数学好玩 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）-2025-2026学年北师大版数学五年级下册

数学好玩 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、设计活动方案 1 二、图形中的规律 2 三、包装的学问 2 考点讲练 3 考点一：“象征性”长跑 3 考点二：平面图形与立体图形的对应 6 考点三：包装中的最优化问题 7 综合训练 9 知识梳理 一、设计活动方案 1. 活动方案的基本要素 包括活动名称、活动目的、活动对象、活动时间、活动地点、活动步骤、所需材料、注意事项等。其中，活动目的需明确要解决的问题或达成的目标（如“调查五年级学生最喜欢的课间活动”）；活动步骤需具体可操作，涵盖准备、实施、总结等环节。 2. 设计步骤与方法 明确问题：确定研究主题（如“同学们每天的睡眠时间是否充足”），提出具体可研究的问题（如“五年级学生平均每天睡眠时间是多少？”“不同班级的睡眠时间是否有差异？”）。 设计方案：围绕问题规划流程，例如： 确定调查对象（如五年级1-4班全体学生）； 选择数据收集方法（问卷、访谈、观察等）； 设计工具（如问卷需包含问题：“你每天晚上几点睡觉？”“早上几点起床？”）。 实施方案：按计划收集数据，注意数据的真实性和完整性（如发放问卷后及时回收，避免遗漏）。 分析数据：用统计方法整理数据，如制作统计表（记录各时间段睡眠时间的人数）、计算平均数（平均睡眠时间=总睡眠时间÷总人数），或绘制条形统计图直观展示结果。 得出结论：根据数据分析结果回答初始问题，提出建议（如“五年级学生平均睡眠时间为8.5小时，建议增加午休时间”）。 3. 实例应用 以“设计‘校园植物种类调查’活动方案”为例： 活动目的：了解校园内植物的种类及分布情况； 活动步骤：①分组（每组负责一个区域）；②实地观察，记录植物名称、数量、生长位置；③汇总数据，制作“校园植物种类统计表”；④分析哪种植物数量最多，提出保护建议。 二、图形中的规律 1. 图形排列规律的探究方法 通过观察、列表、画图、归纳等方法，发现图形数量或形状随序号变化的规律。常见类型包括： 点阵图规律：观察点阵中点的数量与序号的关系（如第1个点阵有1个点，第2个有4个点，第3个有9个点……规律为第n个点阵的点数是n²）。 小棒摆图形规律：用小棒摆三角形、正方形等，分析所需小棒数量与图形个数的关系。 例：摆1个三角形需3根小棒，摆2个相连的三角形需5根（比1个多2根），摆3个需7根……规律为：摆n个三角形需小棒数量=2n+1（n为图形个数）。 2. 用字母或算式表示规律 将发现的规律用含字母的式子或算式概括，体现数学建模思想。 例1：用小棒摆正方形（每个正方形独立），摆n个正方形需4n根小棒；若方形相连（共用一条边），摆n个需3n+1根小棒（第1个4根，之后每个加3根）。 例2：观察“☆△□☆△□……”的图形排列，第n个图形的规律：当n÷3余1时为“☆”，余2时为“△”，整除时为“□”，可表示为n=3k+1（☆）、n=3k+2（△）、n=3k（□）（k为自然数）。 3. 规律的验证与拓展 通过代入具体数值验证规律的正确性（如n=1时，2n+1=3，符合摆1个三角形需3根小棒），并尝试拓展到更多图形（如五边形、六边形的小棒数量规律）。 三、包装的学问 1. 长方体表面积在包装中的应用 包装问题本质是求多个相同长方体组合成大长方体时的表面积，需先明确： 单个长方体的表面积公式：S=2(ab+ah+bh)（a、b、h分别为长、宽、高）； · 组合后大长方体的表面积=单个长方体表面积×个数-重合面面积×2（每个重合会使总表面积减少2个面的面积）。 2. 不同拼法的表面积比较 以2个相同的长方体（长a、宽b、高h，且a＞b＞h）为例，有3种不同拼法： 重合长×宽面：新长方体长a、宽b、高2h，表面积S1=2[ab+a·2h+b·2h]=2ab+4ah+4bh； 重合长×高面：新长方体长a、宽2b、高h，表面积S2=2[a·2b+ah+2b·h]=4ab+2ah+4bh； 重合宽×高面：新长方体长2a、宽b、高h，表面积S3=2[2a·b+2a·h+bh]=4ab+4ah+2bh。 比较可知：重合面积越大（长×宽面面积最大），总表面积越小（S1最小），即最节省包装材料。 3. 最优包装策略 核心规律：相同体积的长方体，长、宽、高越接近，表面积越小。因此，包装多个长方体时，应尽量使组合后的大长方体长、宽、高差距最小。 实例：包装4个长20cm、宽10cm、高5cm的长方体礼盒，最优方案是将4个礼盒按“2×2”排列（长20cm、宽20cm、高10cm），此时表面积最小（2×(20×20+20×10+20×10)=1600cm²），比“1×4”排列更节省材料。 4. 实际应用注意事项 考虑包装材料的延展性（如胶带、折叠空间），但数学计算中通常忽略此类因素，仅从表面积角度分析； 结合生活需求，如是否需要预留手提空间、是否对称美观等。 考点讲练 考点一：“象征性”长跑 【典例精讲】冬冬每天早上要赶到距家1200米的学校上学。一天，冬冬出发5分后，爸爸发现他忘了带语文书，就拿着语文书去追冬冬。爸爸用多长时间能追上冬冬？ 【变式训练】从锦州到北京的路线如图，汽车拉力赛主办方准备在北京到锦州之间设立5个补给点。各补给点位置安排如下： 补给点 第1个补给点 第2个补给点 第3个补给点 第4个补给点 第5个补给点 距起点的位置占全长的几分之几 （1）请你在图中用“▲”标出这5个补给点。 （2）这样安排补给点合理吗？请说明理由。 【变式训练】下面是淘气设计的晨跑线路图。 （1）淘气每天从家出发先向（    ）跑（    ）米到科技馆，再向（    ）偏（    ）（    ）°跑（    ）米到达超市，再向（    ）跑（    ）米到达汽车站，再向（    ）偏（    ）（    ）°跑（    ）米到邮局，最后向（    ）跑（    ）米回到家。 （2）淘气昨天跑一圈用了15分，他每分跑多少米？ 【变式训练】绿道北线景观绿化工程于2018年启动，被列入市、县重点项目，项目总投资2.8亿元，从凤山公园至城东万达广场，全长8.1公里，涵盖驿站、小游园、观景阁台、服务点、休憩点等配套设施工程和四季花廊绿化工程。 （1）如图，黄叔叔家住风山书院，每天下午坚持爬山到铁观音山庄再回来。已知凤山书院到铁观音山庄有3200米，黄叔叔一周共走多少千米？ （2）今天，黄叔叔上山用了64分钟，下山时，速度加快30米/分。黄叔叔下山时用了几分钟？ 考点二：平面图形与立体图形的对应 【典例精讲】将下面的立体图形和它的展开图连一连。 【变式训练】大头儿子喜欢吃糖，小头爸爸怕他糖吃多了对牙齿不好，所以想办法限制他。这天大头儿子又向小头爸爸要糖吃，小头爸爸说：“我用下面左边的纸板做成正方体，给你一次机会，如果你能猜出下面右面两幅图盖住的是几，就能得到几块糖。”大头儿子最多能吃到几块糖？ 【变式训练】下面是小熊的房子和房子的平面展开图，各边实际长度是图中相应长度的10倍。请计算小熊房子的实际占地面积。 【变式训练】下面的展开图沿虚线折叠后所围成的图形分别是哪个立体图形？连一连。 考点三：包装中的最优化问题 【典例精讲】饼干盒长10厘米、宽5厘米，高2厘米，将2盒饼干盒包装在一起，成为一个包装盒。 （1）最少用多少平方厘米的包装纸？ （2）如果用彩带系在包装盒上，打结部分为30厘米，至少用多少彩带？ 【变式训练】乐乐买了5盒同样的磁带，这种磁带每盒长10厘米、宽6厘米、高1.5厘米。如果请售货员给包装一下，至少需要多少平方厘米包装纸？ 【变式训练】如果是两个长、宽、高分别为6厘米、4厘米、3厘米的纸盒叠放在一起，有几种情况呢？ 【变式训练】榆林毡绣，又名绒线毛毡绣花。它是一种古老的绒线毡绣工艺品。乐乐买了4幅挂屏，每幅都装在盒子里寄给朋友，每个盒子的长、宽、高分别是20厘米、15厘米6厘米，请你算一算怎样包装才能最节约包装纸？至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处不计） 综合训练 1．把4个长10厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体盒子放在一起，用彩纸包装起来。下面四种包装方案表面积从小到大依次为（    ）。 A．①③④② B．③④②① C．③②④① D．①②③④ 2．两个长为5厘米，宽为4厘米，高为3厘米的长方体包装成一个大长方体，应把（    ）的两个面拼在一起，最节省包装纸。 A．5×4 B．4×3 C．5×3 D．无法确定 3．一块橡皮的大小如图所示：（单位：cm），用包装纸包装2块这样的长方体橡皮，（    ）的方法是最节约包装纸的。 A．（堆放包装） B．（堆放包装） C．（堆放包装） D．（分开包装） 4．将下边的展开图折叠成一个立体图形，得到的立体图形是（    ）。 A． B． C． D． 5．下图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，下面是四位同学补画的情况（图中阴影部分），其中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下图中的那些图形可以沿虚线折叠成长方体包装盒。（    ） ①    ②    ③   ④ A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 7．一盒计算器长、宽、高分别为15厘米、7厘米、4厘米。淘气把2盒这种规格的计算器包成一包，至少要( )平方厘米包装纸。 8．小明和小勇在操场上练习跑步。小明2分钟跑了400米，小勇4分钟跑了790米，( )跑得更快些。 9．一个正方体的表面积是24dm2，两个这样的正方体拼成一个大长方体，表面积是( )dm2。 10．六一儿童节到了，淘气选了一套课外书分上中下册共三本，长宽高分别是20cm、15cm、2cm，如果要把这套书用彩纸包装出来，至少需要_________cm2的包装纸。 11．将如图的展开图围成正方体后，哪两个面分别相对？请你先想一想，再填一填。 1和( )，2和( )，3和( ) 12．一种纯果汁饮料，它的净含量是1L。这个果汁盒的长是10cm，宽是5cm。要把4盒这样的饮料包装在一起，至少需要( )的包装纸。（为计算方便，果汁盒本身盒纸的厚度忽略不计） 13．明明要把3盒长18厘米，宽12厘米，高5厘米的饼干盒包成一包，至少需要多少平方厘米的包装纸？（画草图并计算） 14．下图是一块长方形铁皮，长20厘米，宽15厘米，通过切制和焊接，把它做成一个高为5厘米的长方体容器，这个容器的容积最大是多少？（可以把切制的方法画在图上） 15．2021年12月26日建成通车的地铁5号线，是青山区首条地铁线路，也是武汉市的首条全自动驾驶线路，全长约33.6千米，贯穿武昌和青山两区，地铁列车最高时速可达80千米/小时。如果以这个速度行完全程只需要多少小时？也就是多少分钟？ 16．黄老师和万老师相约各自开车去旅游。黄老师行85千米用了1.2小时，万老师行127.6千米用了1.8小时，两位老师谁开车的速度快？（先用循环小数表示出两位老师的车速，再比较） 17．河北的岗南水库和黄壁庄水库被称为市民的大“水缸”，是“一级水源地保护区”，为保护饮用水源防止污染破坏，巡视员每天乘坐汽车巡逻。如果每小时行48千米，5.4小时完成任务，要想提前0.6小时完成巡逻任务，每小时应行多少千米？ 18．一辆客车从甲城开往乙城两城相距195千米。在前1.5小时的时间里平均每小时行82千米，剩下的路程0.8小时行完。平均每小时需行多少千米？ 19．从小明家到公园共有三条路可走（如下图）。 （1）小明如果经学校、体育馆去公园，共走多少千米？ （2）小明走最远的一条路比走最近的一条路多走多少千米？ 20．有一块长35厘米、宽25厘米的长方形铁皮，在四个角上分别剪去面积相等的正方形后正好折成一个深5厘米的无盖铁盒。求这个铁盒的容积。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学好玩 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、设计活动方案 1 二、图形中的规律 2 三、包装的学问 2 考点讲练 3 考点一：“象征性”长跑 3 考点二：平面图形与立体图形的对应 8 考点三：包装中的最优化问题 11 综合训练 14 知识梳理 一、设计活动方案 1. 活动方案的基本要素 包括活动名称、活动目的、活动对象、活动时间、活动地点、活动步骤、所需材料、注意事项等。其中，活动目的需明确要解决的问题或达成的目标（如“调查五年级学生最喜欢的课间活动”）；活动步骤需具体可操作，涵盖准备、实施、总结等环节。 2. 设计步骤与方法 明确问题：确定研究主题（如“同学们每天的睡眠时间是否充足”），提出具体可研究的问题（如“五年级学生平均每天睡眠时间是多少？”“不同班级的睡眠时间是否有差异？”）。 设计方案：围绕问题规划流程，例如： 确定调查对象（如五年级1-4班全体学生）； 选择数据收集方法（问卷、访谈、观察等）； 设计工具（如问卷需包含问题：“你每天晚上几点睡觉？”“早上几点起床？”）。 实施方案：按计划收集数据，注意数据的真实性和完整性（如发放问卷后及时回收，避免遗漏）。 分析数据：用统计方法整理数据，如制作统计表（记录各时间段睡眠时间的人数）、计算平均数（平均睡眠时间=总睡眠时间÷总人数），或绘制条形统计图直观展示结果。 得出结论：根据数据分析结果回答初始问题，提出建议（如“五年级学生平均睡眠时间为8.5小时，建议增加午休时间”）。 3. 实例应用 以“设计‘校园植物种类调查’活动方案”为例： 活动目的：了解校园内植物的种类及分布情况； 活动步骤：①分组（每组负责一个区域）；②实地观察，记录植物名称、数量、生长位置；③汇总数据，制作“校园植物种类统计表”；④分析哪种植物数量最多，提出保护建议。 二、图形中的规律 1. 图形排列规律的探究方法 通过观察、列表、画图、归纳等方法，发现图形数量或形状随序号变化的规律。常见类型包括： 点阵图规律：观察点阵中点的数量与序号的关系（如第1个点阵有1个点，第2个有4个点，第3个有9个点……规律为第n个点阵的点数是n²）。 小棒摆图形规律：用小棒摆三角形、正方形等，分析所需小棒数量与图形个数的关系。 例：摆1个三角形需3根小棒，摆2个相连的三角形需5根（比1个多2根），摆3个需7根……规律为：摆n个三角形需小棒数量=2n+1（n为图形个数）。 2. 用字母或算式表示规律 将发现的规律用含字母的式子或算式概括，体现数学建模思想。 例1：用小棒摆正方形（每个正方形独立），摆n个正方形需4n根小棒；若方形相连（共用一条边），摆n个需3n+1根小棒（第1个4根，之后每个加3根）。 例2：观察“☆△□☆△□……”的图形排列，第n个图形的规律：当n÷3余1时为“☆”，余2时为“△”，整除时为“□”，可表示为n=3k+1（☆）、n=3k+2（△）、n=3k（□）（k为自然数）。 3. 规律的验证与拓展 通过代入具体数值验证规律的正确性（如n=1时，2n+1=3，符合摆1个三角形需3根小棒），并尝试拓展到更多图形（如五边形、六边形的小棒数量规律）。 三、包装的学问 1. 长方体表面积在包装中的应用 包装问题本质是求多个相同长方体组合成大长方体时的表面积，需先明确： 单个长方体的表面积公式：S=2(ab+ah+bh)（a、b、h分别为长、宽、高）； · 组合后大长方体的表面积=单个长方体表面积×个数-重合面面积×2（每个重合会使总表面积减少2个面的面积）。 2. 不同拼法的表面积比较 以2个相同的长方体（长a、宽b、高h，且a＞b＞h）为例，有3种不同拼法： 重合长×宽面：新长方体长a、宽b、高2h，表面积S1=2[ab+a·2h+b·2h]=2ab+4ah+4bh； 重合长×高面：新长方体长a、宽2b、高h，表面积S2=2[a·2b+ah+2b·h]=4ab+2ah+4bh； 重合宽×高面：新长方体长2a、宽b、高h，表面积S3=2[2a·b+2a·h+bh]=4ab+4ah+2bh。 比较可知：重合面积越大（长×宽面面积最大），总表面积越小（S1最小），即最节省包装材料。 3. 最优包装策略 核心规律：相同体积的长方体，长、宽、高越接近，表面积越小。因此，包装多个长方体时，应尽量使组合后的大长方体长、宽、高差距最小。 实例：包装4个长20cm、宽10cm、高5cm的长方体礼盒，最优方案是将4个礼盒按“2×2”排列（长20cm、宽20cm、高10cm），此时表面积最小（2×(20×20+20×10+20×10)=1600cm²），比“1×4”排列更节省材料。 4. 实际应用注意事项 考虑包装材料的延展性（如胶带、折叠空间），但数学计算中通常忽略此类因素，仅从表面积角度分析； 结合生活需求，如是否需要预留手提空间、是否对称美观等。 考点讲练 考点一：“象征性”长跑 【典例精讲】冬冬每天早上要赶到距家1200米的学校上学。一天，冬冬出发5分后，爸爸发现他忘了带语文书，就拿着语文书去追冬冬。爸爸用多长时间能追上冬冬？ 【答案】4分 【分析】速度×时间＝路程，则冬冬出发5分后，已经走了80×5＝400（米）。要使爸爸能追上冬冬，在接下来的时间内，爸爸要比冬冬多走400米。设爸爸用x分能追上冬冬，则追上冬冬时，爸爸走了180x米，冬冬出发5分钟后又走了80x米。根据题意可得：爸爸走的路程－冬冬出发5分后走的路程＝400米，据此列方程解答。 【详解】解：设爸爸用x分能追上冬冬。 180x－80x＝80×5 100x＝400 100x÷100＝400÷100 x＝4 答：爸爸用4分能追上冬冬。 【变式训练】从锦州到北京的路线如图，汽车拉力赛主办方准备在北京到锦州之间设立5个补给点。各补给点位置安排如下： 补给点 第1个补给点 第2个补给点 第3个补给点 第4个补给点 第5个补给点 距起点的位置占全长的几分之几 （1）请你在图中用“▲”标出这5个补给点。 （2）这样安排补给点合理吗？请说明理由。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）先求出锦州到北京的总距离，再分别用总距离乘每个补给点占全程的分率，求出每个补给点的位置即可解答； （2）用第二个补给点的分率减去第一个补给点的分率、第三个补给点的分率减去第二个补给点的分率、第四个补给点的分率减去第三个补给点的分率，第五个补给点的分率减去第四个补给点的分率，分别求出五个补给点相隔的距离，再进行判断即可。 【详解】（1）51＋138＋150＋179 ＝189＋150＋179 ＝339＋179 ＝518（千米） 518×＝129.5（千米） 518×≈173（千米） 518×＝259（千米） 518×≈345（千米） 518×＝388.5（千米） 作图如下： （2）－＝ －＝ －＝ －＝ 答：不合理，因为每个补给点相隔的距离不相等。 【变式训练】下面是淘气设计的晨跑线路图。 （1）淘气每天从家出发先向（    ）跑（    ）米到科技馆，再向（    ）偏（    ）（    ）°跑（    ）米到达超市，再向（    ）跑（    ）米到达汽车站，再向（    ）偏（    ）（    ）°跑（    ）米到邮局，最后向（    ）跑（    ）米回到家。 （2）淘气昨天跑一圈用了15分，他每分跑多少米？ 【答案】（1）东；350；南；东；50；220；南；270；西；北；30；800；北；160 （2）120米 【分析】（1）从一处到另一处所经过的道路叫做路线。同时根据图上的方向：上北下南、左西右东，以及角度和距离就可以确定方位。用方向和距离结合来描述路线时，要注意三个要素：一是观测点（即参照物）），二是方向，三是距离，据此写出路线即可。 （2）先求出淘气跑一圈的总长，根据路程÷时间＝速度，即可解答。 【详解】（1）淘气每天从家出发先向东跑350米到科技馆，再向南偏东50°跑220米到达超市，再向南跑270米到达汽车站，再向西偏北30°跑800米到邮局，最后向北跑160米回到家。 （2）（160＋350＋220＋270＋800）÷15 ＝（510＋220＋270＋800）÷15 ＝（730＋270＋800）÷15 ＝（1000＋800）÷15 ＝1800÷15 ＝120（米） 答：他每分跑120米。 【变式训练】绿道北线景观绿化工程于2018年启动，被列入市、县重点项目，项目总投资2.8亿元，从凤山公园至城东万达广场，全长8.1公里，涵盖驿站、小游园、观景阁台、服务点、休憩点等配套设施工程和四季花廊绿化工程。 （1）如图，黄叔叔家住风山书院，每天下午坚持爬山到铁观音山庄再回来。已知凤山书院到铁观音山庄有3200米，黄叔叔一周共走多少千米？ （2）今天，黄叔叔上山用了64分钟，下山时，速度加快30米/分。黄叔叔下山时用了几分钟？ 【答案】（1）44.8千米 （2）40分钟 【分析】（1）根据题意可知，用凤山书院到铁观音山庄的距离乘2即可得到黄叔叔每天走的路程，然后用黄叔叔每天走的路程乘7即可，依此计算并将单位化成千米即可，1000米＝1千米，依此换算。 （2）用凤山书院到铁观音山庄的距离除以黄叔叔上山用的时间计算出黄叔叔上山的速度，然后用黄叔叔上山的速度加30米/分计算出下山的速度，最后再用凤山书院到铁观音山庄的距离除以黄叔叔下山的速度即可。 【详解】（1）3200×2＝6400（米） 6400×7＝44800（米） 44800米＝44.8千米 答：黄叔叔一周共走44.8千米。 （2）3200÷64＝50（米/分） 50＋30＝80（米/分） 3200÷80＝40（分） 答：黄叔叔下山时用了40分钟。 【点睛】此题考查的是千米和米之间的换算，以及普通行程问题的计算，应熟练掌握。 考点二：平面图形与立体图形的对应 【典例精讲】将下面的立体图形和它的展开图连一连。 【答案】见详解 【分析】根据立体图形的特征，判断其对应的展开图。 三棱柱由两个三角形的底面和三个长方形的侧面组成，展开图应是两个三角形和三个长方形相连，据此找到对应的展开图连线。 四棱锥由四个三角形的面和一个正方形的底面组成，展开图是由四个三角形和一个正方形组成的特定图形，据此找到对应的展开图连线。 圆锥是由一个底面圆形和一个侧面扇形组成，展开图是一个圆形和一个扇形组成的特定图形，据此找到对应的展开图连线。 三棱锥由四个三角形的面组成，展开图是四个三角形相连，据此找到对应的展开图连线。 【详解】由分析可知，连线如下： 【变式训练】大头儿子喜欢吃糖，小头爸爸怕他糖吃多了对牙齿不好，所以想办法限制他。这天大头儿子又向小头爸爸要糖吃，小头爸爸说：“我用下面左边的纸板做成正方体，给你一次机会，如果你能猜出下面右面两幅图盖住的是几，就能得到几块糖。”大头儿子最多能吃到几块糖？ 【答案】4块 【分析】据正方体展开图的11种特征，分为四种类型：“1－4－1”型、“2－3－1”型、“2－2－2”型、“3－3”型，针对图片进行分析即可。 【详解】由分析可得： 下面左边根据正方体展开图11种特征，此图属于正方体展开图的1－4－1型，即中间4个一连串，两边各一随便放。并且根据正方体展开图的相对面辨别方法：相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面。 3在前面，2在右面，所以盖住的是1，6在前面，5在右面，盖住的是3，所以： 1＋3＝4（块） 答：大头儿子最多能吃到4块糖。 【变式训练】下面是小熊的房子和房子的平面展开图，各边实际长度是图中相应长度的10倍。请计算小熊房子的实际占地面积。 【答案】4000平方分米 【分析】由平面展开图可知，要求小熊房子的实际占地面积，就是求长方形的面积，长是（8×10）分米，宽是（5×10）分米，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据解答即可。 【详解】8×10＝80（分米） 5×10＝50（分米） 80×50＝4000（平方分米） 即小熊房子的实际占地面积是4000平方分米。 【变式训练】下面的展开图沿虚线折叠后所围成的图形分别是哪个立体图形？连一连。 【答案】见详解 【分析】图1属于长方体展开图，能围成长方体；图2属于长方体展开图，能围成长方体；图3属于三棱柱展开图，能围成三棱柱；图4是正方体展开图，能围成正方体；图5像个小房子的展开图，能围成个小房子。 【详解】如图： 考点三：包装中的最优化问题 【典例精讲】饼干盒长10厘米、宽5厘米，高2厘米，将2盒饼干盒包装在一起，成为一个包装盒。 （1）最少用多少平方厘米的包装纸？ （2）如果用彩带系在包装盒上，打结部分为30厘米，至少用多少彩带？ 【答案】（1）220平方厘米 （2）76厘米 【分析】（1）将2盒饼干盒包装在一起，成为一个包装盒，最少用纸应该把长方体中最大的两个面合在一起，求最少用多少平方厘米的包装纸，就是求的长是10厘米。宽是5厘米，高是2×2＝4厘米的长方体包装盒的表面积，根据长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高），代入数据，即可解答； （2）彩带的长度是有2个长方体的长的长，2个长方体的宽的长，4个长方体高的长与打结部分的长的和，据此解答。 【详解】（1）2×2＝4（厘米） （10×5＋10×4＋5×4）×2 ＝（50＋40＋20）×2 ＝（90＋20）×2 ＝110×2 ＝220（平方厘米） 答：最少用多少平方厘米的包装纸220平方厘米的包装纸。 （2）2×10＋2×5＋4×4＋30 ＝20＋10＋16＋30 ＝30＋16＋30 ＝46＋30 ＝76（厘米） 答：至少用76厘米的彩带。 【点睛】解答本题的关键明确最少用纸应该把长方体中最大的两个面合在一起。 【变式训练】乐乐买了5盒同样的磁带，这种磁带每盒长10厘米、宽6厘米、高1.5厘米。如果请售货员给包装一下，至少需要多少平方厘米包装纸？ 【答案】360平方厘米 【分析】将5盒磁带叠放，此时高是1.5×5＝7.5（厘米）。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此列式求出至少需要多少平方厘米包装纸。 【详解】1.5×5＝7.5（厘米）　 （10×6＋10×7.5＋6×7.5）×2 ＝（60＋75＋45）×2 ＝180×2 ＝360（平方厘米） 答：至少需要360平方厘米包装纸。 【点睛】本题考查了长方体表面积，熟记并灵活运用长方体表面积公式是解题的关键。 【变式训练】如果是两个长、宽、高分别为6厘米、4厘米、3厘米的纸盒叠放在一起，有几种情况呢？ 【答案】3种情况 【分析】两个相同的面才可以叠放在一起；第一种：把长6厘米，宽4厘米的面重合，两个纸盒叠放在一起；第二种：把长6厘米，宽3厘米的面重合，两个纸盒叠放在一起；第三种：把长4厘米，宽3厘米的面重合，两个纸盒叠放在一起。 【详解】有分析可知：第一种：把长6厘米，宽4厘米的面重合叠放；第二种：把长6厘米，宽3厘米的面重合叠放；第三种：把长4厘米，宽3厘米的面重合叠放。 共有3种情况。 【点睛】本题考查包装的学问；注意要把相同的面重合叠放在一起，考虑多种可能性。 【变式训练】榆林毡绣，又名绒线毛毡绣花。它是一种古老的绒线毡绣工艺品。乐乐买了4幅挂屏，每幅都装在盒子里寄给朋友，每个盒子的长、宽、高分别是20厘米、15厘米6厘米，请你算一算怎样包装才能最节约包装纸？至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处不计） 【答案】把这四个长方体盒子的20×15面重合摞在一起最节约包装纸；2280平方厘米 【分析】求最少要用包装纸多少平方厘米，只需把这4个长方体盒子的最大面，即（20×15）这个面摞在一起，拼成一个长20厘米、宽15厘米、高（6×4）厘米的长方体最省纸，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，代入数据解答即可。 【详解】由分析得： 把这四个长方体盒子的20×15面重合摞在一起，得到的大长方体的表面积最小。 （20×15＋20×6×4＋15×6×4）×2 ＝（300＋480＋360）×2 ＝1140×2 ＝2280（平方厘米） 答：把这四个长方体盒子的20×15面相粘合，得到的大长方体的表面积最小，最节约包装纸。至少需要2280平方厘米的包装纸。 【点睛】本题关键是找出拼组后长方体的长、宽、高各是多少，然后根据长方体表面积公式求解。 综合训练 1．把4个长10厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体盒子放在一起，用彩纸包装起来。下面四种包装方案表面积从小到大依次为（    ）。 A．①③④② B．③④②① C．③②④① D．①②③④ 【答案】C 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2； ①据图可知，长方体的长是（10×4）厘米，宽是6厘米，高是4厘米，据此代入公式求出表面积； ②据图可知，长方体的长是10厘米，宽是6厘米，高是（4×4）厘米，据此代入公式求出表面积； ③据图可知，长方体的长是（6×2）厘米，宽是10厘米，高是（4×2）厘米，据此代入公式求出表面积； ④据图可知，长方体的长是（10×2）厘米，宽是（6×2）厘米，高是4厘米，据此代入公式求出表面积；再把它们的表面积进行比较即可。 【详解】①10×4＝40（厘米） （40×6＋40×4＋6×4）×2 ＝（240＋160＋24）×2 ＝424×2 ＝848（平方厘米） ②4×4＝16（厘米） （10×6＋10×16＋16×6）×2 ＝（60＋160＋96）×2 ＝316×2 ＝632（平方厘米） ③6×2＝12（厘米） 4×2＝8（厘米） （12×10＋12×8＋10×8）×2 ＝（120＋96＋80）×2 ＝296×2 ＝592（平方厘米） ④10×2＝20（厘米） 6×2＝12（厘米） （20×12＋20×4＋12×4）×2 ＝（240＋80＋48）×2 ＝368×2 ＝736（平方厘米） 848＞736＞632＞592 所以把4个长10厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体盒子放在一起，用彩纸包装起来。下面四种包装方案表面积从小到大依次为③②④①。 故答案为：C 2．两个长为5厘米，宽为4厘米，高为3厘米的长方体包装成一个大长方体，应把（    ）的两个面拼在一起，最节省包装纸。 A．5×4 B．4×3 C．5×3 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据长方体拼组成的大长方体的方法，拼在一起的面越大，那么拼组后的大长方体的表面积就越小，也就最节省包装纸，由此进行解答。 【详解】原长方体中最大的面是：5×4＝20（平方厘米） 故答案为：A 【点睛】此题抓住组合图形表面积的特点：明确把两个完全相同的长方体拼成一个大长方体，最小的面重合时，拼成的表面积最大，最大的面重合时拼成的表面积最小。 3．一块橡皮的大小如图所示：（单位：cm），用包装纸包装2块这样的长方体橡皮，（    ）的方法是最节约包装纸的。 A．（堆放包装） B．（堆放包装） C．（堆放包装） D．（分开包装） 【答案】B 【分析】要想最节约包装纸，也就是这2块橡皮拼成大长方体后的表面积要最小，即把2块橡皮面积最大的面重合；因为6×4＞6×3＞3×4，所以把两块橡皮的“6×4” 的两个面重合，这样减少的表面积最多，最节约包装纸。 【详解】6×3＝18（cm2） 6×4＝24（cm2） 3×4＝12（cm2） 24＞18＞12 把“6×4” 的两个面重合，这样减少的表面积最多，最节约包装纸。 故答案为：B 【点睛】掌握立体图形拼接的特点，明确要使拼成的立体图形表面积最小，则把最大的面重合。 4．将下边的展开图折叠成一个立体图形，得到的立体图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】图中的展开图是由1个四边形和4个三角形组成的，据此选择即可。 【详解】A、由2个三角形和3个四边形组成的，不符合题意； B、由4个三角形和1个四边形组成的，符合题意； C、由2个三角形和3个四边形组成的，不符合题意； D、由6个四边形组成的，不符合题意。 故答案为：B 【点睛】图形的翻折部分在折叠前后的形状、大小不变，是全等形。 5．下图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，下面是四位同学补画的情况（图中阴影部分），其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】略 6．下图中的那些图形可以沿虚线折叠成长方体包装盒。（    ） ①    ②    ③   ④ A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【解析】略 7．一盒计算器长、宽、高分别为15厘米、7厘米、4厘米。淘气把2盒这种规格的计算器包成一包，至少要( )平方厘米包装纸。 【答案】562 【分析】以长、宽的面为衔接面，所需包装纸最少，这样减少的2个面最大；然后根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”计算出包一个盒子的用纸，然后求出单独包2个盒子的用纸，进而减去2个最大衔接的面即可得出结论。 【详解】（7×15＋7×4＋15×4）×2×2－7×15×2 ＝（105＋28＋60）×2×2－7×15×2 ＝193×2×2－7×15×2 ＝772－210 ＝562（平方厘米） 至少需要562平方厘米的包装纸。 8．小明和小勇在操场上练习跑步。小明2分钟跑了400米，小勇4分钟跑了790米，( )跑得更快些。 【答案】小明 【分析】分析题意可知：小明2分钟跑了400米，用400÷2计算出小明1分钟跑的路程，再乘4，计算出小明4分钟跑的路程。时间相同，谁跑的路程多谁就跑得快，据此解答。 【详解】400÷2×4 ＝200×4 ＝800（米） 800＞790 所以，小明跑的更快一些。 9．一个正方体的表面积是24dm2，两个这样的正方体拼成一个大长方体，表面积是( )dm2。 【答案】40 【分析】正方体的表面积是6个正方形面的面积总和，则每个面的面积＝正方形的表面积÷6，即一个正方体的表面积是24dm2，正方体每个面的面积的4 dm2。将两个这样的正方体由12个正方形的面，但是拼成一个大长方体就会少了2个正方形的面，即长方体的表面积＝每个正方形面的面积×10。 【详解】24÷6＝4（dm2） 4×（12－2） ＝4×10 ＝40（dm2） 则表面积是40 dm2。 10．六一儿童节到了，淘气选了一套课外书分上中下册共三本，长宽高分别是20cm、15cm、2cm，如果要把这套书用彩纸包装出来，至少需要_________cm2的包装纸。 【答案】1020 【分析】因为长方体的长、宽、高越接近，表面积越小，所以把3本书沿高摞在一起需要的包装纸最少。依据公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算出长、宽、高分别为20cm、15cm、6cm的长方体表面积即可。 【详解】如果要把这套书用彩纸包装出来，至少需要包装纸的面积： 2×3＝6（cm） （20×15＋15×6＋20×6）×2 ＝（300＋90＋120）×2 ＝510×2 ＝1020（cm2） 【点睛】此题考查了怎样最省包装纸的学问和长方体表面积的计算方法。 11．将如图的展开图围成正方体后，哪两个面分别相对？请你先想一想，再填一填。 1和( )，2和( )，3和( ) 【答案】 5 4 6 【分析】此图属于正方体展开图的“1－3－2”型，折成正方体后，1号面与5号面相对，2号面与4号面相对，3号面与6号面相对，据此解答即可。 【详解】由分析可得：将展开图围成正方体后，1和5相对，2和4相对，3和6相对。 【点睛】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住，能快速解答此类题。 12．一种纯果汁饮料，它的净含量是1L。这个果汁盒的长是10cm，宽是5cm。要把4盒这样的饮料包装在一起，至少需要( )的包装纸。（为计算方便，果汁盒本身盒纸的厚度忽略不计） 【答案】1600 【分析】果汁的净含量是1L，则长方体果汁盒的容积是1L。长方体的容积＝长×宽×高，据此用容积除以长和宽即可求出果汁盒的高。要使4盒这样的饮料包装在一起最省包装纸，则要把长方体最大的面覆盖起来，如下图所示。这时包装好的长方体，长是5×4＝20（cm），宽是10cm，高等于果汁盒的高，根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”代入数据计算即可解答。 【详解】1L＝1000cm3 高：1000÷10÷5＝20（cm） 长：5×4＝20（cm） （20×10＋20×20＋10×20）×2 ＝800×2 ＝1600（cm2） 【点睛】本题考查了长方体的表面积、容积和立体图形的切拼。最省包装纸的方法是使包装好的图形的表面积最小。求出果汁盒的高是解题的关键。 13．明明要把3盒长18厘米，宽12厘米，高5厘米的饼干盒包成一包，至少需要多少平方厘米的包装纸？（画草图并计算） 【答案】 图见详解；1332平方厘米 【分析】将三个长方体饼干盒包成一包，要使包装纸面积最小，需使叠放后的长方体表面积最小。有三种叠放的方式，沿高度叠放、沿长度并排、沿宽度并排，通过比较不同叠放方式形成的长方体的表面积，选择最小的结果。长方体的表面积公式＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高）。 【详解】①沿高度叠放，如下图，形成一个长18厘米，宽12厘米，高5×3＝15厘米的大长方体： 表面积＝2×（18×12＋18×15＋12×15） ＝2×（216＋270＋180） ＝2×666 ＝1332（平方厘米） ②沿长度并排，如下图，形成一个长18×3＝54厘米，宽12厘米，高5厘米的大长方体： 表面积＝2×（54×5＋54×12＋5×12） ＝2×（270＋648＋60） ＝2×978 ＝1956（平方厘米） ③沿宽度并排，如下图，形成一个长18厘米，宽12×3＝36厘米，高5厘米的大长方体： 表面积＝2×（18×5＋18×36＋5×36） ＝2×（90＋648＋180） ＝2×918 ＝1836（平方厘米） 1956＜1836＜1332 沿高度叠放的表面积最小，为1332平方厘米。 答：至少需要1332平方厘米的包装纸。 14．下图是一块长方形铁皮，长20厘米，宽15厘米，通过切制和焊接，把它做成一个高为5厘米的长方体容器，这个容器的容积最大是多少？（可以把切制的方法画在图上） 【答案】500毫升 【分析】方法一：长方形铁皮的四个角裁掉4个边长为5厘米的正方形，此时容器的长为（20－5×2）厘米，宽为（15－5×2）厘米，高为5厘米，利用“长方体的体积＝长×宽×高”计算； 方法二：在长方形铁皮上切分一个边长为10厘米的正方形做容器的底面，再切分4个长为10厘米，宽为5厘米的长方形做容器的4个侧面，最后利用“长方体的体积＝底面积×高”计算，最后找出容积最大的长方体容器；据此解答。 【详解】方法一： （20－5×2）×（15－5×2）×5 ＝（20－10）×（15－10）×5 ＝10×5×5 ＝250（立方厘米） 250立方厘米＝250毫升 方法二： 由图可知，（20÷2）2×5 ＝102×5 ＝500（立方厘米） 500立方厘米＝500毫升 答：这个容器的容积最大是500毫升。 【点睛】本题主要考查长方体体积公式的应用，当长方体容器的底为正方形时容积最大。 15．2021年12月26日建成通车的地铁5号线，是青山区首条地铁线路，也是武汉市的首条全自动驾驶线路，全长约33.6千米，贯穿武昌和青山两区，地铁列车最高时速可达80千米/小时。如果以这个速度行完全程只需要多少小时？也就是多少分钟？ 【答案】0.42小时；25.2分钟 【分析】由“路程＝速度×时间”可知“时间＝路程÷速度”，然后根据小数除法的计算方法求出结果；1小时＝60分钟，高级单位转化低级单位乘进率，据此解答。 【详解】33.6÷80＝0.42（小时） 0.42×60＝25.2（分钟） 答：如果以这个速度行完全程只需要0.42小时，也就是25.2分钟。 【点睛】掌握小数乘除法的计算方法是解答题目的关键。 16．黄老师和万老师相约各自开车去旅游。黄老师行85千米用了1.2小时，万老师行127.6千米用了1.8小时，两位老师谁开车的速度快？（先用循环小数表示出两位老师的车速，再比较） 【答案】万老师 【分析】根据“速度＝路程÷时间”计算出黄老师和万老师的速度，再根据多位小数比较大小的方法计算，据此解答。 【详解】黄老师：85÷1.2＝（千米/时） 万老师：127.6÷1.8＝（千米/时） 因为百分位上的数字8大于百分位上的数字3，则＞，所以万老师的开车速度快。 答：万老师的开车速度快。 【点睛】多位小数比较大小时，较高位上数字大的小数值比较大。 17．河北的岗南水库和黄壁庄水库被称为市民的大“水缸”，是“一级水源地保护区”，为保护饮用水源防止污染破坏，巡视员每天乘坐汽车巡逻。如果每小时行48千米，5.4小时完成任务，要想提前0.6小时完成巡逻任务，每小时应行多少千米？ 【答案】54千米 【分析】先根据路程＝速度×时间，求出巡逻的总路程，再除以提前0.6小时完成任务，需要的时间即可。 【详解】48×5.4÷（5.4－0.6） ＝259.2÷4.8 ＝54（千米） 答：每小时应行54千米。 【点睛】此题考查了小数的四则混合运算，明确路程、速度和时间之间的关系，认真计算即可。 18．一辆客车从甲城开往乙城两城相距195千米。在前1.5小时的时间里平均每小时行82千米，剩下的路程0.8小时行完。平均每小时需行多少千米？ 【答案】90千米 【分析】先根据剩余的路程＝总路程－已行驶路程，求出客车前1.5小时行驶路程，再根据速度＝路程÷时间，求出最后的速度，列式解答即可。 【详解】（195－1.5×82）÷0.8 ＝72÷0.8 ＝90（千米） 【点睛】解答本题的依据是等量关系式：速度＝路程÷时间，关键是求出客车前1.5小时行驶路程，和后剩余的路程。 19．从小明家到公园共有三条路可走（如下图）。 （1）小明如果经学校、体育馆去公园，共走多少千米？ （2）小明走最远的一条路比走最近的一条路多走多少千米？ 【答案】（1）千米 （2）4千米 【分析】（1）根据加法的意义，要求小明经学校、体育馆去公园，共走多少千米，将这条路上每部分的距离加起来即可； （2）根据两点之间，线段最短，找到最短的路线，再算出另外一条路的距离，得出最长路线，用最长的路线减去最短的路线即可。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝（千米） 答：小明如果经学校、体育馆去公园，共走千米。 （2）经过超市： ＝＝（千米） 经过地铁站： （千米） ＞＞ 经过地铁站这条路最远，经过超市这条路最近。 －＝－＝＝＝4（千米） 答：小明走最远的一条路比走最近的一条路多走4千米。 【点睛】本题考查了学生完成异分母分数加减法题目的能力，完成时要注意从图文中获得正确信息，本题数字较大，计算时要细心，认真。 20．有一块长35厘米、宽25厘米的长方形铁皮，在四个角上分别剪去面积相等的正方形后正好折成一个深5厘米的无盖铁盒。求这个铁盒的容积。 【答案】1875mL 【分析】要求无盖铁盒的容积，需要知道它的长、宽、高，由题意可知：铁盒的长与宽即铁片长、宽分别减去小正方形两个边长，铁盒的高即小正方形的边长，再根据长方体的体积（容积）公式：V=abh，把数据代入公式解答。 【详解】（35－5×2）×（25－5×2）×5 =25×15×5 ＝1875（cm3） 1875cm3＝1875mL 答：铁盒的容积1875mL。 【点睛】此题主要考查长方体的体积（容积）计算的实际应用，关键是求得盒子的长、宽、高各是多少。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $