】解方程。 x÷37＝0    13x－16＝36    4x＋6.5＝18.5 【变式训练】看图列方程，并解方程。 考点七：列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】李奶奶家养了x只鸡，王奶奶家养的鸡是李奶奶家养的2倍。王奶奶家养了72只，李奶奶家养了多少只？（列方程解）。 【变式训练】陇西车站为了适应“新时代让出行更便捷”的要求，对车站列车进行了提速处理。列车提速后每小时行驶174千米，比提速前的2倍还多6千米，提速前火车每小时行驶多少千米？ 【变式训练】某商场打折出售一种照相机，每部y元。如果第1天卖出3部，第2天卖出4部，这些照相机一共卖了4193元钱，那么每部照相机多少元钱？ 【变式训练】服装厂有240米花布，做了一批连衣裙，每件用布3米，还剩48米。做了多少件连衣裙？（用方程解） 考点八：列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】班级图书角共有故事书56本，童话故事书本数的和漫画故事书本数的相等。童话故事书和漫画故事书各有多少本？（列方程解答） 【变式训练】小红和小丽一起编手串参加手工市集。小红编的手串数量比小丽的2倍少3串，两人一共编了24串。求小丽编了多少串手串？（用方程解答） 【变式训练】国家对纯电动汽车规定的补贴标准如表。一家汽车店5月份卖出的续航400千米以上的车刚好是400千米及以内车的2倍，共发放补贴75万元，卖出续航400千米及以内的车有多少辆？ 续航里程档次 400千米以上 400千米及以内 补贴价格 2万元/辆 1万元/辆 【变式训练】某玩具厂5月份生产一款玩具905个，下半月比上半月生产个数的2倍少127个，上半月生产了多少个？（列方程求解） 考点九：列方程解稍复杂的实际问题 【典例精讲】有一个三层的书架，上面一共放了450本书，上层比下层多放了50本书，下层比中层少放了10本书。这个书架的上、中、下三层各放了多少本书？ 【变式训练】贝贝和丽丽做兰花，贝贝已经做了120个，丽丽已经做了150个，从现在开始贝贝每天做15个，丽丽每天做12个，多少天后两人做的兰花数量同样多？（列方程解答） 【变式训练】某食堂运进大米、面粉和面条共13.2吨，已知大米的重量比面粉的3倍少0.6吨，面粉的重量比面条的3倍多0.2吨，该食堂运进大米、面粉和面条各多少吨？ 【变式训练】下面是一张破损的票据，请你算出每把椅子的价格。（列方程解答） 综合训练 1．当a＝8，b＝6时，a＋b的值为（    ）。 A．2 B．14 C．27 D．48 2．五（1）班有男生24人，女生比男生少a人。该班有女生（    ）人。 A． B． C． D． 3．如果0.84元人民币兑换1港元，标价为a港元的奶粉需要（    ）元人民币。 A．a＋0.84 B．a÷0.84 C．0.84÷a D．a×0.84 4．四（1）班有男生m人，女生人数比男生的1.5倍少2人。女生有（    ）人。 A．m＋1.5－2 B．1.5m－2 C．1.5m＋2 D．1.5m－m＋2 5．方程3x＝42的解是（    ）。 A． B． C． D． 6．张老师买了一个篮球和一个排球。篮球的价格是45元，比排球价格的2倍多1元。如果设排球的价格是x元，那么可以列出的方程是（    ）。 A．2x＋1＝45 B．2x－45＝1 C．2x－1＝45 D．2x＝45＋1 7．小林的邮票张数是小红的4倍，小林有36张，小红有( )张。 8．1张桌子4条腿，2张桌子( )条腿，3张桌子( )条腿……n张桌子( )条腿。 9．水果超市一周的销售额是a元，平均每天的销售额是( )元。 10．一个皮球的价钱是12元，买a个皮球应付( )元；如果一个皮球的价钱是a元，买b个皮球应付( )元。 11．是三个边长为a厘米的正方形拼成的一个长方形，这个长方形的周长是( )厘米。 12．看图填空。     ( )个橘子和4颗草莓一样重。    1棵白菜和( )根胡萝卜一样重。 13．解方程。 8x÷2＝68    5x－0.05＝24.95 14．解方程。 x÷2.7＝0.4         18＋5x＝93         7m＝175         2x－3.6＝2.4 15．看图列方程并求解。 16．一个长方形的长为a米，宽为10米。若宽增加3米，则面积比原来增加45平方米。求a是多少。 17．新学期开学时，学校买来一批新的桌椅。已知一张桌子a元，一把椅子b元，则30张桌子和60把椅子一共多少元？（用含有字母的式子表示） 18．奋进小学购进白色粉笔和彩色粉笔共64箱，其中白色粉笔的数量是彩色粉笔的3倍。白色粉笔和彩色粉笔各买了多少箱？（用方程解） 19．天山胜利隧道是世界上最长的高速公路隧道，全长22.13千米，比秦岭终南山隧道还长4.11千米，终南山隧道全长多少千米？（列方程解答） 20．李白的《将进酒》全文有176个字，比辛弃疾的《清平乐·村居》全文字数的4倍少8个，辛弃疾的《清平乐·村居》全文有多少个字？（列方程求解） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $