专题02 平行线中的拐点问题的五种模型（高效培优专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

专题02 平行线中的拐点问题的五种模型 目录 题型一：猪蹄模型（M型）与锯齿模型 1 题型二：铅笔头模型 8 题型三：牛角模型 14 题型四：羊角模型 19 题型五：蛇形模型（“5”字模型） 26 题型一：猪蹄模型（M型）与锯齿模型 1．（24-25七年级下·甘肃平凉·月考）直线，，则 ． 【答案】/65度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点E作，则，由两直线平行，内错角相等得到，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，已知点、分别在直线、上，点在、之间，连接、． (1)求证： (2)若平分，平分，求证： (3)在（2）的条件下，若，，点在直线上，且，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义． （1）过点作，根据平行线的性质可得，，根据，即可得证； （2）同理过点作，根据角平分线的定义，以及平行线的性质即可得证； （3）根据（1）（2）的结论得出，根据垂直的定义可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）证明：如图， 过点作， ， ， ，， 即 （2）证明：由（1）得， 同理过点作， 可得， 平分平分 （3）如图， ∵， 由（2）可得 ∵ ∴ ∴ 3．（24-25八年级上·广东佛山·期末）平面内和，存在一个常数，使得，则称为的k倍补角，例如，，，则为的2倍补角． (1)是的5倍补角，，则 ； (2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的3倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的k倍补角，为的k倍补角，求（用k表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了平行线的性质、余角与补角、新定义等问题． （1）根据k倍补角的定义求解即可； （2）①过点E作，所以，进而求出的度数； ②分类讨论，点F在右侧或者左侧，画出图形，利用k倍角定义建立方程从而得出关于k的关系式，即可得解． 【详解】（1）解：∵是的5倍补角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图1，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴， ∴，即； ②∵，， ∴， 由①得， ∴， ∴， 分以下两种情况讨论： 如图2，若点F在右侧， 则； 如图3，若点F在左侧，连接并延长， ∵ 是 的外角， ∴， 同理可得， ∴ ； 综上所述，或． 4．（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，，点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足． (1)①如图1，、、的数量关系为 ； ②如图，、、的数量关系为 ． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则 ． ②猜想与的数量关系，并说明理由． ③如图，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与的数量关系是 ． 【答案】(1)①；② (2)①；②，见解析；③ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）①过点作，根据平行线的性质即可解决问题； ②过点作，则，得，，然后求解作答即可； （2）①由（1）可知，，则，作，则，，，根据，计算求解即可； ②由①的结论，整理作答即可； ③由②可知，，同理可得，，，由角平分线可推导一般性规律为，由，可得，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：①如图1，过点作， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 故答案为：； ②如图，过点作，则， ，， ， ， ； 故答案为：； （2）①由（1）可知，， ， ，分别平分和， ，， ， 如图，作，则， ，， ， 故答案为：； ②，理由如下： 由①可知，， 整理得，， ； ③由②可知，， 同理可得，，，， 由角平分线可知，，，， ，，， ，，， 可推导一般性规律为， ， ， 当时，， ，即． 故答案为：． 题型二：铅笔头模型 5．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）如图，，若，则等于 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．过点作，由，得，根据两直线平行，同旁内角互补得到，，即可得到，即有．而，即可得到． 【详解】解：过点作，如图： ，， ， ， ， ， 即． 而， ． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·河南南阳·期末）问题情境：如图1，，求的度数． （1）小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据． 如图2，过点作， ，（ ① ） ．（ ② ） ， ． ． 问题迁移： （2）如图3，，当点在线段上运动时，，求与之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、三点不重合），请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补（2），理由见解析（3）或，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定并且作出平行的辅助线是解答本题的关键． （1）根据平行线的判定与性质填写即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，代入，即可得出答案； （3）画出图形（分两种情况：点在的延长线上，点在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：（1）如图2，过点作， ， ， （平行于同一条直线的两条直线互相平行） ，． （两直线平行，同旁内角互补） ，， ，． ． （2），理由：过点作交于点， ， ， ，， ； （3）或， 当点在延长线上时，过点作交延长线于点， ， ， ，， ； 当点在延长线上时，过点作交于点， ， ， ，， ， 综上，或． 7．（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、平行公理推论的应用 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，图形类规律探索，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”和“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是解题关键． （1）根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得、，即可求得； （2）过点C作，过点D作，根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得，，，即可求得； （3）由（1）和（2）总结规律即可求解； （4）根据所得规律可直接求解． 【详解】（1）解：过点E作． （已作）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即； （2）如图，过点C作，过点D作， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知在A，C两点的同一侧有1个折点，其； 由（2）可知在B，E两点的同一侧有2个折点，其； 因为B，F两点的同一侧有3个折点， 所以； （4）由（3）可知． 8．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）如图，，点为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则________； (2)如图2，试说明，； (3)①如图3，若的平分线与的平分线相交于点，判断与的数量关系，并说明理由； ②如图4，若设，，，请直接用含、的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)见详解 (3)①，理由见详解；② 【分析】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义．作辅助线来构造平行关系是解题的关键． （1）过点作，利用推出，根据“两直线平行，内错角相等”，得到，，那么，代入角度值计算即可； （2）过点作，由得，根据“两直线平行，同旁内角互补”，分别得出，，将这两个等式相加，即可推出． （3）①由（1）可得，又因为平分，平分，所以，，再结合中，就能推出； ②根据前面的结论，结合已知的角的比例关系，，，推导出，然后代入到，通过等式变形求出的表达式． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ， 故答案为：． （2）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ，即． （3）解：①，理由如下： 由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， 由（2）可知，， ． ②由①可知， ，，， ， ， ， ， ， ． 题型三：牛角模型 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图①，已知，，，则的度数为 °． （2）如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角．第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 °． 【答案】 40 150 【分析】本题主要考查平行线的性质，利用平行线的性质求解即可． （1）过点作的平行线，则，利用平行线的性质求得，结合，求得，进一步利用求得即可； （2）过点作，则，有．可求得和，即可求得． 【详解】解：（1）过点作的平行线，如图， 由题意易知，， 因为， 所以， 所以， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：40． （2）如图，过点作． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 故答案为：150． 10．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，周角，掌握知识点是解题的关键． （1）过点作，求出，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图（1），过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图（2），过点作， ， ， ， ， ，， ， ． 11．（25-26七年级上·四川眉山·期末）已知直线，直线、都不经过点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查根据平行线的判定和性质探究角的关系，掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）作，则，根据平行线的性质即可求解； （2）作，则，根据两直线平行，同旁内角互补，可得，，进而可得； （3）作，则，根据两直线平行，内错角相等，可得，，进而可得． 【详解】（1）解：如图，作， 则， ∵， ∴， ∴ ∴， 即； （2）解：， 证明：如图，作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）解：， 理由：如图，作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质； （1）根据平行线的性质和判定进行填写即可； （2）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可； （3）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可． 【详解】解：（1）过点作直线，使． 因为， 所以．（两直线平行，内错角相等） 又因为， 所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以． （2）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 又因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以 ∴ （3）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以 ∴ 所以 题型四：羊角模型 13．（2026·新疆阿克苏·模拟预测）如图，，，，则的度数为 . 【答案】 【分析】通过作辅助线构造平行关系，利用平行线的性质（平行于同一直线的两直线平行、两直线平行内错角相等），结合角的和差关系求出的度数． 【详解】解：如图，过点作． ，且 ． ，， ． ，， ． 由图可知， 将、代入， 可得， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）下列图形是用钉子把橡皮筋紧钉在墙壁上而成的，其中． (1)如图1，若、，则___________； (2)如图2，若、，则___________（用含的式子表示）； (3)如图3，若、，那么与、之间有什么数量关系？请加以证明． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查的是平行线的性质，解题的关键是由平行线性质得出角相等从而求出答案； （1）先过作，由平行线的性质得，，所以求得的度数． （2）首先过作，根据平行线的性质可得：，，，从而表示出． （3）由平行线的性质得，再根据三角形的外角性质，表示出与、之间的关系． 【详解】（1）解：过作，，， ， 故答案为：． （2）解：过作，，， ， ， ． 故答案为：． （3）证明： 证明：， 又， ． 15．（24-25七年级下·全国·期末）【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线、的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 小明得出：、和三个角之间存在的数量关系是． 【分析问题】我们学习过平行线的性质，利用平行线的性质可以把分成两部分进行研究． 【解决问题】请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 【举一反三】 （1）如图①，若，，则 度； （2）如图②，已知，点、分别是、上的点，点位于上方，，．用含α和β的代数式表示下列各角． ①求的大小； ②如图③，在图②的基础上，若和分别平分和，则的大小． 【答案】〖解决问题〗见解析 〖举一反三〗（1） 　（2）①；② 【分析】此题主要考查了平行线的性质，理解题意，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 〖解决问题〗依题意得，进而根据平行线的性质得，，将两式相加即可得出结论； 〖举一反三〗（1）先根据平角的定义求出，，然后根据即可得出的度数； （2）①过点作，则，由平行线的性质得，，由此得，再将，，代入上式即可得出的度数； ②先由角平分线的定义得，，然后由①的结论得，据此可得出的度数． 【详解】解：〖解决问题〗、和三个角之间存在的数量关系是：，理由如下： 依题意得：， ，， ， 即； 〖举一反三〗（1），， ，， ， ； 故答案为：40． （2）①过点作，如图②所示： ， ， ，， ， ，，， ， ， 故答案为：． ②和分别平分和，，， ，， 由①的结论可知：． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·山西晋中·期末）材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）选择明明同学，由，，得，由平行线的性质得，，，进而即可证明；选择欣欣同学，由平行线的性质得，，推出，进而即可证明； （2）过点P作，根据平行线的性质求出和，进而即可求解； （3）过点P作，过点N作，延长交于点Q，则，根据平行线的性质得，，进而证明，根据推出，进而可得，再根据平行线的性质得，，通过等量代换即可求解． 【详解】解：（1）选择明明同学，证明过程如下： ，， ， ， ， ， ， ； 选择欣欣同学，证明过程如下： ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图 ，过点P作， 则， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， 即的度数为； （3）如图 ，过点P作，过点N作，延长交于点Q， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， 即的度数是． 题型五：蛇形模型（“5”字模型） 17．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）如图，，若，，则的度数是 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查平行线的性质，关键在于作辅助线平行已知直线，再根据平行线的性质即可求解．先过点作的平行线，然后根据平行线的性质即可求出结果． 【详解】解：如图：过点作， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴． 故答案为：． 18．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，． (1)若，，求的度数． (2)探究，，三者之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)   见解析 【分析】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，熟记平行线的性质并作出合理的辅助线是解题的关键． （1）首先过点向左作，可求出的度数，由，可得，利用平行线的性质，即可求得的度数，继而根据角度的和差关系求得答案； （2）由（1）得，，再由即可求得，，三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点向左作， 则． 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： 由（1）得，． 又∵， ∴， ∴． 19．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）如图①，蜿蜒曲折的盘山公路仿佛一条长龙，在郁郁葱葱的山间起舞．数学活动课上，老师把盘山公路抽象成图所示的样子． (1)如图，，，，求的度数； (2)聪明的小明在图的基础上，将图变为图，其中，，，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过点作，则有，又因为，所以，则，然后通过角度和差即可求解； （）过点作，过点作，所以，所以，，，然后通过角度和差即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， 因为， 所以， 又因为， 所以， 又因为， 所以， 所以； （2）解：如图，过点作，过点作， 因为， 所以， 所以，，， 因为，， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以． 20．（24-25七年级下·广东·期末）综合探究 (1)【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图①，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作，则______，， 又∵．∴ ； (2)【方法运用】如图②所示，已知，交于点E，，求的度数． (3)【拓展探究】如图③所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，求的度数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，利用转化思想解答是解题的关键． （1）过点A作，如图①，根据平行线的性质得到，，然后利用平角的定义得到； （2）过点E作，如图②，利用平行线的性质得到，则，，然后把两式相加可得； （3）过E点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，设，，结合平行线的性质得到，利用代入求解即可． 【详解】（1）解：过点A作， ∴，， 又∵， ∴； 故答案为：，； （2）解：过点E作，如图，    ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴. （3）解：过E点作，如图，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵ ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02平行线中的拐点问题的五种模型 题型归纳 目录 题型一：猪蹄模型(M型)与锯齿模型 .1 题型二：铅笔头模型 …8 题型三：牛角模型… .14 题型四：羊角模型… .19 题型五：蛇形模型(“5”字模型) …26 题型专练 题型一：猪蹄模型(M型)与锯齿模型 1.(24-25七年级下.甘肃平凉·月考)直线AB∥CD,∠B=23°，∠D=42°，则∠E= A B C D 2.(25-26七年级上河南周口·期末)如图，己知AB∥CD,点E、F分别在直线AB、CD上，点G在AB、 CD之间，连接EG、FG. —B D F (1I)求证：∠EGF=LAEG+∠CFG ②考EH平分∠AEG,FH平分∠CFG,求证：∠BHF=EGF (3)在(2)的条件下，若LAEG=40°，∠CFG=60°，点P在直线AB上，且PH⊥HE,求∠PHF的度数. 3.(24-25八年级上广东佛山期末)平面内∠A和∠B,存在一个常数k>0,使得∠A+k∠B=180°，则 称∠B为∠A的k倍补角，例如，∠A=120°，∠B=30°，则∠B为∠A的2倍补角. B 备用图1 备用图2 1/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)∠M是∠N的5倍补角，∠N=3∠M,则∠M=-: (2)如图1，在平面内，AB∥CD,点E在BD左侧，连接BE、DE. ①若∠CDE=20°，∠ABE是∠BED的3倍补角，求∠ABE; ②在①的条件下，点F在直线AB、CD之间，且在折线BED右侧，∠EBF为∠ABE的k倍补角，∠EDF为 ∠CDE的k倍补角，求∠F(用k表示). 4.(24-25七年级上四川乐山期末)如图，AB∥CD,点E,F分别在直线AB,CD上，在平行线AB、 CD之间有一动点P,满足0°<∠EPF<180° B A B 图1 图2 >0>Q201 人9 D D 图3 图4 (I)①如图1，∠EPF、∠AEP、LPFC的数量关系为-： ②如图2，∠EPF、∠AEP、∠PFC的数量关系为_ (2)如图3，QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD,且点P在EF左侧. ①若LEPF=60°，则LEQF=_°. ②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由. ③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点g,∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点2，∠BEQ,与 ∠DFQ2的角平分线交于点≌，此次类推，则∠EPF与∠EQ2o1F的数量关系是-· 题型二：铅笔头模型 5.(24-25七年级下山东枣庄·月考)如图，AB∥CD,若LE=55°，则∠B+∠D等于一 A B C D 6.(25-26七年级上·河南南阳期末)问题情境：如图1，AB∥CD,∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的 度数 (1)小机灵同学看过图形后立即口答出：∠APC=110°，请你补全他的推理依据. 如图2，过点P作PE∥AB, AB∥CD,∴.PE∥AB∥CD,(①) 2/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°.（②） .∠PAB=130°，∠PCD=120°， ∴∠APE=50°，∠CPE=60°. ∠APC=∠APE+∠CPE=110°. 问题迁移： (2)如图3，AD∥BC,当点P在线段AB上运动时，∠ADP=∠，∠BCP=∠B,求∠CPD与∠a、∠B之 间有何数量关系？请说明理由； (3)在(2)的条件下，如果点P在射线OM上，且在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不 重合)，请直接写出∠CPD与∠、∠β之间的数量关系， B 图1 图2 图3 备用图 7.(1)如图1，AB∥CD,求∠A+∠AEC+∠C的度数. 解：过点E作EF∥AB. :EF∥AB(己作)， ∠A+∠AEF=180°(). 又：ABCD(已知)， ·∥一（平行关系的传递性）， ∴.∠CEF+∠ =180°（两直线平行，同旁内角互补）， :∠A+∠AEF+∠CEF+∠C=360°（等式性质）， 即∠A+∠AEC+∠C=; (2)根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，AB∥EF,则LB+∠C+∠D+∠E= (3)根据(1)和(2)的规律，图3中AB‖GF,猜想：∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= (4)如图4，AB∥CD,在B,D两点的同一侧有M,M’M.Mn共n个折点，则 ∠B+∠M1+∠M,++∠Mn+∠D的度数为 (用含n的代数式表示) B A B —B D M M. F- E C 图1 图2 图3 图4 D 8.(24-25七年级下·广东揭阳期中)如图，AB∥CD,点E为两直线之间的一点. 3/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D D 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，若∠BAE=35°，∠DCE=20°，则∠AEC= (2)如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°： (3①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F,判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明 理由； ②如图4，若设∠E=m,∠BAF=∠FAE,∠DCF=L∠FCE,请直接用含m、的代数式表示∠F的度 数 题型三：牛角模型 9.(25-26八年级上全国课后作业)(1)如图①，已知AB∥DE,∠ABC=75°，∠CDE=145°，则 ∠BCD的度数为°. (2)如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A=120°，第二次拐角∠B=150°，第 三次拐的角是∠C，,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C=°. A 图① 图② 10.(25-26八年级上·内蒙古包头期末)如图，已知AB∥DE,点C在AB上方，连接BC,CD. ∠ABC=145°. A E D D 图(1) 图(2) (1)如图(1)，若∠EDC=116°，求∠BCD的度数： (2)如图(2)，CB与DF互相垂直，垂足为F,求∠EDF的度数， 11.(25-26七年级上四川眉山期末)已知直线AB∥CD,直线AB、CD都不经过点P 4/8 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠A=50°，∠C=45°，求∠APC的度数： (2)如图2，猜想∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明； (3)如图3，直接写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系， 12.(25-26七年级上·河北邯郸期末)(1)如图①，AB∥CD,如果∠BAE=60°，∠ECD=45°，求∠AEC 的度数.请将下面的求解过程填写完整， 解：过点E作直线EF,使EF∥AB. 因为EF∥AB,所以∠BAE=∠I.(_) 又因为∠BAE=60°，所以L1=°. 因为EF∥AB,且AB∥CD, 所以·（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，） 所以∠ECD==45°. 所以∠AEC=。, (2)如图②，AB∥CD,如果∠BAE=120°，∠ECD=140°，请问∠AEC等于多少度？写出求解过程， (3)填空：如图③，AB∥CD,请用一个等式表示∠BAE、∠AEC与∠ECD三个角之间的关系： B D 图① 图② 图③ 题型四：羊角模型 13.(2026新疆阿克苏模拟预测)如图，AB∥CD,∠A=45°，∠C=20°，则∠E的度数为 B 14.(25-26八年级上·黑龙江绥化开学考试)下列图形是用钉子把橡皮筋紧钉在墙壁上而成的，其中 AB∥CD. 5/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E B A B 30 A E 50 图1 图2 图3 (1)如图1，若LA=30°、∠C=50°，则∠AEC= (2)如图2，若LA=x°、∠C=y°，则∠AEC= (用含x°、y°的式子表示)： (3)如图3，若∠A=m°、∠C=n°，那么∠AEC与m°、n°之间有什么数量关系？请加以证明. 15.(24-25七年级下全国·期末)【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴 MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE、DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P. 小明得出：∠BPD、∠ABP和LCDP三个角之间存在的数量关系是∠BPD=∠ABP+∠CDP. E P 图① 图② 图③ 【分析问题】我们学习过平行线的性质，利用平行线的性质可以把∠BPD分成两部分进行研究. 【解决问题】请你帮小明解决这个问题，并说明理由 【举一反三】 (1)如图①，若LABE=150°，∠CDF=170°，则∠EPF= 度； (2)如图②，己知AB∥CD,点E、F分别是AB、CD上的点，点P位于AB上方，∠PEB=a, ∠PFD=B.用含a和的代数式表示下列各角. ①求∠P的大小： ②如图③，在图②的基础上，若EQ和FQ分别平分∠PEB和∠PFD,则∠Q的大小. 16.(25-26八年级上·山西晋中期末)材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他 们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： B 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从 而解决问题.为此，老师给出如下问题： 如图①，AB∥CD,EF⊥AB,交AB于点Q,FG交CD于点P.请判断LEFG与∠DPG有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作MN∥CD,利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 6/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作QN∥FG,同样也有着异曲同工之妙： 格① 图5 【问题解决】 (1)请判断∠EFG与∠DPG有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 (2)如图④，AB∥CD,反向延长∠ABP的平分线BE,交直线CD于点F,点H在直线CD上，连接PH ,若∠EFC=50°，∠PHC=70°，求∠P的度数； 【变式探究】 (3)如图⑤，AB∥CD,DN平分∠CDP,且AP⊥PD,PAB+2LPAN=180°，请直接写出∠DNA的度 数 题型五：蛇形模型(“5”字模型) 17.(24-25七年级下·湖南张家界·期末)如图，AB∥DE,若∠B=30°，∠D=140°，则∠C的度数是 A 18.(2026七年级下，全国专题练习)如图，AB∥CD. ⊙ A E C D (1)若∠B=130°，∠C=30°，求∠BEC的度数， (2)探究∠B,∠C,∠BEC三者之间有怎样的数量关系，并说明理由 19.(24-25七年级下，贵州黔东南·月考)如图①，蜿蜒曲折的盘山公路仿佛一条长龙，在郁郁葱葱的山间起 舞.数学活动课上，老师把盘山公路抽象成图②所示的样子. 7/8 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图① 图② 图③ (I)如图②，AB∥CD,∠B=125°，∠C=25°，求∠BPC的度数； (2)聪明的小明在图②的基础上，将图②变为图③，其中AB∥CD,∠B=125°，∠PQC=65°， ∠C=145°，求∠BPQ的度数. 20.(24-25七年级下·广东·期末)综合探究 E ---D ① ② ③ (1)【课题学习】平行线的“等角转化”功能. 如图①，已知点A是BC外一点，连接AB,AC.求∠BAC+∠B+∠C的度数. 解：过点A作ED∥BC,则∠B=，∠C=LDAC, 又：∠EAB+∠BAC+∠DAC=I80°..∠B+∠BAC+∠C=- (2)【方法运用】如图②所示，己知AB∥CD,BE、CE交于点E,∠BEC=80°，求∠B-∠C的度数 (3)【拓展探究】如图③所示，己知AB∥CD,BF、CG分别平分∠ABE和∠DCE,且BF、CG所在直线交 于点F,过F作FH∥AB,若∠BFC=36°，求∠BEC的度数. 8/8