第三单元 分数乘法 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）-2025-2026学年北师大版数学五年级下册

第三单元 分数乘法 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、分数乘法的意义 1 二、分数乘整数的计算方法 1 三、分数乘分数的计算法则 2 四、分数乘法的简便运算 2 五、分数乘法解决实际问题 2 六、易错点与注意事项 3 考点讲练 4 考点一：分数乘整数 4 考点二：求一个数的几分之几的问题 6 考点三：打折的意义及应用（分数） 8 考点四：分数乘分数 11 考点五：分数乘小数 13 考点六：因数和积的大小关系（分数乘法） 15 考点七：倒数 18 综合训练 20 知识梳理 一、分数乘法的意义 1.分数乘整数的意义：与整数乘法意义相同，求几个相同分数加数的和的简便运算。 例： 表示求 3 个 相加的和，即 。 2.一个数乘分数的意义：求这个数的几分之几是多少。 例： 表示求 4 的 是多少； 表示求 的 是多少。 二、分数乘整数的计算方法 1.计算法则：分子与整数相乘的积作分子，分母不变。能约分的先约分，再计算，结果化为最简分数。 2.步骤： 确定意义：明确是求几个相同分数的和。 分子相乘：分数的分子与整数相乘。 约分简化：若整数与分母有公因数，先约分（如 ，6 和 12 约分后得 ）。 结果最简：确保最终结果是最简分数（假分数可化为带分数）。 例： ； （先约去 8 和 16 的公因数 8）。 三、分数乘分数的计算法则 1.计算法则：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。能约分的先约分（分子与分母、分子与分子、分母与分母均可约分），再计算，结果化为最简分数。 2.步骤： 分子乘分子：两个分数的分子相乘。 分母乘分母：两个分数的分母相乘。 交叉约分：若分子与另一个分数的分母有公因数，先约分（如 ，3 和 9 约分、4 和 8 约分后得 ）。 结果最简：检查是否为最简分数，必要时化为带分数。 例： （约去分子分母的 3）； （5 和 15 约分、4 和 6 约分）。 四、分数乘法的简便运算 利用整数乘法的运算定律（交换律、结合律、分配律）进行分数乘法的简便计算： 1.乘法交换律： ，例： 。 2.乘法结合律： ，例： 。 3.乘法分配律： ，例： ； 。 五、分数乘法解决实际问题 （一）求一个数的几分之几是多少 1.关键：确定单位“1”（通常是“的”字前面的量），用单位“1”的量×几分之几=所求量。 2.步骤： 找单位“1”：根据“谁的几分之几”确定单位“1”。 列算式：单位“1”的量×分率=对应量。 计算并检验：结果是否符合实际意义。 例：一袋大米重 20kg，吃了它的 ，吃了多少 kg？ 单位“1”是“一袋大米的质量”，算式： （kg）。 （二）连续求一个数的几分之几 1.特点：题目中含两个“几分之几”，需先求第一个分率对应的量，再以此为新的单位“1”求第二个分率对应的量。 2.步骤： 确定第一个单位“1”，求第一个分率对应的量。 以第一步结果为新的单位“1”，求第二个分率对应的量。 例：学校图书馆有 1200 本故事书，科技书是故事书的 ，漫画书是科技书的 ，漫画书有多少本？ 第一步：科技书数量 = （本）； 第二步：漫画书数量 = （本）； 综合算式： （本）。 （三）稍复杂的分数乘法问题（比一个数多/少几分之几） 1.关键：理解“比单位‘1’多/少几分之几”，即所求量 = 单位“1”的量×（1±分率）。 2.步骤： 确定单位“1”，判断“多”还是“少”，确定用“1+分率”或“1-分率”。 列算式：单位“1”的量×（1±分率）= 所求量。 例：一件衣服原价 240 元，现降价 ，现价多少元？ 单位“1”是“原价”，降价 即现价是原价的 ，算式： （元）。 六、易错点与注意事项 1.约分问题：计算前先约分（分子与分母、整数与分母），避免结果分子分母过大；约分时需找最大公因数，确保约分彻底。 2.结果化简：最终结果必须是最简分数，假分数可化为带分数或整数。 3.单位“1”判断：解决实际问题时，“的”字前面、“比”字后面的量通常是单位“1”，避免混淆。 4.运算顺序：分数混合运算顺序与整数相同，先算乘除后算加减，有括号先算括号内；运用运算定律简便计算时，注意符号和数字对应。 5.分数与整数相乘：整数可看作分母是 1 的分数（如 ），再按分数乘分数法则计算。 考点讲练 考点一：分数乘整数 【典例精讲】计算。                           【答案】；；； 【详解】略 【变式训练】菲菲和园园做同样的作业，菲菲用了15分钟，园园用了小时。他们俩（    ）。 A．菲菲做得快 B．园园做得快 C．无法比较 【答案】A 【分析】根据1小时＝60分，用乘进率60即可换算为分钟，完成同样的作业，时间越短，做得越快，据此解答。 【详解】×60＝20（分） 15分＜20分，菲菲做得快。 故答案为：A 【变式训练】完成同一项工作，小方用了0.8小时，小王用了小时，小周用了50分钟。他们三人中，( )的工作效率最高。 【答案】小方 【分析】完成同一项工作，用时最少的工作效率最高，根据1小时＝60分钟，用0.8乘进率60即可将小方花费的时间换算为分钟，用乘进率60即可将小王花费的时间换算为分钟，然后把时间比较大小即可填空。 【详解】0.8×60＝48（分钟） ×60＝52（分钟） 52分钟＞50分钟＞48分钟， 小时＞50分钟＞0.8小时。 小王花费的时间＞小周花费的时间＞小方花费的时间，则小王的工作效率＜小周的工作效率＜小方的工作效率。 即小方的工作效率最高。 【变式训练】为改善农村中小学生营养缺乏现状，国家启动“蛋奶工程”，某小学每天能收到250箱免费的蒙牛纯牛奶，每箱16盒，每盒升，这个学校每天可以收到多少升免费的蒙牛纯牛奶？ 【答案】1000升 【分析】根据题意，用每箱的盒数乘每盒的升数，求出每箱的升数，再用每箱的升数乘每天收到的箱数，即可求出这个学校每天可以收到多少升免费的蒙牛纯牛奶。 【详解】 （升） 答：这个学校每天可以收到1000升免费的蒙牛纯牛奶。 考点二：求一个数的几分之几的问题 【典例精讲】为了庆祝中华人民共和国建国75周年，王阿姨买了10米红丝绳编中国结，第一天用了它的，第二天用了米。两天一共用了多少米？ 【答案】米 【分析】把红丝绳的总长看作单位“1”，已知第一天用了它的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出第一天用了多少米，再加上第二天用的米数即可。 【详解】10×＋ ＝5＋ ＝（米） 答：两天一共用了米。 【变式训练】修路队修一条长1.5千米的公路，第一天修了全长的，第二天修了千米，还剩下多少千米没有修？ 【答案】0.5千米 【分析】第一天修了全长的，把全长看作单位“1”，单位“1”已知，用乘法，即1.5×即可求出第一天修的长度，用总长度减去第一天修的长度再减去第二天修的长度即可求出还剩下多少千米没有修。（分数后面加单位表示具体的量） 【详解】1.5×＝0.6（千米） 千米＝0.4千米 1.5－0.4－0.6＝0.5（千米） 答：还剩下0.5千米没有修。 【变式训练】建设美丽校园，共享绿色文明。桃源小学在今年植树节活动中，共植树1050棵，其中是杨树，是槐树，哪种树种植得多？多多少棵？ 【答案】槐树；70棵 【分析】将总棵数看作单位“1”，总棵数分别乘杨树和槐树的对应分率，即求出杨树和槐树的棵数，比较，求差即可。 【详解】1050×＝350（棵） 1050×＝420（棵） 420＞350 420－350＝70（棵） 答：槐树种植的多，多70棵。 【变式训练】王阿姨家和李叔叔家共用一个电表，两家商定按人数分摊电费。王阿姨家有5口人，李叔叔家有6口人。10月份王阿姨家付了91元，李叔叔家应该付多少元？ 【答案】109.2元 【分析】根据题意，王阿姨家有5口人，李叔叔家有6口人，则李叔叔家的人数是王阿姨家的人数的，因为两家商定按人数分摊电费，所以李叔叔家应付的钱数是王阿姨家的，用王阿姨家付的钱数×，即可求出李叔叔家应付的钱数。 【详解】91×＝109.2（元） 答：李叔叔家应付109.2元。 考点三：打折的意义及应用（分数） 【典例精讲】《哪吒2之魔童闹海》火遍全网、关于哪吒的周边活动也广受人们喜爱，某商店购进的哪吒手办标价是150元，现在推出促销活动，在标价的基础上打八折销售，这个哪吒手办打折后的售价是多少元？ 【答案】120元 【分析】八折表示现价是原价的，已知原价是150元，求现价也就是求150元的是多少，求一个数的几分之几用乘法计算。 【详解】150×＝＝15×8＝120（元） 答：这个哪吒手办打折后的售价是120元。 【变式训练】育才学校为了更好地培养同学们对篮球运动的兴趣，决定开一个篮球班，需要购买篮球60个。 甲店：每个篮球75元，买满10个送2个； 乙店：每个篮球75元，每个篮球打八折。 到哪个店购买比较合算？ 【答案】乙店 【分析】甲店：买满10个送2个，则花费10个篮球的价钱可以得到12个篮球，60÷12＝5，则花费5×10＝50个篮球的价钱可以得到60个篮球。根据总价＝单价×数量，求出买篮球实际需要的钱数。 乙店：打八折就是现价是原价的，用篮球的原价×，求出买一个篮球的实际价钱，再乘买篮球的数量，金科求出买篮球实际需要的钱数，再进行比较，即可解答。 【详解】甲店：买满10个送2个； 60÷（10＋2） ＝60÷12 ＝5 75×（10×5） ＝75×50 ＝3750（元） 乙店：打八折 八折就是现价是原价的。 75××60 ＝60×60 ＝3600（元） 3600＜3750，到乙店购买比较合算。 答：到乙店购买比较合算。 【变式训练】京东“6.18”购物节对商品进行打折。笑笑妈妈买了一套中国“四大名著”和一把吉他，“四大名著”原价145元打八折，吉他原价380元打六折，笑笑妈妈一共花了多少元？ 【答案】344元 【分析】八折表示原价的，六折表示原价的；分别把“四大名著”原价和吉他原价看作单位“1”，根据分数乘法的意义，分别用145×和380×即可求出两种的实际价格，再相加即可求出一共花的钱数。 【详解】八折表示原价的，六折表示原价的； 145×＝116（元） 380×＝228（元） 116＋228＝344（元） 答：笑笑妈妈一共花了344元。 【变式训练】甲、乙两个商店足球的标价都是40元。甲店：“九折优惠”，乙店：“买一个足球立减5元”。哪一个商店便宜？便宜多少元？ 【答案】乙商店便宜；1元。 【分析】甲店：“九折优惠”，就是打九折，就是现价是原价的；用原价×，求出甲店买一个足球的价钱； 乙店：用足球的原价－5元，求出乙店买一个足球的价钱，再和甲店比较，即可解答。 【详解】甲店：“九折优惠”就是现价是原价的。 40×＝36（元） 乙店：40－5＝35（元） 36＞35，乙店便宜。 36－35＝1（元） 便宜1元。 答：乙商店便宜，便宜1元。 考点四：分数乘分数 【典例精讲】找规律：，，，，( )。 【答案】 【分析】观察数列中分数发现，前一个数的分子乘3得到后一个数的分子；前一个数的分母乘4得到后一个数的分母，也就是前一个数乘得到后一个数，据此解答。 【详解】按照规律得： 因此，找规律：，，，，。 【变式训练】一台脱粒机每小时可以脱粒吨，3台这样的脱粒机小时可以脱粒多少吨？ 【答案】吨 【分析】此题主要考查了用连乘解决问题，一台脱粒机每小时可以脱粒的质量×台数×工作的时间＝一共可以脱粒的质量，据此列式解答。 【详解】×3× ＝ ＝（吨） 答：3台这样的脱粒机小时可以脱粒吨。 【变式训练】在括号里填上“＞”“＝”或“＜”。 ( )     ( )    ( )6×    ×2( ) 【答案】 ＜ ＞ ＝ ＞ 【分析】积与因数的大小关系：一个数（0除外）乘一个小于1的数（0除外），结果小于原数；一个数（0除外）乘一个大于1的数，结果大于原数；一个数乘1，结果等于原数。 【详解】＜1，所以＜； ＞1，所以＞； ＝1，6×＝1，所以＝6×； 2＞1，所以×2＞。 【变式训练】，…如果两个分数的分子相同，并且分子等于两个分母的和，那么这两个分数的和等于它们的积。( ) 【答案】√ 【分析】设分子为a，分母为b和c，且a＝b＋c，推导出和与积是否都等于据此判断。 【详解】设两个分数的分子相同为a，分母分别为b和c，且a ＝ b ＋ c（b、c为非零整数）。 则，分数的和：。 由于a ＝ b ＋ c，所以＝ 分数的积：。 因此，和等于积，该说法正确。 故答案为：√ 考点五：分数乘小数 【典例精讲】直接写得数。           0.45×＝           9×＝          ＝ 1.8×＝                    ×0＝            ×1.2＝ 【答案】；0.27；；； 0.3；1；0；1 【解析】略 【变式训练】下列算式（    ）的结果在和之间。 A．× B．× C．× D．× 【答案】C 【分析】根据分数与分数的乘法计算法则，计算出各选择的计算结果，再进行比较，即可解答。 【详解】A．×＝；＜，×的结果不在和之间，不符合题意； B．×＝，＜，×的结果不在和之间，不符合题意； C．×＝，＜＜，×的结果在和之间，符合题意； D．×＝，＞，×的结果不在和之间，不符合题意。 下列算式×的结果在和之间。 故答案为：C 【点睛】熟练掌握分数与分数的乘法计算以及异分母分数比较大小的方法是解答关键。 【变式训练】第一根电线长6.5米，用去了，还剩下( )米；第二根电线长5.2米，用去了米，还剩下( )米。 【答案】 1.3 4.45 【分析】由于用去了，用去了这根电线的，单位“1”是这根电线厂，单位“1”已知，用乘法，即6.5×，再用6.5减去用去的长度即可；第二根电线用去了米，用总长度减去即可求出剩下的。 【详解】6.5－6.5× ＝6.5－5.2 ＝1.3（米） 5.2－＝4.45（米） 第一根电线长6.5米，用去了，还剩下1.3米；第二根电线长5.2米，用去了米，还剩下4.45米。 【点睛】本题主要考查分数乘法的应用，求一个数的几分之几是多少，用乘法；同时要注意，分数后面加单位表示具体的数。 【变式训练】直接写出得数。 ＋＝                －＝                3－＝                0.8＋＝ ×18＝                ×＝                ×＝            3.2×＝ 【答案】；；；1； ；1；；0.8 【详解】略 考点六：因数和积的大小关系（分数乘法） 【典例精讲】a，b都是非0的自然数，如果那么a＞b。( ) 【答案】 √ 【分析】在分数乘法中，一个因数（0除外）保持不变，当另一个因数小于1时，积比原来的因数小。据此判断。 【详解】因为，所以和的积小于原来的因数，即，也就是。原题表述正确。 故答案为：√ 【变式训练】a和b都是非0的自然数，且，a是多少？ 【答案】a是20 【分析】一个数（0除外），乘小于1的数，积比原数小；乘大于1的数，积比原数大；据此解答。 【详解】，则，那么； ，则，那么； 又因为a是非0的自然数，所以。 答：a是20。 【变式训练】在括号填上适当的数。 ( )        ( )        ( )        ( ) ( )        ( )        ( )        ( ) 【答案】 1 1 （除第3，5空外答案均不唯一） 【分析】根据分数乘法中积与因数的大小关系：一个分数（0除外）乘一个大于1的数，积比原数大；一个分数（0除外）乘一个等于1的数，积等于原数；一个分数（0除外）乘一个小于1的数，积比原数小；据此解答。 【详解】，所以（）的数是小于1的正数，如：，即； ，所以（）的数是小于1的正数，如：，即； ，所以（）的数是等于1的正数，如：1，即； ，所以（）的数是大于1的正数，如：，即； ，所以（）的数是等于1的正数，如：1，即； ，所以（）的数是大于1的正数，如：，即； ，所以（）的数是大于1的正数，如：，即； ，所以（）的数是小于1的正数，如：，即。 （除第3，5空外答案均不唯一） 【变式训练】不计算，在括号填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )    ( ) 【答案】 ＞ ＜ ＜ 【分析】一个数（0除外），乘大于1的数，积比原数大；乘小于1的数，积比原数小，据此填空。 【详解】＞1，＞    ＜1，＜    ＜1，＜ 考点七：倒数 【典例精讲】( )＝( )。 【答案】 【分析】根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数。因此，第一个括号应填的倒数，第二个括号应填的倒数。 【详解】根据分析可知： 的倒数是，的倒数是， 所以。 【变式训练】把互为倒数的两个数连起来。 【答案】见详解 【分析】乘积为1的两个数互为倒数，对于分数，交换分子与分母的位置得出的分数就是原分数的倒数。 分子是4，分母是3，交换分子分母的位置后为，所以与互为倒数。 分子是1，分母是2，交换分子分母的位置后为（即为2），所以与2互为倒数。 对于0.01的倒数，1÷0.01＝100，所以0.01与100互为倒数。 分子是17，分母是5，交换分子分母的位置后为，所以与互为倒数。 【详解】与互为倒数；与2互为倒数；0.01与100互为倒数；与互为倒数。 连线如下： 【变式训练】一个正方体六个面标有六个数，把它展开后如图，若a是最小质数，b是最小合数，c既不是质数也不是合数，且相对两个面上标的数字刚好互为倒数，请填出相对面的各个数字。 【答案】见详解 【分析】根据正方体展开图知识，首先明确a、b、c面分别与哪个面相对，然后根据a是最小质数2，b是最小合数4，c既不是质数也不是合数是1，再结合倒数知识，解答即可。乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1，其它整数的倒数是整数分之一。 【详解】填空如下： 【变式训练】有一个直角三角形，它的两条直角边的长度互为倒数。这个直角三角形的面积是( )。 【答案】0.5 【分析】直角三角形的两条直角边对应三角形的底和高，互为倒数的两个数的乘积为1，最后再根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，据此进行计算即可。 【详解】1÷2＝0.5 则这个直角三角形的面积是0.5。 综合训练 1．某超市新进大米100千克，新进面粉的质量是大米的，该超市新进大米和面粉共（    ）千克。 A．10 B．90 C．110 D．190 【答案】D 【分析】已知新进面粉的质量是大米的，把大米的质量看作单位“1”，单位“1”已知，用大米的质量乘，求出面粉的质量；再把大米和面粉的质量相加，求出新进大米和面粉的总质量。 【详解】100×＝90（千克） 100＋90＝190（千克） 该超市新进大米和面粉共190千克。 故答案为：D 2．一桶花生油第一次用去，第二次用去千克，两次用去的花生油（    ）多。 A．第一次 B．第二次 C．同样 D．无法确定 【答案】D 【分析】题目中，第一次用去的是整桶油的（比例），而第二次用去的是具体的重量千克。要比较哪次用去的油多，需要知道整桶油的重量，但题目中并未给出整桶油的重量，因此无法确定哪次用去的油多。 【详解】设整桶油的重量为 千克（假设单位为千克，因为第二次用量单位为千克）。 第一次用去的量为：千克。第二次用去的量为：千克。 比较和： 如果，则，第一次用去的多。 如果，则，第二次用去的多。 如果 ，则，两次用去的同样多。 由于整桶油的重量未知，无法判断的大小，因此无法确定哪次用去的油多。 故答案为：D 3．一桶油有10千克，第一次倒出总量的，第二次倒出余下的，（    ）倒出的多。 A．第一次 B．第二次 C．一样多 D．无法确定 【答案】B 【分析】已知一桶油有10千克，第一次倒出总量的，用这桶油的总量乘，求出第一次倒出的质量，用总量减去第一次倒出的质量，再乘，即可求出第二次倒出的质量，再比较即可。 【详解】第一次：10×＝1（千克） 第二次：（10－1）× ＝9× ＝3（千克） 1＜3 所以第二次倒出的多。 故答案为：B 4．把长方形的长扩大到原来的3倍，宽缩小，所得新图形是原长方形的面积的（    ）倍。 A．3 B．9 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据长方形的面积＝长×宽列式解答，得出答案后进行选择即可。 【详解】新图形的长方形的面积＝长×3×宽×＝（长×宽）×（3×）＝长×宽×1＝原长方形面积×1； 即所得新图形的面积是原长方形的面积的1倍。 故答案为：C 5．淘气家和笑笑家一起去旅游，淘气在旅游区用他零花钱的买了一个纪念品，笑笑则用了她零花钱的买到了同款纪念品，淘气的零花钱数（    ）笑笑的零花钱数。 A．大于 B．等于 C．小于 D．无法比较 【答案】C 【分析】纪念品的价格不变，则淘气零花钱的和笑笑零花钱的是相等的，即淘气×＝笑笑×，根据乘法算式中，其中一个因数越大，若积不变，另外一个因数就越小。通分比较和大小，即可比较出淘气和笑笑的钱数大小。 【详解】淘气×＝笑笑× ＞ 淘气＜笑笑，淘气的零花钱数＜笑笑的零花钱数。 故答案为：C 6．下列各组数中，互为倒数的是（    ）。 A．和 B．和 C．和 D．0.5和 【答案】B 【分析】乘积是1的两个数互为倒数。据此分别计算各选项中两个数的乘积即可解答。 【详解】A．×＝，则和不互为倒数； B．×＝1，则和互为倒数； C．×＝，则和不互为倒数； D．0.5×＝，则0.5和不互为倒数。 故答案为：B 7．30km的是( )km。 【答案】 12 【分析】求30km的是多少，就是求30的是多少，根据分数乘法的意义，用乘法计算。 【详解】30×＝12（km） 因此，30km的是12km。 8．修一段2000米长的公路，已经修了全长的，再修( )米，就正好修到这段路的中点了。 【答案】 600 【分析】已知全长2000米，则一半是2000÷2＝1000米；已经修了全长的，把全长看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，则已经修了2000×＝400米。再用一半的长度减去已经修了的长度即可求出还要修的长度。 【详解】2000÷2＝1000（米） 2000×＝400（米） 1000－400＝600（米） 所以再修600米，就正好修到这段路的中点了。 9．里有（    ）个，12元的是（    ）元，（    ）。 【答案】5；10；9；40 【分析】求里有多少个，根据分数的计数单位定义，分母是7，计数单位就是，分子是几就有几个这样的计数单位，所以里有5个。 求12元的是多少，根据“求一个数的几分之几是多少用乘法”，用12乘即可求出结果。 根据分数与除法的关系＝3÷8，根据商不变的规律（被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变）：除数8乘3，被除数3也乘3，就是9÷24；根据分数的基本性质（分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变）：的分子、分母同时乘5就是。 【详解】12×＝10（元） 所以里有5个，12元的是10元，＝9÷24＝。 10．小球从10米的高处自由下落，每次反弹高度是下落高度的，它的第三次反弹达到的高度是( )米。 【答案】 【分析】把10米的高度看作单位“1”，每次的反弹高度是下落高度的，用10×，求出第一次反弹高度；再把第一次反弹的高度看作单位“1”，第二次反弹高度是下落高度的，用第一次反弹的高度×，即可求出第二次反弹的高度；再把第二次反弹的高度看作单位“1”，第三次反弹高度是下落高度的，用第二次反弹的高度×，即可求出第三次反弹的高度，由此解答即可。 【详解】10×＝（米） （米） （米） 因此，它的第三次反弹达到的高度是米。 11．修一条800m长的水渠，已经修了全长的，再修( )m就正好修到这条水渠的中点了。 【答案】160 【分析】根据题意，将这条要修的水渠全长看作单位“1”。水渠全长800m，中点对应的长度是全长的，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，用水渠的全长乘即可得到中点的长度；已经修了全长的，已经修的长度为800×；再用中点的长度减去已经修的长度即可求出再修多少米修到中点，据此解答。 【详解】800×＝400（m） 800×＝240（m） 400－240＝160（m） 所以，修一条800m长的水渠，已经修了全长的，再修160m就正好修到这条水渠的中点了。 12．摄影小组人数是气象小组的，航模小组的人数是摄影小组的，用“”是在算( )。 【答案】航模小组的人数是气象小组的几分之几 【分析】已知摄影小组人数＝气象小组人数×，航模小组人数＝摄影小组人数×，将“摄影小组人数＝气象小组人数×”代入“航模小组人数＝摄影小组人数×”，可得：航模小组人数＝气象小组人数××。因此，表示航模小组人数是气象小组人数的几分之几，据此解答。 【详解】由分析可得：摄影小组人数是气象小组的，航模小组的人数是摄影小组的，用“”是在算航模小组的人数是气象小组的几分之几。 13．计算下面各题。                                【答案】；；； ；； 【解析】略 14．计算下列各题，能简算的要简算。                             【答案】；1；75； 【分析】（1）：根据乘法结合律，三个数相乘，先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，积不变。先计算，再与相乘，可简化计算。 （2）：根据乘法分配律，两个数的差与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相减。用20分别乘和，再求差。 （3）：根据乘法分配律的逆运算，a×c＋b×c＝（a＋b）×c，将其转化为（45＋54＋1）×进行简算。 （4）：根据乘法分配律，两个数的和与两个数的积相乘，可以把这两个数分别与积里的两个数相乘，再相加。用和分别乘9×4，再求和。 【详解】（1） ＝×（×） ＝× ＝ （2） ＝20×－20× ＝5－4 ＝1 （3） ＝ ＝（45＋54＋1）× ＝100× ＝75 （4） ＝×9×4＋×9×4 ＝＋8 ＝ 15．赵大伯家的果园有350棵桃树，梨树的棵数是桃树的，梨树有多少棵？ 【答案】280棵 【分析】把桃树的棵数看作单位“1”，梨树的棵数是桃树的，求梨树的棵数，单位“1”已知，用乘法解决，用桃树的棵数×，即可求出梨树的棵数，据此解答。 【详解】350×＝280（棵） 答：梨树的棵数有280棵。 16．冬至是我国重要的传统节气，北方有“冬至吃饺子”的习俗。小明和妈妈在冬至这天包饺子，妈妈包了48个饺子，小明包的饺子个数比妈妈包的少，小明包了多少个饺子？ 【答案】18个 【分析】由“小明包的饺子个数比妈妈包的少”可知，小明包的饺子数量是妈妈的1－，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法”，用妈妈包的饺子数量×（1－），即可得到小明包的饺子数量。 【详解】 ＝ ＝18（个） 答：小明包了18个饺子。 17．明长城全长约8860千米，其中人工墙体约占全长的，天然山险墙约占全长的，其他的是壕堑。人工墙体比天然山险墙长多少千米？ 【答案】3987千米 【分析】解答这道题需明确：求一个数的几分之几是多少，用一个数乘分率。题目中已知明长城全长约8860千米，其中人工墙体约占全长的，天然山险墙约占全长的，表示人工墙体占8860千米的，天然山险墙占8860千米的。用计算人工墙体的长度，再用计算天然山险墙的长度，最后用人工墙体的长度减去天然山险墙的长度即可。 【详解】根据分析： （千米） 答：人工墙体比天然山险墙长约3987千米。 18．“绿色环保，文明出行”，袁老师骑共享单车去7.5千米远的图书馆，已经骑了这段路的，此时距离图书馆多少千米？ 【答案】1.5千米 【分析】解答这道题需明确：求一个数的几分之几是多少，用乘法。题目已知袁老师骑共享单车去7.5千米远的图书馆，已经骑了这段路的，表示已经骑了7.5的，用7.5×即可求出已经骑了的路程。用总路程7.5千米减去已经骑了的路程就可以得到此时距离图书馆的路程。据此解答。 【详解】根据分析： （千米） （千米） 答：此时距离图书馆1.5千米。 19．有甲、乙两个水桶，其中甲桶装满水，乙桶没有装水。把甲桶里水的一半倒入乙桶，刚好装了乙桶的。乙桶可装水30千克，甲桶可装水多少千克？ 【答案】 40千克 【分析】甲桶装满水，倒出一半后刚好装满乙桶的。已知乙桶装满水为30千克，先求出倒入乙桶水的质量，这是甲桶原有水量的一半，算出后乘2即可算出甲桶装满水的质量。 【详解】乙桶的容量为： 甲桶倒出的水量为20千克，这是甲桶原有水量的一半，因此甲桶原有水量为： 答：甲桶可装水40千克。 20．“两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”是诗人李白的诗句。嘟嘟和家人从重庆乘坐轮船到宜昌，感受长江之美。从重庆到宜昌水路全程长648千米，已经行了全程的，此时这艘轮船离宜昌还有多少千米？ 【答案】252千米 【分析】全程长648千米，已经行了全程的，根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算可知，648乘等于已经行了路程，全程的长度减去已经行了的路程，即等于剩下的路程，也就是这艘轮船离宜昌路程，据此即可解答。 【详解】648－648× ＝648－396 ＝252（千米） 答：此时这艘轮船离宜昌还有252千米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 分数乘法 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、分数乘法的意义 1 二、分数乘整数的计算方法 1 三、分数乘分数的计算法则 2 四、分数乘法的简便运算 2 五、分数乘法解决实际问题 2 六、易错点与注意事项 3 考点讲练 4 考点一：分数乘整数 4 考点二：求一个数的几分之几的问题 6 考点三：打折的意义及应用（分数） 8 考点四：分数乘分数 11 考点五：分数乘小数 13 考点六：因数和积的大小关系（分数乘法） 15 考点七：倒数 18 综合训练 20 知识梳理 一、分数乘法的意义 1.分数乘整数的意义：与整数乘法意义相同，求几个相同分数加数的和的简便运算。 例： 表示求 3 个 相加的和，即 。 2.一个数乘分数的意义：求这个数的几分之几是多少。 例： 表示求 4 的 是多少； 表示求 的 是多少。 二、分数乘整数的计算方法 1.计算法则：分子与整数相乘的积作分子，分母不变。能约分的先约分，再计算，结果化为最简分数。 2.步骤： 确定意义：明确是求几个相同分数的和。 分子相乘：分数的分子与整数相乘。 约分简化：若整数与分母有公因数，先约分（如 ，6 和 12 约分后得 ）。 结果最简：确保最终结果是最简分数（假分数可化为带分数）。 例： ； （先约去 8 和 16 的公因数 8）。 三、分数乘分数的计算法则 1.计算法则：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。能约分的先约分（分子与分母、分子与分子、分母与分母均可约分），再计算，结果化为最简分数。 2.步骤： 分子乘分子：两个分数的分子相乘。 分母乘分母：两个分数的分母相乘。 交叉约分：若分子与另一个分数的分母有公因数，先约分（如 ，3 和 9 约分、4 和 8 约分后得 ）。 结果最简：检查是否为最简分数，必要时化为带分数。 例： （约去分子分母的 3）； （5 和 15 约分、4 和 6 约分）。 四、分数乘法的简便运算 利用整数乘法的运算定律（交换律、结合律、分配律）进行分数乘法的简便计算： 1.乘法交换律： ，例： 。 2.乘法结合律： ，例： 。 3.乘法分配律： ，例： ； 。 五、分数乘法解决实际问题 （一）求一个数的几分之几是多少 1.关键：确定单位“1”（通常是“的”字前面的量），用单位“1”的量×几分之几=所求量。 2.步骤： 找单位“1”：根据“谁的几分之几”确定单位“1”。 列算式：单位“1”的量×分率=对应量。 计算并检验：结果是否符合实际意义。 例：一袋大米重 20kg，吃了它的 ，吃了多少 kg？ 单位“1”是“一袋大米的质量”，算式： （kg）。 （二）连续求一个数的几分之几 1.特点：题目中含两个“几分之几”，需先求第一个分率对应的量，再以此为新的单位“1”求第二个分率对应的量。 2.步骤： 确定第一个单位“1”，求第一个分率对应的量。 以第一步结果为新的单位“1”，求第二个分率对应的量。 例：学校图书馆有 1200 本故事书，科技书是故事书的 ，漫画书是科技书的 ，漫画书有多少本？ 第一步：科技书数量 = （本）； 第二步：漫画书数量 = （本）； 综合算式： （本）。 （三）稍复杂的分数乘法问题（比一个数多/少几分之几） 1.关键：理解“比单位‘1’多/少几分之几”，即所求量 = 单位“1”的量×（1±分率）。 2.步骤： 确定单位“1”，判断“多”还是“少”，确定用“1+分率”或“1-分率”。 列算式：单位“1”的量×（1±分率）= 所求量。 例：一件衣服原价 240 元，现降价 ，现价多少元？ 单位“1”是“原价”，降价 即现价是原价的 ，算式： （元）。 六、易错点与注意事项 1.约分问题：计算前先约分（分子与分母、整数与分母），避免结果分子分母过大；约分时需找最大公因数，确保约分彻底。 2.结果化简：最终结果必须是最简分数，假分数可化为带分数或整数。 3.单位“1”判断：解决实际问题时，“的”字前面、“比”字后面的量通常是单位“1”，避免混淆。 4.运算顺序：分数混合运算顺序与整数相同，先算乘除后算加减，有括号先算括号内；运用运算定律简便计算时，注意符号和数字对应。 5.分数与整数相乘：整数可看作分母是 1 的分数（如 ），再按分数乘分数法则计算。 考点讲练 考点一：分数乘整数 【典例精讲】计算。                           【变式训练】菲菲和园园做同样的作业，菲菲用了15分钟，园园用了小时。他们俩（    ）。 A．菲菲做得快 B．园园做得快 C．无法比较 【变式训练】完成同一项工作，小方用了0.8小时，小王用了小时，小周用了50分钟。他们三人中，( )的工作效率最高。 【变式训练】为改善农村中小学生营养缺乏现状，国家启动“蛋奶工程”，某小学每天能收到250箱免费的蒙牛纯牛奶，每箱16盒，每盒升，这个学校每天可以收到多少升免费的蒙牛纯牛奶？ 考点二：求一个数的几分之几的问题 【典例精讲】为了庆祝中华人民共和国建国75周年，王阿姨买了10米红丝绳编中国结，第一天用了它的，第二天用了米。两天一共用了多少米？ 【变式训练】修路队修一条长1.5千米的公路，第一天修了全长的，第二天修了千米，还剩下多少千米没有修？ 【变式训练】建设美丽校园，共享绿色文明。桃源小学在今年植树节活动中，共植树1050棵，其中是杨树，是槐树，哪种树种植得多？多多少棵？ 【变式训练】王阿姨家和李叔叔家共用一个电表，两家商定按人数分摊电费。王阿姨家有5口人，李叔叔家有6口人。10月份王阿姨家付了91元，李叔叔家应该付多少元？ 考点三：打折的意义及应用（分数） 【典例精讲】《哪吒2之魔童闹海》火遍全网、关于哪吒的周边活动也广受人们喜爱，某商店购进的哪吒手办标价是150元，现在推出促销活动，在标价的基础上打八折销售，这个哪吒手办打折后的售价是多少元？ 【变式训练】育才学校为了更好地培养同学们对篮球运动的兴趣，决定开一个篮球班，需要购买篮球60个。 甲店：每个篮球75元，买满10个送2个； 乙店：每个篮球75元，每个篮球打八折。 到哪个店购买比较合算？ 【变式训练】京东“6.18”购物节对商品进行打折。笑笑妈妈买了一套中国“四大名著”和一把吉他，“四大名著”原价145元打八折，吉他原价380元打六折，笑笑妈妈一共花了多少元？ 【变式训练】甲、乙两个商店足球的标价都是40元。甲店：“九折优惠”，乙店：“买一个足球立减5元”。哪一个商店便宜？便宜多少元？ 考点四：分数乘分数 【典例精讲】找规律：，，，，( )。 【变式训练】一台脱粒机每小时可以脱粒吨，3台这样的脱粒机小时可以脱粒多少吨？ 【变式训练】在括号里填上“＞”“＝”或“＜”。 ( )     ( )    ( )6×    ×2( ) 【变式训练】，…如果两个分数的分子相同，并且分子等于两个分母的和，那么这两个分数的和等于它们的积。( ) 考点五：分数乘小数 【典例精讲】直接写得数。           0.45×＝           9×＝          ＝ 1.8×＝                    ×0＝            ×1.2＝ 【变式训练】下列算式（    ）的结果在和之间。 A．× B．× C．× D．× 【变式训练】第一根电线长6.5米，用去了，还剩下( )米；第二根电线长5.2米，用去了米，还剩下( )米。 【变式训练】直接写出得数。 ＋＝                －＝                3－＝                0.8＋＝ ×18＝                ×＝                ×＝            3.2×＝ 考点六：因数和积的大小关系（分数乘法） 【典例精讲】a，b都是非0的自然数，如果那么a＞b。( ) 【变式训练】a和b都是非0的自然数，且，a是多少？ 【变式训练】在括号填上适当的数。 ( )        ( )        ( )        ( ) ( )        ( )        ( )        ( ) 【变式训练】不计算，在括号填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )    ( ) 考点七：倒数 【典例精讲】( )＝( )。 【变式训练】把互为倒数的两个数连起来。 【变式训练】一个正方体六个面标有六个数，把它展开后如图，若a是最小质数，b是最小合数，c既不是质数也不是合数，且相对两个面上标的数字刚好互为倒数，请填出相对面的各个数字。 【变式训练】有一个直角三角形，它的两条直角边的长度互为倒数。这个直角三角形的面积是( )。 综合训练 1．某超市新进大米100千克，新进面粉的质量是大米的，该超市新进大米和面粉共（    ）千克。 A．10 B．90 C．110 D．190 2．一桶花生油第一次用去，第二次用去千克，两次用去的花生油（    ）多。 A．第一次 B．第二次 C．同样 D．无法确定 3．一桶油有10千克，第一次倒出总量的，第二次倒出余下的，（    ）倒出的多。 A．第一次 B．第二次 C．一样多 D．无法确定 4．把长方形的长扩大到原来的3倍，宽缩小，所得新图形是原长方形的面积的（    ）倍。 A．3 B．9 C．1 D． 5．淘气家和笑笑家一起去旅游，淘气在旅游区用他零花钱的买了一个纪念品，笑笑则用了她零花钱的买到了同款纪念品，淘气的零花钱数（    ）笑笑的零花钱数。 A．大于 B．等于 C．小于 D．无法比较 6．下列各组数中，互为倒数的是（    ）。 A．和 B．和 C．和 D．0.5和 7．30km的是( )km。 8．修一段2000米长的公路，已经修了全长的，再修( )米，就正好修到这段路的中点了。 9．里有（    ）个，12元的是（    ）元，（    ）。 10．小球从10米的高处自由下落，每次反弹高度是下落高度的，它的第三次反弹达到的高度是( )米。 11．修一条800m长的水渠，已经修了全长的，再修( )m就正好修到这条水渠的中点了。 12．摄影小组人数是气象小组的，航模小组的人数是摄影小组的，用“”是在算( )。 13．计算下面各题。                                14．计算下列各题，能简算的要简算。                             15．赵大伯家的果园有350棵桃树，梨树的棵数是桃树的，梨树有多少棵？ 16．冬至是我国重要的传统节气，北方有“冬至吃饺子”的习俗。小明和妈妈在冬至这天包饺子，妈妈包了48个饺子，小明包的饺子个数比妈妈包的少，小明包了多少个饺子？ 17．明长城全长约8860千米，其中人工墙体约占全长的，天然山险墙约占全长的，其他的是壕堑。人工墙体比天然山险墙长多少千米？ 18．“绿色环保，文明出行”，袁老师骑共享单车去7.5千米远的图书馆，已经骑了这段路的，此时距离图书馆多少千米？ 19．有甲、乙两个水桶，其中甲桶装满水，乙桶没有装水。把甲桶里水的一半倒入乙桶，刚好装了乙桶的。乙桶可装水30千克，甲桶可装水多少千克？ 20．“两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”是诗人李白的诗句。嘟嘟和家人从重庆乘坐轮船到宜昌，感受长江之美。从重庆到宜昌水路全程长648千米，已经行了全程的，此时这艘轮船离宜昌还有多少千米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $