（复习篇）专题04 解方程与列方程解应用题【思维导图+知识卡片+知识梳理+十六大考点讲练+真题强化 共52题】-2026-2027学年北师大版数学四升五年级暑假衔接金牌讲义

2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 2026-2027学年数学四升五年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 四年级/下册 小学数学 专题04 解方程与列方程解应用题 北 师 大 版 思维导图+知识回顾+十六大考点讲练+真题强化 （共52题） 【解析版】 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习四年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 用字母表示数 1. 用字母表示数：在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。 2.用字母表示运算定律 加法交换律：； 加法结合律：； 乘法交换律：； 乘法结合律：； 乘法分配律：。 3.用字母表示计算公式： 长方形的面积公式：S=ab；长方形的周长公式：C=2(a＋b)。 正方形的面积公式：；正方形的周长公式：C=4a。 4.用字母表示常见的数量关系：如路程、速度和时间之间的关系可以表示为s=vt。 5.求含有字母的式子的值：先用含有字母的式子表示指定的数量，再把字母的取值代入式子中求值。 6.字母的取值范围：在含有字母的式子里，字母的取值范围是由实际情况决定的。 知识点二 解简易方程 1.方程的意义：含有未知数的等式就是方程。 2.等式的性质 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 3.方程的解与解方程：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； 求方程的解的过程叫做解方程。 4.解形如x±a=b、ax=b、ax±b=c和a(x±b)=c的方程。 依据等式的性质来解此类方程。 5.检验：把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。如果相等，所求的未知数的值就是原方程的解，否则就不是。 知识点三 列方程解决实际问题的步骤 （1）找出未知数，用字母x表示。 （2）分析题中的数量关系，找出等量关系，列方程。 （3）解方程并检验作答。 考点一 用字母表示数、数量关系 【典例精讲】（25-26四年级下·河南焦作·期末）淘气在洗碗时发现，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示： 碗的数量/只 1 2 3 4 5 … 高度/cm 4 5.2 6.4 7.6 8.8 … 如果继续叠放下去，当碗的数量为8时，这摞碗的高度为( )cm。当碗的数量为x时，这摞碗的高度用含有x的式子表示为( )cm。 【答案】 12.4 1.2x＋2.8 【思路引导】观察发现叠1只碗会高5.2－4＝1.2（cm），则1只碗高4cm，2只碗高（4＋1.2×1）cm，3只碗高（4＋1.2×2）cm，4只碗高（4＋1.2×3）cm，5只碗高（4＋1.2×4）cm，……8只碗高（4＋1.2×7）cm，x只碗高[4＋1.2×（x－1）]cm。 【规范解答】5.2－4＝1.2（cm） 1只碗：4cm 2只碗：4＋1.2×1＝4＋1.2＝5.2（cm） 3只碗：4＋1.2×2＝4＋2.4＝6.4（cm） 4只碗：4＋1.2×3＝4＋3.6＝7.6（cm） 5只碗：4＋1.2×4＝4＋4.8＝8.8（cm） …… 8只碗：4＋1.2×7＝4＋8.4＝12.4（cm） x只碗：4＋1.2×（x－1）＝4＋1.2x－1.2＝（1.2x＋2.8）cm 【变式训练】（24-25四年级下·河北石家庄·期末）某社区垃圾分类站4月份共回收塑料瓶325千克，废纸比塑料瓶多回收12.6千克，玻璃制品是废纸的0.8倍。用字母表示玻璃制品回收量为( )千克，当废纸回收量为337.6千克时，玻璃制品实际回收( )千克。 【答案】 0.8x 270.08 【思路引导】根据题意可得数量关系：玻璃制品回收量＝废纸回收量×0.8，用字母表示废纸回收量为x，据此表示出玻璃制品回收量；当废纸回收量为337.6千克时，列式计算即可。 【规范解答】用字母表示废纸回收量为x，那么玻璃制品回收量就是0.8x。 337.6×0.8＝270.08（千克） 用字母表示玻璃制品回收量为0.8x千克，当废纸回收量为337.6千克时，玻璃制品实际回收270.08千克。 考点二 用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】（24-25四年级下·广东梅州·期末）图中，甲是正方形，乙是长方形，甲、乙两个图形拼成的图形周长是（    ）。 A．4a＋b B．4×（a＋b） C．4a＋2b D．5a＋2b 【答案】C 【思路引导】如图，可以把拼成的图形的边作如下平移： 平移后是一个长方形，长为b，宽是2a，长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入计算出周长。 再根据乘法分配律以及字母和数字相乘的方法化简即可。 字母和数字相乘，数字在前，字母在后，中间乘号要省略。 【规范解答】（2a＋b）×2 ＝4a＋2b 甲、乙两个图形拼成的图形周长是（4a＋2b）。 故答案为：C 【变式训练】（24-25四年级下·广东湛江·期末）如图所示：。 (1)若每个正方形的边长都是a，则长方形的周长是( )，面积是( )。 (2)像这样摆下去，摆n个正方形需要( )根小棒；有31根小棒，一共可以摆( )个正方形。 【答案】(1) 10a 4a2 (2) 3n＋1/1＋3n 10 【思路引导】（1）由题意得，每个正方形的边长是a，长方形的长等于4个小正方形的边长，那么长方形的长是4a。长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽，直接将数据代入即可表示出长方形的周长和面积。 （2）由图可知，摆1个正方形需要（1＋3×1）根小棒，摆2个正方形需要（1＋3×2）根小棒，摆3个正方形需要（1＋3×3）根小棒，所以摆n个正方形需要（1＋3×n）根小棒；一共有31根小棒，求一共可以摆多少个正方形，直接用31减去1的差除以3即可解答。 【规范解答】（1）（a＋4a）×2 ＝5a×2 ＝10a a×4a＝4a2 若每个正方形的边长都是a，则长方形的周长是10a，面积是4a2。 （2）1＋3×n＝（1＋3n）根 （31－1）÷3 ＝30÷3 ＝10（根） 像这样摆下去，摆n个正方形需要（3n＋1）根小棒；有31根小棒，一共可以摆10个正方形。 考点三 用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】（23-24四年级下·吉林长春·期末）摆平行四边形，像这样摆下去，摆n个平行四边形需要( )根小棒。 【答案】3n＋1/1＋3n 【思路引导】摆1个平行四边形需要4根小棒，摆2个平行四边形需要7根小棒，摆3个平行四边形需要10根小棒，依此找出规律并填空即可。 【规范解答】4＝1×4－0 7＝2×4－1 10＝3×4－2 摆n个平行四边形需要：n×4－（n－1）＝4n－n＋1＝（3n＋1）根 摆平行四边形，像这样摆下去，摆n个平行四边形需要（3n＋1）根小棒。 【变式训练】（24-25四年级下·浙江温州·期末）在中国古代，称直角三角形为勾股形，把较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，把斜边叫做“弦”，把两条直角边和斜边之间的关系称为勾股定理。让我们跟随数学家的脚步一起来研究吧！ 如图（1），大正方形里有1个正方形甲和4个完全相同的直角三角形①、②、③、④，把直角三角形①、②、④沿着箭头方向平移，得到两个不同的正方形乙和丙，如图（2）。 (1)观察图形，图（2）中乙、丙两个正方形的边长分别是______厘米和______厘米。 (2)想一想： 乙正方形的面积______×______＝______（平方厘米） 丙正方形的面积______×______＝______（平方厘米） (3)甲、乙、丙三个正方形面积之间有什么关系？ ________________ 所以，甲正方形的面积＝______＋______＝______×______ (4)我发现两条直角边和斜边之间的关系是：________________。 【答案】(1) 4 3 (2) 4 4 16 3 3 9 (3) 甲正方形的面积＝乙正方形的面积＋丙正方形的面积 16 9 5 5 (4)a2＋b2＝c2 【思路引导】（1）观察图形可知，正方形乙的边长刚好是直角三角形的较长直角边，由图中可知较长直角边的长度为4厘米；正方形丙的边长刚好是直角三角形的较短直角边，由图中可知较短直角边的长度为3厘米。 （2）根据正方形的面积＝边长×边长，分别求出乙和丙两个正方形的面积； （3）通过观察平移过程发现，甲正方形的面积正好是乙正方形的面积加上丙正方形的面积。 （4）总结出规律，3厘米和4厘米是直角三角形的两条直角边，5厘米是直角三角形的斜边，它们之间的关系是：3×3＋4×4＝5×5，；如果两条直角边用字母a和b表示，斜边用字母c表示，它们之间的关系用字母表示为：a×a＋b×b＝c×c，化简后为：a2＋b2＝c2。 【规范解答】（1）观察图形可知，正方形乙的边长刚好是直角三角形的较长直角边，由图中可知较长直角边的长度为4厘米，所以正方形乙的边长为4厘米。 观察图形可知，正方形丙的边长刚好是直角三角形的较短直角边，由图中可知较短直角边的长度为3厘米，所以正方形丙的边长为3厘米。 （2）乙正方形的面积：4×4＝16（平方厘米） 丙正方形的面积：3×3＝9（平方厘米） （3）甲正方形的面积＝乙正方形的面积＋丙正方形的面积 所以，甲正方形的面积＝16＋9＝5×5； （4）通过分析直角边与斜边的关系，得出结论为：a2＋b2＝c2。（答案不唯一） 考点四 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（25-26四年级下·陕西咸阳·阶段检测）水果超市运来12箱油桃，每箱a千克，又运来7箱樱桃，每箱b千克。 (1)用含有字母，的式子表示一共运来油桃和樱桃多少千克。 (2)当，时，一共运来油桃和樱桃多少千克？ 【答案】(1)（12a＋7b）千克 (2)282千克 【思路引导】（1）先分别计算两种水果的总重量，再求和：油桃总重量＝箱数×每箱重量，即12×a＝12a千克；樱桃总重量为7×b＝7b千克，总重量就是两种水果重量相加。 （2）把a＝20、b＝6，代入第一问的式子计算即可。 【规范解答】（1）12×a＋7×b＝（12a＋7b）千克 答：用含有字母a，  b的式子表示一共运来油桃和樱桃（12a＋7b）千克。 （2）a＝20 b＝6 12a＋7b ＝12×20＋7×6 ＝240＋42 ＝282（千克） 答：一共运来油桃和樱桃282千克。 【变式训练】（25-26四年级下·山东德州·阶段检测）甲汽车的速度是v千米/时，乙列车每小时行驶的路程比甲汽车的4倍还多3千米，乙列车的速度是( )千米/时；当v＝40千米/时，乙列车的速度为( )千米/时。 【答案】 4v＋3/3＋4v 163 【思路引导】甲汽车的速度是v千米/时，乙列车每小时行驶的路程比甲汽车的4倍还多3千米，也就是用甲的速度v乘4再加上3；当v＝40千米/时，把40代入到含有字母的式子中计算即可。 【规范解答】乙列车速度：v×4＋3＝（4v＋3）千米/时； 当v＝40千米/时时 乙列车的速度为：4×40＋3＝160＋3＝163（千米/时）。 考点五 等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）“一本科技书46元，比一本故事书价钱的2倍少4.6元，一本故事书多少元？”要列方程解决这个问题，下面的等量关系式正确的是（    ）。 A．一本科技书的价钱×2－4.6＝一本故事书的价钱 B．一本故事书的价钱×2－4.6＝一本科技书的价钱 C．（一本故事书的价钱－4.6）×2＝一本科技书的价钱 【答案】B 【思路引导】根据科技书比一本故事书价钱的2倍少4.6元，列出式子：科技书价格＝故事书价格×2－4.6，据此作答。 【规范解答】A．一本科技书的价钱×2－4.6＝一本故事书的价钱，该式子表达的是科技书价格贵，与题意不符。 B．一本故事书的价钱×2－4.6＝一本科技书的价钱，与题意相符。 C．（一本故事书的价钱－4.6）×2＝一本科技书的价钱，与比一本故事书价钱的2倍少4.6元表达意思不符。 【变式训练】（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）小颖爸爸的体重是84千克，妈妈的体重比爸爸轻30千克，爸爸的体重是小颖的4倍。下列数量关系中正确的是（    ）。 A．爸爸的体重＋30千克＝妈妈的体重。 B．小颖的体重×4＝爸爸的体重。 C．妈妈的体重－30千克＝小颖的体重。 【答案】B 【思路引导】由题，“小颖爸爸的体重是84千克，妈妈的体重比爸爸轻30千克”可知：爸爸的体重－30千克＝妈妈的体重，根据减法的互逆关系，等量关系式还可以是：妈妈的体重＋30千克＝爸爸的体重；再根据“爸爸的体重是小颖的4倍”可知：小颖的体重×4＝爸爸的体重；据此分析即可。 【规范解答】由分析可知： A．爸爸的体重＋30千克＝妈妈的体重；等量关系不正确； B．小颖的体重×4＝爸爸的体重；等量关系正确； C．妈妈的体重－30千克＝小颖的体重；等量关系不正确。 故答案为：B 考点六 方程的认识 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）32－（    ）＝25，要使这个式子成为方程，括号里不能填（    ）。 A．x B．7 C．m D．7y 【答案】B 【思路引导】含有未知数的等式叫方程，据此解答。 【规范解答】A.是方程，符合题意； B.不是方程，不符合题意； C.是方程，符合题意； D.是方程，符合题意。 故答案为：B 【变式训练】（24-25四年级下·安徽亳州·期末）因为中含有未知数，所以它是方程。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据题意，方程的定义是含有未知数的等式。判断一个式子是否为方程，需同时满足两个条件：①含有未知数；②是等式。以此判断即可。 【规范解答】根据分析可知： 5x−7中虽然含有未知数x，但它没有等号，不是等式，因此不符合方程的定义。原题说法错误。 故答案为：× 考点七 列简易方程 【典例精讲】（25-26四年级下·广东深圳·阶段检测）学校开展图书角捐书活动，四年级同学共捐了120本故事书，比捐的科技书的2倍多10本。如果设捐的科技书有x本，那么下列方程正确的是（    ）。 A．2x＋10＝120 B．2x－10＝120 C．2x＝120＋10 D．2x－120＝10 【答案】A 【思路引导】科技书本数乘2加10等于故事书本数。设科技书有本，代入数据即可列出方程。 【规范解答】根据分析可知，如果设捐的科技书有x本，那么下列方程正确的是2x＋10＝120。 【变式训练】（2025四年级下·全国·专题练习）把从1到100的整数按下图所示的方式排列，并把相邻两行的六个数用虚线圈起来。仔细观察，回答下面的问题。 (1)圈起来的数中，左上角的数为a，与它相邻的右边的数为( )，与它相邻的下边的数为( )。 (2)如果圈起来的六个数中，左上角的数为x，这六个数的和等于429，则可以列出方程( )。 【答案】(1) a＋1 a＋7 (2) 【思路引导】（1）根据题意，观察圈起来的数，设左上角的数为a，与它相邻的右边的数比它大1，表示为a＋1；与它相邻的下边的数比它大7，表示为a＋7； （2）如果圈起来的六个数中，左上角的数为x，另外5个数分别表示为：x＋1、x＋2、x＋7、x＋8、x＋9，这六个数的和等于429，据此列出方程并化简，即可解答。圈起来的数中，左上角的数为a，与它相邻的右边的数为a＋1，与它相邻的下边的数为a＋7。 【规范解答】圈起来的六个数中，设左上角的数为x，这六个数的和是429，据此列方程：，化简后为：。 （1）圈起来的数中，左上角的数为a，与它相邻的右边的数为a＋1，与它相邻的下边的数为a＋7。 （2）如果圈起来的六个数中，左上角的数为x，这六个数的和等于429，则可以列出方程。 考点八 应用等式的性质1解方程 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）看图回答问题。 （1）图中线段（    ）的长度是（50－x）米。 （2）图中线段（    ）的长度是（50＋y）米。 （3）根据图中信息列出两个不同的方程，并解方程。 【答案】（1）BC；    （2）AD； （3）；； ；（答案不唯一） 【思路引导】（1）由图可知AB＋BC＝50米，AB＝米，BC＝20米，因此BC的长度为米； （2）由图可知AD＝90米，其中AC的长度是50米，CD的长度是米，因此AD的长度可表示为米； （3）根据AC段的长度关系，可以列出方程；根据AD段的长度关系，可以列出方程，根据等式的性质分别求出方程的解。 【规范解答】（1）图中线段BC的长度是米。 （2）图中线段AD的长度是米。 （3）        解：                                             解：                           （答案不唯一） 【变式训练】（24-25四年级下·河南开封·期末）在解方程3.5＋x＝6.4时，方程左右两边同时减去3.5，x＝2.9。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据等式的性质，在解方程时，方程两边同时减去同一个数，等式仍然成立。因此，在解方程3.5＋x＝6.4时，左右两边同时减去3.5，可以求出x的值。以此判断即可。 【规范解答】根据分析可知： 原方程为：3.5＋x＝6.4。根据等式性质，方程两边同时减去3.5，左边变为x，右边变为6.4－3.5＝2.9，因此x＝2.9。原题说法正确。 故答案为：√ 考点九 应用等式的性质2解方程 【典例精讲】（2026四年级下·辽宁·专题练习）解方程。 x－2.9＝3.28    3y＋6＝78    y÷1.4＝2.05 2x÷8＝4.5    45＋5m＝760    3x－2.5＝12.5 【答案】x＝6.18；y＝24；y＝2.87； x＝18；m＝143；x＝5 【思路引导】根据等式的性质，等式两边同时加上2.9； 根据等式的性质，等式两边先同时减去6，再同时除以3； 根据等式的性质，等式两边同时乘1.4； 根据等式的性质，等式两边先同时乘8，再同时除以2； 根据等式的性质，等式两边先同时减45，再同时除以5； 根据等式的性质，等式两边先同时加2.5，再同时除以3。 【规范解答】x－2.9＝3.28 解：x－2.9＋2.9＝3.28＋2.9 x＝6.18 3y＋6＝78 解：3y＋6－6＝78－6 3y＝72 3y÷3＝72÷3 y＝24 y÷1.4＝2.05 解：y÷1.4×1.4＝2.05×1.4 y＝2.87   2x÷8＝4.5 解：2x÷8×8＝4.5×8 2x＝36 2x÷2＝36÷2 x＝18 45＋5m＝760 解：45＋5m－45＝760－45 5m＝715 5m÷5＝715÷5 m＝143 3x－2.5＝12.5 解：3x－2.5＋2.5＝12.5＋2.5 3x＝15 3x÷3＝15÷3 x＝5 【变式训练】（24-25四年级下·陕西榆林·期末）解方程。 8x÷2＝68    5x－0.05＝24.95 【答案】x＝17；x＝5 【思路引导】（1）应用等式的性质2，等式两边同时乘2，等式两边同时除以8，解方程。 （2）应用等式的性质1和2，等式两边同时加上0.05，等式两边同时再除以5，解方程。 【规范解答】8x÷2＝68 解：8x÷2×2＝68×2 8x＝136 8x÷8＝136÷8 x＝17 5x－0.05＝24.95 解：5x－0.05＋0.05＝24.95＋0.05 5x＝25 5x÷5＝25÷5 x＝5 考点十 应用等式的性质1和2解方程 【典例精讲】（2026四年级下·辽宁·专题练习）解方程。 4x－7＝29    x÷2.8＝0.15    6x－12.1＝29.9 【答案】x＝9；x＝0.42；x＝7 【思路引导】（1）根据等式的性质1，方程两边同时加上7，再根据等式的性质2，方程两边同时除以4即可； （2）根据等式的性质2，方程两边同时乘2.8即可； （3）根据等式的性质1，方程两边同时加上12.1，再根据等式的性质2，方程两边同时除以6即可。 【规范解答】4x－7＝29 解：4x－7＋7＝29＋7 4x＝36 4x÷4＝36÷4 x＝9 x÷2.8＝0.15 解：x÷2.8×2.8＝0.15×2.8 x＝0.42 6x－12.1＝29.9 解：6x－12.1＋12.1＝29.9＋12.1 6x＝42 6x÷6＝42÷6 x＝7 【变式训练】（25-26四年级下·辽宁沈阳·阶段检测）解方程。 （1）x＋5.5＝25            （2）8m÷4＝24                    （3）2y－7.5＝10.5 【答案】x＝19.5；m＝12；y＝9 【思路引导】（1）根据等式的性质，两边同时减去5.5即可； （2）根据等式的性质，两边同时乘4，然后两边再同时除以8即可； （3）首先根据等式的性质，两边同时加上7.5，然后两边再同时除以2即可。 【规范解答】（1）x＋5.5＝25 解：x＋5.5－5.5＝25－5.5            x＝19.5 （2） 8m÷4＝24 解：8m÷4×4＝24×4         8m＝96       8m÷8＝96÷8          m＝12 （3） 2y－7.5＝10.5 解：2y－7.5＋7.5＝10.5＋7.5           2y＝18         2y÷2＝18÷2             y＝9 考点十一 解含括号的方程 【典例精讲】（21-22四年级下·广东揭阳·期末）解方程。                      【答案】x＝5；x＝8；x＝15 【思路引导】（1）等式的两边先同时加上8.5，再同时除以2，据此解答； （2）先算小括号里的加法，再根据等式的性质2求出x的值； （3）等式的两边先同时乘5，再同时除以4，据此解答。 【规范解答】 解：2x－8.5＋8.5＝1.5＋8.5 2x＝10 2x÷2＝10÷2 x＝5 解：25x＝200 25x÷25＝200÷25 x＝8 解：4x÷5×5＝12×5 4x＝60 4x÷4＝60÷4 x＝15 【变式训练】为了节约用水，国家实行阶梯水价。每月用水量在15吨及以下的部分，每吨0.6元：超过15吨但不超过20吨的部分，每吨1.4元；超过20吨的部分，每吨2元。上个月笑笑家缴了54元水费，笑笑家上个月用了多少吨水？（用方程求解） 【答案】39吨 【思路引导】当用水量在15吨时，15×0.6＝9（元）；当用水量在20吨时，9＋（20－15）×1.4＝16（元）；可知：笑笑家上个月用水量超过了20吨，设笑笑家上个月用了x吨水，用20吨水的金额加上（x－20）×2的积等于54，据此列出方程解答即可。 【规范解答】解：设笑笑家上个月用了x吨水。 15×0.6＋（20－15）×1.4 ＝9＋5×1.4 ＝16（元） 16＜54 16＋（x－20）×2＝54 （x－20）×2＝54－16 （x－20）×2＝38 x－20＝38÷2 x－20＝19 x＝19＋20 x＝39 答：笑笑家上个月用了39吨水。 【考点剖析】本题考查的是列方程解决问题，关键是找到等量关系式。 考点十二 解等号两边都有未知数的方程 【典例精讲】（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末）淘气有230元零花钱，笑笑有310元零花钱。从这个月开始，淘气每个月攒20元，笑笑每个月攒15元。淘气几个月后的零花钱能和笑笑一样多？ 【答案】16个月 【思路引导】假设淘气x月后的零花钱能和笑笑一样多，可知淘气攒了20x元，再加上淘气本来的零花钱数，淘气一共有（230＋20x）元。同样的，笑笑攒了15x元，再加上笑笑本来的零花钱数，笑笑一共有（310＋15x）元。据此列出方程为230＋20x＝310＋15x，再解方程即可。 【规范解答】解：设淘气x月后的零花钱能和笑笑一样多。 230＋20x＝310＋15x 230＋20x－230＝310＋15x－230 20x＝80＋15x 20x－15x＝80＋15x－15x 5x＝80 5x÷5＝80÷5 x＝16 答：淘气16月后的零花钱能和笑笑一样多。 【变式训练】（23-24四年级下·辽宁·暑假作业）某旅行团一起去划船。如果每条船坐4人，那么多出10人；如果每条船坐5人，那么多出1人。这个旅行团一共有（    ）人。 A．36 B．46 C．54 【答案】B 【思路引导】根据题目可知船的只数不变，总人数也不变；可以将船的只数设为x只，再列出方程：4x＋10＝5x＋1；再依据等式的性质解方程，等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；最后将x代入方程左右两边其中一个算式即可，据此解答。 【规范解答】根据分析：解：设船的只数设为x只。 4x＋10＝5x＋1 10－1＝5x－4x 9＝x x＝9 将x＝9代入算式4x＋10， 4x＋10 ＝4×9＋10 ＝36＋10 ＝46（人） 所以这个旅行团一共有46人。 故答案为：B 考点十三 方程的检验 【典例精讲】（25-26四年级下·山东烟台·期中）解方程，带※的要检验。 5（x＋12）＝75         2x－0.5x＝4.5         120－3x＝30 ※0.3x－5×0.7＝2.8         6x＋13＋2x＝69         8.8÷x＝2.05＋0.15 【答案】3；3；30； 21；7；4 【思路引导】（1）根据等式的性质，方程的两边同时除以5，再同时减去12，求出方程的解。 （2）根据等式的性质，先算出2x－0.5x的结果，方程的两边同时除以1.5，求出方程的解。 （3）根据等式的性质，方程的两边先同时加上3x，再同时减去30，最后同时除以3，求出方程的解。 （4）根据等式的性质，先计算乘法，方程的两边先同时加上3.5，再同时除以0.3，求出方程的解；再把未知数的值代入原方程，分别计算等号左、右两边的结果，如果两边相等，则为原方程的解；如不相等，则不是原方程的解。 （5）根据等式的性质，先算出6x＋2x，方程的两边同时减去13，再同时除以8，求出方程的解。 （6）根据等式的性质，先计算右边的和，再根据除数等于被除数除以商，求出方程的解。 【规范解答】5（x＋12）＝75 解：x＋12＝75÷5 x＋12＝15 x＝3 2x－0.5x＝4.5 解：1.5x＝4.5 x＝3 120－3x＝30 解：3x＝120－30 3x＝90 x＝30 ※0.3x－5×0.7＝2.8 解：0.3x－3.5＝2.8 0.3x＝2.8＋3.5 0.3x＝6.3 x＝21 检验：把x＝21代入原方程 左边＝0.3×21－5×0.7 ＝6.3－3.5 ＝2.8 ＝右边 所以x＝21是原方程的解。 6x＋13＋2x＝69 解：8x＋13＝69 8x＝69－13 8x＝56 x＝7 8.8÷x＝2.05＋0.15 解：8.8÷x＝2.2 x＝8.8÷2.2 x＝4 【变式训练】（25-26四年级下·山东东营·期中）解方程。（带*的要求检验）          *         *     【答案】x＝14.5；x＝3.51； x＝26；x＝55.2；     x＝4.04；x＝10 【思路引导】根据等式的性质，等式两边同时减去14即可； 根据等式的性质，等式两边先同时乘3，再同时除以7即可； 先计算出等式左边的12×6＝72，根据等式的性质，等式两边再同时加上72，然后等式两边再同时除以3即可，再将x的值代入原方程进行验算； 根据等式的性质，等式两边同时加上x，等式两边再同时减去8即可； 等式左边先按照乘法分配律进行计算，即15.7x＋2.3x＝（15.7＋2.3）x＝18x，根据等式的性质，等式两边再同时除以18，再将x的值代入原方程进行验算； 先计算等式左边的96÷6＝16，根据等式的性质，等式两边同时减去16，然后再同时除以4即可。 【规范解答】14＋x＝28.5 解：14＋x－14＝28.5－14 x＝14.5 7x÷3＝8.19 解：7x÷3×3＝8.19×3 7x＝24.57 7x÷7＝24.57÷7 x＝3.51 3x－12×6＝6 解：3x－72＝6 3x－72＋72＝6＋72 3x＝78 3x÷3＝78÷3 x＝26 检验：方程左边＝3x－72 ＝3×26－72 ＝78－72 ＝6 ＝方程右边 所以，x＝26是方程3x－72＝6的解。 63.2－x＝8 解：63.2－x＋x＝8＋x 63.2＝8＋x 63.2－8＝8＋x－8 55.2＝x x＝55.2 15.7x＋2.3x＝72.72 解：（15.7＋2.3）x＝72.72 18x＝72.72 18x÷18＝72.72÷18 x＝4.04 检验：方程左边＝15.7x＋2.3x ＝15.7×4.04＋2.3×4.04 ＝（15.7＋2.3）×4.04 ＝18×4.04 ＝72.72 ＝方程右边 所以，x＝4.04是方程15.7x＋2.3x＝72.72的解。 96÷6＋4x＝56 解：16＋4x＝56 16＋4x－16＝56－16 4x＝40 4x÷4＝40÷4 x＝10 考点十四 列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】（25-26四年级下·河南鹤壁·期末）看图列方程并解方程。 长方形游泳池占地600米²。 【答案】20米 【思路引导】根据题干可知，设长方形的宽是x米，则根据长方形的面积＝长×宽，即可列出方程解决问题． 【规范解答】解：设长方形的宽是x米。 30x＝600 30x÷30＝600÷30 x＝20 长方形的宽是20米。 【变式训练】（2026四年级下·辽宁·专题练习）王老师为学校购置一批图书，但是商店的价目表受到磨损，如图所示： 类型 文学书 科技书 漫画书 单价 28.5元/本 x元/本 18.9元/本 (1)如果王老师计划买12本文学书和12本漫画书，需要准备多少钱？ (2)如果王老师买15本科技书和22本漫画书付款730.8元，则科技书每本多少钱？ 【答案】(1)568.8元 (2)21元 【思路引导】（1）根据“总价＝单价×数量”，分别计算12本文学书的总价为28.5×12＝342（元），12本漫画书的总价为18.9×12＝226.8（元），然后将两者相加得到总共需要准备的钱数。 （2）根据“总价＝单价×数量”，15本科技书的总价为15x元，22本漫画书的总价为18.9×22＝415.8（元），已知买15本科技书和22本漫画书付款730.8元，可列出方程15x＋18.9×22＝730.8然后求解方程。 【规范解答】（1）28.5×12＋18.9×12 ＝342＋226.8 ＝568.8（元） 答：需要准备568.8元。 （2）解：设科技书每本x元 15x＋18.9×22＝730.8 15x＋415.8＝730.8 15x＋415.8−415.8＝730.8−415.8 15x＝315 15x÷15＝315÷15 x＝21 答：科技书每本21元。 考点十五 列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】（24-25四年级下·安徽安庆·期末）凉泉村把产业发展作为乡村振兴的核心举措，坚持因地制宜。凉泉村依靠种植苹果和水蜜桃增加了村民的年收入。 A．种植苹果的面积比水蜜桃多630亩 B．种植苹果的面积比水蜜桃的2倍多260亩 C．种植苹果和水蜜桃的面积一共是1370亩 （1）要想求出凉泉种植苹果和水蜜桃各多少亩，你选择的信息是（    ）和（    ）。（填序号） （2）根据你选择的信息列方程解答。 【答案】（1）B；C （2）列方程解答见详解；水蜜桃370亩；苹果1000亩 （答案不唯一） 【思路引导】要想求出水蜜桃和苹果的亩数，需要知道苹果和水蜜桃亩数之间的关系，以及总数是多少，可以选择B和C，设凉泉村种植水蜜桃x亩，则苹果的面积为2x＋260，两种水果面积加起来为1370亩，据此列出方程再利用等式性质1和2解方程即可求出水蜜桃多少亩，然后用所得水蜜桃的亩数乘2加上260，即可求出苹果的亩数，据此解答。 【规范解答】（1）选择的信息是B和C。 （2）解：设凉泉村种植水蜜桃x亩。 2x＋260＋x＝1370 3x＋260＝1370 3x＋260－260＝1370－260 3x＝1110 3x÷3＝1110÷3 x＝370 370×2＋260＝1000（亩） 答：凉泉村种植苹果1000亩，种植水蜜桃370亩。 （答案不唯一） 【变式训练】23-24四年级下·山西晋城·期末）“一粥一饭，当思来处不易；半丝半缕，恒念物力维艰”，勤俭节约是中华民族的传统美德。阳光小学四（1）班的秋游活动中按需订餐，正常套餐和小份套餐各定了27份，共花了594元，已知正常套餐的单价是小份套餐的1.2倍。方程“27（x＋1.2x）＝594”中的“x”表示( )。 【答案】小份套餐的单价 【思路引导】由题意得，正常套餐和小份套餐各定了27份，共花了594元，据此列出等量关系式为：（小份套餐的单价＋正常套餐的单价）×27＝594。其中，正常套餐的单价是小份套餐的1.2倍，那么等量关系式变为：（小份套餐的单价＋小份套餐的单价×1.2）×27＝594。对比方程“27（x＋1.2x）＝594”可知，x表示小份套餐的单价。 【规范解答】方程“27（x＋1.2x）＝594”中的“x”表示小份套餐的单价。 考点十六 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】（24-25四年级下·辽宁·课后作业）下面是一张撕掉一角的发票，你能算出每把椅子的单价吗？ 【答案】30元 【思路引导】设每把椅子为x元，根据等量关系，椅子的钱数＋桌子的钱数＝总钱数，列方程解答即可。 【规范解答】解：设每把椅子为x元。 5x＋80＝230 5x－80＝230－80 5x＝150 5x÷5＝150÷5 x＝30（元） 答：每把椅子的单价是30元。 【变式训练】（23-24四年级下·山西运城·期末）有一个三层的书架，上面一共放了450本书，上层比下层多放了50本书，下层比中层少放了10本书。这个书架的上、中、下三层各放了多少本书？ 【答案】上层180本；中层140本；下层130本 【思路引导】根据题意可知，下层放书的数量＋50本＝上层放书的数量，下层放书的数量＋10本＝中层放书的数量，上层放书的数量＋中层放书的数量＋下层放书的数量＝450本，故设下层放书x本，进而就可知上层放书（x＋50）本，下层放书（x＋10）本，根据等量关系式列出方程，再根据等式的基本性质解方程即可。 【规范解答】解：设下层放书x本 x＋50＋x＋10＋x＝450 3x＋60＝450 3x＋60－60＝450－60 3x＝390 3x÷3＝390÷3 x＝130 130＋50＝180（本） 130＋10＝140（本） 答：这个书架上层放书180本，中层放书140本，下层放书130本。 1．（25-26四年级下·山东德州·阶段检测）下列各组式子，结果不一定相同的是（    ）。 A．2×2和 B．和2a C．3x和x＋x＋x D．和4×4 【答案】B 【思路引导】理解表示两个a相乘，而2a表示两个a相加或2乘a。需要逐项分析各组式子的数学意义及计算结果，判断哪一组结果不一定相同。 【规范解答】A．2×2表示2乘2，结果是4；表示2乘2，结果是4。两组式子结果一定相同，不符合题意。此选项错误。 B．表示a乘a，2a表示2乘a。例如当a＝3时，，，。两组式子结果不一定相同，符合题意。此选项正确。 C．表示3乘， 表示3个相加，即3乘。两组式子结果一定相同，不符合题意。此选项错误。 D．表示4乘4，结果是16；4×4表示4乘4，结果是16。两组式子结果一定相同，不符合题意。此选项错误。 2．（25-26四年级下·辽宁·单元复习）一个两位数，十位上的数字是8，个位上的数字是b，能表示这个两位数的式子是（    ）。 A．8＋b B．b×10＋8 C．80＋b 【答案】C 【思路引导】用十位上的数字乘10，加上个位上的数字，即可表示出这个两位数。 【规范解答】因为十位数字为8，个位数字为b， 所以这个两位数可以表示为10×8＋b＝80＋b。 3．（25-26四年级下·陕西咸阳·阶段检测）一个长方形的周长是50厘米，长是17厘米，宽是多少厘米？设宽为厘米，下面所列方程正确的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】长方形周长＝（长＋宽）×2＝长×2＋宽×2，代入数值为50＝（17＋x）×2或者50＝17×2＋2x。 【规范解答】A．17x是长×宽，计算的是长方形的面积。 B．根据长方形周长公式，方程应该为17×2＋2x＝50，选项少一个x。 C．根据长方形周长公式，方程2（17＋x）＝50正确。 4．（19-20四年级下·辽宁·期末）用同样长的小棒摆出如下的图形。照这样继续摆，第6个图形用了（    ）根小棒 A．20 B．24 C．25 【答案】C 【思路引导】图1用5根小棒摆成，图2用9根小棒摆成，图3用13根小棒摆成，仔细观察发现，每增加一个五六边形其小棒根数增加4根，所以可得第n个图形需要小棒5＋4（n－1）＝4n＋1根，据此即可解答问题。 【规范解答】由图可知： 图形1的小棍根数为5； 图形2的小棍根数为9； 图形3的小棍根数为13； … 由该搭建方式可得出规律：图形每增加1，小棍的个数增加4， 所以可以得出规律：搭第6个图形需要小棍根数为： 5＋4×（6－1） ＝5＋4×5 ＝5＋20 ＝25（根） 故答案为：C 【考点剖析】本题是一道关于图形变化规律型的，关键在于通过题中图形的变化情况，通过归纳与总结找出普遍规律求解即可。 5．（25-26四年级下·河南焦作·期末）如图，用方框框出5个数，如果正中间的数用x表示，那么x上面的数是( )，x右面的数是( )。 【答案】 x－7 x＋1/1＋x 【思路引导】观察发现用方框框出5个数中，正中间的数是10；10上面的数是3，也就是比10小10－3＝7，也就是10－7；10右面的数是11，比10大11－10＝1，也就是10＋1，将10替换为x即可。 【规范解答】所以正中间的数用x表示，那么x上面的数是x－7，x右面的数是x＋1。 6．（25-26四年级下·河南鹤壁·期末）如图，学校实验室的面积是( )平方米，仪器室的周长是( )米。 【答案】 ab 4b 【思路引导】（1）求学校实验室的面积，实际上是求一个长为a米，宽为b米的长方形的面积，根据长方形的面积公式：长方形的面积＝长×宽，可以求得结果； （2）求仪器室的周长，也就是求边长为b米的正方形的周长，根据正方形的周长公式：正方形的周长＝边长×4，可以求得结果。 【规范解答】（1）求学校实验室的面积： a×b＝ab（平方米） （2）求仪器室的周长： b×4＝4b（米） 所以：学校实验室的面积是ab平方米，仪器室的周长4b米。 7．（2026四年级下·辽宁·专题练习）学校运动会前夕，四（3）班为了活跃气氛，准备用50元班费买n个彩球，每个彩球3.5元，还剩( )元；当n＝9时，还剩( )元。 【答案】 50－3.5n 18.5 【思路引导】先用每个彩球的价格乘个数，计算买个彩球的花费。然后用准备的班费减去买个彩球的花费，计算剩余的钱数。最后将n＝9，代入算式求出答案。 【规范解答】还剩（50－3.5n）元 当n＝9时： 50－3.5×9 ＝50－31.5 ＝18.5（元） 8．（23-24四年级上·辽宁沈阳·期末）阳阳在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习。当他加到某一数时，结果是2024，后来发现中间漏加了一个数，那么漏加的那个数是( )。 【答案】56 【思路引导】根据题目可知，当他加到某一数时，结果是2024，后来发现中间漏加了一个数，所以可知：1＋2＋3＋4＋…＋n＜2024，连续多个自然数求和：先用第一个数加上最后一个数求出它们的和，再乘要相加的自然数的个数最后除以2即可，据此可知，1＋2＋3＋4＋…＋n ＝（1＋n）×n÷2＜2024，然后据此求得n的取值范围，进而代入数据经过验证求得这个数即可。 【规范解答】1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋1）÷2＜2024， 当n＝63时， 1＋2＋3＋4＋…＋63 ＝63×（63＋1）÷2 ＝63×64÷2 ＝4032÷2 ＝2016； 当n＝64时， 64×（64＋1）÷2 ＝64×65÷2 ＝4160÷2 ＝2080； 因为2016＜2024＜2080，所以n最大为64，当n＝64时，1＋2＋3＋4＋…＋64＝2080，所以漏加的那个数是就是：2080－2024＝56。 阳阳在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习。当他加到某一数时，结果是2024，后来发现中间漏加了一个数，那么漏加的那个数是56。 【考点剖析】本题有一定的难度，在计算1＋2＋3＋4＋…＋n 这个算式时，可利用高斯求和公式完成（1＋2＋3＋……＋n＝n（n＋1）÷2），尝试找到1到多少的和接近2024是解答本题的关键。 9．（23-24四年级下·广东深圳·期末）三角形具有( )性。如下图，拼一个三角形需要3根木棒，拼2个三角形需要5根木棒，拼4个三角形需要( )根木棒，以此类推，拼n个三角形需要( )根木棒。 【答案】 稳定 9 【思路引导】根据所学，三角形具有稳定性，观察图形可知，摆1个、2个、3个三角形分别要小棒的数量是3根、5根、7根……发现：每增加一个三角形，小棒的数量增加2根，据此找到规律。 【规范解答】观察图形可知： 摆1个三角形要3根小棒，3＝1×2＋1； 摆2个三角形要5根小棒，5＝2×2＋1； 摆3个三角形要7根小棒，7＝3×2＋1； …… 按此规律摆下去，摆n个三角形要（2n＋1）根小棒。 所以三角形具有稳定性，拼4个三角形需要9根木棒，以此类推，拼n个三角形需要（2n＋1）根木棒。 【考点剖析】本题是找规律的题型，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 10．（24-25四年级下·陕西汉中·期末）四年级学生乐乐参加学校举行的“阅读计划”，他a小时看书84页，平均每小时看84÷a页。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据平均每小时看的页数＝总页数÷看的时间，用a小时看的页数除以a，即可求出平均每小时看多少页，据此解答即可。 【规范解答】四年级学生乐乐参加学校举行的“阅读计划”，他a小时看书84页，平均每小时看84÷a页。原题说法正确。 故答案为：√ 11．（2026四年级下·辽宁·专题练习）方程3x＋3.52＝24.52与x＋8.9＝15.9的解是相同的。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】分别计算两个方程，比较最后的结果。 第一个方程的计算：先给等号左右两边减去3.52，再给等号左右两边除以3；第二个方程的计算：给等号左右两边减去8.9，进行计算即可。 【规范解答】① 解： ② 解： 两个方程的解都是x＝7。 故答案为：√ 12．甲数是30，比乙数的倍少，乙数就是。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】由题意知：甲数是30，比乙数的倍少，意思就是甲数再加上就正好是乙的倍，据此解答。 【规范解答】由分析知：乙数是 故答案为：√ 【考点剖析】理解“比乙数的倍少”，就是30加上才是乙数的倍。是解答本题的关键。 13．（25-26四年级下·河南焦作·期末）解方程。 m÷0.4＝0.65    2.5＋x＝10    9x－13＝41 【答案】m＝0.26；x＝7.5；x＝6 【思路引导】根据等式的性质，等式两边同时乘0.4，即可解答； 根据等式的性质，等式两边同时减2.5，即可解答； 根据等式的性质，等式两边同时加13，即可解答； 【规范解答】                          解：   解：        解：                                                                                                        14．（24-25四年级下·山东东营·期末）解方程。（带★的要检验） 20＋x＝305        100－x＝58.5        ★12.5÷x＝2.5 x÷65＝0.8        x－0.52x＝2.4        5x＋2.4×3＝18 【答案】x＝285；x＝41.5；x＝5； x＝52；x＝5；x＝2.16 【思路引导】根据等式的性质1，等式两边同时减去20，把x单独留在一边就能求出x的值。 先根据等式性质1，两边同时加x，转化为58.5＋x＝100，再两边同时减58.5求解。 先根据等式性质2，两边同时乘x，转化为2.5x＝12.5，再两边同时除以2.5，最后代入原方程检验。 根据等式的性质2，等式两边同时乘65，即可求出x的值。 先合并同类项，计算x－0.52x ＝0.48x，再根据等式性质2，两边同时除以0.48求解。 先计算，再根据等式性质1两边同时减7.2，最后根据等式性质2两边同时除以5求解。 【规范解答】20＋x＝305 解：20＋x－20＝305－20 x＝285 100－x＝58.5 解：100－x＋x＝58.5＋x 100＝58.5＋x 58.5＋x＝100 58.5＋x－58.5＝100－58.5 x＝41.5 12.5÷x＝2.5 解：12.5÷x×x＝2.5×x 12.5＝2.5x 2.5x＝12.5 2.5x÷2.5＝12.5÷2.5 x＝5 检验：将x＝5代入原方程， 左边＝12.5÷x ＝12.5÷5 ＝2.5 右边＝2.5 左边＝右边 所以x＝5是原方程的解。 x÷65＝0.8 解：x÷65×65＝0.8×65 x＝52 x－0.52x＝2.4 解：0.48x＝2.4 0.48x÷0.48＝2.4÷0.48 x＝5 5x＋2.4×3＝18 解：5x＋7.2＝18 5x＋7.2－7.2＝18－7.2 5x＝10.8 5x÷5＝10.8÷5 x＝2.16 15．（25-26四年级下·河南鹤壁·期末）本学期，各中小学迎来了“体育课天天见”的新局面。为丰富活动种类，学校购买了以下体育用品。购买这些体育用品一共用了388元，已知一个篮球68元，一个足球多少元？（列方程解答） 【答案】 64元 【思路引导】设一个足球x元，用5个足球的价格加上一个篮球的价格，就是总钱数，据此列方程。 【规范解答】解：设一个足球x元， 根据题意，列方程：5x＋68＝388 5x＋68－68＝388－68 5x＝320 5x÷5＝320÷5 x＝64 答：一个足球64元。 16．（24-25四年级下·福建南平·期末）宇宙有日月经天、斗转星移的天文现象。例如：太阳系中，地球绕太阳一周要用约365天，比水星绕太阳一周所用时间的4倍还多13天。水星绕太阳一周大约要用多少时间？ (1)用喜欢的方式表示出等量关系。 (2)列方程解决问题。 【答案】(1)（画法不唯一） (2)88天 【思路引导】（1）用一条线段表示水星绕太阳一周所用时间，地球绕太阳一周所用时间是水星的4倍还多13天，所以地球要画四条和水星一样长度的线段，再多出一小段，多出的一小段表示13天，地球线段总长度表示为365天，据此画图；（画法不唯一） （2）设水星绕太阳一周所用的时间为x，利用倍数关系，列出方程为：4x＋13＝365，利用等式的性质，求出x的解。 【规范解答】（1）略 （2）解：设水星绕太阳一周所用的时间为x， 根据题意，列方程： 4x＋13＝365 4x＋13－13＝365－13 4x＝352 4x÷4＝352÷4 x＝88 答：水星绕太阳一周大约要用88天。 17．（24-25四年级下·山东东营·期末）商店运来电视机130台，比洗衣机数量的3倍多10台，运来洗衣机多少台？（列方程解答） 【答案】40台 【思路引导】将洗衣机的数量设成未知数，根据“洗衣机的数量×3＋10＝电视机的数量”这一等量关系列方程求解。 【规范解答】解：设运来洗衣机x台。 3x＋10＝130 3x＋10－10＝130－10 3x＝120 3x÷3＝120÷3 x＝40 答：运来洗衣机40台。 18．（24-25四年级下·陕西榆林·期末）周末，小明去超市采购食品。他挑选了3盒同样的牛奶和2个同样的面包，来到收银台结账，收银员扫描商品后打印出了一张收据。小明发现收据部分内容污损了，只知道牛奶的编码是11301569，数量是3，单价是7.50元，面包的编码是20013148，数量是2，合计金额是46.50元，实收46.50元，交易找零0元。每个面包的单价是多少元？（列方程解答） 【答案】12元 【思路引导】由题意可知，小明买了3盒同样的牛奶，每盒单价是7.50元，还买了2个同样的面包，一共花了46.50元，总价＝单价数量，设每个面包的单价为x，面包的总价为：2x，牛奶的总价为，面包的总价牛奶的总价＝46.50；按照等式的基本性质：等式两边同时加、减、乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式依旧成立；逐步解方程得出每个面包的单价即可。 【规范解答】解：设每个面包的单价为x元。    答：每个面包的单价为12元。 19．（25-26四年级下·陕西咸阳·阶段检测）小晨和妈妈一起去超市购物，要购买1个篮球和5双拖鞋。 给出以下信息：①购买篮球和拖鞋一共用去191元；②一个足球98元；③一个篮球56元；④妈妈带了500元。 要求“每双拖鞋多少元？”，需要选择的信息是（    ）（填序号）。 根据所选的信息，列方程解答。 【答案】27元；①③ 【思路引导】首先需要筛选出有用的数学信息，其中条件②足球价格、④妈妈带的总钱数和所求问题无关，需要选取①总花费191元、③篮球单价56元这两个关键条件；解题时先梳理出篮球总价＋拖鞋总价＝一共花费的钱数这一等量关系，再设每双拖鞋的价格为未知数，依据等量关系列出方程，最后按照解方程的步骤求出结果。 【规范解答】需要选择的信息：①③ 解：设每双拖鞋x元。 56＋5x＝191 5x＝191－56 5x＝135 x＝135÷5 x＝27 答：每双拖鞋27元。 20．（23-24四年级下·甘肃定西·期末）能力提升题。   贝贝和丽丽做兰花，贝贝已经做了120个，丽丽已经做了150个，从现在开始贝贝每天做15个，丽丽每天做12个，多少天后两人做的兰花数量同样多？（列方程解答） 【答案】10天 【思路引导】根据题意可知数量关系为：贝贝已做的120个＋贝贝再做的个数＝丽丽已做的150个＋丽丽再做的个数，并设x天后两人做的兰花数量同样多；根据每天做的个数×做的天数＝再做的个数，分别表示出贝贝再做的个数是15x个，丽丽再做的个数是12x个；根据数量关系列出方程，再根据等式的性质（一）（二）及乘法分配律解方程即可。据此解答。 【规范解答】解：设x天后两人做的兰花数量同样多； 120＋15x＝150＋12x 120＋15x－120＝150＋12x－120 15x＝150－120＋12x 15x＝30＋12x 15x－12x＝30＋12x－12x （15－12）x＝30 3x＝30 3x÷3＝30÷3 x＝10 答：10天后两人做的兰花数量同样多。 【考点剖析】本题首先要抓住“多少天后两人做的兰花数量同样多”找到等量关系；解方程时，要根据等式的性质把方程两边的数字和未知数分别合并到一起，再根据乘法分配律把两个未知数变成一个未知数，从而把复杂的方程逐步变得简单。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年数学四升五年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 暑假衔接 专题04解方程与列方程解应用题 思维导图+知识回顾+十六大考点讲练+真题强化（供52题） 【原卷版】 思维导图 浏览知识知晓考点 技巧点拨 知识梳理方法提炼 考点讲练 重点难点优选题型 真题强化 真题汇编查漏补缺 小学数学 四年级/下册 北 师 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 5 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以复习四年级下学期内容为主，选取重点难，点专题内容强化复习， 讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内 容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。 解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！ 希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 思维导图考点指引 自1用字母表示数 2解简易方程 ①用字母表示数：在含有字母的式子里， 字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。 ①方程的意义：含有未知数的等式就是方程。 ②用字母表示运算定律 ②等式的性质 加法交换律 a+b=b+a; 加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c); 性质1等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等 桑法交换律 ab=ba; 性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数， 桑法结合律 (ab)c=a(bc); 左右两边仍然相等。 乘法分配律 (a+b)c=ac+bc ③方程的解与解方程 ③用字母表示计算公式】 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； 长方形的面积公式：S=ab: 周长公式：C=2(a+b) 求方程的解的过程叫做解方程。 正方形的面积公式：S=a2; 周长公式：C=4a 北师大版四年级数学下册 ④解形如x±a=b、ax=b、ax±b=c和a(x士b)=c的方程。 ④用字母表示常见的数量关系：如路程、速度和时间之间的关系可以表示为s= 专题04 依据等式的性质求解此类方程。 ⑤求含有字母的式子的值：先用含有字母的式子表示指定的数量， 再把字母的取值代入式子中求值。 解方程与列方程 ⑤检验：把求得的未知数的值代入原方程，看方程左右边的值 ⑥字母的取值范围：在含有字母的式子里，字母的取值范围是 由实际情况决定的 解应用题 是否等于方程右边的值。如果相等，所求的未知数的值就是 原方程的解，否则就不是。 的 (3列方程解决实际问题的步骤 ①找出未知数，用字母x表示。 Q 5列方程解应用题的关键 ②分析题中的数量关系，找出等量关系，列方程。火 找准未知数：明确问题中要求的是什么，用x表示。 ③解方程并检验作答。 ☑H 找准等量关系：从题目中找到相等的两个量，列出方程。 00 4常见的数量关系(s=vt) ★温馨小提示 常见题型 关系式 说明 1,读题认真，找准关键信息。 列方程并解方程：根据等量关系列出方程，求出未知数的值 路程 s=v×t路程=速度×时间 2,弄清数量关系，是列方程的关键。 速度 v=S÷t速度=路程÷时间 3.解方程要细心，计算要准确。 岂检验并作答：检验结果是否符合实际情况。写出完整答案 时间 t=s÷v时间=路程÷速度 (包括单位和答语)。 4,检验不能少，答案要完整。 ★注意：单位要统一，时间的单位通常为“时”，路程的单位常为“千米”等 知识梳理温故知新 知识点一用字母表示数 1.用字母表示数：在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。 2.用字母表示运算定律 第2页共15页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 加法交换律：a+b=b+a; 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c); 乘法交换律：ab=ba; 乘法结合律：(ab)c=a(bc);乘法分配律：(a+b)c=ac+bc。 3.用字母表示计算公式： 长方形的面积公式：S=ab;长方形的周长公式：C=2(a十b)。 正方形的面积公式：S=a;正方形的周长公式：C=4a。 4.用字母表示常见的数量关系：如路程、速度和时间之间的关系可以表示为s=vt。 5.求含有字母的式子的值：先用含有字母的式子表示指定的数量，再把字母的取值代入式子中 求值。 6.字母的取值范围：在含有字母的式子里，字母的取值范围是由实际情况决定的。 知识点二解简易方程 1.方程的意义：含有未知数的等式就是方程。 2.等式的性质 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 3.方程的解与解方程：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； 求方程的解的过程叫做解方程。 4.解形如x±ab、ax=b、ax±b=c和a(x±b)=c的方程。 依据等式的性质来解此类方程。 5.检验：把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。如果相等 所求的未知数的值就是原方程的解，否则就不是。 知识点三列方程解决实际问题的步骤 (1)找出未知数，用字母x表示。 (2)分析题中的数量关系，找出等量关系，列方程。 (3)解方程并检验作答。 优选题型考点讲练 考点一用字母表示数、数量关系 【典例精讲】(25-26四年级下·河南焦作·期末)淘气在洗碗时发现，把一些相同规格的碗整齐地 叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示： 第3页共15页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 6 cm 碗的数量 2 3 5 /只 高度/cm 4 5.2 6.4 7.6 8.8 如果继续叠放下去，当碗的数量为8时，这摞碗的高度为( )cm。当碗的数量为x时，这摞碗 的高度用含有×的式子表示为( )cm。 【变式训练】(24-25四年级下·河北石家庄·期末)某社区垃圾分类站4月份共回收塑料瓶325千 克，废纸比塑料瓶多回收12.6千克，玻璃制品是废纸的0.8倍。用字母表示玻璃制品回收量为（ 千克，当废纸回收量为337.6千克时，玻璃制品实际回收( )千克。 考点二用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】(24-25四年级下·广东梅州·期末)图中，甲是正方形，乙是长方形，甲、乙两个图 形拼成的图形周长是()。 a 乙 b A.4a+b B.4×(a+b) C.4a+2b D,5a+2b 【变式训练】（24-25四年级下·广东湛江·期末)如图所示： ()若每个正方形的边长都是a,则长方形的周长是( ),面积是( )。 (2)像这样摆下去，摆n个正方形需要( )根小棒；有31根小棒，一共可以摆( )个正 方形。 考点三用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】(23-24四年级下·吉林长春·期末)摆平行四边形，像这样摆下去，摆个平行四边 形需要( )根小棒。 第4页共15页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练】(24-25四年级下·浙江温州·期末)在中国古代，称直角三角形为勾股形，把较短的 直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，把斜边叫做“弦”，把两条直角边和斜边之间的关系 称为勾股定理。让我们跟随数学家的脚步一起来研究吧！ 3cm ① ② 1 ② ② 丙 cm 4cm 斜边 ④ → ① ③ ④ ③ ③ )cm 图(1) 图(2) 如图(1)，大正方形里有1个正方形甲和4个完全相同的直角三角形①、②、③、④，把直角三角形 ①、②、④沿着箭头方向平移，得到两个不同的正方形乙和丙，如图（2)。 (1)观察图形，图(2)中乙、丙两个正方形的边长分别是 厘米和 厘米。 (2)想一想： 乙正方形的面积 大 (平方厘米) 丙正方形的面积 X (平方厘米) (3)甲、乙、丙三个正方形面积之间有什么关系？ 所以，甲正方形的面积=十」 (4)我发现两条直角边和斜边之间的关系是： 考点四含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】(25-26四年级下·陕西咸阳·阶段检测)水果超市运来12箱油桃，每箱a千克，又运 来7箱樱桃，每箱b千克。 (1)用含有字母α，b的式子表示一共运来油桃和樱桃多少千克。 (2)当a=20,b=6时，一共运来油桃和樱桃多少千克？ 第5页共15页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练】（25-26四年级下·山东德州·阶段检测)甲汽车的速度是v千米/时，乙列车每小时行 驶的路程比甲汽车的4倍还多3千米，乙列车的速度是（)千米/时；当ν=40千米/时，乙列车 的速度为( )千米/时。 考点五等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】（24-25四年级下·陕西咸阳·期末)“一本科技书46元，比一本故事书价钱的2倍少 4.6元，一本故事书多少元？”要列方程解决这个问题，下面的等量关系式正确的是()。 A.一本科技书的价钱×2一4.6=一本故事书的价钱 B.一本故事书的价钱×2一4.6=一本科技书的价钱 C.（一本故事书的价钱一4.6)×2=一本科技书的价钱 【变式训练】(24-25四年级下·陕西咸阳·期末)小颖爸爸的体重是84千克，妈妈的体重比爸爸轻 30千克，爸爸的体重是小颖的4倍。下列数量关系中正确的是（)。 A.爸爸的体重+30千克=妈妈的体重。 B.小颖的体重×4=爸爸的体重。 C.妈妈的体重一30千克=小颖的体重。 考点六方程的认识 【典例精讲】(2025四年级下·全国·专题练习)32-(）=25，要使这个式子成为方程，括号 里不能填（)。 A.x B.7 C.m D.7y 【变式训川练】(24-25四年级下·安徽毫州·期末)因为5x-7中含有未知数，所以它是方程。（) (判断对错) 考点七列简易方程 【典例精讲】（25-26四年级下·广东深圳·阶段检测)学校开展图书角捐书活动，四年级同学共捐 了120本故事书，比捐的科技书的2倍多10本。如果设捐的科技书有×本，那么下列方程正确的是()。 A.2×+10=120B.2x-10=120 C.2x=120+10 D.2x-120=10 【变式训川练】（2025四年级下·全国·专题练习)把从1到100的整数按下图所示的方式排列，并把 相邻两行的六个数用虚线圈起来。仔细观察，回答下面的问题。 第6页共15页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 1234567 891011121314 15161718192021 22232425262728 … (1)圈起来的数中，左上角的数为a,与它相邻的右边的数为( ),与它相邻的下边的数为( )。 (2)如果圈起来的六个数中，左上角的数为×，这六个数的和等于429，则可以列出方程( )。 考点八应用等式的性质1解方程 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习)看图回答问题。 x米 20米 y米 B 50米 90米 (1)图中线段()的长度是(50一x)米。 (2)图中线段()的长度是(50+y)米。 (3)根据图中信息列出两个不同的方程，并解方程。 【变式训练】(24-25四年级下·河南开封·期末)在解方程3.5+x=6.4时，方程左右两边同时减 去3.5，x=2.9。（)（判断对错) 考点九应用等式的性质2解方程 【典例精讲】(2026四年级下·辽宁·专题练习)解方程。 x-2.9=3.283y+6=78y÷1.4=2.05 2x÷8=4.545+5m=7603x-2.5=12.5 【变式训练】(24-25四年级下·陕西榆林·期末)解方程。 8x÷2=685x-0.05=24.95 第7页共15页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 考点十应用等式的性质1和2解方程 【典例精讲】（2026四年级下·辽宁·专题练习)解方程。 4x-7=29×÷2.8=0.156x-12.1=29.9 【变式训练】(25-26四年级下·辽宁沈阳·阶段检测)解方程。 (1)×+5.5=25 (2)8m÷4=24 (3)2y-7.5=10.5 考点十一解含括号的方程 【典例精讲】(21-22四年级下·广东揭阳·期末)解方程。 2x-8.5=1.5 (13.6+11.4)x=200 4x÷5=12 【变式训练】为了节约用水，国家实行阶梯水价。每月用水量在15吨及以下的部分，每吨0.6元： 超过15吨但不超过20吨的部分，每吨1.4元；超过20吨的部分，每吨2元。上个月笑笑家缴了54 元水费，笑笑家上个月用了多少吨水？（用方程求解） 考点十二解等号两边都有未知数的方程 【典例精讲】（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末)淘气有230元零花钱，笑笑有310元零花钱。从 这个月开始，淘气每个月攒20元，笑笑每个月攒15元。淘气几个月后的零花钱能和笑笑一样多？ 第8页共15页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练】(23-24四年级下·辽宁·暑假作业)某旅行团一起去划船。如果每条船坐4人，那么 多出10人；如果每条船坐5人，那么多出1人。这个旅行团一共有（)人。 A.36 B.46 C.54 考点十三方程的检验 【典例精讲】(25-26四年级下·山东烟台·期中)解方程，带※的要检验。 5(×+12)=75 2x-0.5x=4.5 120-3x=30 ※0.3x-5×0.7=2.8 6x+13+2x=69 8.8÷×=2.05+0.15 【变式训川练】(25-26四年级下·山东东营·期中)解方程。（带*的要求检验） 14+x=28.57x÷3=8.19 *3x-12×6=6 63.2-x=8 *15.7x+2.3x=72.7296÷6+4x=56 考点十四列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】(25-26四年级下·河南鹤壁·期未)看图列方程并解方程。 长方形游泳池占地600米2。 x米 30米 第9页共15页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练】(2026四年级下·辽宁·专题练习)王老师为学校购置一批图书，但是商店的价目表受 到磨损，如图所示： 类型 文学书 科技书 漫画书 单价 28.5元/本 ×元/本 18.9元/本 (1)如果王老师计划买12本文学书和12本漫画书，需要准备多少钱？ (2)如果王老师买15本科技书和22本漫画书付款730.8元，则科技书每本多少钱？ 考点十五列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】(24-25四年级下·安徽安庆·期未)凉泉村把产业发展作为乡村振兴的核心举措，坚 持因地制宜。凉泉村依靠种植苹果和水蜜桃增加了村民的年收入。 A.种植苹果的面积比水蜜桃多630亩 B.种植苹果的面积比水蜜桃的2倍多260亩 C.种植苹果和水蜜桃的面积一共是1370亩 (1)要想求出凉泉种植苹果和水蜜桃各多少亩，你选择的信息是()和()。（填序号） (2)根据你选择的信息列方程解答。 【变式训练】23-24四年级下·山西晋城·期末)“一粥一饭，当思来处不易；半丝半缕，恒念物力 维艰”，勤俭节约是中华民族的传统美德。阳光小学四(1)班的秋游活动中按需订餐，正常套餐和小 份套餐各定了27份，共花了594元，已知正常套餐的单价是小份套餐的1.2倍。方程“27（x+1.2x) =594”中的“x”表示( ）。 考点十六列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】(24-25四年级下·辽宁·课后作业)下面是一张撕掉一角的发票，你能算出每把椅子 的单价吗？ 第10页共15页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 市用发正网M0545261」 光明小学 80.00 把 230元。 贰参零七整 市会人：季主 【变式训练】（23-24四年级下·山西运城·期末)有一个三层的书架，上面一共放了450本书，上 层比下层多放了50本书，下层比中层少放了10本书。这个书架的上、中、下三层各放了多少本书？ 真题汇编能力强化 1.(25-26四年级下·山东德州·阶段检测)下列各组式子，结果不一定相同的是（)。 A.2X2和22 B.a2和2a C.3x和x+x+x D.42和4×4 2.（25-26四年级下·辽宁·单元复习)一个两位数，十位上的数字是8，个位上的数字是b,能表示 这个两位数的式子是（)。 A.8+b B.b×10+8 C.80+b 3.(25-26四年级下·陕西咸阳·阶段检测)一个长方形的周长是50厘米，长是17厘米，宽是多少 厘米？设宽为x厘米，下面所列方程正确的是()。 A.17x=50 B.17×2+x=50 C.2(17+x)=50 4.用同样长的小棒摆出如下的图形。照这样继续摆，第6个图形用了（)根小棒 。484e4 A.20 B.24 C.25 5.(25-26四年级下·河南焦作·期末)如图，用方框框出5个数，如果正中间的数用x表示，那么 x上面的数是( ),x右面的数是( ）。 第11页共15页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 2345 1 25262728 293031 6.（25-26四年级下·河南鹤壁·期末)如图，学校实验室的面积是( )平方米，仪器室的周长 是( )米。 实验室 仪器室b米 a米b米 7. (2026四年级下·辽宁·专题练习)学校运动会前夕，四(3)班为了活跃气氛，准备用50元班费 买n个彩球，每个彩球3.5元，还剩( )元；当n=9时，还剩( )元。 8.(23-24四年级上·辽宁沈阳·期末)阳阳在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习。当 他加到某一数时，结果是2024，后来发现中间漏加了一个数，那么漏加的那个数是( )。 9.(23-24四年级下·广东深圳·期末)三角形具有( )性。如下图，拼一个三角形需要3 根木棒，拼2个三角形需要5根木棒，拼4个三角形需要( )根木棒，以此类推，拼n个三 角形需要( )根木棒。 10.(24-25四年级下·陕西汉中·期末)四年级学生乐乐参加学校举行的“阅读计划”，他a小时看 书84页，平均每小时看84÷a页。（ )(判断对错) 11.(2026四年级下辽宁专题练习)方程3x+3.52=24.52与×+8.9=15.9的解是相同的。（ (判断对错) 12.甲数是30，比乙数的x倍少a,乙数就是(30+÷x。（ )(判断对错) 13.（25-26四年级下·河南焦作·期末)解方程。 m÷0.4=0.652.5+x=109×-13=41 第12页共15页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 14.（24-25四年级下·山东东营·期末)解方程。（带★的要检验） 20+×=305 100-×=58.5★12.5÷×=2.5 ×÷65=0.8×-0.52x=2.45×+2.4×3=18 15.（25-26四年级下·河南鹤壁·期末)本学期，各中小学迎来了“体育课天天见”的新局面。为丰 富活动种类，学校购买了以下体育用品。购买这些体育用品一共用了388元，已知一个篮球68元，一 个足球多少元？（列方程解答） 足球 篮球 16.（24-25四年级下·福建南平·期末)宇宙有日月经天、斗转星移的天文现象。例如：太阳系中， 地球绕太阳一周要用约365天，比水星绕太阳一周所用时间的4倍还多13天。水星绕太阳一周大约要 用多少时间？ (1)用喜欢的方式表示出等量关系。 (2)列方程解决问题。 第13页共15页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 17.(24-25四年级下·山东东营·期末)商店运来电视机130台，比洗衣机数量的3倍多10台，运 来洗衣机多少台？（列方程解答） 18.（24-25四年级下·陕西榆林·期末)周末，小明去超市采购食品。他挑选了3盒同样的牛奶和2 个同样的面包，来到收银台结账，收银员扫描商品后打印出了一张收据。小明发现收据部分内容污损 了，只知道牛奶的编码是11301569，数量是3，单价是7.50元，面包的编码是20013148，数量是2， 合计金额是46.50元，实收46.50元，交易找零0元。每个面包的单价是多少元？（列方程解答) 编码名称数量 单价金额 11301569 3 7.50 牛奶 20013148 面包 合计： 46.50 实收：（微信） 46.50 交易找零 0 19.（25-26四年级下·陕西咸阳·阶段检测)小晨和妈妈一起去超市购物，要购买1个篮球和5双拖 鞋。 给出以下信息：①购买篮球和拖鞋一共用去191元；②一个足球98元；③一个篮球56元；④妈妈带 了500元。 要求“每双拖鞋多少元？”，需要选择的信息是()（填序号）。 根据所选的信息，列方程解答。 第14页共15页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 20.(23-24四年级下·甘肃定西·期末)能力提升题。 贝贝和丽丽做兰花，贝贝已经做了120个，丽丽已经做了150个，从现在开始贝贝每天做15个，丽丽 每天做12个，多少天后两人做的兰花数量同样多？（列方程解答） 第15页共15页2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 2026-2027学年数学四升五年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 四年级/下册 小学数学 专题04 解方程与列方程解应用题 北 师 大 版 思维导图+知识回顾+十六大考点讲练+真题强化 （共52题） 【原卷版】 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习四年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 用字母表示数 1. 用字母表示数：在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。 2.用字母表示运算定律 加法交换律：； 加法结合律：； 乘法交换律：； 乘法结合律：； 乘法分配律：。 3.用字母表示计算公式： 长方形的面积公式：S=ab；长方形的周长公式：C=2(a＋b)。 正方形的面积公式：；正方形的周长公式：C=4a。 4.用字母表示常见的数量关系：如路程、速度和时间之间的关系可以表示为s=vt。 5.求含有字母的式子的值：先用含有字母的式子表示指定的数量，再把字母的取值代入式子中求值。 6.字母的取值范围：在含有字母的式子里，字母的取值范围是由实际情况决定的。 知识点二 解简易方程 1.方程的意义：含有未知数的等式就是方程。 2.等式的性质 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 3.方程的解与解方程：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； 求方程的解的过程叫做解方程。 4.解形如x±a=b、ax=b、ax±b=c和a(x±b)=c的方程。 依据等式的性质来解此类方程。 5.检验：把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。如果相等，所求的未知数的值就是原方程的解，否则就不是。 知识点三 列方程解决实际问题的步骤 （1）找出未知数，用字母x表示。 （2）分析题中的数量关系，找出等量关系，列方程。 （3）解方程并检验作答。 考点一 用字母表示数、数量关系 【典例精讲】（25-26四年级下·河南焦作·期末）淘气在洗碗时发现，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示： 碗的数量/只 1 2 3 4 5 … 高度/cm 4 5.2 6.4 7.6 8.8 … 如果继续叠放下去，当碗的数量为8时，这摞碗的高度为( )cm。当碗的数量为x时，这摞碗的高度用含有x的式子表示为( )cm。 【变式训练】（24-25四年级下·河北石家庄·期末）某社区垃圾分类站4月份共回收塑料瓶325千克，废纸比塑料瓶多回收12.6千克，玻璃制品是废纸的0.8倍。用字母表示玻璃制品回收量为( )千克，当废纸回收量为337.6千克时，玻璃制品实际回收( )千克。 考点二 用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】（24-25四年级下·广东梅州·期末）图中，甲是正方形，乙是长方形，甲、乙两个图形拼成的图形周长是（    ）。 A．4a＋b B．4×（a＋b） C．4a＋2b D．5a＋2b 【变式训练】（24-25四年级下·广东湛江·期末）如图所示：。 (1)若每个正方形的边长都是a，则长方形的周长是( )，面积是( )。 (2)像这样摆下去，摆n个正方形需要( )根小棒；有31根小棒，一共可以摆( )个正方形。 考点三 用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】（23-24四年级下·吉林长春·期末）摆平行四边形，像这样摆下去，摆n个平行四边形需要( )根小棒。 【变式训练】（24-25四年级下·浙江温州·期末）在中国古代，称直角三角形为勾股形，把较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，把斜边叫做“弦”，把两条直角边和斜边之间的关系称为勾股定理。让我们跟随数学家的脚步一起来研究吧！ 如图（1），大正方形里有1个正方形甲和4个完全相同的直角三角形①、②、③、④，把直角三角形①、②、④沿着箭头方向平移，得到两个不同的正方形乙和丙，如图（2）。 (1)观察图形，图（2）中乙、丙两个正方形的边长分别是______厘米和______厘米。 (2)想一想： 乙正方形的面积______×______＝______（平方厘米） 丙正方形的面积______×______＝______（平方厘米） (3)甲、乙、丙三个正方形面积之间有什么关系？ ________________ 所以，甲正方形的面积＝______＋______＝______×______ (4)我发现两条直角边和斜边之间的关系是：________________。 考点四 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（25-26四年级下·陕西咸阳·阶段检测）水果超市运来12箱油桃，每箱a千克，又运来7箱樱桃，每箱b千克。 (1)用含有字母，的式子表示一共运来油桃和樱桃多少千克。 (2)当，时，一共运来油桃和樱桃多少千克？ 【变式训练】（25-26四年级下·山东德州·阶段检测）甲汽车的速度是v千米/时，乙列车每小时行驶的路程比甲汽车的4倍还多3千米，乙列车的速度是( )千米/时；当v＝40千米/时，乙列车的速度为( )千米/时。 考点五 等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）“一本科技书46元，比一本故事书价钱的2倍少4.6元，一本故事书多少元？”要列方程解决这个问题，下面的等量关系式正确的是（    ）。 A．一本科技书的价钱×2－4.6＝一本故事书的价钱 B．一本故事书的价钱×2－4.6＝一本科技书的价钱 C．（一本故事书的价钱－4.6）×2＝一本科技书的价钱 【变式训练】（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）小颖爸爸的体重是84千克，妈妈的体重比爸爸轻30千克，爸爸的体重是小颖的4倍。下列数量关系中正确的是（    ）。 A．爸爸的体重＋30千克＝妈妈的体重。 B．小颖的体重×4＝爸爸的体重。 C．妈妈的体重－30千克＝小颖的体重。 考点六 方程的认识 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）32－（    ）＝25，要使这个式子成为方程，括号里不能填（    ）。 A．x B．7 C．m D．7y 【变式训练】（24-25四年级下·安徽亳州·期末）因为中含有未知数，所以它是方程。( )（判断对错） 考点七 列简易方程 【典例精讲】（25-26四年级下·广东深圳·阶段检测）学校开展图书角捐书活动，四年级同学共捐了120本故事书，比捐的科技书的2倍多10本。如果设捐的科技书有x本，那么下列方程正确的是（    ）。 A．2x＋10＝120 B．2x－10＝120 C．2x＝120＋10 D．2x－120＝10 【变式训练】（2025四年级下·全国·专题练习）把从1到100的整数按下图所示的方式排列，并把相邻两行的六个数用虚线圈起来。仔细观察，回答下面的问题。 (1)圈起来的数中，左上角的数为a，与它相邻的右边的数为( )，与它相邻的下边的数为( )。 (2)如果圈起来的六个数中，左上角的数为x，这六个数的和等于429，则可以列出方程( )。 考点八 应用等式的性质1解方程 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）看图回答问题。 （1）图中线段（    ）的长度是（50－x）米。 （2）图中线段（    ）的长度是（50＋y）米。 （3）根据图中信息列出两个不同的方程，并解方程。 【变式训练】（24-25四年级下·河南开封·期末）在解方程3.5＋x＝6.4时，方程左右两边同时减去3.5，x＝2.9。( )（判断对错） 考点九 应用等式的性质2解方程 【典例精讲】（2026四年级下·辽宁·专题练习）解方程。 x－2.9＝3.28    3y＋6＝78    y÷1.4＝2.05 2x÷8＝4.5    45＋5m＝760    3x－2.5＝12.5 【变式训练】（24-25四年级下·陕西榆林·期末）解方程。 8x÷2＝68    5x－0.05＝24.95 考点十 应用等式的性质1和2解方程 【典例精讲】（2026四年级下·辽宁·专题练习）解方程。 4x－7＝29    x÷2.8＝0.15    6x－12.1＝29.9 【变式训练】（25-26四年级下·辽宁沈阳·阶段检测）解方程。 （1）x＋5.5＝25            （2）8m÷4＝24                    （3）2y－7.5＝10.5 考点十一 解含括号的方程 【典例精讲】（21-22四年级下·广东揭阳·期末）解方程。                      【变式训练】为了节约用水，国家实行阶梯水价。每月用水量在15吨及以下的部分，每吨0.6元：超过15吨但不超过20吨的部分，每吨1.4元；超过20吨的部分，每吨2元。上个月笑笑家缴了54元水费，笑笑家上个月用了多少吨水？（用方程求解） 考点十二 解等号两边都有未知数的方程 【典例精讲】（23-24四年级下·辽宁沈阳·期末）淘气有230元零花钱，笑笑有310元零花钱。从这个月开始，淘气每个月攒20元，笑笑每个月攒15元。淘气几个月后的零花钱能和笑笑一样多？ 【变式训练】（23-24四年级下·辽宁·暑假作业）某旅行团一起去划船。如果每条船坐4人，那么多出10人；如果每条船坐5人，那么多出1人。这个旅行团一共有（    ）人。 A．36 B．46 C．54 考点十三 方程的检验 【典例精讲】（25-26四年级下·山东烟台·期中）解方程，带※的要检验。 5（x＋12）＝75         2x－0.5x＝4.5         120－3x＝30 ※0.3x－5×0.7＝2.8         6x＋13＋2x＝69         8.8÷x＝2.05＋0.15 【变式训练】（25-26四年级下·山东东营·期中）解方程。（带*的要求检验）          *         *     考点十四 列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】（25-26四年级下·河南鹤壁·期末）看图列方程并解方程。 长方形游泳池占地600米²。 【变式训练】（2026四年级下·辽宁·专题练习）王老师为学校购置一批图书，但是商店的价目表受到磨损，如图所示： 类型 文学书 科技书 漫画书 单价 28.5元/本 x元/本 18.9元/本 (1)如果王老师计划买12本文学书和12本漫画书，需要准备多少钱？ (2)如果王老师买15本科技书和22本漫画书付款730.8元，则科技书每本多少钱？ 考点十五 列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】（24-25四年级下·安徽安庆·期末）凉泉村把产业发展作为乡村振兴的核心举措，坚持因地制宜。凉泉村依靠种植苹果和水蜜桃增加了村民的年收入。 A．种植苹果的面积比水蜜桃多630亩 B．种植苹果的面积比水蜜桃的2倍多260亩 C．种植苹果和水蜜桃的面积一共是1370亩 （1）要想求出凉泉种植苹果和水蜜桃各多少亩，你选择的信息是（    ）和（    ）。（填序号） （2）根据你选择的信息列方程解答。 【变式训练】23-24四年级下·山西晋城·期末）“一粥一饭，当思来处不易；半丝半缕，恒念物力维艰”，勤俭节约是中华民族的传统美德。阳光小学四（1）班的秋游活动中按需订餐，正常套餐和小份套餐各定了27份，共花了594元，已知正常套餐的单价是小份套餐的1.2倍。方程“27（x＋1.2x）＝594”中的“x”表示( )。 考点十六 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】（24-25四年级下·辽宁·课后作业）下面是一张撕掉一角的发票，你能算出每把椅子的单价吗？ 【变式训练】（23-24四年级下·山西运城·期末）有一个三层的书架，上面一共放了450本书，上层比下层多放了50本书，下层比中层少放了10本书。这个书架的上、中、下三层各放了多少本书？ 1．（25-26四年级下·山东德州·阶段检测）下列各组式子，结果不一定相同的是（    ）。 A．2×2和 B．和2a C．3x和x＋x＋x D．和4×4 2．（25-26四年级下·辽宁·单元复习）一个两位数，十位上的数字是8，个位上的数字是b，能表示这个两位数的式子是（    ）。 A．8＋b B．b×10＋8 C．80＋b 3．（25-26四年级下·陕西咸阳·阶段检测）一个长方形的周长是50厘米，长是17厘米，宽是多少厘米？设宽为厘米，下面所列方程正确的是（    ）。 A． B． C． 4．用同样长的小棒摆出如下的图形。照这样继续摆，第6个图形用了（    ）根小棒 A．20 B．24 C．25 5．（25-26四年级下·河南焦作·期末）如图，用方框框出5个数，如果正中间的数用x表示，那么x上面的数是( )，x右面的数是( )。 6．（25-26四年级下·河南鹤壁·期末）如图，学校实验室的面积是( )平方米，仪器室的周长是( )米。 7．（2026四年级下·辽宁·专题练习）学校运动会前夕，四（3）班为了活跃气氛，准备用50元班费买n个彩球，每个彩球3.5元，还剩( )元；当n＝9时，还剩( )元。 8．（23-24四年级上·辽宁沈阳·期末）阳阳在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习。当他加到某一数时，结果是2024，后来发现中间漏加了一个数，那么漏加的那个数是( )。 9．（23-24四年级下·广东深圳·期末）三角形具有( )性。如下图，拼一个三角形需要3根木棒，拼2个三角形需要5根木棒，拼4个三角形需要( )根木棒，以此类推，拼n个三角形需要( )根木棒。 10．（24-25四年级下·陕西汉中·期末）四年级学生乐乐参加学校举行的“阅读计划”，他a小时看书84页，平均每小时看84÷a页。( )（判断对错） 11．（2026四年级下·辽宁·专题练习）方程3x＋3.52＝24.52与x＋8.9＝15.9的解是相同的。( )（判断对错） 12．甲数是30，比乙数的倍少，乙数就是。( )（判断对错） 13．（25-26四年级下·河南焦作·期末）解方程。 m÷0.4＝0.65    2.5＋x＝10    9x－13＝41 14．（24-25四年级下·山东东营·期末）解方程。（带★的要检验） 20＋x＝305        100－x＝58.5        ★12.5÷x＝2.5 x÷65＝0.8        x－0.52x＝2.4        5x＋2.4×3＝18 15．（25-26四年级下·河南鹤壁·期末）本学期，各中小学迎来了“体育课天天见”的新局面。为丰富活动种类，学校购买了以下体育用品。购买这些体育用品一共用了388元，已知一个篮球68元，一个足球多少元？（列方程解答） 16．（24-25四年级下·福建南平·期末）宇宙有日月经天、斗转星移的天文现象。例如：太阳系中，地球绕太阳一周要用约365天，比水星绕太阳一周所用时间的4倍还多13天。水星绕太阳一周大约要用多少时间？ (1)用喜欢的方式表示出等量关系。 (2)列方程解决问题。 17．（24-25四年级下·山东东营·期末）商店运来电视机130台，比洗衣机数量的3倍多10台，运来洗衣机多少台？（列方程解答） 18．（24-25四年级下·陕西榆林·期末）周末，小明去超市采购食品。他挑选了3盒同样的牛奶和2个同样的面包，来到收银台结账，收银员扫描商品后打印出了一张收据。小明发现收据部分内容污损了，只知道牛奶的编码是11301569，数量是3，单价是7.50元，面包的编码是20013148，数量是2，合计金额是46.50元，实收46.50元，交易找零0元。每个面包的单价是多少元？（列方程解答） 19．（25-26四年级下·陕西咸阳·阶段检测）小晨和妈妈一起去超市购物，要购买1个篮球和5双拖鞋。 给出以下信息：①购买篮球和拖鞋一共用去191元；②一个足球98元；③一个篮球56元；④妈妈带了500元。 要求“每双拖鞋多少元？”，需要选择的信息是（    ）（填序号）。 根据所选的信息，列方程解答。 20．（23-24四年级下·甘肃定西·期末）能力提升题。   贝贝和丽丽做兰花，贝贝已经做了120个，丽丽已经做了150个，从现在开始贝贝每天做15个，丽丽每天做12个，多少天后两人做的兰花数量同样多？（列方程解答） 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null