第四单元 长方体（二） 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）-2025-2026学年北师大版数学五年级下册

第四单元 长方体（二） 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、体积的概念 1 二、常用的体积单位 2 三、长方体和正方体的体积计算公式 2 四、体积单位间的换算 3 五、不规则物体体积的测量方法 3 六、解决问题 3 考点讲练 4 考点一：体积与容积的认识 4 考点二：体积与容积的单位 4 考点三：长方体与正方体的体积 5 考点四：体积的等积变形（长方体、正方体） 7 考点五：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 7 考点六：体积、容积单位的换算 8 考点七：不规则物体体积的算法（长方体、正方体） 9 考点八：组合体的体积（长方体、正方体） 10 综合训练 11 知识梳理 一、体积的概念 1.定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2.与容积的区别：体积是指物体自身所占空间的大小，容积是指容器所能容纳物体的体积。计算体积时，从物体的外部测量数据；计算容积时，从容器的内部测量数据（若容器壁厚度忽略不计，体积和容积的计算方法相同）。 3.生活实例：一个粉笔盒所占的空间大小就是它的体积，一个油箱能装多少汽油就是它的容积。 二、常用的体积单位 1.立方厘米（cm³） 定义：棱长为1厘米的正方体，体积是1立方厘米。 实际大小：大约是一个手指尖的体积，一颗骰子的体积接近1立方厘米。 应用：计量较小物体的体积，如橡皮、骰子等。 2.立方分米（dm³） 定义：棱长为1分米的正方体，体积是1立方分米。 实际大小：一个粉笔盒的体积大约是1立方分米。 应用：计量中等大小物体的体积，如书本、文具盒等。 3.立方米（m³） 定义：棱长为1米的正方体，体积是1立方米。 实际大小：一个洗衣机的体积大约是1立方米。 应用：计量较大物体的体积，如冰箱、衣柜、房间的容积等。 4.容积单位：升（L）和毫升（mL），1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米。 三、长方体和正方体的体积计算公式 1.长方体的体积 公式推导：长方体的体积可以看作是由若干个棱长为1厘米的小正方体组成，每行的个数是长，行数是宽，层数是高，所以体积=长×宽×高。 计算公式：长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为(V = a×b×h)（其中(a)表示长，(b)表示宽，(h)表示高）。 示例：一个长方体的长是5厘米，宽是3厘米，高是2厘米，体积为(5×3×2 = 30)（立方厘米）。 2.正方体的体积 公式推导：正方体是特殊的长方体，长、宽、高都相等，所以正方体的体积=棱长×棱长×棱长。 计算公式：正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示为(V = a×a×a = a³)（其中(a)表示棱长）。 示例：一个正方体的棱长是4分米，体积为(4×4×4 = 64)（立方分米）。 3.统一公式：长方体（或正方体）的体积=底面积×高，用字母表示为(V = S×h)（其中(S)表示底面积，(h)表示高）。对于长方体，底面积(S = a×b)；对于正方体，底面积(S = a×a)。 四、体积单位间的换算 1.相邻体积单位间的进率：每相邻两个体积单位之间的进率是1000。 1立方米=1000立方分米（(1m³ = 1000dm³)） 1立方分米=1000立方厘米（(1dm³ = 1000cm³)） 1立方米=1000000立方厘米（(1m³ = 1000000cm³)） 2.换算方法：高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率。 示例1：3立方米=（3×1000）立方分米=3000立方分米 示例2：5000立方厘米=（5000÷1000）立方分米=5立方分米 五、不规则物体体积的测量方法 1.排水法 步骤： 1.在一个有刻度的量杯中倒入适量的水，记录此时水的体积 2.将不规则物体完全浸没在水中（确保水不溢出），记录此时水和物体的总体积。 3.不规则物体的体积(V = -)。 注意事项：物体要完全浸没在水中，且量杯中的水不能溢出。 示例：量杯中原有水200毫升，放入石块后水面上升到350毫升，石块的体积是(350 - 200 = 150)（毫升），即150立方厘米。 六、解决问题 1.计算长方体或正方体容器的容积：方法与计算体积相同，若容器壁厚度忽略不计，容积=长×宽×高（或棱长×棱长×棱长）。 示例：一个长方体水箱，长5分米，宽4分米，高3分米，它的容积是(5×4×3 = 60)（立方分米），即60升。 2.根据体积求长方体的长、宽或高：利用公式(a = V÷b÷h)，(b = V÷a÷h)，(h = V÷a÷b)。 示例：一个长方体的体积是120立方厘米，长是6厘米，宽是5厘米，高是(120÷6÷5 = 4)（厘米）。 3.体积单位换算在实际问题中的应用：解决问题时，要注意单位统一。 示例：一个正方体的棱长是2米，它的体积是多少立方分米？先将棱长单位换算成分米，2米=20分米，体积为(20×20×20 = 8000)（立方分米）。 考点讲练 考点一：体积与容积的认识 【典例精讲】一瓶牛奶250毫升，（    ）瓶正好是1升。 A．4 B．5 C．10 【变式训练】下面盒子中，容积最大的是( )，容积最小的是( )。（填序号） 【变式训练】下面物品中，体积最大的是( )，体积最小的是( )。 【变式训练】做一个塑料油桶，要用多少塑料是求油桶的（    ），这个油桶占多大的空间是求油桶的（    ），油桶能装多少豆油是求油桶的（    ）。 A． 表面积；体积；容积 B．容积；体积；表面积 C．表面积；周长；体积 D．周长；体积；表面积 考点二：体积与容积的单位 【典例精讲】在括号里填上合适的容积单位。 一桶纯净水约16( )。 一盒牛奶约200( )。 一瓶眼药水约5( )。 一杯水约100( )。 一瓶墨水约40( )。 一壶水约3( )。 【变式训练】小辉口渴了，他一口气喝了300（    ）的水。（1kg水的体积为1） A． B．L C．mL D．kg 【变式训练】在横线上填上适当的单位名称。 (1)一块橡皮的体积约是8______。 (2)一个电水壶的容积约是1.5______。 (3)一辆燃油汽车油箱的容积约是40______。 (4)一瓶醋的容积约是500______。 【变式训练】欢欢和乐乐用棱长为1厘米的小正方体木块玩游戏，如图。假设他们这样一直层层重叠的摆下去，当重叠到五层时，有多少个小正方体？此时这个立体图形的体积是多少立方厘米？ 考点三：长方体与正方体的体积 【典例精讲】求出下面图形的体积。 【变式训练】计算下面图形的体积。（单位：cm） 【变式训练】计算下面图形的体积。（单位：cm） 【变式训练】计算下面图形的体积。 考点四：体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】手工课上，淘气将一块棱长为4厘米的正方体橡皮泥捏成了一个长8厘米、宽4厘米的长方体，这个长方体的高是多少？ 【变式训练】有一块正方体的橡皮泥，它的棱长是8厘米，笑笑把它捏成一个长方体，长方体的长是16厘米，宽是5厘米，这个长方体的高是多少厘米？ 【变式训练】将一个棱长为6厘米的实心正方体铝块熔化后，铸造成一个长为9厘米、宽为4厘米的实心长方体，则长方体的高为( )厘米。 【变式训练】．有一个棱长是12厘米的正方体铁块，要把它熔化后做成长方体，已知长方体的长18厘米，宽6厘米，高是多少厘米？ 考点五：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】一个正方体钢坯的棱长是6分米，把它锻造成横截面积是9平方厘米的长方体钢材，钢材的长是多少分米？ 【变式训练】如图，淘气从一个长方体的顶点处切去一个小正方体后，表面积和体积都减少了。( ) 【变式训练】如图，一些棱长是2cm的小正方体堆放在墙角。这堆小正方体露在外面的面积是( )cm2，这堆小正方体的总体积是( )cm3，至少再加( )个小正方体就组成了一个大正方体。 【变式训练】一个长方体的长是8分米，高和宽都是4分米，把它沿长边截成2个大小相同的正方体，表面积增加( )平方分米，体积总和是( )立方分米。 考点六：体积、容积单位的换算 【典例精讲】在括号里填上合适的数或单位。 ( )  8m3＝( )dm3＝( ) 墨水瓶的容积约是50( ) 集装箱的体积约30( ) 【变式训练】6.85升＝( )毫升             3600立方厘米＝( )立方分米 【变式训练】0.038立方米＝( )立方厘米   8千克40克＝( )千克 3578立方分米＝( )立方米( )立方分米    6.5立方分米＝( )毫升 【变式训练】450平方厘米＝( )平方分米        2300立方厘米＝( )立方分米 3.08立方米＝( )立方分米        60毫升＝( )升 考点七：不规则物体体积的算法（长方体、正方体） 【典例精讲】一个无盖的长方体玻璃容器，长40厘米，宽15厘米，高40厘米，里面盛有一些红色溶液。淘气想知道溶液的深度，他将一根底面边长5厘米，长1米的木条垂直插到容器底部，取出后量得木条被染红的部分长36厘米。原来容器内红色溶液深( )厘米。 【变式训练】一个无水鱼缸（如图）中放有一块高28厘米，体积为4200立方厘米的假山石，如果自来水管以每分7立方分米的流量向鱼缸内注水，至少要多少分钟才能将假山石完全淹没？ 【变式训练】一个长方体水箱，从里面量长5分米，宽4分米，高3分米，箱中水面高2分米，把一个棱长2分米的正方体铁块放入水箱，水面会上升多少分米？（    ） A．0.4分米 B．0.8分米 C．1.2分米 D．1.4分米 【变式训练】一个无盖的玻璃鱼缸，长50厘米，宽30厘米，高35厘米，缸内水位高20厘米（如下图）。 （1）制作这个鱼缸至少需要多少平方厘米的玻璃？ （2）如果向这个鱼缸倒入3000毫升水和一些细沙，这时水面上升到30厘米，倒入了多少立方厘米的细沙（玻璃厚度忽略不计）？ 考点八：组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【变式训练】计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm） 【变式训练】计算下面图形的表面积和体积。 【变式训练】计算下面立体图形的表面积和体积。 综合训练 1．一根长方体木料，长6分米，宽和高都是2分米，它的体积是（    ）立方分米。 A．12 B．24 C．36 D．48 2．一个长方体水箱的容积是100L，这个水箱的底面从里面量是一个边长为5dm的正方形，这个水箱高（    ）dm。 A．20 B．4 C．14 D．0.4 3．张老师用一些正方体木块做教具，学校现有长21cm、宽18cm、高12cm的长方体木料，要使木料充分利用（不能有剩余），又要锯成尽可能大的同样的正方体，正方体的体积应是（    ）cm3。 A．64 B．27 C．54 D．96 4．活字印刷术是用胶泥做成规格一致的毛坯并在一面刻上反体单字，再涂墨印刷。王叔叔用胶泥做了一个棱长为2cm的正方体毛坯，这个毛坯的表面积和体积分别是（    ）。 A．24cm2；16cm3 B．8cm2；24cm3 C．24cm2；8cm3 D．16cm2；24cm3 5．一个长方体的底面是一个周长为30厘米的长方形，高是10厘米，如果它的长与宽都是整厘米数且都是合数，那么这个长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．120 B．240 C．360 D．540 6．如图，一个体积为30立方分米的长方体木块，从顶点挖掉一个棱长为1分米的小正方体后，（    ）。 A．表面积变小，体积变小 B．表面积不变，体积变小 C．表面积变小，体积不变 D．表面积不变，体积不变 7．一个长方体的长、宽、高分别是6cm、5cm、2cm，它的棱长总和是( )cm，体积是( )cm3。 8．2.08立方米＝( )立方分米       360毫升＝( )升 9．在括号里填上合适的单位： 一张课桌的面积约24( )；一瓶眼药水的容量约10( )。 10．往一个长10厘米，宽8厘米的长方体容器中倒入600毫升水（水没有溢出），水面高( )厘米。 11．如图，大长方体是用体积为1立方厘米的小正方体拼成的，这个大长方体的体积是( )立方厘米。 12．在一个无盖的长方体玻璃鱼缸里摆了若干个棱长为1分米的小正方体（如下图），这个玻璃鱼缸的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 13．计算下列图形的表面积和体积。 14．下图是长方体的展开图，求出这个长方体的表面积和体积。 15．一个长方体木块，长10厘米，宽6厘米，高4厘米。把它切成棱长为2厘米的小正方体，一共能切成多少个小正方体？ 16．一个长方体油桶，从里面量长5分米，宽4分米，高3分米。如果每升汽油重0.72千克，这个油桶最多能装汽油多少千克？ 17．食品厂工人要将长和宽都为30厘米、高为15厘米的长方体月饼盒装入长和宽都为60厘米、高为40厘米的长方体纸箱，最多能装几盒？ 18．一个封闭的长方体容器里面装有一部分水，从里面量长方体的长、宽、高分别是10cm，10cm，15cm。小宇不小心把容器碰倒了，长方体容器由图①变为图②。现在水面的高是多少厘米？ 19．图中有A，B，C三个杯子，A杯的容积是700mL，B杯的容积是500mL，C杯的容积是300mL。请你只利用这三个杯子量出100mL的水。 20．向阳村新建了一个长80米，宽60米，深2.5米的蓄水池，这个蓄水池最多可蓄水多少立方米？如果要在蓄水池的四周和底面涂上防水涂料，涂防水涂料的面积是多少平方米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 长方体（二） 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、体积的概念 1 二、常用的体积单位 2 三、长方体和正方体的体积计算公式 2 四、体积单位间的换算 3 五、不规则物体体积的测量方法 3 六、解决问题 3 考点讲练 4 考点一：体积与容积的认识 4 考点二：体积与容积的单位 5 考点三：长方体与正方体的体积 7 考点四：体积的等积变形（长方体、正方体） 10 考点五：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 12 考点六：体积、容积单位的换算 14 考点七：不规则物体体积的算法（长方体、正方体） 16 考点八：组合体的体积（长方体、正方体） 19 综合训练 22 知识梳理 一、体积的概念 1.定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2.与容积的区别：体积是指物体自身所占空间的大小，容积是指容器所能容纳物体的体积。计算体积时，从物体的外部测量数据；计算容积时，从容器的内部测量数据（若容器壁厚度忽略不计，体积和容积的计算方法相同）。 3.生活实例：一个粉笔盒所占的空间大小就是它的体积，一个油箱能装多少汽油就是它的容积。 二、常用的体积单位 1.立方厘米（cm³） 定义：棱长为1厘米的正方体，体积是1立方厘米。 实际大小：大约是一个手指尖的体积，一颗骰子的体积接近1立方厘米。 应用：计量较小物体的体积，如橡皮、骰子等。 2.立方分米（dm³） 定义：棱长为1分米的正方体，体积是1立方分米。 实际大小：一个粉笔盒的体积大约是1立方分米。 应用：计量中等大小物体的体积，如书本、文具盒等。 3.立方米（m³） 定义：棱长为1米的正方体，体积是1立方米。 实际大小：一个洗衣机的体积大约是1立方米。 应用：计量较大物体的体积，如冰箱、衣柜、房间的容积等。 4.容积单位：升（L）和毫升（mL），1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米。 三、长方体和正方体的体积计算公式 1.长方体的体积 公式推导：长方体的体积可以看作是由若干个棱长为1厘米的小正方体组成，每行的个数是长，行数是宽，层数是高，所以体积=长×宽×高。 计算公式：长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为(V = a×b×h)（其中(a)表示长，(b)表示宽，(h)表示高）。 示例：一个长方体的长是5厘米，宽是3厘米，高是2厘米，体积为(5×3×2 = 30)（立方厘米）。 2.正方体的体积 公式推导：正方体是特殊的长方体，长、宽、高都相等，所以正方体的体积=棱长×棱长×棱长。 计算公式：正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示为(V = a×a×a = a³)（其中(a)表示棱长）。 示例：一个正方体的棱长是4分米，体积为(4×4×4 = 64)（立方分米）。 3.统一公式：长方体（或正方体）的体积=底面积×高，用字母表示为(V = S×h)（其中(S)表示底面积，(h)表示高）。对于长方体，底面积(S = a×b)；对于正方体，底面积(S = a×a)。 四、体积单位间的换算 1.相邻体积单位间的进率：每相邻两个体积单位之间的进率是1000。 1立方米=1000立方分米（(1m³ = 1000dm³)） 1立方分米=1000立方厘米（(1dm³ = 1000cm³)） 1立方米=1000000立方厘米（(1m³ = 1000000cm³)） 2.换算方法：高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率。 示例1：3立方米=（3×1000）立方分米=3000立方分米 示例2：5000立方厘米=（5000÷1000）立方分米=5立方分米 五、不规则物体体积的测量方法 1.排水法 步骤： 1.在一个有刻度的量杯中倒入适量的水，记录此时水的体积 2.将不规则物体完全浸没在水中（确保水不溢出），记录此时水和物体的总体积。 3.不规则物体的体积(V = -)。 注意事项：物体要完全浸没在水中，且量杯中的水不能溢出。 示例：量杯中原有水200毫升，放入石块后水面上升到350毫升，石块的体积是(350 - 200 = 150)（毫升），即150立方厘米。 六、解决问题 1.计算长方体或正方体容器的容积：方法与计算体积相同，若容器壁厚度忽略不计，容积=长×宽×高（或棱长×棱长×棱长）。 示例：一个长方体水箱，长5分米，宽4分米，高3分米，它的容积是(5×4×3 = 60)（立方分米），即60升。 2.根据体积求长方体的长、宽或高：利用公式(a = V÷b÷h)，(b = V÷a÷h)，(h = V÷a÷b)。 示例：一个长方体的体积是120立方厘米，长是6厘米，宽是5厘米，高是(120÷6÷5 = 4)（厘米）。 3.体积单位换算在实际问题中的应用：解决问题时，要注意单位统一。 示例：一个正方体的棱长是2米，它的体积是多少立方分米？先将棱长单位换算成分米，2米=20分米，体积为(20×20×20 = 8000)（立方分米）。 考点讲练 考点一：体积与容积的认识 【典例精讲】一瓶牛奶250毫升，（    ）瓶正好是1升。 A．4 B．5 C．10 【答案】A 【分析】1升＝1000毫升，1000里面有几个250，就是几瓶这样的牛奶是1升。 【详解】250×4＝1000（毫升） 1000毫升＝1升 一瓶牛奶250毫升，4瓶正好是1升。 故答案为：A 【变式训练】下面盒子中，容积最大的是( )，容积最小的是( )。（填序号） 【答案】 ② ① 【分析】观察发现，②号盒子中物品摆放得最密集，说明其内部空间相对较大；①号盒子中物品摆放相对稀疏，说明其内部空间相对较小。据此解答。 【详解】根据分析得： 下面盒子中，容积最大的是②，容积最小的是①。 【变式训练】下面物品中，体积最大的是( )，体积最小的是( )。 【答案】 书包 橡皮 【分析】物体所占空间的大小叫做物体的体积；据此解答。 【详解】根据分析可知： 体积最大的是（书包），体积最小的是（橡皮）。 【变式训练】做一个塑料油桶，要用多少塑料是求油桶的（    ），这个油桶占多大的空间是求油桶的（    ），油桶能装多少豆油是求油桶的（    ）。 A． 表面积；体积；容积 B．容积；体积；表面积 C．表面积；周长；体积 D．周长；体积；表面积 【答案】A 【分析】表面积是物体所有表面的面积之和，求制作油桶所需的塑料量是指油桶表面的面积总和，即是求油桶的表面积；物体所占空间的大小称为体积，求油桶占多大空间即是求油桶的体积；容器所能容纳物体的体积称为容积，求油桶能装多少豆油即是求油桶的容积。据此选择即可。 【详解】根据分析得： 做一个塑料油桶，要用多少塑料是求油桶的表面积，这个油桶占多大的空间是求油桶的体积，油桶能装多少豆油是求油桶的容积。 故答案为：A 考点二：体积与容积的单位 【典例精讲】在括号里填上合适的容积单位。 一桶纯净水约16( )。 一盒牛奶约200( )。 一瓶眼药水约5( )。 一杯水约100( )。 一瓶墨水约40( )。 一壶水约3( )。 【答案】 L mL mL mL mL L 【分析】根据生活经验、对容积单位和数据大小的认识选择合适的计量单位即可。 【详解】一桶纯净水约16L； 一盒牛奶约200mL； 一瓶眼药水约5mL； 一杯水约100mL； 一瓶墨水约40mL； 一壶水约3L。 【变式训练】小辉口渴了，他一口气喝了300（    ）的水。（1kg水的体积为1） A． B．L C．mL D．kg 【答案】C 【分析】常用的容积单位有升、毫升，1瓶矿泉水的容积大约是500毫升，2瓶矿泉水的容积大约是1升，常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，1立方厘米大约是1个粉笔头的体积，1立方分米相当于2瓶矿泉水的体积，1立方米＝1000立方分米，据此逐项分析解答。 【详解】A．300的水极大，一个人一口气不可能喝300的水，该选项不符合题意； B．1L＝1，300L＝300kg，没有人一口气能喝300L的水，不符合题意； C．300mL比半瓶矿泉水多一点，所以他一口气喝了300mL的水符合题意； D．300kg＝300L，没有人一口气能喝300L的水，不符合题意。 故答案为：C 【变式训练】在横线上填上适当的单位名称。 (1)一块橡皮的体积约是8______。 (2)一个电水壶的容积约是1.5______。 (3)一辆燃油汽车油箱的容积约是40______。 (4)一瓶醋的容积约是500______。 【答案】(1)立方厘米/cm3 (2)升/L (3)升/L (4)毫升/mL 【分析】棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，大约是1个手指头的大小，1立方厘米＝1毫升；棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，大约是2个拳头的大小，1立方分米＝1升。据此根据体积和容积单位的认识，以及生活经验进行填空。 【详解】（1）一块橡皮的体积约是8立方厘米。 （2）一个电水壶的容积约是1.5升。 （3）一辆燃油汽车油箱的容积约是40升。 （4）一瓶醋的容积约是500毫升。 【变式训练】欢欢和乐乐用棱长为1厘米的小正方体木块玩游戏，如图。假设他们这样一直层层重叠的摆下去，当重叠到五层时，有多少个小正方体？此时这个立体图形的体积是多少立方厘米？ 【答案】35个；35立方厘米 【分析】第1个图形有1个小正方体，第2个图形有（1＋3）个小正方体，第3个图形有（1＋3＋6）个小正方体，第4个图形有（1＋3＋6＋10）个小正方体，第5个图形有（1＋3＋6＋10＋15）个小正方体，立体图形的体积＝一个小正方体的体积×小正方体的个数；据此解答。 【详解】1＋3＋6＋10＋15 ＝4＋6＋10＋15 ＝10＋10＋15 ＝20＋15 ＝35（个） 1×35＝35（立方厘米） 答：当重叠到五层时，有35个小正方体，此时这个立体图形的体积是35立方厘米。 考点三：长方体与正方体的体积 【典例精讲】求出下面图形的体积。 【答案】21.5dm³ 【分析】已知长方体的底面积是8.6平方分米，高是2.5分米，根据长方体的体积＝底面积×高，把数值代入公式，即可算出长方体的体积。 【详解】（立方分米） 长方体的体积是21.5立方分米。 【变式训练】计算下面图形的体积。（单位：cm） 【答案】120cm3 【分析】从图中可知长方体长是10cm、宽是3cm、高是4cm，长方体体积＝长×宽×高，根据公式计算解答。 【详解】（） 所以该图形的体积是120。 【变式训练】计算下面图形的体积。（单位：cm） 【答案】512cm³ 【分析】已知正方体的棱长是8厘米，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，把数值代入公式即可算出正方体的体积，据此解答。 【详解】 （立方厘米） 正方体的体积是512立方厘米。 【变式训练】计算下面图形的体积。 【答案】8dm3 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，根据公式解答。 【详解】（dm3） 考点四：体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】手工课上，淘气将一块棱长为4厘米的正方体橡皮泥捏成了一个长8厘米、宽4厘米的长方体，这个长方体的高是多少？ 【答案】2厘米 【分析】由题意可知，把正方体的橡皮泥捏成一个长方体，则橡皮泥的体积不变，先根据“”求出正方体的体积，即这个长方体的体积，再利用“”求出这个长方体的高，据此解答。 【详解】4×4×4÷8÷4 ＝16×4÷8÷4 ＝64÷8÷4 ＝8÷4 ＝2（厘米） 答：这个长方体的高是2厘米。 【变式训练】有一块正方体的橡皮泥，它的棱长是8厘米，笑笑把它捏成一个长方体，长方体的长是16厘米，宽是5厘米，这个长方体的高是多少厘米？ 【答案】6.4厘米 【分析】已知一块正方体橡皮泥的棱长是8厘米，根据正方体的体积公式V＝a3，求出橡皮泥的体积； 把这块正方体橡皮泥捏成一个长方体，橡皮泥的体积不变；根据长方体的体积＝长×宽×高，可知长方体的高＝体积÷（长×宽），代入数据计算，求出这个长方体的高。 【详解】8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方厘米） 512÷（16×5） ＝512÷80 ＝6.4（厘米） 答：这个长方体的高是6.4厘米。 【变式训练】将一个棱长为6厘米的实心正方体铝块熔化后，铸造成一个长为9厘米、宽为4厘米的实心长方体，则长方体的高为( )厘米。 【答案】 6 【分析】由题意可知，长方体的体积与正方体体积相等，根据可求出体积，再根据的逆运算，用体积除以长方体的长再除以宽，即可得解。 【详解】 （厘米） 将一个棱长为6厘米的实心正方体铝块熔化后，铸造成一个长为9厘米、宽为4厘米的实心长方体，则长方体的高为6厘米。 【变式训练】．有一个棱长是12厘米的正方体铁块，要把它熔化后做成长方体，已知长方体的长18厘米，宽6厘米，高是多少厘米？ 【答案】16厘米 【分析】正方体铁块熔铸成长方体后体积不变，即正方体的体积等于长方体的体积。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，先算出正方体的体积，再根据长方体的高＝体积÷长÷宽，代入数据计算，就能得到长方体的高。 【详解】12×12×12＝1728（立方厘米） 1728÷18÷6＝16（厘米） 答：高是16厘米。 考点五：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】一个正方体钢坯的棱长是6分米，把它锻造成横截面积是9平方厘米的长方体钢材，钢材的长是多少分米？ 【答案】2400分米 【分析】由题意可知，正方体体积与长方体体积相等，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据先求出正方体体积，也是长方体体积； 再根据长方体的体积＝底面积×高的逆运算，用长方体体积除以横截面积，即可求出钢材的长度。注意单位的换算：1平方分米＝100平方厘米。 【详解】9平方厘米＝0.09平方分米 （分米） 答：钢材的长是2400分米。 【变式训练】如图，淘气从一个长方体的顶点处切去一个小正方体后，表面积和体积都减少了。( ) 【答案】√ 【分析】根据图形可知，淘气从一个长方体的顶点处切去一个小正方体后，表面积减少4个小正方形面积，增加2个小正方形面积，所以长方体的表面积减少了，体积也减少了，据此判断即可。 【详解】如图，淘气从一个长方体的顶点处切去一个小正方体后，表面积和体积都减少了，说法正确。 故答案为：√ 【变式训练】如图，一些棱长是2cm的小正方体堆放在墙角。这堆小正方体露在外面的面积是( )cm2，这堆小正方体的总体积是( )cm3，至少再加( )个小正方体就组成了一个大正方体。 【答案】 68 80 17 【分析】由图可知，从上面看有7个小正方形面；从前面看有5个小正方形面；从右面看有5个小正方形面，共7＋5＋5＝17个小正方形面，求出一个面的面积再乘17，即可求出这堆小正方体露在外面的面积；一层一层的从下往上数，第一层有3个小正方体，第二层有7个小正方体，所以一共有3＋7＝10个小正方体；根据正方体体积V＝a3，求出一个，小正方体的体积，再乘10即可求出总体积；以棱长上小正方体最多的棱为大正方体棱上小正方体的个数，求出大正方体中有多少个小正方体，再减去已有的个数即可。 【详解】（7＋5＋5）×（2×2） ＝17×4 ＝68（cm2） 2×2×2×（3＋7） ＝4×2×10 ＝8×10 ＝80（cm3） 3×3×3－10 ＝9×3－10 ＝27－10 ＝17（个） 这堆小正方体露在外面的面积是68cm2，这堆小正方体的总体积是80cm3，至少再加17个小正方体就组成了一个大正方体。 【变式训练】一个长方体的长是8分米，高和宽都是4分米，把它沿长边截成2个大小相同的正方体，表面积增加( )平方分米，体积总和是( )立方分米。 【答案】 32 128 【分析】根据题意可知，把这个长方体横截成两个大小相同的正方体，表面积增加两个截面的面积，两个正方体的体积总和等于原来长方体的体积，根据正方形的面积＝边长×边长，长方体的体积＝abh，代入数据解答即可。 【详解】4×4×2 ＝16×2 ＝32（平方分米） 8×4×4 ＝32×4 ＝128（立方分米） 表面积增加32平方分米，体积总和是128立方分米。 考点六：体积、容积单位的换算 【典例精讲】在括号里填上合适的数或单位。 ( )  8m3＝( )dm3＝( ) 墨水瓶的容积约是50( ) 集装箱的体积约30( ) 【答案】 3.05 8000 8000 毫升/mL 立方米/m3 【分析】因为1L＝1000mL，将mL换算成L要除以进率。 因为1m3＝1000dm3，将m3换算成dm3要乘进率。 因为一瓶牛奶的容积约是200毫升，所以形容墨水瓶的容积用毫升作单位比较合适。 一间书房的体积约是60立方米，所以形容集装箱的体积用立方米作单位比较合适。 【详解】1L＝1000mL，3050÷1000＝3.05（L），所以3050mL＝3.05L； 1m3＝1000dm3，1dm3＝1L，8×1000＝8000（dm3），所以8m3＝8000dm3＝8000L； 墨水瓶的容积约是50毫升（mL）； 集装箱的体积约30立方米（m3）。 【变式训练】6.85升＝( )毫升             3600立方厘米＝( )立方分米 【答案】 6850 3.6 【分析】升与毫升之间的进率为1000，升单位换算成毫升乘进率，立方厘米与立方分米的进率是1000，立方厘米单位换算成立方分米除以进率。由此解答。 【详解】 所以6.85升＝6850毫升，3600立方厘米＝3.6立方分米。 【变式训练】0.038立方米＝( )立方厘米   8千克40克＝( )千克 3578立方分米＝( )立方米( )立方分米    6.5立方分米＝( )毫升 【答案】 38000 8.04 3 578 6500 【分析】根据1立方米＝1000000立方厘米，1千克＝1000克，1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1升，1升＝1000毫升，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。其中复名数换单名数，只换算单位不同的部分，再与单位相同的部分合起来即可；单名数换复名数，将3578立方分米拆成（3000立方分米＋578立方分米），只换算3000立方分米即可。 【详解】0.038×1000000＝38000（立方厘米），0.038立方米＝38000立方厘米 40÷1000＝0.04（千克）、8＋0.04＝8.04（千克），8千克40克＝8.04千克 3578立方分米＝3000立方分米＋578立方分米，3000÷1000＝3（立方米） 3578立方分米＝3立方米578立方分米 6.5立方分米＝6.5升，6.5×1000＝6500（毫升），6.5立方分米＝6500毫升 【变式训练】450平方厘米＝( )平方分米        2300立方厘米＝( )立方分米 3.08立方米＝( )立方分米        60毫升＝( )升 【答案】 4.5 2.3 3080 0.06 【分析】根据1平方分米＝100平方厘米，1立方分米＝1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，1升＝1000毫升，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。 【详解】450÷100＝4.5（平方分米）；2300÷1000＝2.3（立方分米） 3.08×1000＝3080（立方分米）；60÷1000＝0.06（升） 450平方厘米＝4.5平方分米；2300立方厘米＝2.3立方分米 3.08立方米＝3080立方分米；60毫升＝0.06升 考点七：不规则物体体积的算法（长方体、正方体） 【典例精讲】一个无盖的长方体玻璃容器，长40厘米，宽15厘米，高40厘米，里面盛有一些红色溶液。淘气想知道溶液的深度，他将一根底面边长5厘米，长1米的木条垂直插到容器底部，取出后量得木条被染红的部分长36厘米。原来容器内红色溶液深( )厘米。 【答案】34.5 【分析】根据长方体的体积＝底面积×高＝长×宽×高，先求出木条被染红的部分体积。再求出长40厘米，宽15厘米，高36厘米的长方体的体积（溶液的体积＋木条被染红的部分体积），减去木条被染红的部分体积，即可求出溶液的体积。根据长方体的高（深）＝体积÷底面积，用溶液的体积除以长方体玻璃容器的底面积，即可求出原来容器内红色溶液深多少厘米。 【详解】40×15×36－5×5×36 ＝（40×15－5×5）×36 ＝（600－25）×36 ＝575×36 ＝20700（立方厘米） 20700÷（40×15） ＝20700÷600 ＝34.5（厘米） 原来容器内红色溶液深34.5厘米。 【变式训练】一个无水鱼缸（如图）中放有一块高28厘米，体积为4200立方厘米的假山石，如果自来水管以每分7立方分米的流量向鱼缸内注水，至少要多少分钟才能将假山石完全淹没？ 【答案】3分钟 【分析】假山石高28厘米，只有水面高度达到28厘米，才能将假山石完全淹没。根据长方体的体积＝长×宽×高，求出长45厘米，宽20厘米，高28厘米的长方体的体积（水与假山石的体积之和），再减去假山石的体积，就得注水的体积。根据1立方分米＝1000立方厘米，将水的体积换算成立方分米。最后根据每分注水7立方分米，用水的体积除以7即可求出注水时间。 【详解】45×20×28－4200 ＝25200－4200 ＝21000（立方厘米） 21000立方厘米＝21立方分米 21÷7＝3（分钟） 答：至少要3分钟才能将假山石完全淹没。 【变式训练】一个长方体水箱，从里面量长5分米，宽4分米，高3分米，箱中水面高2分米，把一个棱长2分米的正方体铁块放入水箱，水面会上升多少分米？（    ） A．0.4分米 B．0.8分米 C．1.2分米 D．1.4分米 【答案】A 【分析】水箱中的水面高度＝正方体铁块棱长，将正方体铁块放入水箱，铁块完全浸入水中，水面上升的体积就是铁块的体积，根据正方体棱长＝棱长×棱长×棱长，求出水面上升的体积，再根据长方体的高＝体积÷底面积，即可求出水面上升的高度。 【详解】2×2×2÷（5×4） ＝8÷20 ＝0.4（分米） 水面会上升0.4分米。 故答案为：A 【变式训练】一个无盖的玻璃鱼缸，长50厘米，宽30厘米，高35厘米，缸内水位高20厘米（如下图）。 （1）制作这个鱼缸至少需要多少平方厘米的玻璃？ （2）如果向这个鱼缸倒入3000毫升水和一些细沙，这时水面上升到30厘米，倒入了多少立方厘米的细沙（玻璃厚度忽略不计）？ 【答案】（1）7100平方厘米 （2）12000立方厘米 【分析】（1）这个无盖的玻璃鱼缸有下面和前后左右面积，玻璃的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算即可，求出需要玻璃的面积。 （2）3000毫升＝3000立方厘米。水面从20厘米上升到30厘米，上升了30－20＝10厘米，这高10厘米的长方体的体积就是倒入的水和细沙的体积之和。根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据计算，求出体积之和，再减去水的体积，就是沙子的体积。 【详解】（1）50×30＋50×35×2＋30×35×2 ＝1500＋3500＋2100 ＝7100（平方厘米） 答：制作这个鱼缸至少需要7100平方厘米的玻璃。 （2）3000毫升＝3000立方厘米 50×30×（30－20）－3000 ＝50×30×10－3000 ＝15000－3000 ＝12000（立方厘米） 答：倒入了12000立方厘米的细沙。 考点八：组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】表面积：730平方厘米 体积：1000立方厘米 【分析】计算立体图形的表面积时，先按完整大长方体计算表面积，再减去凹槽处两个小正方形面积，加上凹槽处两个小长方形面积； 计算体积时，用大长方体的体积减去凹槽处小长方体的体积，据此解答。 【详解】表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 【变式训练】计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】580cm2；776cm3 【分析】看图可知，长方体的棱上挖去一个正方体，减少了2个正方形的面，又出现了4个正方形的面，因此这个立体图形的表面积＝完整的长方体表面积＋正方形面积×2，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；这个立体图形的体积＝长方体体积－正方体体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】（12×10＋12×7＋10×7）×2＋4×4×2 ＝（120＋84＋70）×2＋32 ＝274×2＋32 ＝548＋32 ＝580（cm2） 12×10×7－4×4×4 ＝840－64 ＝776（cm3） 这个立体图形的表面积和体积分别是580cm2、776cm3。 【变式训练】计算下面图形的表面积和体积。 【答案】178；142 【分析】图形的表面积等于长是6cm、宽是5cm、高是5cm的长方体的表面积加上边长为2cm的两个正方形的面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可； 图形的体积等于长是6cm、宽是5cm、高是5cm的长方体的体积减去棱长是2cm的正方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。 【详解】（6×5＋6×5＋5×5）×2＋2×2×2 ＝（30＋30＋25）×2＋4×2 ＝（60＋25）×2＋8 ＝85×2＋8 ＝170＋8 ＝178（） 6×5×5－2×2×2 ＝30×5－4×2 ＝150－8 ＝142（） 【变式训练】计算下面立体图形的表面积和体积。 【答案】152平方分米；88立方分米 【分析】由图可知：在大长方体的顶点处去掉一个小长方体，虽然体积减少了，但是表面积不变。根据长方体的表面积S＝（ab＋ah＋bh）×2，求出立体图形的表面积。长方体的体积V＝abh，用大长方体的体积减去小长方体的体积，求出立体图形的体积。 【详解】立体图形的表面积： ＝（48＋16＋12）×2 ＝（64＋12）×2 ＝76×2 ＝152（平方分米） 立体图形的体积： ＝48×2－4×2×1 ＝96－8 ＝88（立方分米） 图形的表面积是152平方分米，体积是88立方分米。 综合训练 1．一根长方体木料，长6分米，宽和高都是2分米，它的体积是（    ）立方分米。 A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】已知长方体木料的长是6分米，宽和高都是2分米，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入长、宽、高的数值，即可求出长方体木料的体积。 【详解】6×2×2 ＝12×2 ＝24（立方分米） 所以一根长方体木料，长6分米，宽和高都是2分米，它的体积是24立方分米。 故答案为：B 2．一个长方体水箱的容积是100L，这个水箱的底面从里面量是一个边长为5dm的正方形，这个水箱高（    ）dm。 A．20 B．4 C．14 D．0.4 【答案】B 【分析】一个长方体水箱的容积是100L，这个水箱的底面从里面量是一个边长为5dm的正方形，先根据正方形的面积＝边长×边长，求出底面积，再根据长方体的体积＝底面积×高，反推出高＝体积÷底面积，求出水箱的高，据此解答。 【详解】100升＝100立方分米 （分米） 所以这个水箱高4分米。 故答案为：B 3．张老师用一些正方体木块做教具，学校现有长21cm、宽18cm、高12cm的长方体木料，要使木料充分利用（不能有剩余），又要锯成尽可能大的同样的正方体，正方体的体积应是（    ）cm3。 A．64 B．27 C．54 D．96 【答案】B 【分析】要使锯成的正方体尽可能大且木料无剩余，正方体的棱长需是长方体木料长、宽、高的公因数，即21、18、12的公因数，最大棱长即为这三个数的最大公因数。求最大公因数可通过列举各数的因数，找出共有的最大因数。 21的因数有：1、3、7、21；18的因数有：1、2、3、6、9、18；12的因数有：1、2、3、4、6、12；因此它们的最大公因数：3，所以正方体的棱长为3厘米，根据正方体的体积公式求出正方体的体积，即立方厘米，据此解答。 【详解】由分析可知，张老师用一些正方体木块做教具，学校现有长21厘米、宽18厘米、高12厘米的长方体木料，要使木料充分利用（不能有剩余），又要锯成尽可能大的同样的正方体，正方体的体积应是27立方厘米。 故答案为：B 4．活字印刷术是用胶泥做成规格一致的毛坯并在一面刻上反体单字，再涂墨印刷。王叔叔用胶泥做了一个棱长为2cm的正方体毛坯，这个毛坯的表面积和体积分别是（    ）。 A．24cm2；16cm3 B．8cm2；24cm3 C．24cm2；8cm3 D．16cm2；24cm3 【答案】C 【分析】已知正方体的棱长为2cm，根据正方体的表面积公式、正方体的体积公式，即可求出正方体的表面积和体积，据此解答。 【详解】表面积：（cm2） 体积：（cm3） 故答案为：C 5．一个长方体的底面是一个周长为30厘米的长方形，高是10厘米，如果它的长与宽都是整厘米数且都是合数，那么这个长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．120 B．240 C．360 D．540 【答案】D 【分析】先根据公式：长方形的周长＝（长＋宽）×2，可得：长＋宽＝周长÷2，代入数据计算，求出长和宽的和为：30÷2＝15（厘米）；合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。小于15的合数有4、6、8、9、10、12、14，只有6＋9＝15，所以长方体底面长方形的长是9厘米，宽是6厘米。再根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出这个长方体的体积。 【详解】30÷2＝15（厘米） 小于15的合数有4、6、8、9、10、12、14。 6＋9＝15，长方体底面长方形的长是9厘米，宽是6厘米 9×6×10＝540（立方厘米） 即这个长方体的体积540立方厘米。 故答案为：D 6．如图，一个体积为30立方分米的长方体木块，从顶点挖掉一个棱长为1分米的小正方体后，（    ）。 A．表面积变小，体积变小 B．表面积不变，体积变小 C．表面积变小，体积不变 D．表面积不变，体积不变 【答案】B 【分析】长方体的体积是其占据空间的大小，表面积是其所有面的面积总和；正方体是特殊的长方体。需要分别分析从长方体顶点挖掉小正方体后表面积和体积的变化情况。 【详解】长方体木块原本体积是30立方分米，从顶点挖掉一个棱长为1分米的小正方体。因为小正方体占据了一定的空间，挖掉它后，整个物体所占据的空间就减少了小正方体的体积。所以挖掉小正方体后，体积变小了。从长方体顶点挖掉一个小正方体后，原本被小正方体遮挡的3个新面会露出来，这3个新面的面积刚好与原来小正方体露在外面、被挖掉后消失的3个面的面积相等，所以表面积保持不变。 即一个体积为30立方分米的长方体木块，从顶点挖掉一个棱长为1分米的小正方体后，表面积不变，体积变小。 故答案为：B 7．一个长方体的长、宽、高分别是6cm、5cm、2cm，它的棱长总和是( )cm，体积是( )cm3。 【答案】 52 60 【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体的体积＝长×宽×高，据此代入数据列式计算即可。 【详解】（6＋5＋2）×4 ＝（11＋2）×4 ＝13×4 ＝52（cm） 6×5×2 ＝30×2 ＝60（cm3） 一个长方体的长、宽、高分别是6cm、5cm、2cm，它的棱长总和是52cm，体积是60cm3。 8．2.08立方米＝( )立方分米       360毫升＝( )升 【答案】 2080 0.36 【分析】单位换算的方法：低级单位换算成高级单位除以进率，高级单位换算成低级单位乘进率，1立方米＝1000立方分米，1升＝1000毫升，据此换算单位即可。 【详解】2.08×1000＝2080（立方分米） 360÷1000＝0.36（升） 2.08立方米＝2080立方分米；360毫升＝0.36升。 9．在括号里填上合适的单位： 一张课桌的面积约24( )；一瓶眼药水的容量约10( )。 【答案】 平方分米/ 毫升/ 【分析】常用的面积单位有平方厘米、平方分米、平方米，一个指甲盖的大小大约是1平方厘米，一个手掌的大小大约是1平方分米，一扇窗户的大小大约是1平方米；“升”是较大的容积单位，1大瓶果汁约是1升，可用于测量冰箱容积、水桶容量等，“毫升”是比较小的容积单位，1毫升水大约只有十几滴，可用于测量如药水、饮料容量等。据此解答。 【详解】课桌的面积通常用平方分米来度量，24平方分米符合一张课桌面积的实际大小，所以一张课桌的面积约24平方分米。 眼药水的容量较小，通常用毫升作为单位，10毫升符合一瓶眼药水容量的实际情况，所以一瓶眼药水的容量约10毫升。 10．往一个长10厘米，宽8厘米的长方体容器中倒入600毫升水（水没有溢出），水面高( )厘米。 【答案】7.5// 【分析】首先根据容积单位与体积单位之间的关系，1毫升＝1立方厘米，把600毫升换算成600立方厘米，用水的体积除以容器的底面积即可求出水的高度，据此解答。 【详解】600÷（10×8） ＝600÷80 ＝7.5（厘米） 故水面高7.5厘米。 11．如图，大长方体是用体积为1立方厘米的小正方体拼成的，这个大长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】36 【分析】从图中可以看出，大长方体的长包含4个小正方体的棱长，宽包含3个小正方体的棱长，高包含3个小正方体的棱长。因为小正方体的体积是1立方厘米，可知小正方体的棱长是1厘米。所以大长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是3厘米。根据长方体体积公式V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为高），把数据代入计算即可。 【详解】大长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是3厘米。 4×3×3＝36（立方厘米） 这个大长方体的体积是36立方厘米。 12．在一个无盖的长方体玻璃鱼缸里摆了若干个棱长为1分米的小正方体（如下图），这个玻璃鱼缸的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 96 90 【分析】由图可知，长方体鱼缸的长可以放下6个棱长为1分米的小正方体，所以长为6分米；宽可以放下5个棱长为1分米的小正方体，所以宽为5分米；高可以放下3个棱长为1分米的小正方体，所以高为3分米。 因为是无盖的长方体玻璃鱼缸，所以计算表面积时需要少计算一个（长×宽）的面积，即无盖长方体鱼缸表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，把长6分米，宽5分米，高3分米代入计算即可得出玻璃鱼缸的表面积；长方体体积公式为：体积＝长×宽×高，把数据代入计算即可得出该鱼缸的体积。 【详解】长方体鱼缸长为6分米；宽为5分米；高为3分米。 6×5＋6×3×2＋5×3×2 ＝30＋36＋30 ＝66＋30 ＝96（平方分米） 6×5×3＝90（立方分米） 这个玻璃鱼缸的表面积是96平方分米，体积是90立方分米。 13．计算下列图形的表面积和体积。 【答案】（1）136cm2；体积是96cm3（2）486dm2；体积是729dm3 【分析】（1）该图形是长方体，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入相应数值计算即可。 （2）该图形是正方体，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入相应数值计算即可。 【详解】（1）表面积：（8×3＋8×4＋4×3）×2 ＝（24＋32＋12）×2 ＝68×2 ＝136（cm2） 体积：8×4×3＝96（cm3） 因此长方体的表面积是136cm2，体积是96cm3。 （2）表面积：9×9×6＝486（dm2） 体积：9×9×9＝729（dm3） 因此正方体的表面积是486dm2，体积是729dm3。 14．下图是长方体的展开图，求出这个长方体的表面积和体积。 【答案】表面积：158平方分米；体积：120立方分米 【分析】观察图形可知，长方体的长是8分米，宽是5分米，高是3分米；根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】长方体的长是8分米，宽是5分米，高是3分米。 表面积：（8×5＋8×3＋5×3）×2 ＝（40＋24＋15）×2 ＝（64＋15）×2 ＝79×2 ＝158（平方分米） 体积：8×5×3 ＝40×3 ＝120（立方分米） 长方体的表面积是158平方分米，体积是120立方米。 15．一个长方体木块，长10厘米，宽6厘米，高4厘米。把它切成棱长为2厘米的小正方体，一共能切成多少个小正方体？ 【答案】30个 【分析】分析题目，根据长方体和正方体的特征：可以分别用长方体的长、宽、高除以切成的小正方体的棱长即可得到沿着长、宽、高方向分别可以切的个数，再把长、宽、高方向上的数量相乘即可解答。 【详解】（10÷2）×（6÷2）×（4÷2） ＝5×（6÷2）×（4÷2） ＝5×3×（4÷2） ＝5×3×2 ＝15×2 ＝30（个） 答：一共能切成30个小正方体。 16．一个长方体油桶，从里面量长5分米，宽4分米，高3分米。如果每升汽油重0.72千克，这个油桶最多能装汽油多少千克？ 【答案】 43.2千克 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，据此代入数据求出长方体的容积，再根据1升＝1立方分米把单位换算成升，再乘每升汽油的重量即可解答。 【详解】5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方分米） 60立方分米＝60升 60×0.72＝43.2（千克） 答：这个油桶最多能装汽油43.2千克。 17．食品厂工人要将长和宽都为30厘米、高为15厘米的长方体月饼盒装入长和宽都为60厘米、高为40厘米的长方体纸箱，最多能装几盒？ 【答案】8盒 【分析】根据题意：纸箱的长÷月饼盒的长＝沿纸箱长可以放的盒数，纸箱的宽÷月饼盒的宽＝沿纸箱宽可以放的盒数，纸箱的高÷月饼盒的高＝沿纸箱高可以放的盒数……剩下的高，沿纸箱长可以放的盒数×沿纸箱宽可以放的盒数×沿纸箱高可以放的盒数＝纸箱最多能装的盒数。 【详解】60÷30＝2（盒） 60÷30＝2（盒） 40÷15＝2（盒）……10（厘米） 2×2×2 ＝4×2 ＝8（盒） 答：最多能装8盒。 18．一个封闭的长方体容器里面装有一部分水，从里面量长方体的长、宽、高分别是10cm，10cm，15cm。小宇不小心把容器碰倒了，长方体容器由图①变为图②。现在水面的高是多少厘米？ 【答案】 6厘米 【分析】根据题意可知，图①中的水深9厘米，此时容器的长是10厘米、宽是10厘米，根据长方体的体积公式，即可求出水的体积；长方体容器由图①变成图②，容器内水的体积不变，此时容器的长是15厘米、宽是10厘米，再根据，求出现在水面的高，据此解答。 【详解】水的体积：（立方厘米） 现在水面的高：（厘米） 答：现在水面的高是6厘米。 19．图中有A，B，C三个杯子，A杯的容积是700mL，B杯的容积是500mL，C杯的容积是300mL。请你只利用这三个杯子量出100mL的水。 【答案】详见解析。 【分析】观察发现，（mL），因此可以将B杯和C杯倒满水，再将B杯和C杯的水依次倒入A杯中，水满即止，C杯中剩下的水就是100mL。 【详解】（mL） 答：B杯和C杯倒满水，先把B杯全部倒入A杯中，此时A杯有500mL的水；再把C杯也倒入A杯中，A杯中水满即止，此时C杯剩下的水就是100mL。（答案不唯一） 【点睛】本题的关键在于利用已有3个杯子的容积凑出差为100mL的算式，再运用操作量出100mL。 20．向阳村新建了一个长80米，宽60米，深2.5米的蓄水池，这个蓄水池最多可蓄水多少立方米？如果要在蓄水池的四周和底面涂上防水涂料，涂防水涂料的面积是多少平方米？ 【答案】12000立方米；5500平方米 【分析】对于求蓄水池最多可蓄水多少立方米，就是求这个长方体蓄水池的容积，运用长方体体积公式：。而求涂防水涂料的面积，就是求这个长方体蓄水池去掉上面那个面后的表面积，运用长方体表面积公式：，这里去掉一个顶面的面积。 【详解】 （立方米） （平方米） 答：这个蓄水池最多可蓄水12000立方米，涂防水涂料的面积是5500立方米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $