专题02 多项式乘多项式的六种模型（高效培优专项训练）数学新教材湘教版七年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02多项式乘多项式的六种模型 题型归纳 目录 题型一：整式乘法的混合运算 .1 题型二：已知多项式乘积不含某项求字母的值… 4 题型三：（Xp)(X十q)型多项式乘法9 题型四：整式乘法与几何图形面积.13 题型五：多项式乘法中的规律性问题 20 题型六：整式乘法中的新定义型问题 题型专练 题型一：整式乘法的混合运算 1.(25-26八年级上福建泉州期末)计算：（x-1)(3x+1)+2xx+3. 2.(25-26八年级上重庆铜梁期中)先化简，再求值：x1-x2)+x2(x-1)+x(x+1),其中x=2. 3. (25-26八年级上福建南平.期中)计算： o-3x{6 (2a-3(a+2) (3)2mm-n-8mn-m) 4.(24-25八年级上.宁夏固原·期末)计算： (1)(2x-1(x+3): (2)-3x2y2.2y+(y)3. 5.(2025七年级上全国专题练习)计算： ()xx2+x-1-(22-1(x-4); efsj2sr+w+j 6. (24-25七年级下山东东营月考)计算： 0-×x-5: (2a2b+ab2-3b-4ab2）--2ab2y': (3)(m-1(m2+m+1. 1/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型二：己知多项式乘积不含某项求字母的值 1.（25-26八年级上·天津河西·月考)多项式ax+b和多项式2x2-3x+5的乘积结果中，含x2项的系数为 -2,含x项的系数为5，求a+b的值. 2.(25-26八年级上江西上饶期末)已知多项式A=ax+4,B=3x+b,A与B的乘积中不含有x项，常数 项为4. (1)求a,b的值； 2计算：4B+B. 4 3.(25-26八年级上四川巴中期中)(1)若x2+nx+3)x2-3x的结果中不含x2项，求n的值： (2)试说明多项式xx2+x-3-x2(x-1)-2(x-1)(2x+1)+x(2x+1)的值与x的取值无关 4〈2526八年级上四川资阳期中)若：+m+)x-3x+g)的展开式中不含亡和的项。 (1)求p、q的值： (2)求代数式(-2pq+6pq2+p202g025的值. 5。(2526八年级上四川内江期中)若2+mx写2-3x+川的积中不含X与术项。 (I)求m、n的值； (2)求代数式(-2m2n2+m207n2018的值. 6.(25-26七年级上河南安阳·期末)我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式ax-x+2y-5的 值与x的取值无关，求a的值. 通常的解题思路是：把x,y看作字母，Q看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式=(a-1)x+2y-5 :代数式的值与x的取值无关， .a-1=0, 解得：a=1 【理解应用】 (1)若关于x的多项式2mx+3x-m2+1的值与x的取值无关，则m的值为_： (2)已知A=(x+3)(3x-1)-x(2m+3),B=-2x2+5mx-4,且2A+B的值与x的取值无关，求m,n的值； 题型三：(x+p)(x+q)型多项式乘法 1.(2026七年级下.全国专题练习)已知x2-px+ab=(x+a(x+b).请用a,b表示p. 2.(24-25七年级上·上海虹口月考)计算：（x-y(x-2y)+(x-2y)x-3y)-2(x-3y)(x-4y) 3.(23-24八年级上河南商丘·期末)已知x+m)(x+n=x2+x-3. 2/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求(m-1(n-1)的值； (2)求(m-n)的值 4.(25-26八年级上海南海口月考)(1)计算下列式子： ①x+2)(x+3)= ②(x-2)(x-3)= ③x+2x-3)= ④x-2)(x+3)= (2)从上面的计算中总结出规律：(x+a(x+b)= (3)运用上面的规律，直接写出下列各式的结果： ①x+4)(x+7）= ②m-5)(m+2)= ③x-1)(x-3)= @+ 5.(23-24七年级下·全国单元测试)在整式的乘法中，不少运算是有规律可循的，只要细心探究，总结出 规律.阅读下面的计算过程，回答问题 计算下列各式： ①x+1x+2;②x+3)(x-4) 解：①原式=x2+1x+2·x+1×2 =x2+(1+2)x+2 =x2+3x+2; ②原式=x2+3·x+-4)x+3×(-4) =x2+[3+(-4)7x+3×(-4) =x2-x-12. (1)观察上式，比较它们的计算结果，并填空：(x+a)(x+b)=x2+ x+ab. (②)用你发现的规律直接写出下列各式运算结果. ①x-2)(x+3= ②x-5)x-1= ③x-2yj(x+4y)= ； ④(x-5y)(x-4y)= 6.(23-24八年级上辽宁大连期末)x2+(p+q)x+pg型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这 种类型的式子进行因式分解呢？我们先看特殊情况，当P=9时，上式就为完全平方式，则 3/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x2+2px+p=(x+p)2，对于完全平方公式，我们既可以用整式乘法进行证明，也可以用图形的面积来说明. 如图，就是说明x2+2px+p2=(x+p)2.同样，根据整式乘法， (x+p)x+q)=x2+px+9x+pq=x2+(p+q)x+pq,因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系， 我们可得：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),从而可以将x2+(p+q)x+pq型式子进行因式分解. p (I)请你画出图形，利用图形面积来说明x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q); (2)根据以上得到的方法，对下列多项式分解因式. ①x2-2x-15; ②2x2+12x+16· 题型四：整式乘法与几何图形面积 1.(25-26八年级上·陕西商洛·期末)某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形内部 挖去一个小长方形（如图），其中大长方形的长为3a-5b)cm,宽为a-b)cm,小长方形的长为acm,宽 为a-2b)cm. 3a-5b a-b a-2b (①)求零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）；（结果需要化简） (②)零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大多少平方厘米？ 2.(25-26七年级上·江苏扬州期末)近年来城区老旧小区改造已成为群众关心的热点问题.为提高南海社 区居民的宜居环境，市政府在社区规划修建一个广场（如图)· 3b b 场 20 (I)用含a、b的式子表示该广场的面积S; 4/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若a=20米、b=15米，修建该广场每平方米需要200元，请求出修建该广场的总费用， 3.(25-26七年级上山东济南期末)如图，有一块长为3a米，宽为2a米的长方形苗圃，现计划扩建，以 如图方式向外扩建x米的距离. 米 米 (I)请用含有x和a的式子表示扩建后的苗圃的面积； (2)若x=4,扩建后的面积比原面积的大了400平方米，求a的值。 4.(25-26八年级上·湖北宜昌期末)有边长分别为a,b(b<a<2b)的两种正方形（如图1）卡片若干. Q (图1) (图2) (图3) (图4) (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含Q,b的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的面积： (②)将一张边长为Q的正方形卡片和两张边长为b的正方形卡片按如图3放置，用含Q,b的代数式表示阴影 部分（三张卡片都重叠部分）的面积： (3)将两种正方形卡片各一张按如图4放置在一个边长为c(a+b>c>a)的大正方形内，左下角长方形的面 积为S,两张卡片重叠部分的面积为S2.若a2+b2=c2,请直接用等式写出S,与S,的数量关系 5.(25-26八年级上·广东珠海期末)综合与应用 【阅读理解】我们在学习整式乘法时，常常通过数形结合理解掌握运算方法.如图1反映了单项式与多项 式的乘法运算方法，即：p(a+b+c)=pa+pb+pc. 【类比应用】 (1)任务一：观察图2，完成填空：①若x=3,p=9=1,则图2= ②(x+p)(x+q)= 5/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a 6 x2 qx pa pb Pe b px pq a b 图1 图2 图3 【综合应用】 (2)任务二：①由图3，可以得到等式： ②若实数a,b,c满足：a+b+c=6,ab+bc+ac=11;求a2+b2+c2的值， ③若实数a,b,c满足：8×4×2=128,9a2+4b2+c2=17;求6ab+3ac+2bc的值. 6.(25-26七年级上四川内江·期末)【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式ax-y+6+3x-5y-1的值与x的取值无关，求a的值”.通 常的解题方法是把、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式=(a+3)x-6y+5.因为代数式的 值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则a=-3. 【理解应用】 (1)若关于x的多项式2x3-x2)+ar2-x+1不含x2项，则a= (2)己知A=-3x2-2xy+3y+1,B=2x2+2xy-1,且2A+3B的值与y的取值无关，求x的值； 【拓展延伸】 (3)用7张长为α，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形 中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为S,左下角部分的面积为S2,当AB的长发生变化时， S,-S2的值始终保持不变.请求出a与b之间的数量关系. E B S a S2 D 题型五：多项式乘法中的规律性问题 1.（25-26八年级上山东临沂期末)（1)观察、归纳：请填上正确答案 (x-1)(x+1= (x-1(x2+x+1= 6/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (x-1)(x3+x2+x+1= (x-1)x4+x3+x2+x+1= …… (2)总结：根据以上等式你能发现什么规律，请写出来并证明： (3)运用：利用你发现的规律计算：22025+22024+22023+…+22+2+1 2.(25-26七年级上辽宁沈阳·期中)我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详 解九章算法》中记载的“杨辉三角” (a+b)'=a+b 2 (a+b)2=a2+2ab+b .(a+b)=a+3a2b+3ab2+b ......(Q+b)=a+4ab+6a2b244ab3+b 此图揭示了(a+b)”(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： )图中括号内的数为 (2)(a+b)°展开式共有 项，第3项系数为 (3)根据上面的规律，写出(a-b)°的展开式： ； (4)利用上面的规律计算：45-10×44+40×43-80×42+80×4-32； 3.(25-26八年级上河南安阳·期末)数学活动：在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律.图 1是2026年1月的月历，我们用如图所示框住任意3个数（如图2阴影部分）将位置B上的数平方，位置 A,C上的数相乘，然后再相减 2026年1月 2026年1月 星期日臊期犀期一犀期三墀期四星期犀期六 犀期日早期民期犀期三期四早期犀期六 2 4 5 6 7 8 9 10 A 11 12 13 14 15 16 17 B 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 图1 图2 (1)填空 例如：13×13-5×21= ,14×14-6×22= 不难发现，结果都是 (②)请你再举出一个符合这个规律的类似的例子： (3)设位置B上的数为x,请你对以上的规律加以证明. 7/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26八年级上湖北荆州期末)“杨辉三角”揭示了(a+b)”(n为非负数)展开式的各项系数的规律.在 欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600 年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 第一行 1 第二行 11 (a+b)'=a+b 各项系数和为2 第三行 121 (a+b)2=a2+2ab+b2 各项系数和为4 第四行1331 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 各项系数和为8 第五行 14641(a+b)4=+4ab+6ab+4ab3+b各项系数和为16 ”，。。 ··。。。 。。。8 。g。。。。 根据上述规律，完成下列各题： (1)将(a+b)展开后，各项的系数和为 (2)将(a+b)“展开后，各项的系数和为 (3)写出(a+b)°的展开式. 下图是世界上著名的莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第行青 第二行 11 22 111 第三行 363 1111 第四行 412124 第五行 11111 520 30205 (4)请你描述一下“莱布尼茨三角形的数字变化规律， )若m,川表示第m行，从左到石数第个数，如4,2表示第四行第三个数是2则8,6表示的数 多少？ 5.(25-26八年级上福建福州期末)下列每组中两数的和为定值，观察它们的积的变化规律，回答下列问 题 ①30×30=900,35×25=875,43×17=731,52×8=416； ②50×50=2500,53×47=2491,74×26=1924,91×9=819 【发现规律】 (1)两数的和一定时，两数的差的绝对值越小，则它们的积就越 ；(填“大”或“小”)当两数的 差的绝对值为0（即两数相等）时，它们的积最 ；(填“大”或“小”) 8/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【解释规律】 (2)设两数为a+b和a-b,其中a为定值，b≥0.请你解释以上所发现的规律； 【应用规律】 (3)用20m长的绳子围成一个长方形，当长方形的两条邻边长各为多少时，长方形的面积最大？最大面积 是多少 6.(25-26八年级上河南濮阳·期末)【课本再现】 活动：个位数字是5的两位数平方的规律 我们在过去的学习中发现了如下的运算规律： 15×15=225=1×2×100+25,25×25=625=2×3×100+25,35×35=1225=3×4×100+25,..你能写出 般的规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？ 下面是亮亮的解答过程，请 你补充完整 解：设该两位数的十位数字 是n(1≤n≤9，且n是整数)， 个位数字是5. 规律为： (10n+5)2=100n(n+1+25 证明如下： :(10n+5)= 【类比探究】 兴趣小组的同学发现下面式子也有相似的规律 14x16=1x2×100+4×6=224,23×27=2×3×100+3×7=621,32×38=3×4×100+2×8=1216,… (1)请你利用上述规律计算：81x89= (2)观察上面三组式子，兴趣小组的同学归纳了一般规律并进行证明，请你补充完整 两个两位数相乘，设这两个两位数字的十位数字都是n(1≤n≤9，且n是整数)，其中一个两位数的个位数 字为m(1≤m≤9，且m是整数)，则另外一个两位数的个位数字为 ,一般规律是 证明： 【迁移应用】 (3)兴趣小组的同学利用规律快速计算了102×108，你知道他们是怎样利用规律的吗？请你写出计算过程. 9/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型六：整式乘法中的新定义型问题 1.(25-26七年级上河北沧州期末)定义一种新运算：对任意有理数a,b都有a⊕b=2a-3b.例如： 1©2=2×1-3x2=-4. (1)求-2®3的值. (2)化简并求值：(x+3a⊕(x-2b),其中a,b互为相反数，x是最大的负整数. (3)已知x2⊕a与3⊕ax2的差中不含X2项，求a的值. 2.(2025河北邯郸模拟预测)现定义某种运算“★”：对给定的两个有理数a,b,有a★b=a2-2b. (1)求(-3)★(-2)的值： (2)若a=5×10,b=2×10°，求a★b的值（结果用科学记数法表示）. 3.(25-26八年级上北京期中)定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母 的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式。 例如：代数式m-n中两个字母交换位置，可得到代数式n-m,当m≠n,且都不为0时，因为 n-m=-m-n,所以m-n是反对称式。 根据上述定义，解答下列问题： ()下列代数式中是反对称式的有 (填序号)； ①-wm ②m2-n2 ③(m-n)2 ④(m-n）2025 (2)若关于m,n的代数式(m+kn)(3m-n)-5mn-n2为反对称式，求k的值： (3)若关于m,n的代数式(-2025)”.2025”+(m+km(m2-mn+n2）(m,n均为(m,n均为奇偶性不同的正整 数)为反对称式，直接写出km+"的值. 4. (22-23八年级上广东东莞期中)我们给出以下两个定义：①三角形 -axae；②3x3 b y n 的方格图 =z×(xmXy） x m 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空： 10/11 专题02 多项式乘多项式的六种模型 目录 题型一：整式乘法的混合运算 1 题型二：已知多项式乘积不含某项求字母的值 4 题型三：（x+p）（x+q）型多项式乘法 9 题型四：整式乘法与几何图形面积 13 题型五：多项式乘法中的规律性问题 20 题型六：整式乘法中的新定义型问题 28 题型一：整式乘法的混合运算 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据多项式乘多项式运算法则，单项式乘多项式运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 2．（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练运用单项式乘多项式法则展开并合并同类项． 利用单项式乘多项式法则展开各项，去括号后合并同类项化简原式，代入计算最终值． 【详解】解： ； 当时，原式． 3．（25-26八年级上·福建南平·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先进行积的乘方运算，再用单项式乘以单项式计算即可 （2）用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，最后合并同类项； （3）先计算单项式乘以多项式，最后合并同类项 【详解】（1）解：      ； （2）解： ； （3）解： ． 4．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则，进行计算即可； （2）根据单项式乘单项式运算法则，积的乘方，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，多项式乘以多项式，掌握整式的运算法则是解题的关键． （）根据单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； （）根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 6．（24-25七年级下·山东东营·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)500000 (2) (3) 【分析】本题主要考查幂的运算、单项式乘多项式以及多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）利用积的乘方逆运算化简计算； （2）通过单项式乘多项式、积的乘方及合并同类项求解； （3）借助多项式乘多项式与合并同类项得出结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型二：已知多项式乘积不含某项求字母的值 1．（25-26八年级上·天津河西·月考）多项式和多项式的乘积结果中，含项的系数为，含x项的系数为5，求的值． 【答案】 9 【分析】本题主要考查多项式的乘法，二元一次方程组的应用．掌握多项式的乘法法则是解题关键．根据多项式的乘法求出，再根据题意即可列出关于a，b的二元一次方程组，解出a，b的值，再计算即可． 【详解】解： ， ∵多项式和多项式的乘积结果中，含项的系数为，含x项的系数为5， ∴， 解得：． ∴． 2．（25-26八年级上·江西上饶·期末）已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是关键.． （1）先计算A与B的乘积，合并同类项后，由乘积中不含有x项和常数项为4，列方程即可得到答案； （2）把代入，利用整式的四则运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， 与的乘积中不含有项，常数项为4， ，解得． 把代入，可得， 故． （2）解：根据（1）可知，， ． 3．（25-26八年级上·四川巴中·期中）（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 【答案】（1）1；（2）见解析 【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过展开多项式乘积，合并同类项后令项的系数为零，即可求解n； （2）通过展开并化简多项式，得到其值为常数，故与x无关． 【详解】解：（1） ∵的结果中不含项， ∴， ∴； （2）∵ ∴多项式的值与x的取值无关． 4．（25-26八年级上·四川资阳·期中）若的展开式中不含和的项． (1)求、的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式不含某项、代数式化简求值等知识，熟记整式运算法则是解决问题的关键． （1）先由多项式乘以多项式运算法则展开，再根据的展开式中不含和的项，得到，，解方程即可得到答案； （2）由（1）知，，先化简代数式得到，再将，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 的展开式中不含和的项， ，， 解得； （2）解：由（1）知，， ， ， 原式 ． 5．（25-26八年级上·四川内江·期中）若的积中不含与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值，熟练掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键． （1）利用条件中积不含与项，将积算出来后，令相应的项系数为0即可求解； （2）利用第（1）问中的结果，代入求值． 【详解】（1）解：原式 积中不含项与项， ，， 解得：，； （2）解：， 原式 6．（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出； （2）先计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵其值与的取值无关， ∴， 解得． 故答案为：． （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴，， 解得，． 题型三：（x+p）（x+q）型多项式乘法 1．（2026七年级下·全国·专题练习）已知．请用表示p． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；先把等式右边进行化简，然后对比等式两边的系数，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， 即． 2．（24-25七年级上·上海虹口·月考）计算： 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算． 利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可． 【详解】解： 3．（23-24八年级上·河南商丘·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式，根据已知求出是解题的关键． （1）根据已知求出，然后再根据多项式进行运算，然后将整体代入计算解答； （2）,然后将整体代入计算解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ； ∴的值为． （2）解： ． 4．（25-26八年级上·海南海口·月考）（1）计算下列式子： ①___________； ②___________． ③___________； ④___________． （2）从上面的计算中总结出规律：___________ （3）运用上面的规律，直接写出下列各式的结果： ①___________； ②___________． ③___________； ④___________． 【答案】（1）①；②；③；④；（2）；（3）①；②；③；④ 【分析】此题考查了多项式乘以多项式的规律问题，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据多项式乘以多项式的法则求解即可； （2）由（1）中的运算总结出规律即可； （3）由（2）总结出的规律求解即可； 【详解】解：①； ②． ③； ④． （2）从上面的计算中总结出规律：； （3）①； ②． ③； ④． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）在整式的乘法中，不少运算是有规律可循的，只要细心探究，总结出规律．阅读下面的计算过程，回答问题 计算下列各式： ①；②． 解：①原式 ； ②原式 ． (1)观察上式，比较它们的计算结果，并填空：________． (2)用你发现的规律直接写出下列各式运算结果． ①________；     ②________； ③________；  ④________． 【答案】(1) (2)①②③④ 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式． （1）观察阅读材料得到结果即可； （2）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④． 故答案为：①；②；③；④． 6．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢？我们先看特殊情况，当时，上式就为完全平方式，则，对于完全平方公式，我们既可以用整式乘法进行证明，也可以用图形的面积来说明．如图，就是说明．同样，根据整式乘法，，因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系，我们可得：，从而可以将型式子进行因式分解． (1)请你画出图形，利用图形面积来说明； (2)根据以上得到的方法，对下列多项式分解因式． ①；    ②． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】此题考查了因式分解，弄清阅读材料中的规律是解本题的关键． （1）画一个长为，宽为的长方形即可． （2）仿照材料进行因式分解即可． 【详解】（1）解：如图为所画的图形； ; （2）解：① ； ② ． 题型四：整式乘法与几何图形面积 1．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形内部挖去一个小长方形（如图）．其中大长方形的长为，宽为，小长方形的长为，宽为． (1)求零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）；（结果需要化简） (2)零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大多少平方厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，正确计算是解题的关键． （1）用大长方形的面积减去小长方形的面积即可得到零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）； （2）用零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）减去小长方形的面积即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 答：零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）为； （2）解： ， 答：零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大． 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）近年来城区老旧小区改造已成为群众关心的热点问题．为提高南海社区居民的宜居环境，市政府在社区规划修建一个广场（如图）． (1)用含的式子表示该广场的面积； (2)若米、米，修建该广场每平方米需要元，请求出修建该广场的总费用． 【答案】(1)； (2)660000． 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值以及整式的运算，熟练掌握用割补法求不规则图形的面积和代数式的运算是解题的关键． （1）用大矩形的面积减去凹进去的小矩形的面积，即可表示出广场的面积． （2）将、的值代入（1）中得到的面积表达式，求出广场的面积，再乘以每平方米的费用，即可得到总费用． 【详解】（1）解：如图， ； （2）解：当米，米时， 平方米， 总费用(元) 3．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，有一块长为米，宽为米的长方形苗圃，现计划扩建，以如图方式向外扩建x米的距离． (1)请用含有x和a的式子表示扩建后的苗圃的面积； (2)若，扩建后的面积比原面积的大了400平方米，求a的值． 【答案】(1)平方米 (2) 【分析】本题考查了多项式乘法和一元一次方程的应用，解题的关键是根据图形变化准确表示出扩建后长方形的长和宽，再利用面积公式建立方程求解． （1） 先求出扩建后长方形的长和宽，再根据长方形面积公式列出表达式并化简； （2） 先求出原面积与扩建后面积的差，代入得到关于的一元一次方程，解方程求出的值． 【详解】（1）解：扩建后的长为：， 扩建后的宽为：， 扩建后的面积为： 故扩建后的面积为 平方米． （2）解：原面积为：， 面积增加量为：， 当 时，面积增加了400平方米， 代入得，即，， ∴． 答：的值为． 4．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）有边长分别为，（）的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含，的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的面积； (2)将一张边长为的正方形卡片和两张边长为的正方形卡片按如图放置，用含，的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的面积； (3)将两种正方形卡片各一张按如图放置在一个边长为（）的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接用等式写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了多项式乘法和图形面积． （1）根据正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据大正方的面积减去小正方形的面积，即可得出阴影部分的面积； （2）正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b，得，再根据得，则，由此可得出阴影部分的面积； （3）根据正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为b，，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图2所示： ∵正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∴阴影部分的面积为：； （2）如图3所示： ∵正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； （3）与的数量关系是：，理由如下： 如图4所示： ∵正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·广东珠海·期末）综合与应用 【阅读理解】我们在学习整式乘法时，常常通过数形结合理解掌握运算方法．如图1反映了单项式与多项式的乘法运算方法，即：． 【类比应用】 （1）任务一：观察图2，完成填空：①若，，则_________． ②_________（_________）_________． 【综合应用】 （2）任务二：①由图3，可以得到等式：______________． ②若实数a，b，c满足：，；求的值． ③若实数a，b，c满足：，；求的值． 【答案】（1）①16；②，，；（2）①；②14；③16 【分析】本题考查整式的乘法与图形面积，能够利用面积相等的思想推导公式并熟练运用是解题关键． （1）①利用长方形的面积公式求解即可； ②用两种不同的方法表示图2的面积即可求解； （2）①用两种不同的方法表示图3的面积即可求解； ②将，代入①中的等式求解即可； ③首先由求出，然后得到，然后结合求解即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴； ②； （2）①； ②∵，，， ∴， ∴； ③∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26七年级上·四川内江·期末）【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式不含项，则________； （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值； 【拓展延伸】 （3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式加减运算和化简求值，解题关键是熟练掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则． （1）根据多项式不含项，列出方程解答即可； （2）先求，根据多项式的值与y的取值无关可知：化简后的多项式含有y的项的系数之和为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出和的面积，则可求出，进而可得到答案． 【详解】解：（1） ∵该多项式不含项， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）∵，， ∴ ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴； （3）解：设， 依题意，，， ∴， ∵当的长发生变化时，的值始终保持不变， ∴．即． 题型五：多项式乘法中的规律性问题 1．（25-26八年级上·山东临沂·期末）（1）观察、归纳：请填上正确答案 __________； __________； __________； __________； …… （2）总结：根据以上等式你能发现什么规律，请写出来并证明； （3）运用：利用你发现的规律计算： 【答案】（1）；；；；（2）发现的规律为（为正整数），证明见解析；（3） 【分析】（1）通过多项式乘法法则，计算前几个具体的多项式乘积，得到对应结果，为规律探究提供基础。 （2）根据前几步的计算结果，归纳出一般规律，再通过多项式展开的方法对规律进行证明，验证其正确性。 （3）将所求的等比数列求和式进行变形，构造出符合所发现规律的形式，代入规律公式进行简便计算。 【详解】（1）解：； ； ； ； …… 故答案为：；；； （2）解：根据以上等式发现：，理由如下： ∵左边 右边， ∴； （3）解： 2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为________； (2)展开式共有________项，第3项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________； (4)利用上面的规律计算：； 【答案】(1) (2)11，45； (3) (4)32 【分析】本题考查了二项式乘方的规律，数字的变化规律，解题关键是找出规律． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）先找出规律，用表示出展开式中共项数，当时，用表示出倒数第三项的系数，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令，时代入展开式即可得到所求代数式的值； 【详解】（1）解：依题意，， ∴图中括号内的数为； （2）解：展开式有项， ，展开式有项，第三项系数为； ，展开式有项，第3项系数为3，第三项系数为； ，展开式有项，第3项系数为6，第三项系数为； 展开式有项，第3项系数为，第三项系数为； ……； 以此类推，展开式中共有项，第三项的系数， ∴展开式共有11项，第3项系数为， 故答案为：11，45； （3）解：根据图示，， 故答案为：； （4）解：依题意， 当时，， ∴． 3．（25-26八年级上·河南安阳·期末）数学活动：在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．图1是2026年1月的月历，我们用如图所示框住任意3个数（如图2阴影部分）将位置B上的数平方，位置A，C上的数相乘，然后再相减． (1)填空 例如：________，________．不难发现，结果都是________； (2)请你再举出一个符合这个规律的类似的例子； (3)设位置B上的数为x，请你对以上的规律加以证明． 【答案】(1)64，64，64 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、列代数式、平方差公式以及规律探究，熟练掌握月历中数的排列规律和平方差公式是解题的关键． （1）先根据有理数的运算法则，分别计算两个算式的结果，再归纳出共同的结果． （2）根据月历中数的排列规律，选取一组满足条件的数，仿照示例进行计算． （3）设位置上的数为，根据月历中数的排列规律，用含的代数式表示出位置、上的数，再代入，利用平方差公式化简证明． 【详解】（1）解：， ， 不难发现，结果都是， 故答案为：，，． （2）解：（答案不唯一，计算正确均可）； （3）证明：设位置B上的数为x，则位置A上的数为，位置C上的数为． ． 4．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行     第二行     第三行     第四行     第五行           ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 【答案】（1）4；（2）；（3）；（4）见解析；（5） 【分析】（1）根据规律可知：将展开后，各项的系数和为4； （2）根据规律可得结论； （3）把展开，即可得出答案； （4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，②每一行的第一个数都是； （5）利用（4）得到的规律，经过计算可得结论． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：4； （2）第二行：，各项系数和为， 第三行：，各项系数和为， 第四行：，各项系数和为， 第五行：，各项系数和为， … 第行：展开后各项系数和为； 故答案为：； （3）由（2）得：， 故答案为：； （4）由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是； （5）由规律可知，分子总是1， 第n行的第一个数的分母就是n， 第二个数的分母是第一个数的倍， 第三个数的分母是第二个数的分母的倍， 第四个数的分母是第三个数的分母的倍， ....， 根据图表的规律，可得第8行第6列为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对于规律性，杨辉三角和莱布尼茨三角是比较常见的数字变化类，要求学生通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 5．（25-26八年级上·福建福州·期末）下列每组中两数的和为定值，观察它们的积的变化规律，回答下列问题． ①； ②． 【发现规律】 （1）两数的和一定时，两数的差的绝对值越小，则它们的积就越__________；（填“大”或“小”）当两数的差的绝对值为0（即两数相等）时，它们的积最__________；（填“大”或“小”） 【解释规律】 （2）设两数为和，其中为定值，．请你解释以上所发现的规律； 【应用规律】 （3）用长的绳子围成一个长方形，当长方形的两条邻边长各为多少时，长方形的面积最大？最大面积是多少． 【答案】（1）大；大 （2）见解析 （3）当长方形的两条邻边长各为时，面积最大，最大面积为 【分析】本题考查数字规律探索问题． （1）通过观察给定数据，发现和一定时，两数差绝对值越小积越大，差为0时积最大； （2）设两数为和，其和为定值，积为，分析b对积的影响； （3）利用周长固定下长方形面积与边长的关系，结合规律求解． 【详解】（1）解：观察数据：第一组和均为60，差绝对值分别为0，10，26，44，对应积900，875，731，416； 第二组和均为100，差绝对值分别为0，6，48，82，对应积2500，2491，1924，819． 差绝对值越小，积越大；差绝对值为0时积最大． 故答案为：大，大． （2）证明：设两数为和，其中a为定值，， 其和为定值，积为， 两数和为（定值）． 两数积为． ∵ 为定值，， ∴ 当b越小，越大； 当时，积最大． 故规律成立． （3）解：设长方形两条邻边长分别为和． 周长为， ∴ （定值）． 面积． 由规律，当即时，S最大． ∴， ∴． 答：当长方形的两条邻边长各为时，面积最大，最大面积为． 6．（25-26八年级上·河南濮阳·期末）【课本再现】 活动：个位数字是5的两位数平方的规律 我们在过去的学习中发现了如下的运算规律： ，，，……你能写出一般的规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？ 下面是亮亮的解答过程，请你补充完整． 解：设该两位数的十位数字是n(，且n是整数)，个位数字是5． 规律为∶． 证明如下： ∵…… 【类比探究】 兴趣小组的同学发现下面式子也有相似的规律 ，，，…… （1）请你利用上述规律计算∶___________=_________． （2）观察上面三组式子，兴趣小组的同学归纳了一般规律并进行证明，请你补充完整． 两个两位数相乘，设这两个两位数字的十位数字都是n(，且n是整数)，其中一个两位数的个位数字为m(，且m是整数)，则另外一个两位数的个位数字为_________，一般规律是_________________． 证明：…… 【迁移应用】 （3）兴趣小组的同学利用规律快速计算了，你知道他们是怎样利用规律的吗？请你写出计算过程． 【答案】课本再现：见解析；（1），；（2），；证明见解析；（3）见解析 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． 课本再现：根据题目给出的等式，即可发现规律； （2）根据题目给出的等式，即可发现规律； （3）由题意得，，运用（2）中的规律得出计算结果即可． 【详解】解：课本再现： ； （1）∵， ， ， ……， ∴， 故答案为：，； （2）∵其中一个两位数的个位数字为m(，且m是整数)， ∴另外一个两位数的个位数字为， 一般规律是； 证明： ； 故答案为：，； （3）由题意得，， ∴． 题型六：整式乘法中的新定义型问题 1．（25-26七年级上·河北沧州·期末）定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算、整式的化简求值、多项式中不含某一项的条件应用，熟练掌握根据新运算定义转化为常规运算，以及利用多项式不含某一项则其系数为0的性质是解题的关键． （1）根据新运算定义，直接代入和进行计算． （2）先按照新运算定义展开，再通过去括号、合并同类项化简，最后利用、互为相反数及是最大的负整数的条件代入求值． （3）先根据新运算定义分别表示出与，再计算它们的差，合并同类项后，根据差中不含项，令项的系数为0，解方程求出的值． 【详解】（1）解：． （2）解： ， 由题意得，， 原式． （3）解：由题意得 ， 与的差中不含项， ， 解得． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）现定义某种运算“★”：对给定的两个有理数a，b，有． (1)求的值； (2)若，求的值（结果用科学记数法表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算、科学记数法、幂的乘方、合并同类项，理解题中新定义是解答的关键． （1）根据题中定义列算式，利用有理数的混合运算法则求解即可； （2）根据题中定义列算式，再利用幂的乘方、合并同类项运算法则求解，最后用科学记数法正确表示计算结果． 【详解】（1）解：由题意，得； （2）解： ． 3．（25-26八年级上·北京·期中）定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 【答案】(1)②④ (2)2 (3) 【分析】本题考查了整式加减法的应用，解题关键是理解反对称式的定义． （1）根据反对称式的定义，交换字母位置后值变为相反数，判断各代数式是否满足条件． （2）将代数式化简后，根据反对称式的定义，交换m和n后令其值等于原式的相反数，解方程求k． （3）由反对称式的定义可得：代数式中两个字母交换位置后两个代数式的和为0，可得，进而可得，，由此得出m和n奇偶性不同，，结合两者条件得到的值． 【详解】（1）解：①交换和后，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ②交换和后，，是相反数，故是反对称式． ③交换和后，(n-m)²=(m-n)²，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ④交换和后，（因为2025是奇数），是相反数，故是反对称式． 故答案为②④． （2）∵， ∴ 交换m和n得， 由反对称式的定义可得： ． 整理得： ， 由于且不一定为0， 故， 解得． （3）交换m和n后可得． 由反对称式的定义可得： ， 又∵，， ∴ ∴， 因此，当且和奇偶性不同时，整个代数式为反对称式． 此时，由于和奇偶性不同，为奇数， 故． 4．（22-23八年级上·广东东莞·期中）我们给出以下两个定义：①三角形 ；②3×3的方格图 ． 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：=__________ (2)填空：= ． (3)若，求的值． 【答案】(1)16 (2)48 (3)18 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及有理数的混合运算． （1）根据①中所给公式直接进行求解即可； （2）根据②中所给公式直接进行求解即可； （3）根据题中所给公式直接代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； 故答案为16； （2）解：由题意得： ； 故答案为48； （3）解：由题意得：， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， (2)若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______________ ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． (3)若是三项式，是否存在同样是三项式的，使得是的“友好多项式”？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是的“友好多项式”，理由见详解 (2)①，②，理由见详解 (3)存在，理由见详解 【分析】本题考查阅读理解，涉及整式乘法运算法则，读懂题意，理解“友好多项式”、 “特别友好多项式”是解决问题的关键． （1）先由多项式乘以多项式得到，由“友好多项式”定义验证即可得到答案； （2）先由多项式乘以多项式得到，由“特别友好多项式”定义验证即可得到答案； （3）先由多项式乘以多项式得到，由“友好多项式”定义验证即可得到答案． 【详解】（1）解：是的“友好多项式”， 理由如下： ， 是三项式，二项式，比多不超过1项， 是的“友好多项式”； （2）解：当时， ①若是的“特别友好多项式”，若取， ， 是二项式，二项式，的项数和相同， 是的“特别友好多项式”； 故答案为：（答案不唯一）； ②， 理由如下： 若三项式是的“特别友好多项式”，则可取， ， 是二项式，二项式，的项数和相同， 是的“特别友好多项式”； （3）解：存在． 取， ， 是四项式，三项式，比多不超过1项， 是的“友好多项式”． 6．（22-23八年级上·湖南株洲·期末）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如 (a、b为实数)的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：；．根据以上信息，完成下列问题： (1)计算：， ； (2)计算：； (3)计算： 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，多项式乘多项式法则，数字类规律，解答本题的关键是明确题意，发现相邻几个数相加的和的规律． （1）根据定义即可分别求得结果； （2）首先根据多项式乘多项式法则去括号，再根据定义及有理数的加减进行运算，即可求得结果； （3）首先根据复数的定义计算，找到规律，再根据规律进行运算，即可求得结果． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解：，，，，，，，，…， 每4个为一循环，且， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $