精品解析：陕西咸阳市秦都区咸阳市实验中学2025-2026学年九年级上学期1月阶段性检测数学试题

2025-2026学年九年级上学期1月阶段性检测数学试题 一、选择题（每小题3分，满分24分） 1. 关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是（ ） A. 4 B. 2或 C. 4或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】将方程的根代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵的一个根是1， ∴， 解得：， 故选C． 【点睛】本题考查根据一元二次方程的根求参数，解题的关键是将根代入列式求解． 2. 如图是一个由5个相同的小正方体组成的立体图形，从左面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：从左面观察该立体图形，可看到有2列小正方形，左列有2层，右列有1层，对应选项B的图形． 3. 不透明的袋子中只装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用列表法求概率，通过列表法列出所有等可能的结果，再找出两次摸出的球都是白球的结果，最后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 红 白1 白2 红 （红，红） （红，白1） （红，白2） 白1 （白1，红） （白1，白1） （白1，白2） 白2 （白2，红） （白2，白1） （白2，白2） 由表格可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是白球的结果有4种，所以两次摸出的球都是白球的概率为， 故选：A． 4. 如图，在Rt中，是斜边上的中线，若，则（ ） A. 10 B. 6 C. 8 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，先确定是在直角三角形中，再根据此性质判定即可． 【详解】解：∵中，，是斜边上的中线， ∴， 故选：A ． 5. 一元二次方程根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】首先列出根的判别式的表达式，然后判断代数式的符号即可得出结论． 【详解】解：由题意，， 显然，由非负性可知， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式的表达式，以及不同情况下对应根的情况是解题关键． 6. 四边形为平行四边形，延长到，使，连接，，，下列条件中不能使四边形成为菱形的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， 又， ，且， 四边形为平行四边形， A、， 为菱形，故本选项不符合题意； B、平分， ， ， ， ， ， 平行四边形为菱形，故本选项不符合题意； C、， 平行四边形是矩形，不能说明是菱形，故本选项符合题意； D、，， ， 平行四边形为菱形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定，正确掌握菱形的判定与性质是解题关键． 7. 如图，点为的重心，过点作，分别交、于点、，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的重心，平行线分线段成比例，相似三角形的判定及其性质．连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，在的延长线上取一点，使，先证四边形为平行四边形，从而得，进而可证点为的中点，从而得，则，设，则，则，再证，然后证，最后根据相似三角形的性质可得出答案． 【详解】解：连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，在的延长线上取一点，使，如图所示： 点为的重心， ，分别为的中线， 点为的中点，点为的中点， ， 又， 四边形为平行四边形， ，即， 又点为的中点，由平行线分线段成比例可知，即点为的中点， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 相似比为， 与的周长之比为， 故选：B． 8. 若点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，可以判断出的大小关系，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点在反比例函数的图象上， ∴点在第二象限，在第四象限， ∴． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 9. 台灯照射书本所形成的影子属于______投影．(填“平行”或“中心”) 【答案】中心 【解析】 【分析】平行投影的光线是平行的(例如太阳光)，中心投影的光线来自同一点光源(例如灯光)．台灯属于点光源，其光线从同一点发散，因此形成的投影为中心投影． 【详解】解：∵台灯的灯光是从点光源发出的光线，而由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影， ∴台灯照射书本所形成的影子属于中心投影． 10. 已知点是线段的黄金分割点，，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割点的定义，设，表示出和，利用列出方程，解方程即可． 【详解】解：设， 由于点是线段的黄金分割点，且，即， 则， ， 由，得 ， ， ， ， ， ， ， 故． 故答案为：． 11. 在2023江西省县域社会足球比赛中，高安市代表队晋级12月16日至21日在瑞金举行的第三阶段总决赛．总决赛分成四个小组，每个小组球队数一样；小组内进行单循环赛（即小组内每两队之间都比赛一场）．若四个小组赛一共进行了12场比赛，则共有__________支球队参加了总决赛． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设一共有x支球队参加了总决赛，则每个小组有支球队，每个小组内的每支球队都要与支球队比赛一场，且相同两队之间的比赛只算作一场，即每个小组要比赛场，再根据总场次为12列出方程求解即可． 【详解】解：设一共有x支球队参加了总决赛， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴一共有12支球队参加了总决赛， 故答案为：12． 12. 如图，E是正方形边延长线上的一点，且，则的度数为______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键．根据正方形的性质得，根据等边对等角的性质可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和可求解． 【详解】解：连接． ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴ ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 如图，点A在反比例函数的图像上，过点A作轴于点B，C为x轴上的一点，连接，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，即可得到结果． 【详解】解：如图，连接， 轴， 轴， ． 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，把边沿对角线平移，点分别对应点、B．给出下列结论： ①顺次连接点的图形一定是平行四边形； ②点到它关于直线的对称点的距离为； ③的最大值为； ④的最小值为． 其中正确结论的序号是______． 【答案】②③ 【解析】 【分析】先根据矩形的边长，利用勾股定理求出对角线的长度，再结合平移的性质得到、且的核心关系，以此为基础逐一分析四个结论的正确性；对于结论①，结合矩形对边平行且相等的性质推出与的位置和数量关系，再分析特殊位置下的图形形状进行判断；对于结论②，利用三角形面积法求出点、到的距离，结合与的平行关系得到点到直线的距离，再根据对称点的性质求出点到其关于对称点的距离；对于结论③，先判定四边形为平行四边形得到，将转化为，再利用三角形三边关系确定该式的最大值；对于结论④，先将转化为，构造点关于直线的对称点，将求线段和的最小值转化为求线段的长度，再通过面积法和勾股定理逐步计算的实际长度，与对比后判断结论正误． 【详解】解：在矩形中，，，则，，，由勾股定理得． 由平移的性质可知，，，． ∵，， ∴，． 当四点不共线且无重合点时，四边形满足一组对边平行且相等，是平行四边形； 当与重合时，三点共线，顺次连接的图形不是四边形，更不是平行四边形，故①错误； ∵，设点到的距离为，点到的距离为． ，又， ∴，解得． 同理可得，点到的距离． ∵点和点在的两侧，， ∴点到直线的距离为， 则点到它关于直线的对称点的距离为，故②正确； ∵，， ∴四点不共线时，四边形是平行四边形，． 当四点共线时，． ∴． 根据三角形三边关系，在中，，当且仅当三点共线，且在和之间时，等号成立，此时，即的最大值为，故③正确； 由，得，即求直线上一点到、两点的距离和的最小值． 作点关于直线的对称点，连接，连接交于点， 则，的最小值为的长度，， 过点作于点，交于点． ∵，， ∴，即， ∴四边形、均为矩形，得，，． 在中，由勾股定理得． ∴． 又∵， ∴． 在中，，，， 由勾股定理得， ∴， ∴． ∵． ∴在中，由勾股定理得． 故④错误． 三、解答题（共12小题，满分78分） 15. 用因式分解法解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法以及“若，则或”这一性质是解题的关键．在解题过程中，要先将方程化为一般形式，再通过因式分解将其转化为两个因式乘积等于0的形式，进而求解方程． 本题可通过移项，将方程右边化为0，然后对左边进行因式分解，再根据“若几个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”来求解方程． 【详解】解：， ， ， ∴ 或 ， 解得，． 16. 如图，已知钝角中． （1）请用无刻度直尺和圆规在上定一点P，使得．（保留痕迹，不写作法） （2）请用数学语言简述作图的合理性． 【答案】（1）点P即为所求作． （2） 根据作图，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故作法是合理的． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图是解题的关键． (1)作线段的垂直平分线，交于点P，连接，点P即为所求作． (2)利用两个角对应相等的两个三角形相似，说明即可． 【小问1详解】 作线段的垂直平分线，交于点P，连接， 【小问2详解】 略 17. 在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）填空 ， ； （2）请估计当很大时，摸到白球的频率将会接近 (精确到； （3）假如摸一次，摸到白球的概率 ； （4）试估算盒子里黑颜色的球有多少只？ 【答案】（1），； （2）； （3）； （4）只 【解析】 【分析】（1）根据“频率”的公式，已知其中两个量即可计算第三个量，从而求出和； （2）观察表格中随着摸球次数增加，摸到白球的频率的变化趋势，找出其稳定接近的数值； （3）依据频率估计概率的原理，试验次数很大时，频率的稳定值即为摸到白球的概率； （4）先根据概率求出白球数量，再用总球数减去白球数量得到黑球数量，或直接计算黑球的概率乘以总球数． 【小问1详解】 解：∵频率，， ∴； 又∵，， ∴． 【小问2详解】 解：观察表格中的频率数据：，，，，，，，当很大时，频率逐渐稳定在附近， ∴摸到白球的频率将会接近． 【小问3详解】 解：根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，摸到白球的频率稳定值即为摸到白球的概率， ∴(白球)． 【小问4详解】 解：∵总球数为，摸到白球的概率为， ∴白球的数量为(只)， ∴黑球的数量为(只)． 18. 如图，已知四边形是矩形，连接对角线，过点B作于点E，过点D作于点F．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，，得，再结合四边形是矩形，证明，即可作答． 【详解】略 19. 从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为3，6，7，9．将这四张牌背面朝上，洗匀． （1）从这四张牌中随机抽出一张牌，这张牌上的牌面数字是奇数的概率为 ； （2）先从这四张牌中随机抽出一张牌，记下牌面数字后，放回，背面朝上，洗匀，再从中随机抽出一张牌，记下牌面数字．请利用画树状图或列表的方法，求两次抽出的牌上的牌面数字之和是3的倍数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率． （1）直接计算奇数牌的比例即可． （2）通过列表法求两次抽牌和是3的倍数的概率即可． 【小问1详解】 解：总共有4张牌，牌面数字分别为3，6，7，9， 其中奇数有3张（3，7，9）， ∴随机抽出一张牌是奇数的概率为． 【小问2详解】 解：列表如下： 3 6 7 9 3 6 7 9 共有16种等可能的情况，其中两次抽出的排上的牌面数字之和是3的倍数的有9种， ∴两次抽出的牌上的牌面数字之和是3的倍数的概率为：． 20. 画一个正五角星，利用位似将它： （1）放大3倍； （2）缩小到原来的． 【答案】（1） 如图，五角星即为所求； （2） 如图，五角星即为所求． 【解析】 【分析】（1）放大3倍的位似比为，需将原图形关键点与位似中心的连线延长，使新线段长度为原线段的3倍，再连接新点； （2）缩小到原来的位似比为，需在原图形关键点与位似中心的连线上截取线段，使新线段长度为原线段的，再连接新点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升25，加热到100时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． （1）将水从加热到需要_____； （2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． （1）根据题意列式计算即可； （2）设，结合（1）中可得点在反比例函数的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）根据加热过程中水温不低于的时间降温过程中水温不低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，进行分析求解，即可解题． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数， 设， 由（1）知，过点， ， 水温关于通电时间的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由题意得，， 当时，，解得， 又， 加热一次，水温不低于的时间为． 22. 如图，要在一块长为30米，宽为24米的长方形绿地上修建“两纵两横”四条宽度相等的小路，若剩余绿地面积为520平方米，求小路宽度． 小明的解法是设小路宽度为x米，列出两个方程： ①，得到； ②，得到． （1）请分别判断小明所列的两个方程是否正确？ （2）请推测小路的宽度（要求写出推理过程） 【答案】（1）小明所列的两个方程都不正确 （2）小路的宽度为2米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设小路宽度为x米，则剩余绿地的长为米，宽为米，即可解决问题； （2）设小路宽度为y米，则剩余绿地的长为米，宽为米，根据剩余绿地面积为520平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设小路宽度为x米，则剩余绿地的长为米，宽为米， 由题意得：， 小明所列的两个方程都不正确； 【小问2详解】 解：设小路宽度为y米，则剩余绿地的长为米，宽为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：小路的宽度为2米． 23. 为响应国家节能减排的号召，河北新农村建设把主要乡村道路上安装了太阳能路灯．如图是一新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距20米，当身高米的小亮在离路灯3米的处时，影长为1米；当小亮沿着走至处时，发现自己头顶的影子正好接触到墙的底部处． （1）求路灯的高度． （2）当小亮走到处时，他行走的路程是多少米？ （3）如果小亮继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，那么小亮在墙上的影子有多高？ 【答案】（1）米 （2）当小亮走到处时，他行走的路程是12米 （3）小亮在墙上的影子有1米高 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，再利用相似三角形的性质，求解即可； （2）证明，再利用相似三角形的性质构建方程求出的长，即可解决问题； （3）连接，延长交于点T，过点T作于点H，交于点K，设米，证明，再利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知：，，米，米， ，（米）， ， ，即， 解得：（米）， 答：路灯的高度6米； 【小问2详解】 解：由题意知，，，米，米，米， ， ， ，即， 解得：（米）， （米）， 答：当小亮走到处时，他行走的路程是12米； 【小问3详解】 解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米，则米，米，米， 米，米， ， ， ，即， 解得：， 答：小亮在墙上的影子有1米高． 24. 如图，在菱形中，E为延长线上一点，连接交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及菱形的性质． （1）根据菱形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据菱形的性质可得，再由，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：，． 25. 如图，已知在平面直角坐标系中，正方形的顶点B、C在x负半轴上，反比例函数的图象经过点，交于点E． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行计算即可得； （2）根据点D的坐标得且正方形边长为3，即，根据点E在上可设，根据点E在反比例函数上得，即，即可得． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式：； 【小问2详解】 解：∵， ∴且正方形边长为3， ∴， ∵点E在上， ∴设， ∵点E在反比例函数上， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数的性质． 26. 如图1，在菱形中，，，点为边上的动点． （1）为边上一点，连接，将沿进行翻折，点恰好落在边的中点处， ①求的长； ②求的值． （2）如图2，延长到，使，连接与，与交于点，连接，设，，求关于的函数表达式；当点从点沿方向运动到点时，直接写出点运动路径的长． 【答案】（1）①；② （2）， 【解析】 【分析】（1）①先利用菱形的边长相等与内角证明是等边三角形，结合是中点得到，进而推出；再利用折叠的性质得到，设未知数后在中用勾股定理列方程，求解得到的长． ②过点作交的延长线于，先利用菱形的对边平行与直角三角形的性质求出、的长；再结合折叠的性质得到，设未知数后在中用勾股定理列方程求出的长，进而得到的长，最后根据正切的定义求出的值． （2）先通过菱形的对边平行得到两组相似三角形，结合推出，得到线段的比例关系；再作垂线构造直角三角形，用勾股定理求出的长，结合比例关系推导得到与的函数表达式；最后根据的运动范围，确定点的运动轨迹为定线段上的一段，求出对应路径的长度． 【小问1详解】 ①解：连接，，如图， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∵是的中点， ∴，． 由勾股定理得． ∵，， ∴，即． 由折叠的性质得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴，解得， ∴； ②解：过点作，交的延长线于点，如图 ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得． 由折叠的性质得， 设，则，， 在中，，由勾股定理得， ∴，解得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：延长交于点，过点作，交的延长线于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中，，，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， 结合，得， ∴． 当点从点沿方向运动到点时， 点与点重合时，，此时，点与点重合； 点与点重合时，，此时， ∵点、点均为定点，为定线段，点始终在上运动， ∴点运动路径的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期1月阶段性检测数学试题 一、选择题（每小题3分，满分24分） 1. 关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是（ ） A. 4 B. 2或 C. 4或 D. 2. 如图是一个由5个相同的小正方体组成的立体图形，从左面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 3. 不透明的袋子中只装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在Rt中，是斜边上的中线，若，则（ ） A. 10 B. 6 C. 8 D. 5 5. 一元二次方程根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个实数根 D. 没有实数根 6. 四边形为平行四边形，延长到，使，连接，，，下列条件中不能使四边形成为菱形的是（ ） A. B. 平分 C. D. 7. 如图，点为的重心，过点作，分别交、于点、，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 8. 若点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，满分18分） 9. 台灯照射书本所形成的影子属于______投影．(填“平行”或“中心”) 10. 已知点是线段的黄金分割点，，则_____. 11. 在2023江西省县域社会足球比赛中，高安市代表队晋级12月16日至21日在瑞金举行的第三阶段总决赛．总决赛分成四个小组，每个小组球队数一样；小组内进行单循环赛（即小组内每两队之间都比赛一场）．若四个小组赛一共进行了12场比赛，则共有__________支球队参加了总决赛． 12. 如图，E是正方形边延长线上的一点，且，则的度数为______度． 13. 如图，点A在反比例函数的图像上，过点A作轴于点B，C为x轴上的一点，连接，，则的面积为______． 14. 如图，在矩形中，，，把边沿对角线平移，点分别对应点、B．给出下列结论： ①顺次连接点的图形一定是平行四边形； ②点到它关于直线的对称点的距离为； ③的最大值为； ④的最小值为． 其中正确结论的序号是______． 三、解答题（共12小题，满分78分） 15. 用因式分解法解方程：． 16. 如图，已知钝角中． （1）请用无刻度直尺和圆规在上定一点P，使得．（保留痕迹，不写作法） （2）请用数学语言简述作图的合理性． 17. 在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）填空 ， ； （2）请估计当很大时，摸到白球的频率将会接近 (精确到； （3）假如摸一次，摸到白球的概率 ； （4）试估算盒子里黑颜色的球有多少只？ 18. 如图，已知四边形是矩形，连接对角线，过点B作于点E，过点D作于点F．求证：． 19. 从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为3，6，7，9．将这四张牌背面朝上，洗匀． （1）从这四张牌中随机抽出一张牌，这张牌上的牌面数字是奇数的概率为 ； （2）先从这四张牌中随机抽出一张牌，记下牌面数字后，放回，背面朝上，洗匀，再从中随机抽出一张牌，记下牌面数字．请利用画树状图或列表的方法，求两次抽出的牌上的牌面数字之和是3的倍数的概率． 20. 画一个正五角星，利用位似将它： （1）放大3倍； （2）缩小到原来的． 21. 如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升25，加热到100时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． （1）将水从加热到需要_____； （2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 22. 如图，要在一块长为30米，宽为24米的长方形绿地上修建“两纵两横”四条宽度相等的小路，若剩余绿地面积为520平方米，求小路宽度． 小明的解法是设小路宽度为x米，列出两个方程： ①，得到； ②，得到． （1）请分别判断小明所列的两个方程是否正确？ （2）请推测小路的宽度（要求写出推理过程） 23. 为响应国家节能减排的号召，河北新农村建设把主要乡村道路上安装了太阳能路灯．如图是一新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距20米，当身高米的小亮在离路灯3米的处时，影长为1米；当小亮沿着走至处时，发现自己头顶的影子正好接触到墙的底部处． （1）求路灯的高度． （2）当小亮走到处时，他行走的路程是多少米？ （3）如果小亮继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，那么小亮在墙上的影子有多高？ 24. 如图，在菱形中，E为延长线上一点，连接交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 如图，已知在平面直角坐标系中，正方形的顶点B、C在x负半轴上，反比例函数的图象经过点，交于点E． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 26. 如图1，在菱形中，，，点为边上的动点． （1）为边上一点，连接，将沿进行翻折，点恰好落在边的中点处， ①求的长； ②求的值． （2）如图2，延长到，使，连接与，与交于点，连接，设，，求关于的函数表达式；当点从点沿方向运动到点时，直接写出点运动路径的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $