第6章 圆与扇形单元复习（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制六年级下册

该初中数学圆与扇形单元复习讲义通过知识框架图系统梳理核心内容，按“概念-公式推导-应用”递进呈现圆的周长、圆周率、弧长、圆面积、扇形面积等知识，用对比表格归纳公式内在联系，突出组合图形计算等重难点。 讲义亮点在于“即学即练+分层题型”设计，如蚂蚁爬行比较周长培养几何直观，鱼塘面积计算渗透模型意识。通过“化圆为方”推导面积公式培养推理能力，典例与变式适配不同学生，助力教师实施精准教学，提升复习效率。

第六章 圆与扇形单元复习 圆的周长和圆周率 1. 圆的周长 圆周是条曲线，围成圆的曲线的长度叫做圆的周长. 2. 圆周率 圆的周长与它直径的比值是个常数，这个常数叫做圆周率，用字母（读作 pài）表示； 特点：π 是无限不循环小数（π≈3.1415926535...），教材中取近似值 π≈3.14； 3.圆的周长公式 由 π =，变形得到圆的周长公式：C =d (C表示圆的周长 ) 结合直径与半径的关系（d = 2r），推导得到：C=2r；； 【即学即练】 例１如图，甲、乙两只蚂蚁同时从点A出发，甲沿着外侧的大圆爬行，乙在里面两个小圆沿“8”字形爬行，如果两只蚂蚁爬行的速度相同，那么是甲先回到点A,还是乙先回到点A?或者是它们同时回到点A?为什么? 分析 甲沿着外侧的大圆爬行，即甲爬行的路程是大圆的周长；乙在里面两个小圆沿“8”字形爬行，即乙爬行的路程是两个小圆的周长和. 【答案】同时回到点A. 【分析】分析 甲沿着外侧的大圆爬行，即甲爬行的路程是大圆的周长；乙在里面两个小圆沿“8”字形爬行，即乙爬行的路程是两个小圆的周长和. 【详解】设两个小圆的直径分别为d₁,d₂.则大圆的直径为d₁+d₂. 甲蚂蚁爬行的路程是π(d₁+d₂)=π+π 乙蚂蚁爬行的路程是π+π 则甲、乙两只蚂蚁所爬行的路程相等因此，它们同时回到点A. 【点睛】本题容易受几何直观的影响，误认为甲爬行的路程长．体会代数的思想，设未知数，用代数式分别表示甲、乙两只妈蚁所爬行的路程，再进行比较． 弧长 1. 1o的弧 把圆心角平均分成360份，其中1o的圆心角所对的弧叫做1o的弧，它的长度是圆周的; 2. no的弧 no的圆心角所对的弧叫做no的弧，它的长度是圆周的; 3. 半径一定时，弧长与所对的圆心角的大小成正比例. 弧长与圆的周长之比等于圆心角与周角之比. 4. 弧长公式 如果用l表示弧长，r表示半径，那么n°的圆心角所对的弧长的计算公式是: . 小结：弧是圆上的一部分，弧的长度时不包含两条半径的长度。 【即学即练】 例2 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∠ABC=30°，AB=2，将三角形ABC绕点B顺时针旋转至三角形A'B'C'的位置，点A对应点A'，点C对应点C′,且点A、B、C′在同一直线上，则点A经过的路径长为______.(结果保留π) 【分析】如图，点A经过的路径实际上是以点B为圆心，AB为半径，圆心角为∠ABA'的弧长. 【详解】l=== 【点睛】本题中三角形绕顶点的旋转，路径圆弧所对应的圆心角为旋转的角度. 例3如图,直径均为1m的四根圆管被一根金属带紧紧地捆在一起，试求金属带的长度.(接头处忽略不计，π取3.14) 【分析】如图，金属带包括四段弧长+四条线段，四段弧的总和正好是一个圆周长. 【详解】由题意，得d=1. C=+4d==3.14+4=7.14(m). 答：金属带的长度为7.14m. 圆面积 1. 定义 圆所围成区域的大小叫作圆的面积. 2. 圆面积公式 圆的面积公式：S =. 【即学即练】 例4 秋分过后就是寒露和霜降，正是吃螃蟹的好时节．小明舅舅承包了一个小鱼塘养螃蟹（如图），水池中间有片芦苇地，这个芦苇地的面积是( )平方米，水域的面积是( )平方米． 【答案】 【分析】求芦苇地的半面积就是求小圆的面积，水域面积就是一个圆环的面积． 【详解】解：（米）， （米）， （平方米）， （平方米）， 答：这个芦苇地的面积是平方米，水域的面积是平方米． 例5 小刚在硬纸板上画了一个圆，把圆平均分成32份，剪开后，用这些近似于等腰三角形的小纸片拼成一个近似的长方形，并量出长方形的长是，则这个圆的面积是（   ）（取3.14） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题体现了“化圆为方”的思想． 根据长方形的长是，求得圆的周长，进而推出圆的半径，即可求得圆的面积． 【详解】解：根据长方形的长是， 可得圆的周长为， 圆的半径为， 则圆的面积为， 故选：D． 【知识拓展】——用“化圆为方”的思想来探究圆面积公式的推导 如图把一个圆平均分成若干等份（如 16 份、32 份），可以拼成一个近似的长方形；分的份数越多，拼成的图形越接近长方形形； 拼成的近似长方形的长相当于圆周长的，宽相当于圆的半径； 长方形的面积 = 长 × 宽，由此推导出圆的面积公式：S = 扇形的面积 1.扇形的定义： 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形; 2.扇形的面积 圆心角为1°的扇形面积是圆面积的；圆心角为n°的扇形面积是圆面积的. 所以，圆心角与周角之比等于对应的扇形面积与圆的面积之比. 如果用S表示扇形的面积，r表示半径，那么圆心角为n°的扇形面积的计算公式是 【即学即练】 例6 如图，长方形纸片上剪去一个直角三角形和一个扇形，则剩下阴影部分的面积是多少?(结果保留π) 【分析】图中阴影部分的面积等于长方形的面积减去一个扇形的面积再减去一个三角形的面积. 【解析】=6×4÷2=12(cm²). r=6cm,n=90,==9π(cm²). =--=6×(6+4)—9π—12=48-9π(cm²). 所以剩下阴影部分的面积是(48—9π)cm². 【难点剖析】组合图形的面积 例7如图，在边长为10cm的正方形内侧有一个半径2cm的圆沿着正方形的边滚动一周，求圆滚动过程中覆盖不到的部分的面积.(结果保留π) 【分析】如图，圆覆盖不到的部分是中间的一个边长小正方形和大正方形四个角上圆弧覆盖不到的部分. 【解析】中间圆覆盖不到的部分是一个正方形， 边长r=10-2×4=2(cm),=2²=4(cm²). 四个角上覆盖不到的部分=4×4—π×2²=16—4π(cm²). 所以S=S₁+S₂=20-4π(cm²). 所以圆滚动过程中覆盖不到的部分的面积为(20-4π)cm². 说明 要注意中间覆益不到的正方形边长是大正方形边长减去直径的两倍， 例8如图所示，已知扇形，，，以为直径画半圆，点为弧中点. 阴影甲的面积与阴影乙的面积大小比较：________． A．甲的面积大    B．乙的面积大    C．相等    D．无法比较 【分析】想单独求出甲、乙的面积有点难度，我们可以把问题转化为比较以BO为直径的半圆和扇形OBC的面积； 【详解】如图，， ； 阴影甲的面积， 阴影乙的面积， 则阴影甲的面积与阴影乙的面积相等； 故答案为：C． 题型01 有关圆周长的计算 【典例1】（24-25六年级上·上海长宁·期末）如图，甲、乙、丙三只蚂蚁同时沿着以下路线从点A出发到点B，如果三只蚂蚁爬行的速度相同，那么（   ） A．同时到达 B．甲先到达 C．乙先到达 D．丙先到达 【答案】A 【分析】本题考查了圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是关键．设，根据圆的周长公式分别计算出路程，即可得出答案． 【详解】解：设， 则甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的路程分别为： ， ， ， ∵三只蚂蚁爬行的速度相同， ∴同时到达， 故选：A． 【变式1】（24-25六年级下·上海·期末）“滴水湖”的湖面呈圆形，半径约是千米．“滴水湖”的周长大约为（    ）千米 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的周长的计算，掌握其计算公式是关键． 根据圆的周长公式直接计算． 【详解】解：已知圆的半径千米，圆的周长公式为， 代入数据得：， 故选：B． 【变式2】（23-24六年级上·上海松江·期末）中国建筑中经常能见到“外圆内方”和“外方内圆”的设计，如图，在外圆内方图案中，圆与正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查圆的面积公式和正方形与圆的关系．因为正方形的对角线为直径，对角线将正方形分成两个三角形，三角形的底为直径，高为半径，假设圆的半径为，三角形的面积底高，即可算出一个三角形的面积，最后乘2可得到这个正方形的面积，根据圆的面积公式表示出圆的面积，再根据比的意义，即可得解． 【详解】解：设圆的半径为．则正方形的面积为： ； 圆的面积：； 圆与正方形的面积比是： ． 故选：A． 【变式3】（25-26六年级上·上海·期末）淘气家新买了一张直径是1.5米的圆桌，圆桌的边是用铝合金包起来的，铝合金的长度至少是 米．（π取3.14） 【答案】4.71 【分析】本题考查圆的周长，根据圆的周长公式计算铝合金长度即可． 【详解】解；根据题意，铝合金的长度至少是（米）． 故答案为：4.71． 【变式4】（24-25六年级下·上海崇明·期末）图①的纸环是将一张长方形纸条两端粘上得到的，我们可以将纸环看成是一个直径为的圆．图②的纸环是将同一张长方形纸条一端旋转，再将两端粘上得到的“莫比乌斯带”，一只蚂蚁沿纸环②向前爬行，蚂蚁如果不爬过纸环的边缘，它至少需要爬 厘米才能到达原来的位置． 【答案】 【分析】本题考查圆的周长及莫比乌斯带的特性．解题关键是明确莫比乌斯带的爬行距离是普通圆环周长的2倍 ． 先根据圆周长公式算出图①普通圆环周长，再依据莫比乌斯带特性（爬行距离是普通圆环周长2倍），求出图②中蚂蚁爬行的距离 ． 【详解】解：∵图①圆直径， ∴周长，   ∵莫比乌斯带的特点是蚂蚁不爬过边缘回到原位置的距离是普通圆环周长的2倍， ∴图②中蚂蚁爬行距离为 ，   取，则 ，   ∴蚂蚁至少需要爬厘米才能到达原来的位置， 故答案为：． 题型02 有关弧长的计算 【典例1】（24-25六年级下·上海虹口·期中）如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧，已知半径，则管道的长度（即弧的长）为 （取3.14）． 【答案】 【分析】本题主要考查了求弧长公式，根据弧长代入求解即可． 【详解】解：弧的长为：， 故答案为： 【变式1】（24-25六年级下·上海·期中） 如图是一座立体交叉桥的示意图（道路宽度忽略不计），为入口，为出口，其中直行道为，且米，弯道为以点为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为，半径为米．甲车由口驶入立交桥，以米/秒的速度行驶，从口驶出用时多少秒？ 【答案】 【分析】本题考查了弧长、路程、速度和时间的关系，先计算直行道长度、弯道弧长，得到总路程后，结合速度求出时间． 【详解】解：米，米， 总路程为：米， 时间为：秒． 答：从口驶出用时秒． 【变式2】（24-25六年级下·上海崇明·期末）已知扇形的圆心角是，半径是，那么扇形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求扇形的周长，扇形的周长应该包括两个半径和弧长的总和．弧长的计算公式是圆心角占整个圆的比例乘以圆的周长．先求出扇形弧长，根据弧长加上两条半径等于总周长即可解答． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【变式3】（24-25六年级下·上海闵行·期中）如图，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，在这个长方形内有一个边长为2厘米的等边三角形（等边三角形的三个内角都是），三角形沿长方形的边在长方形内部向左滚动一周，顶点所经过的路程为 厘米．（保留） 【答案】/ 【分析】本题考查了求弧长，画出图形，结合弧长公式计算即可得解，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 由弧长公式可得． ∴三角形沿长方形的边在长方形内部向左滚动一周，顶点所经过的路程为． 故答案为：． 【变式4】（24-25六年级下·上海黄浦·期中）如图，已知扇形的圆心角是，半径是，将它沿着所在直线向右作顺时针方向的滚动，当它到达图中最右侧扇形的位置时，点经过的路程的长是 ．（取） 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式、旋转的性质和圆的性质；理解点所经过的路径长分三段，熟记弧长公式是解题的关键．点所经过的路径长分三段，先以为圆心，为半径，圆心角为度的弧长，再平移了弧的长，最后以为圆心，为半径，圆心角为度的弧长．根据弧长公式计算即可． 【详解】解：点所经过的路径的长 故答案为：． 题型03 有关圆的面积的计算 【典例1】（24-25六年级下·上海普陀·期末）圆环是由两个同心圆所围成的平面图形，即由外圆的内部与内圆的外部组成的区域，两个圆的半径之差称为环宽．如果一个圆环的外圆半径等于内圆直径，那么将此圆环称为“平等圆环”．环宽是的“平等圆环”的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积的计算，理解题意，掌握圆的面积的计算是关键． 根据题意，设内部圆的直径为，则内部圆的半径为，外部圆的半径为，结合“平等圆环”的概念得到内部圆的半径为，外部圆的半径为，根据圆的面积公式，圆环面积的计算即可求解． 【详解】解：如果一个圆环的外圆半径等于内圆直径，那么将此圆环称为“平等圆环”， ∴设内部圆的直径为，则内部圆的半径为，外部圆的半径为， ∴环宽为， ∴内部圆的半径为，外部圆的半径为， ∴“平等圆环”的面积是， 故答案为： ． 【变式1】（24-25六年级下·上海·期末）一个圆的直径由10厘米增加到20厘米，则圆的面积变为原来的（   ） A．2倍 B．4倍 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的面积计算，圆的面积等于半径的平方乘以圆周率，据此分别计算出变化前后的圆的面积即可得到答案． 【详解】解：原面积平方厘米， 新面积平方厘米， ∴圆的面积变为原来的倍， 故选：B． 【变式2】（24-25六年级下·上海黄浦·期末）已知一个圆形喷水池的半径是4米，沿它的外侧铺一条1米宽的小路，那么这条小路的面积等于 平方米．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查圆的面积，由题意，用大圆的面积减去小圆的面积进行计算即可． 【详解】解：（平方米）； 故答案为：． 【变式3】（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，长方形建筑物，一只狗拴在墙角处，不能够进入长方形内部，长方形长 米，宽为 米，绳子长 米，求出小狗活动的范围有多少平方米？ 【答案】小狗活动的范围有平方米． 【分析】此题主要考查的是圆的面积公式的灵活应用．根据题意，小狗能到达的面积是由三部分组成，一部分是以6米为半径的圆的面积，另一部分是以为半径的圆的面积，最后一部分是以为半径的圆的面积，根据圆的面积公式进行计算，最后再把三部分的面积相加即可得到答案． 【详解】解： （平方米）． 答：小狗活动的范围有平方米． 【变式4】（24-25六年级下·上海普陀·期中）如图，一个半径为的圆绕着一个三条边分别为、、的直角三角形的外侧滚动一周，那么这个圆滚动过程中覆盖的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式，圆在每条边上滚动时，会形成一个宽度为的矩形区域，圆在每个角处滚动时，总共滚动的角度为，由此列式计算即可得解． 【详解】解：圆在每条边上滚动时，会形成一个宽度为的矩形区域， 因此三条边对应的矩形的面积分别为：，，， 总矩形面积为， 圆在每个角处滚动时，总共滚动的角度为， 故总扇形面积为， 这个圆滚动过程中覆盖的面积为， 故答案为：． 题型04 有关扇形面积的计算 【典例1】（24-25六年级下·上海闵行·期末）已知一个扇形面积占它所在圆面积的，那么这个扇形的圆心角为 ． 【答案】/24度 【分析】本题考查扇形的面积计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据扇形的面积是它所在圆面积的计算即可． 【详解】解：因为一个扇形的面积是它所在圆面积的， 所以这个扇形的圆心角是． 故答案为：． 【变式1】（24-25六年级下·上海闵行·期末）在学习扇形的面积公式时，已知圆心角n和扇形所在圆的半径R，可以推的公式：①______，并通过比较扇形面积公式与弧长公式②______，得出扇形面积的另一种计算方法③______．请解决下列问题： 问题I：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 【详解】解：已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法． 故答案为：． 问题I：，圆心角为， 即， ∴， ∴； 【变式2】（24-25六年级下·上海嘉定·期末）如图，一把展开的扇子的圆心角是，扇子的骨柄长是，扇面宽度．求这把扇子完全展开后扇面所占的面积（取3.14）． 【答案】这把扇子完全展开后扇面所占的面积为 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．根据大扇形面积减去小扇形面积即扇面的面积求解即可． 【详解】解： 则这把扇子完全展开后扇面所占的面积为 【变式3】（24-25六年级下·上海闵行·期末）如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径，那么此扇形叫做“完美扇形”．已知某个“完美扇形”的周长等于12，那么这个扇形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，扇形面积公式，根据扇形的面积公式，代入计算即可． 【详解】解：∵“完美扇形”的周长等于， ∴半径r为，弧长l为， 这个扇形的面积为：． 答案为：． 【变式4】（24-25六年级下·上海徐汇·期末）中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），上面绘制了代表二十四气风貌的图案，这24枚大小相同的邮票组成了一个圆环，以“夏至”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“下圆弧”的长为，“直边”的长为．求单枚邮票的面积（取）． 【答案】 【分析】本题考查弧长，扇形面积的实际应用，求出该邮票的对应的圆心角度数是解题的关键． 先求出每一枚邮票的圆心角，再由弧长公式求出该邮票的“下圆弧”的半径，然后由扇形面积公式求解单枚邮票的面积． 【详解】解：由题意得，每一枚邮票的圆心角为， ∴设该邮票的“下圆弧”的半径为，则， 解得： ∴单枚邮票的面积为：． 题型05 有关组合图形的周长和面积的计算 【典例1】（24-25六年级下·上海黄浦·期末）如图，求图中阴影部分的周长．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆和半圆的周长，根据图形计算半圆的周长和小圆的周长，即可求解． 【详解】解：， ， ． 【变式1】（24-25六年级下·上海·期中）求图中阴影部分的周长（结果保留，单位：厘米）． 【答案】厘米 【分析】本题考查了求阴影部分的周长，圆的周长公式，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据题意列出算式即可求解． 【详解】解：阴影部分的周长为， （厘米） 【变式2】（24-25六年级下·上海闵行·期末）（1）如图a，四边形是长方形，长为10，宽为6，求阴影部分的面积．（保留） （2）如图，正方形边长为2，为边的中点，求图中阴影部分面积．（正方形中过点作边的高相等） 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查阴影部分面积计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据阴影部分的面积扇形的面积（矩形的面积扇形的面积）求解即可； （2）证明的面积的面积，求出的面积即可． 【详解】解：（1）阴影部分的面积扇形的面积（长方形的面积扇形的面积） ； （2）由题意，的面积的面积， ∴的面积的面积的面积的面积， ∴的面积的面积， ∵正方形中过点作边的高相等，， ∴的面积的面积， ∴的面积的面积， ∴阴影部分的面积． 【变式3】（24-25六年级下·上海金山·期末）如图，在长方形中，，，是直角三角形，，取的中点，以为半径画弧、以为半径画弧． (1)求图中阴影部分面积(取) (2)求图中阴影部分周长(取) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查组合图形的周长，扇形面积的计算，掌握圆的周长与扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据半圆减去个圆的面积，即可求解． （2）计算两个扇形的周长和，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， ， 图中阴影部分面积为： （2）解：图中阴影部分周长为： 【变式4】（24-25六年级下·上海宝山·期末）如图，在长方形中，，连接，并以为直径画半圆，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】 【分析】此题考查的是求阴影部分的面积，解题关键是利用．利用正方形的面积扇形的面积的面积即可求出结论． 【详解】解：如图，设的中点为O， ． 1.（24-25六年级下·上海·月考）如果扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，那么扇形的弧长（    ） A．不变 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的一半 D．扩大为原来的2倍 【答案】D 【分析】此题考查了弧长公式，根据弧长公式可得弧长，当圆心角扩大为原来的2倍，则弧长扩大为原来的2倍，即可求解． 【详解】解：弧长公式可得弧长， 如果扇形的半径不变，当圆心角扩大为原来的2倍，则弧长为， ∴扇形的弧长扩大为原来的2倍， 故选：D． 2．（24-25六年级下·上海宝山·期末）在一个圆中，若的圆心角所对的弧长是6.28厘米，则这个圆的周长是 厘米． 【答案】50.24 【分析】本题考查圆的周长，根据弧长与圆的周长的关系，进行求解即可． 【详解】解：∵的圆心角所对的弧长是6.28厘米， ∴这个圆的周长是（厘米）， 故答案为：50.24． 3．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的度数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了弧长公式的应用，直接利用扇形弧长公式代入求出即可． 【详解】解：∵一个扇形的半径是1，弧长是， ∴，即， 解得：， ∴此扇形所对的圆心角为：． 故答案为：． 4．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）如图，四边形是一个边长为的正方形，在的延长线上且，则涂色部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积．观察得到和的面积相等，根据涂色部分面积为计算即可求解． 【详解】解：观察得到和的面积相等， ∴涂色部分面积为， 故答案为：． 5．（24-25六年级下·上海·期末）2023年，中国成功发射了“巡天”空间望远镜，该望远镜与天宫空间站共轨飞行，协同完成宇宙观测任务．已知巡天望远镜的轨道高度距地面约，运行轨道近似为圆形，绕地球一周约需95分钟．地球半径约为，求巡天望远镜的绕行速度．（π取3，结果精确到） 【答案】巡天望远镜的绕行速度为 【分析】本题考查圆的周长，先将巡天望远镜到地球的距离加上地球的半径，求出其运行的周长，除以飞行一周的时间，即得答案． 【详解】解：巡天望远镜的轨道周长为， ∴巡天望远镜的绕行速度为， 答：巡天望远镜的绕行速度为． 6．（24-25六年级下·上海闵行·期末）第19届杭州亚运会会徽如图1所示，名为“潮涌”，展现了浙江杭州山水城市的自然特质，也寓意着勇立潮头的精神风貌．其主体部分可以看成如图2的几何图形，小明测量得，，．求图2中的阴影部分的周长为多少厘米？（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算及图形周长的组成，解题的关键是准确判断阴影部分对应弧的圆心角并运用弧长公式计算． 明确阴影部分周长由线段、和弧、弧组成；先计算线段长度，再根据已知圆心角确定两段弧的圆心角，利用弧长公式求出弧长，最后求和得到周长． 【详解】解：由题得： 答：阴影部分的周长为 7．（24-25六年级下·上海宝山·期中）已知一个时钟的分针针尖到中心的距离为，经过20分钟，分针的顶端所走的路程是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了扇形的弧长，熟练掌握其公式是解题的关键． 根据扇形的弧长公式计算即可． 【详解】解：经过20分钟，分针的顶端走的角度是， ∴分针的顶端所走的路程是． 答：分针的顶端所走的路程是． 8．（24-25六年级下·上海虹口·期中）生活中有很多神奇的事情，车轮可以不是圆的，是不是很诧异，我们一起来认识一下“勒洛三角形”．它是一种特殊图形，指分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形（如图1）． 若等边三角形的边长为，请你求出这个勒洛三角形的周长．（结果保留π） 【详解】（1）解：∵是等边三角形，且边长为， ∴，， ∴弧弧弧 由弧长公式得：弧的长 ∴勒洛三角形的周长为： 9．（24-25六年级下·上海闵行·期末）在学习扇形的面积公式时，已知圆心角n和扇形所在圆的半径R，可以推的公式：①______，并通过比较扇形面积公式与弧长公式②______，得出扇形面积的另一种计算方法③______．请解决下列问题： 问题I：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知和所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，求花坛的面积． （1）另一种扇形面积的计算方法③______．请你解答问题I； （2）在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） （3）乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形（如图3）所示，经测量杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出在图3中其侧面展开的图形面积． （4）丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中和所在的半径，的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，所在圆的半径________；它所对的圆心角的度数为______． 【答案】（1）；；（2）正确，理由见解析；（3）；（4）， 【分析】本题主要考查了扇形面积公式的应用． （1）根据扇形公式之间的关系，结合已知条件推出结果． （2）根据（1）的公式进行计算即可求解； （3）根据（2）的结论进行计算即可求解； （4）根据弧长公式得出，进而根据得出圆心角的度数，进而求得，即可求解． 【详解】解：已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法． 故答案为：． 问题I：，圆心角为， 即， ∴， ∴； （2）他的猜想正确．理由如下： 设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由得 ∴花坛的面积 ； （3）∵， ∴，， 由（2）可得，侧面展开的图形面积为； （4）∵，， ∴， 由∵，即， 解得： ∴即 故答案为：，． 10．（24-25六年级下·上海闵行·期末）如图，在直角三角形中，，厘米，以直角边为直径作半圆，与交于点，那么阴影甲的面积比阴影乙的面积大多少平方厘米？（取） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积计算和三角形的面积，能根据题意得出，是解题的关键；设空白部分的面积为，则，则，即可求解． 【详解】解：设空白部分的面积为，则， ∴ ． 11．（24-25六年级下·上海松江·期末）如图．长方形的长，宽．求阴影部分的周长和面积（结果保留）． 【答案】阴影部分的面积为，周长为 【分析】本题主要考查了求阴影部分的面积和周长，阴影部分的周长等于最大半圆的弧长加上最大半圆的直径减去的长，再加上两个小扇形的弧长，再加上长方形的宽减去小扇形半径的差的2倍，阴影部分的面积等于最大半圆的面积减去长方形面积加上两个小扇形的弧长，据此列式求解即可． 【详解】解：； ； 答：阴影部分的面积为，周长为． 12．（24-25六年级下·上海·期末）如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形，已知，则旋转的过程中： (1)边扫过的部分是个什么形状？求出该部分的面积； (2)分别求出点A和点走过的路线长； (3)求出边扫过的部分的面积． 【答案】(1)扇形， (2)， (3) 【分析】此题考查了扇形的面积和弧长公式， （1）根据题意得到边扫过的部分是个扇形，然后根据扇形公式求解即可； （2）根据扇形弧长公式求解即可； （3）根据题意得到扫过的部分的面积，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：边扫过的部分是个扇形， ∵ ∴该部分的面积； （2）解：如图所示，连接，， ∵， ∴点走过的路线长， ∵ ∴点D走过的路线长； （3）解：如图所示，连接，， ∴扫过的部分的面积 ． 2 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 圆与扇形单元复习 圆的周长和圆周率 1. 圆的周长 圆周是条曲线，围成圆的曲线的长度叫做圆的周长. 2. 圆周率 圆的周长与它直径的比值是个常数，这个常数叫做圆周率，用字母（读作 pài）表示； 特点：π 是无限不循环小数（π≈3.1415926535...），教材中取近似值 π≈3.14； 3.圆的周长公式 由 π =，变形得到圆的周长公式：C =d (C表示圆的周长 ) 结合直径与半径的关系（d = 2r），推导得到：C=2r；； 【即学即练】 例１如图，甲、乙两只蚂蚁同时从点A出发，甲沿着外侧的大圆爬行，乙在里面两个小圆沿“8”字形爬行，如果两只蚂蚁爬行的速度相同，那么是甲先回到点A,还是乙先回到点A?或者是它们同时回到点A?为什么? 分析 甲沿着外侧的大圆爬行，即甲爬行的路程是大圆的周长；乙在里面两个小圆沿“8”字形爬行，即乙爬行的路程是两个小圆的周长和. 弧长 1. 1o的弧 把圆心角平均分成360份，其中1o的圆心角所对的弧叫做1o的弧，它的长度是圆周的; 2. no的弧 no的圆心角所对的弧叫做no的弧，它的长度是圆周的; 3. 半径一定时，弧长与所对的圆心角的大小成正比例. 弧长与圆的周长之比等于圆心角与周角之比. 4. 弧长公式 如果用l表示弧长，r表示半径，那么n°的圆心角所对的弧长的计算公式是: 小结：弧是圆上的一部分，弧的长度时不包含两条半径的长度。 【即学即练】 例2 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∠ABC=30°，AB=2，将三角形ABC绕点B顺时针旋转至三角形A'B'C'的位置，点A对应点A'，点C对应点C′,且点A、B、C′在同一直线上，则点A经过的路径长为______.(结果保留π) 例3如图,直径均为1m的四根圆管被一根金属带紧紧地捆在一起，试求金属带的长度.(接头处忽略不计，π取3.14) 圆面积 1. 定义 圆所围成区域的大小叫作圆的面积. 2. 圆面积公式 圆的面积公式：S =. 【即学即练】 例4 秋分过后就是寒露和霜降，正是吃螃蟹的好时节．小明舅舅承包了一个小鱼塘养螃蟹（如图），水池中间有片芦苇地，这个芦苇地的面积是( )平方米，水域的面积是( )平方米． 例5 小刚在硬纸板上画了一个圆，把圆平均分成32份，剪开后，用这些近似于等腰三角形的小纸片拼成一个近似的长方形，并量出长方形的长是，则这个圆的面积是（   ）（取3.14） A． B． C． D． 【知识拓展】——用“化圆为方”的思想来探究圆面积公式的推导 如图把一个圆平均分成若干等份（如 16 份、32 份），可以拼成一个近似的长方形；分的份数越多，拼成的图形越接近长方形形； 拼成的近似长方形的长相当于圆周长的，宽相当于圆的半径； 长方形的面积 = 长 × 宽，由此推导出圆的面积公式：S = 扇形的面积 1.扇形的定义： 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形; 2.扇形的面积 圆心角为1°的扇形面积是圆面积的；圆心角为n°的扇形面积是圆面积的. 所以，圆心角与周角之比等于对应的扇形面积与圆的面积之比. 如果用S表示扇形的面积，r表示半径，那么圆心角为n°的扇形面积的计算公式是 【即学即练】 例6 如图，长方形纸片上剪去一个直角三角形和一个扇形，则剩下阴影部分的面积是多少?(结果保留π) 【难点剖析】组合图形的面积 例7如图，在边长为10cm的正方形内侧有一个半径2cm的圆沿着正方形的边滚动一周，求圆滚动过程中覆盖不到的部分的面积.(结果保留π) 【分析】如图，圆覆盖不到的部分是中间的一个边长小正方形和大正方形四个角上圆弧覆盖不到的部分. 【解析】中间圆覆盖不到的部分是一个正方形， 边长r=10-2×4=2(cm),=2²=4(cm²). 四个角上覆盖不到的部分=4×4—π×2²=16—4π(cm²). 所以S=S₁+S₂=20-4π(cm²). 所以圆滚动过程中覆盖不到的部分的面积为(20-4π)cm². 说明 要注意中间覆益不到的正方形边长是大正方形边长减去直径的两倍， 例8如图所示，已知扇形，，，以为直径画半圆，点为弧中点. 阴影甲的面积与阴影乙的面积大小比较：________． A．甲的面积大    B．乙的面积大    C．相等    D．无法比较 题型01 有关圆周长的计算 【典例1】（24-25六年级上·上海长宁·期末）如图，甲、乙、丙三只蚂蚁同时沿着以下路线从点A出发到点B，如果三只蚂蚁爬行的速度相同，那么（   ） A．同时到达 B．甲先到达 C．乙先到达 D．丙先到达 【变式1】（24-25六年级下·上海·期末）“滴水湖”的湖面呈圆形，半径约是千米．“滴水湖”的周长大约为（    ）千米 A． B． C． D． 【变式2】（23-24六年级上·上海松江·期末）中国建筑中经常能见到“外圆内方”和“外方内圆”的设计，如图，在外圆内方图案中，圆与正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26六年级上·上海·期末）淘气家新买了一张直径是1.5米的圆桌，圆桌的边是用铝合金包起来的，铝合金的长度至少是 米．（π取3.14） 【变式4】（24-25六年级下·上海崇明·期末）图①的纸环是将一张长方形纸条两端粘上得到的，我们可以将纸环看成是一个直径为的圆．图②的纸环是将同一张长方形纸条一端旋转，再将两端粘上得到的“莫比乌斯带”，一只蚂蚁沿纸环②向前爬行，蚂蚁如果不爬过纸环的边缘，它至少需要爬 厘米才能到达原来的位置． 题型02 有关弧长的计算 【典例1】（24-25六年级下·上海虹口·期中）如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧，已知半径，则管道的长度（即弧的长）为 （取3.14）． 【变式1】（24-25六年级下·上海·期中） 如图是一座立体交叉桥的示意图（道路宽度忽略不计），为入口，为出口，其中直行道为，且米，弯道为以点为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为，半径为米．甲车由口驶入立交桥，以米/秒的速度行驶，从口驶出用时多少秒？ 【变式2】（24-25六年级下·上海崇明·期末）已知扇形的圆心角是，半径是，那么扇形的周长是 ． 【变式3】（24-25六年级下·上海闵行·期中）如图，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，在这个长方形内有一个边长为2厘米的等边三角形（等边三角形的三个内角都是），三角形沿长方形的边在长方形内部向左滚动一周，顶点所经过的路程为 厘米．（保留） 【变式4】（24-25六年级下·上海黄浦·期中）如图，已知扇形的圆心角是，半径是，将它沿着所在直线向右作顺时针方向的滚动，当它到达图中最右侧扇形的位置时，点经过的路程的长是 ．（取） 题型03 有关圆的面积的计算 【典例1】（24-25六年级下·上海普陀·期末）圆环是由两个同心圆所围成的平面图形，即由外圆的内部与内圆的外部组成的区域，两个圆的半径之差称为环宽．如果一个圆环的外圆半径等于内圆直径，那么将此圆环称为“平等圆环”．环宽是的“平等圆环”的面积是 ．（结果保留） 【变式1】（24-25六年级下·上海·期末）一个圆的直径由10厘米增加到20厘米，则圆的面积变为原来的（   ） A．2倍 B．4倍 C． D． 【变式2】（24-25六年级下·上海黄浦·期末）已知一个圆形喷水池的半径是4米，沿它的外侧铺一条1米宽的小路，那么这条小路的面积等于 平方米．（结果保留） 【变式3】（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，长方形建筑物，一只狗拴在墙角处，不能够进入长方形内部，长方形长 米，宽为 米，绳子长 米，求出小狗活动的范围有多少平方米？ 【变式4】（24-25六年级下·上海普陀·期中）如图，一个半径为的圆绕着一个三条边分别为、、的直角三角形的外侧滚动一周，那么这个圆滚动过程中覆盖的面积为 ．（结果保留） 题型04 有关扇形面积的计算 【典例1】（24-25六年级下·上海闵行·期末）已知一个扇形面积占它所在圆面积的，那么这个扇形的圆心角为 ． 【变式1】（24-25六年级下·上海闵行·期末）在学习扇形的面积公式时，已知圆心角n和扇形所在圆的半径R，可以推的公式：①______，并通过比较扇形面积公式与弧长公式②______，得出扇形面积的另一种计算方法③______．请解决下列问题： 问题I：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 【变式2】（24-25六年级下·上海嘉定·期末）如图，一把展开的扇子的圆心角是，扇子的骨柄长是，扇面宽度．求这把扇子完全展开后扇面所占的面积（取3.14）． 【变式3】（24-25六年级下·上海闵行·期末）如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径，那么此扇形叫做“完美扇形”．已知某个“完美扇形”的周长等于12，那么这个扇形的面积等于 ． 【变式4】（24-25六年级下·上海徐汇·期末）中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），上面绘制了代表二十四气风貌的图案，这24枚大小相同的邮票组成了一个圆环，以“夏至”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“下圆弧”的长为，“直边”的长为．求单枚邮票的面积（取）． 题型05 有关组合图形的周长和面积的计算 【典例1】（24-25六年级下·上海黄浦·期末）如图，求图中阴影部分的周长．（结果保留） 【变式1】（24-25六年级下·上海·期中）求图中阴影部分的周长（结果保留，单位：厘米）． 【变式2】（24-25六年级下·上海闵行·期末）（1）如图a，四边形是长方形，长为10，宽为6，求阴影部分的面积．（保留） （2）如图，正方形边长为2，为边的中点，求图中阴影部分面积．（正方形中过点作边的高相等） 【变式3】（24-25六年级下·上海金山·期末）如图，在长方形中，，，是直角三角形，，取的中点，以为半径画弧、以为半径画弧． (1)求图中阴影部分面积(取) (2)求图中阴影部分周长(取) 【变式4】（24-25六年级下·上海宝山·期末）如图，在长方形中，，连接，并以为直径画半圆，求阴影部分的面积．（结果保留） 1.（24-25六年级下·上海·月考）如果扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，那么扇形的弧长（    ） A．不变 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的一半 D．扩大为原来的2倍 2．（24-25六年级下·上海宝山·期末）在一个圆中，若的圆心角所对的弧长是6.28厘米，则这个圆的周长是 厘米． 3．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的度数为 ． 4．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）如图，四边形是一个边长为的正方形，在的延长线上且，则涂色部分面积为 ． 5．（24-25六年级下·上海·期末）2023年，中国成功发射了“巡天”空间望远镜，该望远镜与天宫空间站共轨飞行，协同完成宇宙观测任务．已知巡天望远镜的轨道高度距地面约，运行轨道近似为圆形，绕地球一周约需95分钟．地球半径约为，求巡天望远镜的绕行速度．（π取3，结果精确到） 6．（24-25六年级下·上海闵行·期末）第19届杭州亚运会会徽如图1所示，名为“潮涌”，展现了浙江杭州山水城市的自然特质，也寓意着勇立潮头的精神风貌．其主体部分可以看成如图2的几何图形，小明测量得，，．求图2中的阴影部分的周长为多少厘米？（结果保留） 7．（24-25六年级下·上海宝山·期中）已知一个时钟的分针针尖到中心的距离为，经过20分钟，分针的顶端所走的路程是多少？ 8．（24-25六年级下·上海虹口·期中）生活中有很多神奇的事情，车轮可以不是圆的，是不是很诧异，我们一起来认识一下“勒洛三角形”．它是一种特殊图形，指分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形（如图1）． 若等边三角形的边长为，请你求出这个勒洛三角形的周长．（结果保留π） 9．（24-25六年级下·上海闵行·期末）在学习扇形的面积公式时，已知圆心角n和扇形所在圆的半径R，可以推的公式：①______，并通过比较扇形面积公式与弧长公式②______，得出扇形面积的另一种计算方法③______．请解决下列问题： 问题I：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知和所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，求花坛的面积． （1）另一种扇形面积的计算方法③______．请你解答问题I； （2）在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） （3）乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形（如图3）所示，经测量杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出在图3中其侧面展开的图形面积． （4）丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中和所在的半径，的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，所在圆的半径________；它所对的圆心角的度数为______． 10．（24-25六年级下·上海闵行·期末）如图，在直角三角形中，，厘米，以直角边为直径作半圆，与交于点，那么阴影甲的面积比阴影乙的面积大多少平方厘米？（取） 11．（24-25六年级下·上海松江·期末）如图．长方形的长，宽．求阴影部分的周长和面积（结果保留）． 12．（24-25六年级下·上海·期末）如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形，已知，则旋转的过程中： (1)边扫过的部分是个什么形状？求出该部分的面积； (2)分别求出点A和点走过的路线长； (3)求出边扫过的部分的面积． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $