第一单元 生活中的负数【从课本到奥数】-2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」（原卷版+解析版）冀教版

2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」 第一单元生活中的负数【从课本到奥数】 一、填空题。 1．如果收入10元记作﹢10元，则支出20元记作( )。 2．在7、﹣4.8、0.8、12、4、中，整数有( )，偶数有( )，( )是( )的倍数，( )和( )互质。如果将这些数在数轴上表示出来，离0最近的数是( )。 3．如图，冰箱显示屏如图所示，冷藏室温度为5℃，变温室温度为( )℃，显示屏上最低温度为( )℃。 4．如果河水的警戒水位记为，正数表示水面高于警戒水位，那么汛期水位高于警戒水位2.3m，记为( )m；旱季水位低于警戒水位2m，记为( )m。 5．某牌面包的包装袋上有这样的标记：100±5g，和标准质量比较，把面包净重104g记作＋4g，那么面包净重98g记作( )。妈妈买回5袋面包依次称重，分别记录为：＋0.2g、－7g、0g、－5g、＋3g，这5袋面包的合格率是( )%。 二、解答题。 6．在数字领域，正数是指( )零的数，负数是指( )零的数，而( )既不是正数也不是负数，它是一个特殊的数。请你在数轴上表示﹣1、﹣、4.5、50%、3这几个数字。 7．六（1）班平均体重为33.5千克，以超出平均体重部分为正，低于平均体重部分为负，小红的体重记为﹢4.4千克，小丽的体重记为﹣2.6千克。两人的实际体重分别是多少？ 8．奇奇第一次考试的成绩为248分，后七次考试的成绩与前一次相比的变化情况如下（单位：分）：﹣18，﹢25，﹢7，﹣34，﹢30，﹣16，﹢28，奇奇最后一次的成绩与第一次相比进步了还是退步了？ 9．一只蜜蜂从蜂房出来采蜜，向东飞了2千米后，没有找到蜜源，又继续向东飞了1千米仍没有找到蜜源，于是又飞了﹣4.5千米，终于找到了蜜源。 （1）此时这只蜜蜂距离蜂房有多远？在直线上表示出来。（蜂房的位置记作0千米，向东记作正，向西记作负） （2）这只蜜蜂从出发至采完蜜返回蜂房，一共飞行了多少千米？ 10．介休103路内环公交车从起点站（火车站）开出，下面是它经过几个停靠站时上下车人数的记录表。（上车人数记为正） 车站名 火车站北 定阳饭店 政务中心 介休三中 介纺社区 北坛公园东 上车人数 ﹢9 ﹢7 ﹢6 0 ﹢5 ﹢1 下车人数 ﹣ ﹣3 0 ﹣4 ﹣3 ﹣5 （1）从火车站到北坛公园东站，途中无人上车的站是( )，无人下车的站是( )。 （2）这辆公交车从介休三中站开出时，车上有( )名乘客，从北坛公园东站开出时，车上有( )名乘客。 （3）介休103路所有乘客统一票价为1元，那么这趟公交车从北坛公园东站开出时，已经收入多少钱？ 【奥数解读】进位制 1. 进位制（进制）。 进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法(有不带进位的计数方法，比如原始的结绳计数法，唱票时常用的“正”字计数法，以及类似的tally mark计数)。对于任何一种进制——X进制，就表示每一位置上的数运算时都是逢X进一位，十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进位。 2. 将十进制数化成二进制数可以分三步。 （1）将十进制数用短除法除以2，然后将每次的商不停地除以2，直到商为1为止。 （2）将所有的被除数除以2的余数列在右边。 （3）最后，从下到上把所有的余数写出来就行了。 3. 二进制数的运算。 二进制虽然只有两个数码1和0，但也是可以进行四则运算的，并且十进制中的加法运算律(交换律和结合律)和乘法运算律(交换律、结合律、分配律)，在二进制中同样适用。 【奥数培优1】十进制数与二进制数的转化 1. 把下列十进制数改成二进制数。 (1)把(39)10改写成二进制数；(2)把(30)10改写成二进制数。 2. 把下列二进制数改成十进制数。 (1)把(11011)2改写成十进制数； (2)把(101010)2改写成十进制数。 【对应练习】 把下列十进制数改成二进制数。 （1）28； （2）40； （3）65； 【奥数培优2】二进制数运算 1.计算。 (1)(1010)2+(1100)2； (2)(1110)2-(1010)2 【对应练习】 1. 计算。 (1)(1110)2+(1010)2；(2)(1111)2-(1010)2 2. 计算。 (1)(10101)2+(10011)2；(2)(11010)2-(1001)2 3. 计算。 (1)(11100)2+(11011)2；(2)(101010)2-(1111)2 4. 计算。 (1)(11)2×(11)2+(1001)2； (2)(1110)2÷(10)2×(1001)2 【奥数培优3】其他进位制数的转化 将十进制数90转化成七进制数。 【对应练习】 1. 将十进制数641转化成三进制数。 2. 将十进制数2019转化成九进制数。 3. 将七进制数403转化成五进制数。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 一宋·柳永《蝶恋花·伫倚危楼风细细》 第1页共6页 品学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春】 第一单元生活中的负数【从课本到奥数】 课本 源自课本，夯实基础 一、填空题。 1.如果收入10元记作+10元，则支出20元记作( )。 2.在7、48、08、12、4中，整数有( ),偶数有( ),( )是( 的倍数，( )和( )互质。如果将这些数在数轴上表示出来，离0最近的数是 ( ) 3.如图，冰箱显示屏如图所示，冷藏室温度为5℃，变温室温度为( )C,显示屏上最 低温度为( )C。 95 12℃ 变温室 -18℃ 诊冻家可 4.如果河水的警戒水位记为0，正数表示水面高于警戒水位，那么汛期水位高于警戒水位 2.3m,记为( )m;旱季水位低于警戒水位2m,记为( )m。 5.某牌面包的包装袋上有这样的标记：100士5g,和标准质量比较，把面包净重104g记作+4g, 那么面包净重98g记作( )。妈妈买回5袋面包依次称重，分别记录为：十0.2g、一7g、 0g、一5g、+3g,这5袋面包的合格率是( )%。 二、解答题。 6.在数字领域，正数是指( )零的数，负数是指( )零的数，而( )既不 是正数也不是负数，它是一个特殊的数。请你在数轴上表示-1、-}、45、50%、3这几个 数字。 第2页共6页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 7.六(1)班平均体重为33.5千克，以超出平均体重部分为正，低于平均体重部分为负，小 红的体重记为+4.4千克，小丽的体重记为-2.6千克。两人的实际体重分别是多少？ 8.奇奇第一次考试的成绩为248分，后七次考试的成绩与前一次相比的变化情况如下（单位： 分)：-18，+25，+7，-34，+30，-16，+28，奇奇最后一次的成绩与第一次相比进步 了还是退步了？ 9.一只蜜蜂从蜂房出来采蜜，向东飞了2千米后，没有找到蜜源，又继续向东飞了1千米仍 没有找到蜜源，于是又飞了-4.5千米，终于找到了蜜源。 (1)此时这只蜜蜂距离蜂房有多远？在直线上表示出来。（峰房的位置记作0千米，向东记 作正，向西记作负) -4-3-2-101 2345 (2)这只蜜蜂从出发至采完蜜返回峰房，一共飞行了多少千米？ 10.介休103路内环公交车从起点站（火车站)开出，下面是它经过几个停靠站时上下车人数 的记录表。（上车人数记为正） 火车站 定阳饭 政务中 介休三 介纺社 北坛公 车站名 北 店 心 中 区 园东 上车人 +9 +7 +6 0 +5 +1 数 下车人 -3 0 -4 -3 -5 数 (1)从火车站到北坛公园东站，途中无人上车的站是( ),无人下车的站是( )。 (2)这辆公交车从介休三中站开出时，车上有( )名乘客，从北坛公园东站开出时， 车上有( )名乘客。 (3)介休103路所有乘客统一票价为1元，那么这趟公交车从北坛公园东站开出时，已经收 入多少钱？ 第3页共6页 命学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 奥数 高于课本，培优提高 吕【奥数解读】进位制 1.进位制（进制) 。 进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法（有不带进位的计数方法，比如原始 的结绳计数法，唱票时常用的正字计数法，以及类似的tally mark计数)。对于任何一种进制 一X进制，就表示每一位置上的数运算时都是逢X进一位，十进制是逢十进一，十六进制 是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进位。 2.将十进制数化成二进制数可以分三步。 (1)将十进制数用短除法除以2，然后将每次的商不停地除以2，直到商为1为止。 (2)将所有的被除数除以2的余数列在右边 (3)最后，从下到上把所有的余数写出来就行了。 3.二进制数的运算。 二进制虽然只有两个数码1和0，但也是可以进行四则运算的，并且十进制中的加法运算律（交 换律和结合律)和乘法运算律（交换律、结合律、分配律），在二进制中同样适用。 吕【奥数培优1】十进制数与二进制数的转化 1.把下列十进制数改成二进制数。 (1)把(39)10改写成二进制数：(2)把(30)10改写成二进制数。 2.把下列二进制数改成十进制数。 (1)把(11011)2改写成十进制数： (2)把(101010)2改写成十进制数。 第4页共6页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习】 把下列十进制数改成二进制数。 (1)28: (2)40: (3)65: 吕【奥数培优2】二进制数运算 1.计算。 (1)(1010)2+(1100)2:(2)(1110)2-(1010)2 肥【对应练习】 1.计算。 (1)(1110)2+(1010)2;(2)1111)2-(1010)2 2.计算。 (1)(10101)2+(10011)2;(2)(11010)2-(1001)2 3.计算。 (1)11100)2+(11011)2;(2)(101010)2-(1111)2 第5页共6页 多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 4.计算。 (1)11)2×(11)2+(1001)2: (2)(1110)2÷(10)2×(1001)2 吕【奥数培优3】其他进位制数的转化 将十进制数90转化成七进制数。 肥【对应练习】 1.将十进制数641转化成三进制数。 2.将十进制数2019转化成九进制数。 3.将七进制数403转化成五进制数。 第6页共6页画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 一宋·柳永《蝶恋花·伫倚危楼风细细》 第1页共11页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」 第一单元生活中的负数【从课本到奥数】 课本 源自课本，夯实基础 一、填空题。 1.如果收入10元记作+10元，则支出20元记作( 【答案】-20元 【分析】在现实生活中，通常将一种意义的量规定为正，另一种相反意义的量规定为负。根据 题干，收入10元记作+10元，即收入记为正值，那么支出作为相反意义的量，应记为负值。 因此，支出20元应记作负值。 【详解】如果收入10元记作+10元，则支出20元记作-20元。 2.在7、-4.8、0.8、12、4、亏中，整数有( ),偶数有( ),( )是( 的倍数，( )和( )互质。如果将这些数在数轴上表示出来，离0最近的数是 )。 【答案】 7、12、4 12、4 12 4 > 12 3-5 【分析】整数：整数包括正整数、负整数和0，据此排除题中小数和分数。 偶数：能被2整除的数叫做偶数。 倍数关系：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，那么就说被除数是除数的倍数。 互质：两个数的公因数只有1，这两个数互质。 离0最近的数：结合数轴的特点，比较各数距离0的长度，找出距离最小的数即可。据此定义 分析题意填空即可。 【详解】根据分析知：愿中数据：一48、08、是小数或分数，故整数有7、12、4： 偶数：在整数7、12、4中，12和4能被2整除，故偶数有12、4。 倍数关系：12÷4=3，商为整数且无余数，因此12是4的倍数。 互质：7和12的公因数只有1，故7和12互质。 7离0的距离是7，-4.8离0的距离是4.8、0.8离0的距离是0.8、12离0的距离是12、4离 第2页共11页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 0的距离是4、 离0的距离是，且-3-5-06，且06<08<4<48<7<12，所以离0 最近。 在7、-4.8、0.8、12、4、中，整数有7、12、4，偶数有12、4,12是4的倍数，7和12互 质。如果将这些数在数轴上表示出来，离0最近的数是？。 3.如图，冰箱显示屏如图所示，冷藏室温度为5℃，变温室温度为( )C,显示屏上最 低温度为( )℃。 05℃ 冷嫩室 12℃ 生温室E -18℃ 冷冻家司 【答案】 -12 -18 【分析】从冰箱显示屏可知，变温室温度为-12℃：显示屏上的温度有5℃、-12℃、-18℃， 在比较正负数大小时，正数比负数大；负数之间比较大小时，数越大的数反而小，所以-18 <-12<5,最低温度为-18℃。 【详解】从冰箱显示屏可知，变温室温度为-12℃： -18<-12<5 最低温度为-18℃。 变温室温度为-12℃，显示屏上最低温度为-18℃。 4.如果河水的警戒水位记为0m,正数表示水面高于警戒水位，那么汛期水位高于警戒水位 2.3m,记为( )m:旱季水位低于警戒水位2m,记为( )m。 【答案】 +2.3/2.3 -2 【分析】根据题意，警戒水位为基准0，高于警戒水位用正数表示，低于警戒水位用负数表 示。汛期水位高于警戒水位23米，记作正数；旱季水位低于警戒水位2米，记作负数。据此 解答。 【详解】汛期水位高于警戒水位2.3m,记为+2.3m;旱季水位低于警戒水位2m,记为-2m。 5.某牌面包的包装袋上有这样的标记：100±5g,和标准质量比较，把面包净重104g记作十4g, 那么面包净重98g记作( )。妈妈买回5袋面包依次称重，分别记录为：+0.2g、一7g、 0g、一5g、+3g,这5袋面包的合格率是( )%。 第3页共11页 命学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 【答案】 -2g 80 【分析】100±5g表示吐司面包的质量比标准质量100g多或少5g都是合格的：+4g表示比标 准质量多4g,把比标准质量多的记作正数，则比标准质量少的记作负数：那么面包净重98g 比标准质量少，应记作负数；+0.2g表示比标准质量多0.2g;一7g表示比标准质量少7g:0g 表示正好等于标准质量；.一5g表示比标准质量少5g:+3g表示比标准质量多3g；数出符合 100±5g有4袋，合格数量除以总数量即为合格率，据此解答。 【详解】100-98=2（克） 4÷5=0.8=80% 所以面包净重98g记作一2g,5袋面包的合格率是80%。 二、解答题。 6.在数字领域，正数是指( )零的数，负数是指( )零的数，而( )既不 是正数也不是负数，它是一个特殊的数。请你在数轴上表示-1、一、45、50%、3这儿个 数字。 【答案】大于：小于：0 图见详解 【分析】正数是大于0的数，前面加上“+”或者不加符号：负数是小于0的数，前面加上“-”， 0既不是正数也不是负数。百分数化小数时，去掉百分号，再把小数点左移两位。在数轴上确 定好正方向，0的位置，及单位长度，表示出上述五个数字，据此解答。 【详解】正数是指大于零的数，负数是指小于零的数，而0既不是正数也不是负数。 负数1小、 正数：4.5、50%(=0.5)、3 050% 3 4.5 7.六(1)班平均体重为33.5千克，以超出平均体重部分为正，低于平均体重部分为负，小 红的体重记为+4.4千克，小丽的体重记为-2.6千克。两人的实际体重分别是多少？ 【答案】小红37.9千克；小丽30.9千克 【分析】正负数主要用来表示具有相反意义的两种量，以超出平均体重部分为正，低于平均体 重部分为负，+4.4千克表示超出平均体重4.4千克，-2.6千克表示低于平均体重2.6千克， 第4页共11页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 据此解答。 【详解】33.5+4.4=37.9（千克） 33.5-2.6=30.9(千克) 答：小红的实际体重是37.9千克，小丽的实际体重是30.9千克。 8.奇奇第一次考试的成绩为248分，后七次考试的成绩与前一次相比的变化情况如下（单位： 分)：-18，+25，+7，-34，+30，-16，+28，奇奇最后一次的成绩与第一次相比进步 了还是退步了？ 【答案】进步了 【分析】由题意可知，以前一次的考试成绩为标准，比前一次的考试成绩高用“+”表示，比前 次的考试成绩低用“-”表示，最后一次的成绩=第一次考试的成绩一18+25+7一34+30 16十28，据此求出最后一次的成绩，再和第一次考试的成绩比较大小，据此解答。 【详解】248-18+25+7-34+30-16+28 =230+25+7-34+30-16+28 =255+7-34+30-16+28 =262-34+30-16+28 =228+30-16+28 =258-16+28 =242+28 =270(分) 因为270分>248分，所以进步了。 答：奇奇最后一次的成绩与第一次相比进步了。 9.一只蜜蜂从蜂房出来采蜜，向东飞了2千米后，没有找到蜜源，又继续向东飞了1千米仍 没有找到蜜源，于是又飞了-4.5千米，终于找到了蜜源。 (1)此时这只蜜蜂距离蜂房有多远？在直线上表示出来。（峰房的位置记作0千米，向东记 作正，向西记作负) -4-3-2-10123 45 (2)这只蜜蜂从出发至采完蜜返回峰房，一共飞行了多少千米？ 【答案】(1)见详解 (2)9千米 第5页共11页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(1)在数轴上，负数位于0的左边，正数位手0的右边，正数与负数表示意义相反 的两种量，规定向东为正，则和它意义相反的向西就为负。这只蜜蜂从蜂房出来，向东飞了2 +1=3千米，又向西飞了4.5千米，此时距离峰房4.5一3=1.5千米，即在峰房的西边，据此 标出。 (2)这只蜜峰先向东飞了2+1=3千米，又向西飞了4.5千米，采完蜜返回蜂房，再向西飞 了1.5千米，计算出总和，即从出发至采完蜜返回峰房的总路程。 【详解】(1)4.5-(2+1) =4.5-3 =1.5(千米) 蜜蜂 答：此时这只蜜蜂距离蜂房1.5千米。 -4 -3-2-1 0 4 5 (2)2+1+4.5+1.5=9(千米) 答：一共飞行了9千米。 10.介休103路内环公交车从起点站（火车站)开出，下面是它经过几个停靠站时上下车人数 的记录表。 (上车人数记为正) 火车站 定阳饭 政务中 介休三 介纺社 北坛公 车站名 北 店 心 中 区 园东 上车人 +9 +7 +6 0 +5 +1 数 下车人 -3 0 -4 -3 -5 数 (1)从火车站到北坛公园东站，途中无人上车的站是( ),无人下车的站是( （2)这辆公交车从介休三中站开出时，车上有( )名乘客，从北坛公园东站开出时， 车上有( )名乘客。 (3)介休103路所有乘客统一票价为1元，那么这趟公交车从北坛公园东站开出时，已经收 入多少钱？ 【答案】(1)介休三中：政务中心。 (2)15;13 第6页共11页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (3)28元 【分析】(1)正数与负数表示意义相反的两种量，规定上车人数记为正，则和它意义相反的 下车人数就为负，无人上车和下车记为0。 (2)用火车站北、定阳饭店、政务中心、介休三中的上车人数，减去下车的人数即可知道这 辆公交车从介休三中站开出时，车上的乘客人数：同理计算出从北坛公园东站开出时，车上的 乘客人数。 (3)计算出从火车站北到北坛公园东站所有的上车总人数，再乘1（票价为1元），即可求 出收入总钱数。 【详解】(1)从火车站到北坛公园东站，途中无人上车的站是介休三中，无人下车的站是政 务中心。 (2)9+7+6-3-4=15(人) 15+5+1-3-5=13(人) 这辆公交车从介休三中站开出时，车上有15名乘客，从北坛公园东站开出时，车上有13名乘 客。 (3)(9+7+6+5+1)×1 =28×1 =28(元) 答：已经收入28元。 第7页共11页 命学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 奥数 高于课本，培优提高 吕【奥数解读】进位制 1.进位制（进制) 。 进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法（有不带进位的计数方法，比如原始 的结绳计数法，唱票时常用的正字计数法，以及类似的tally mark计数)。对于任何一种进制 -X进制，就表示每一位置上的数运算时都是逢X进一位，十进制是逢十进一，十六进制 是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进位。 2.将十进制数化成二进制数可以分三步。 (1)将十进制数用短除法除以2，然后将每次的商不停地除以2，直到商为1为止。 (2)将所有的被除数除以2的余数列在右边 (3)最后，从下到上把所有的余数写出来就行了。 3.二进制数的运算。 二进制虽然只有两个数码1和0，但也是可以进行四则运算的，并且十进制中的加法运算律（交 换律和结合律)和乘法运算律（交换律、结合律、分配律），在二进制中同样适用。 吕【奥数培优1】十进制数与二进制数的转化 1.把下列十进制数改成二进制数。 (1)把(39)10改写成二进制数：(2)把(30)10改写成二进制数。 解析： 余数 余数 2 39 1 2 30 0 219 1 215 1 29 1 7 1 24 0 23 1 22 0 1 1 (1)(39)10(100111)2;(2)(30)10(11110)2 2.把下列二进制数改成十进制数。 (1)把(11011)2改写成十进制数： (2)把(101010)2改写成十进制数。 第8页共11页 多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 解析： (1)(11011)2=1×2°+1×2+0×22+1×23+1×24=(27)10； (2)(101010)2=0×2°+1×2+0×22+1×23+0×2+1×2=(42)10 肥【对应练习】 把下列十进制数改成二进制数。 (1)28: (2)40: (3)65: 解析： 1)(28)10(11100)2 2)(40)10(101000)2 3)(65)10(1000001)2 2.把下列二进制数改成十进制数。 (1)把(1101)2，改写成十进制数： (2)把(101011)2，改写成十进制数： (3)把(11101011)2，改写成十进制数。 解析： (1)(1101)2=1×2°+0×2+1×2+1×23=(13)o. (2)(101011)2=1×2°+1×2+0×22+1×2+ 0×2+1×25=(43)10. (3)(11101011)2=1×2°+1×2+0×22+1×23+ 0×2+1×2+1X2+1×2?=(235)10. 吕【奥数培优2】二进制数运算 1计算。 (1)(1010)2+(1100)2: (2)(1110)2-(1010)2 解析： (1)1010)2+(1100)2-(10110)2: (2)1110)2-(1010)2-(100)2 2.计算。 (1)(11)2×(10)2: (2)(1010)2÷(10)2 解析： 第9页共11页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 101 11 10)1010 10 ×10 10 110 10 0 (1)11)2×(10)2=(110)2 (2)1010)2÷(10)2(101)2 肥【对应练习】 1.计算。 (1)(1110)2+(1010)2:(2)(1111)2-(1010)2 2.计算。 (1)(10101)2+(10011)2;(2)(11010)2-(1001)2 3.计算。 (1)(11100)2+(11011)2;(2)(101010)2-(1111)2 解析： 1.(1)(1110)2+(1010)2(11000)2 (2)(1111)2-(1010)2(101)2 2.(1)10101)2+(10011)2(101000)2 (2)11010)2-(1001)2(10001)2 3.(1)(11100)2+(11011)2(110111)2 (2)(101010)2-(1111)2(11011)2 4.计算。 (1)(11)2×(11)2+(1001)2: (2)(1110)2÷(10)2×(1001)2 解析： (1)11)2×(11)2+(1001)2(10010)2: (2)(1110)2÷(10)2×(1001)2=(111111)2 吕【奥数培优3】其他进位制数的转化 将十进制数90转化成七进制数。 解析： 第10页共11页 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」 第一单元生活中的负数【从课本到奥数】 一、填空题。 1．如果收入10元记作﹢10元，则支出20元记作( )。 【答案】﹣20元 【分析】在现实生活中，通常将一种意义的量规定为正，另一种相反意义的量规定为负。根据题干，收入10元记作﹢10元，即收入记为正值，那么支出作为相反意义的量，应记为负值。因此，支出20元应记作负值。 【详解】如果收入10元记作﹢10元，则支出20元记作﹣20元。 2．在7、﹣4.8、0.8、12、4、中，整数有( )，偶数有( )，( )是( )的倍数，( )和( )互质。如果将这些数在数轴上表示出来，离0最近的数是( )。 【答案】 7、12、4 12、4 12 4 7 12 【分析】整数：整数包括正整数、负整数和0，据此排除题中小数和分数。 偶数：能被2整除的数叫做偶数。 倍数关系：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，那么就说被除数是除数的倍数。 互质：两个数的公因数只有1，这两个数互质。 离0最近的数：结合数轴的特点，比较各数距离0的长度，找出距离最小的数即可。据此定义分析题意填空即可。 【详解】根据分析知：题中数据：－4.8、0.8、是小数或分数，故整数有7、12、4。 偶数：在整数7、12、4中，12和4能被2整除，故偶数有12、4。 倍数关系：12÷4 ＝ 3，商为整数且无余数，因此12是4的倍数。 互质：7和12的公因数只有1，故7和12互质。 7离0的距离是7，﹣4.8离0的距离是4.8、0.8离0的距离是0.8、12离0的距离是12、4离0的距离是4、离0的距离是，且。且0.6＜0.8＜4＜4.8＜7＜12，所以离0最近。 在7、﹣4.8、0.8、12、4、中，整数有7、12、4，偶数有12、4，12是4的倍数，7和12互质。如果将这些数在数轴上表示出来，离0最近的数是。 3．如图，冰箱显示屏如图所示，冷藏室温度为5℃，变温室温度为( )℃，显示屏上最低温度为( )℃。 【答案】 ﹣12 ﹣18 【分析】从冰箱显示屏可知，变温室温度为﹣12℃；显示屏上的温度有5℃、﹣12℃、﹣18℃，在比较正负数大小时，正数比负数大；负数之间比较大小时，数越大的数反而小，所以﹣18＜﹣12＜5，最低温度为﹣18℃。 【详解】从冰箱显示屏可知，变温室温度为﹣12℃； ﹣18＜﹣12＜5 最低温度为﹣18℃。 变温室温度为﹣12℃，显示屏上最低温度为﹣18℃。 4．如果河水的警戒水位记为，正数表示水面高于警戒水位，那么汛期水位高于警戒水位2.3m，记为( )m；旱季水位低于警戒水位2m，记为( )m。 【答案】 ﹢2.3/2.3 ﹣2 【分析】根据题意，警戒水位为基准0m，高于警戒水位用正数表示，低于警戒水位用负数表示。汛期水位高于警戒水位2.3米，记作正数；旱季水位低于警戒水位2米，记作负数。据此解答。 【详解】汛期水位高于警戒水位2.3m，记为﹢2.3m；旱季水位低于警戒水位2m，记为﹣2m。 5．某牌面包的包装袋上有这样的标记：100±5g，和标准质量比较，把面包净重104g记作＋4g，那么面包净重98g记作( )。妈妈买回5袋面包依次称重，分别记录为：＋0.2g、－7g、0g、－5g、＋3g，这5袋面包的合格率是( )%。 【答案】 －2g 80 【分析】100±5g表示吐司面包的质量比标准质量100g多或少5g都是合格的；＋4g表示比标准质量多4g，把比标准质量多的记作正数，则比标准质量少的记作负数；那么面包净重98g比标准质量少，应记作负数；＋0.2g表示比标准质量多0.2g；－7g表示比标准质量少7g；0g表示正好等于标准质量；－5g表示比标准质量少5g；＋3g表示比标准质量多3g；数出符合100±5g有4袋，合格数量除以总数量即为合格率，据此解答。 【详解】100－98＝2（克） 所以面包净重98g记作－2g，5袋面包的合格率是80%。 二、解答题。 6．在数字领域，正数是指( )零的数，负数是指( )零的数，而( )既不是正数也不是负数，它是一个特殊的数。请你在数轴上表示﹣1、﹣、4.5、50%、3这几个数字。 【答案】大于；小于；0 图见详解 【分析】正数是大于0的数，前面加上“﹢”或者不加符号；负数是小于0的数，前面加上“﹣”，0既不是正数也不是负数。百分数化小数时，去掉百分号，再把小数点左移两位。在数轴上确定好正方向，0的位置，及单位长度，表示出上述五个数字，据此解答。 【详解】正数是指大于零的数，负数是指小于零的数，而0既不是正数也不是负数。 负数：﹣1、﹣； 正数：4.5、50%（＝0.5）、3 7．六（1）班平均体重为33.5千克，以超出平均体重部分为正，低于平均体重部分为负，小红的体重记为﹢4.4千克，小丽的体重记为﹣2.6千克。两人的实际体重分别是多少？ 【答案】小红37.9千克；小丽30.9千克 【分析】正负数主要用来表示具有相反意义的两种量，以超出平均体重部分为正，低于平均体重部分为负，﹢4.4千克表示超出平均体重4.4千克，﹣2.6千克表示低于平均体重2.6千克，据此解答。 【详解】33.5＋4.4＝37.9（千克） 33.5－2.6＝30.9（千克） 答：小红的实际体重是37.9千克，小丽的实际体重是30.9千克。 8．奇奇第一次考试的成绩为248分，后七次考试的成绩与前一次相比的变化情况如下（单位：分）：﹣18，﹢25，﹢7，﹣34，﹢30，﹣16，﹢28，奇奇最后一次的成绩与第一次相比进步了还是退步了？ 【答案】进步了 【分析】由题意可知，以前一次的考试成绩为标准，比前一次的考试成绩高用“﹢”表示，比前一次的考试成绩低用“﹣”表示，最后一次的成绩＝第一次考试的成绩－18＋25＋7－34＋30－16＋28，据此求出最后一次的成绩，再和第一次考试的成绩比较大小，据此解答。 【详解】248－18＋25＋7－34＋30－16＋28 ＝230＋25＋7－34＋30－16＋28 ＝255＋7－34＋30－16＋28 ＝262－34＋30－16＋28 ＝228＋30－16＋28 ＝258－16＋28 ＝242＋28 ＝270（分） 因为270分＞248分，所以进步了。 答：奇奇最后一次的成绩与第一次相比进步了。 9．一只蜜蜂从蜂房出来采蜜，向东飞了2千米后，没有找到蜜源，又继续向东飞了1千米仍没有找到蜜源，于是又飞了﹣4.5千米，终于找到了蜜源。 （1）此时这只蜜蜂距离蜂房有多远？在直线上表示出来。（蜂房的位置记作0千米，向东记作正，向西记作负） （2）这只蜜蜂从出发至采完蜜返回蜂房，一共飞行了多少千米？ 【答案】（1）见详解 （2）9千米 【分析】（1）在数轴上，负数位于0的左边，正数位于0的右边，正数与负数表示意义相反的两种量，规定向东为正，则和它意义相反的向西就为负。这只蜜蜂从蜂房出来，向东飞了2＋1＝3千米，又向西飞了4.5千米，此时距离蜂房4.5－3＝1.5千米，即在蜂房的西边，据此标出。 （2）这只蜜蜂先向东飞了2＋1＝3千米，又向西飞了4.5千米，采完蜜返回蜂房，再向西飞了1.5千米，计算出总和，即从出发至采完蜜返回蜂房的总路程。 【详解】（1）4.5－（2＋1） ＝4.5－3 ＝1.5（千米） 答：此时这只蜜蜂距离蜂房1.5千米。 （2）2＋1＋4.5＋1.5＝9（千米） 答：一共飞行了9千米。 10．介休103路内环公交车从起点站（火车站）开出，下面是它经过几个停靠站时上下车人数的记录表。（上车人数记为正） 车站名 火车站北 定阳饭店 政务中心 介休三中 介纺社区 北坛公园东 上车人数 ﹢9 ﹢7 ﹢6 0 ﹢5 ﹢1 下车人数 ﹣ ﹣3 0 ﹣4 ﹣3 ﹣5 （1）从火车站到北坛公园东站，途中无人上车的站是( )，无人下车的站是( )。 （2）这辆公交车从介休三中站开出时，车上有( )名乘客，从北坛公园东站开出时，车上有( )名乘客。 （3）介休103路所有乘客统一票价为1元，那么这趟公交车从北坛公园东站开出时，已经收入多少钱？ 【答案】（1）介休三中；政务中心。 （2）15；13 （3）28元 【分析】（1）正数与负数表示意义相反的两种量，规定上车人数记为正，则和它意义相反的下车人数就为负，无人上车和下车记为0。 （2）用火车站北、定阳饭店、政务中心、介休三中的上车人数，减去下车的人数即可知道这辆公交车从介休三中站开出时，车上的乘客人数；同理计算出从北坛公园东站开出时，车上的乘客人数。 （3）计算出从火车站北到北坛公园东站所有的上车总人数，再乘1（票价为1元），即可求出收入总钱数。 【详解】（1）从火车站到北坛公园东站，途中无人上车的站是介休三中，无人下车的站是政务中心。 （2）9＋7＋6－3－4＝15（人） 15＋5＋1－3－5＝13（人） 这辆公交车从介休三中站开出时，车上有15名乘客，从北坛公园东站开出时，车上有13名乘客。 （3）（9＋7＋6＋5＋1）×1 ＝28×1 ＝28（元） 答：已经收入28元。 【奥数解读】进位制 1. 进位制（进制）。 进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法(有不带进位的计数方法，比如原始的结绳计数法，唱票时常用的“正”字计数法，以及类似的tally mark计数)。对于任何一种进制——X进制，就表示每一位置上的数运算时都是逢X进一位，十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进位。 2. 将十进制数化成二进制数可以分三步。 （1）将十进制数用短除法除以2，然后将每次的商不停地除以2，直到商为1为止。 （2）将所有的被除数除以2的余数列在右边。 （3）最后，从下到上把所有的余数写出来就行了。 3. 二进制数的运算。 二进制虽然只有两个数码1和0，但也是可以进行四则运算的，并且十进制中的加法运算律(交换律和结合律)和乘法运算律(交换律、结合律、分配律)，在二进制中同样适用。 【奥数培优1】十进制数与二进制数的转化 1. 把下列十进制数改成二进制数。 (1)把(39)10改写成二进制数；(2)把(30)10改写成二进制数。 解析： (1)(39)10=(100111)2；(2)(30)10=(11110)2 2. 把下列二进制数改成十进制数。 (1)把(11011)2改写成十进制数； (2)把(101010)2改写成十进制数。 解析： 【对应练习】 把下列十进制数改成二进制数。 （1）28； （2）40； （3）65； 解析： 1)(28)10=(11100)2 2)(40)10=(101000)2 3)(65)10=(1000001)2 2.把下列二进制数改成十进制数。 (1)把(1101)2，改写成十进制数； (2)把(101011)2，改写成十进制数； (3)把(11101011)2，改写成十进制数。 解析： 【奥数培优2】二进制数运算 1.计算。 (1)(1010)2+(1100)2； (2)(1110)2-(1010)2 解析： (1)(1010)2+(1100)2=(10110)2； (2)(1110)2-(1010)2=(100)2. 2.计算。 (1)(11)2×(10)2； (2)(1010)2÷(10)2 解析： (1)(11)2×(10)2=(110)2 (2)(1010)2÷(10)2=(101)2 【对应练习】 1. 计算。 (1)(1110)2+(1010)2；(2)(1111)2-(1010)2 2. 计算。 (1)(10101)2+(10011)2；(2)(11010)2-(1001)2 3. 计算。 (1)(11100)2+(11011)2；(2)(101010)2-(1111)2 解析： 1.(1)(1110)2+(1010)2=(11000)2 (2)(1111)2-(1010)2=(101)2 2.(1)(10101)2+(10011)2=(101000)2 (2)(11010)2-(1001)2=(10001)2 3.(1)(11100)2+(11011)2=(110111)2 (2)(101010)2-(1111)2=(11011)2 4. 计算。 (1)(11)2×(11)2+(1001)2； (2)(1110)2÷(10)2×(1001)2 解析： (1)(11)2×(11)2+(1001)2=(10010)2; (2)(1110)2÷(10)2×(1001)2=(111111)2. 【奥数培优3】其他进位制数的转化 将十进制数90转化成七进制数。 解析： (90)10=(156)7 【对应练习】 1. 将十进制数641转化成三进制数。 2. 将十进制数2019转化成九进制数。 3. 将七进制数403转化成五进制数。 解析： 1. (641)10=(212202)3 2. (2019)10=(2683)9 3. 4×7²+0×7¹+3×70=199,(199)10=(1244)5 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $