第七单元 用方程解决问题 举一反三讲义 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）-2025-2026学年北师大版数学五年级下册

第七单元 用方程解决问题 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、方程的意义与相关概念回顾 1 二、用方程解决问题的一般步骤 2 三、常见的用方程解决的问题类型及等量关系 2 四、列方程解决问题的注意事项 4 考点讲练 4 考点一：列方程解决和差倍问题 4 考点二：列方程解决年龄问题 5 考点三：列方程解决相遇问题 6 考点四：列方程解决稍复杂的行程问题 7 考点五：列方程解决稍复杂的实际问题 8 综合训练 9 知识梳理 一、方程的意义与相关概念回顾 1.方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。例如：(3x + 5 = 20)、(y - 12 = 30)都是方程。 2.等式的性质 等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。如：若(a = b)，则(a + c = b + c)，(a - c = b - c)。 等式两边同时乘或除以同一个不为(0)的数，等式仍然成立。如：若(a = b)，且(c eq 0)，则(a×c = b×c)，(a÷c = b÷c)。 3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。例如：方程(2x = 10)的解是(x = 5)。 4.解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 5.用字母表示数：在解决问题时，通常用字母（如(x)、(y)、(z)等）表示未知数，字母可以表示任意数，也可以表示特定的数量关系。书写时要注意：数字与字母相乘时，数字在前，字母在后，乘号可以省略（如(3×x)写作(3x)）；(1)与字母相乘时，(1)可以省略（如(1×x)写作(x)）；字母与字母相乘时，乘号可以省略（如(x×y)写作(xy)）；除法运算一般写成分数形式。 二、用方程解决问题的一般步骤 1.审清题意，找出关键信息：认真读题，理解题意，明确题目中的已知条件和所求问题，找出题目中的关键语句和数量关系。 2.找出等量关系：这是列方程的核心步骤。可以通过以下方法寻找等量关系： 根据题目中的关键词，如“一共”“还剩”“比……多/少”“是……的几倍”“平均”等确定等量关系。 根据常见的数量关系，如路程=速度×时间、总价=单价×数量、工作总量=工作效率×工作时间、长方形周长=（长+宽）×2、长方形面积=长×宽等确定等量关系。 通过画图（如线段图、示意图等）帮助分析数量关系，找出等量关系。 3.设未知数：一般设所求的量为未知数，通常用(x)表示。如果有多个未知数，根据题目中的数量关系，设其中一个为(x)，其他未知数用含(x)的式子表示。设未知数时，要在(x)后面带上单位（如果题目中涉及单位）。 4.列出方程：根据找出的等量关系，把已知数和未知数代入等量关系式，列出方程。 5.解方程：运用等式的性质求出方程的解。解方程时要注意书写规范，每一步都要有依据。 6.检验并作答：把求出的未知数的值代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。同时，还要检验所求的解是否符合实际情况。如果检验正确，就写出答案，答案要带上单位。 三、常见的用方程解决的问题类型及等量关系 1.简单的和差倍问题 和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求这两个数。等量关系：较小数×倍数 + 较小数 = 和，或较小数×（倍数 + 1）= 和。 例：学校图书馆买来故事书和科技书共(120)本，故事书的本数是科技书的(2)倍，两种书各买了多少本？设科技书有(x)本，则故事书有(2x)本，等量关系为(x + 2x = 120)。 差倍问题：已知两个数的差及它们之间的倍数关系，求这两个数。等量关系：较大数 - 较小数 = 差，或较小数×倍数 - 较小数 = 差，即较小数×（倍数 - 1）= 差。 例：妈妈的年龄比小明大(24)岁，妈妈的年龄是小明的(3)倍，小明和妈妈各多少岁？设小明的年龄为(x)岁，则妈妈的年龄为(3x)岁，等量关系为(3x - x = 24)。 和差问题：已知两个数的和与差，求这两个数。等量关系：较大数 + 较小数 = 和，较大数 - 较小数 = 差。可以设较大数为(x)，则较小数为和 - (x)，再根据差的关系列方程；或者设较小数为(x)，则较大数为和 - (x)，再根据差的关系列方程。 例：甲、乙两数的和是(56)，差是(12)，甲、乙两数各是多少？设甲数为(x)，则乙数为(56 - x)，等量关系为(x - (56 - x) = 12)。 2.行程问题 相遇问题：两人或两车从两地同时出发，相向而行，经过一段时间相遇。等量关系：甲走的路程 + 乙走的路程 = 总路程，或（甲的速度 + 乙的速度）×相遇时间 = 总路程。 例：甲、乙两车分别从相距(480)千米的(A)、(B)两地同时出发，相向而行，甲车每小时行(60)千米，乙车每小时行(80)千米，经过几小时两车相遇？设经过(x)小时相遇，等量关系为(60x + 80x = 480)或((60 + 80)x = 480)。 追及问题：两人或两车同向而行，速度快的在后，速度慢的在前，经过一段时间速度快的追上速度慢的。等量关系：快的所走路程 - 慢的所走路程 = 两者最初的距离，或（快的速度 - 慢的速度）×追及时间 = 两者最初的距离。 例：小明和小红在同一条路上同向而行，小明在小红后面，小明每分钟走(70)米，小红每分钟走(50)米，两人相距(100)米，经过几分钟小明能追上小红？设经过(x)分钟小明追上小红，等量关系为(70x - 50x = 100)或((70 - 50)x = 100)。 3.工程问题（简单）：一般把工作总量看作单位“(1)”，工作效率 = 工作总量÷工作时间。等量关系：甲的工作效率×工作时间 + 乙的工作效率×工作时间 = 工作总量（如果两人合作）。 例：一项工程，甲单独做需要(10)天完成，乙单独做需要(15)天完成，两人合作几天可以完成这项工程？设两人合作(x)天完成，甲的工作效率为 4.购物问题：涉及单价、数量、总价之间的关系。等量关系：单价×数量 = 总价；买(A)商品的总价 + 买(B)商品的总价 = 总花费等。 例：妈妈买了(3)千克苹果和(2)千克香蕉，一共花了(32)元，苹果每千克(6)元，香蕉每千克多少元？设香蕉每千克(x)元，等量关系为(3×6 + 2x = 32)。 5.年龄问题：两个人的年龄差始终不变。等量关系：现在的年龄差 = 过去的年龄差 = 未来的年龄差。 例：今年爸爸(40)岁，儿子(10)岁，几年后爸爸的年龄是儿子的(3)倍？设(x)年后爸爸的年龄是儿子的(3)倍，等量关系为(40 + x = 3×(10 + x))。 6.鸡兔同笼问题（用方程解）：已知鸡和兔的总头数和总脚数，求鸡和兔各有多少只。等量关系：鸡的只数 + 兔的只数 = 总头数；鸡的脚数 + 兔的脚数 = 总脚数（鸡有(2)只脚，兔有(4)只脚）。 例：鸡和兔一共有(20)个头，(56)只脚，鸡和兔各有多少只？设鸡有(x)只，则兔有((20 - x))只，等量关系为(2x + 4×(20 - x) = 56)。 四、列方程解决问题的注意事项 1.设未知数要明确：设未知数时，要清楚表示出所设的量是什么，带上单位（如果题目有单位）。例如：设苹果每千克(x)元，而不是只写设(x)。 2.等量关系要准确：这是列方程的关键，一定要根据题目中的实际数量关系找出正确的等量关系，避免张冠李戴。 3.解方程步骤要规范：解方程时，要严格按照等式的性质进行变形，每一步都要写清楚，等号要对齐。 4.检验不可少：求出方程的解后，要代入原方程检验，看左右两边是否相等，同时还要检查解是否符合实际意义，比如人数不能为负数，物品数量不能为小数（特殊情况除外）等。 5.作答要完整：答案要清晰、完整，带上相应的单位。 考点讲练 考点一：列方程解决和差倍问题 【典例精讲】市场运来一批水果，其中苹果的质量是梨的3倍，运来苹果和梨的质量一共240千克，梨运来( )千克，苹果运来( )千克。 【变式训练】书架上有科技书和故事书共100本，科技书的本数是故事书的3倍，故事书有( )本。 【变式训练】今年妈妈比小明大24岁，妈妈的年龄是小明的3倍，今年妈妈的年龄是( )岁。 【变式训练】川剧脸谱是川剧表演艺术中重要的组成部分。张阿姨对川剧脸谱有着浓厚的兴趣，她共收集红色脸谱和黑色脸谱15张，红色脸谱的数量是黑色脸谱的2倍，红色脸谱有( )张，黑色脸谱有( )张。 考点二：列方程解决年龄问题 【典例精讲】今年妈妈的年龄比笑笑年龄的3倍少3岁，妈妈今年39岁，笑笑今年多少岁？（列方程解答） 【变式训练】淘气和智慧老人今年各多少岁？（用方程解） 【变式训练】马丁一家人坐火车回家乡。车上有个很唠叨的人，不停地问这问那，最后问起马丁一家人的年龄。马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5倍，我妻子的年龄是我儿子年龄的5倍，我的年龄是我妻子年龄的1.2倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的年龄，今天她正要庆祝61岁的生日。”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？ 【变式训练】小明今年8岁，爸爸今年42岁，若干年后，爸爸的年龄比小明年龄的4倍少11岁，那时爸爸的年龄是多少岁？ 考点三：列方程解决相遇问题 【典例精讲】甲乙两车从相距850km的两地同时出发相向而行，甲车每小时行80km，乙车每小时行90km，两车出发几时后相遇？ 【变式训练】甲、乙两艘轮船分别从相距198千米的A、B两港同时出发相向而行，甲船平均每小时行驶18千米，经过6小时两船在途中相遇，乙船平均每小时行驶多少千米？（列方程解答） 【变式训练】星期日，笑笑和欢欢约好去社区做核酸检测，笑笑家和欢欢家之间相距800米，两人同时出发，笑笑平均每分钟走56米，8分钟后两人相遇，欢欢平均每分钟走多少米？（列方程解答） 【变式训练】甲、乙两船同时从相距240千米的两个码头相对开出，4时后两船相遇。甲船每时行27千米，乙船每时行多少千米？（列方程解答） 考点四：列方程解决稍复杂的行程问题 【典例精讲】淘气家到笑笑家的路程是860米，淘气从家出发，每分步行70米，2分钟后，笑笑也从家出发，每分步行50米。笑笑出发多长时间两人相遇？ 【变式训练】小强家到学校，如果每分走50米，上课就要迟到3分钟，如果每分钟走60米，就可以提前2分钟到校。小强家到学校的路程是多少米？ 【变式训练】兄妹二人同时离家去上学，哥哥每分钟走80米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门口时，突然发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，返回时行至离校门140米处与妹妹相遇，问他们家离学校有多远？ 【变式训练】甲、乙两队合凿一条长700米的隧道，甲队每天凿12.6米，乙队每天凿14.4米，甲队先凿了25米后，甲、乙合作开凿，合作多少天后能凿通隧道？（用方程解） 考点五：列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】张叔叔到达家乡县城后下车休息，于是就去找当地的美食，恰巧遇到316路公共汽车，若316路公共汽车每隔一段时间发车一次，且张叔叔也随316路公交线路匀速行走，他发现每隔6分钟从背后开过来一辆316路公共汽车，每隔分钟对面有一辆316路公共汽车驶来，请问316路公共汽车每隔多长时间发车一次？ 【变式训练】火爆打卡。花江峡谷大桥是自带流量的世界级打卡地。据官方媒体数据显示，2026年元旦假期旅客接待量约3万人次，其中第一天与第二天的旅客人数比是5∶6，第三天旅客人数比第二天少。元旦假期这三天的旅客接待量各有多少人？ 【变式训练】甲乙丙三人各有一些金币，甲拿出他的金币的，乙拿出他的金币的，丙拿出他的金币的，然后将三人拿出的金币平均分成三份，甲乙丙各取一份，结果甲乙丙三人手中的金币数依次占金币总数的、、。问：金币总数至少是多少？ 【变式训练】某单位计划10月份组织员工到外地旅游，人数在6～15人之间。甲、乙两旅行社的服务质量相同，且对外报价都是每人200元。该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示，可先免去一位游客的旅游费用，其余游客九折优惠。当人数是多少时，两个旅行社旅游费用一样多？ 综合训练 1．一个四位数各个数位上的数字都增加4，得到一个新的四位数，新的四位数比原来四位数的5倍还多4，那么，原来这个四位数是（    ）。 A．1110 B．2206 C．2220 D．3330 2．《九章算术》记载：“今有凫（fú）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫雁俱起，问何日相逢。”其大意是：野鸭从南海飞到北海需要7天；大雁从北海飞到南海需要9天。野鸭与大雁分别从南海和北海同时起飞，经过（    ）天相遇。 A． B． C． D．16 3．今年小方父亲的年龄是小方的3倍，去年小方的父亲比小方大26岁，那么小方明年多大？（    ） A．16 B．13 C．15 D．14 4．某单位向希望工程捐款，其中部门领导每人捐50元，普通员工每人捐20元。某部门所有人员共捐款320元。已知该部门总人数超过10人，问该部门可能有（    ）名部门领导。 A．1 B．2 C．3 D．4 5．李师傅加工一批零件，如果每天做50个，要比计划晚8天完成；如果每天做60个，就可提前5天完成，这批零件共有多少个？（    ）。 A．3500个 B．3800个 C．3900个 D．4000个 6．甲乙两地间的公路长336千米，两辆汽车从两地同时相对开出，经过3.5小时在途中相遇。已知甲地开出的汽车每小时行52千米，乙地开出的汽车每小时行（    ）。 A．48千米 B．44千米 C．42千米 D．38千米 7．体育商店一个足球80元，一个篮球60元。学校要买足球和篮球共30个，足球的总价比篮球贵440元，学校买篮球______个。 8．六（1）班共有学生39人，其中男生人数比女生多。如果设女生有x人，那么可列方程为( )；如果设女生有5x人，那么可列方程为( )。 9．李老师买了2副羽毛球拍和50个羽毛球共用去300元，每个羽毛球2元。若设每副羽毛球拍为m元，则可列方程为( )。 10．如下图，正五边形的周长比等边三角形的周长长10cm，正五边形的周长是( )cm，等边三角形的周长是( )cm。 11．五年级无人机兴趣小组的学生比绘画兴趣小组的学生少9人，无人机兴趣小组的学生人数是绘画兴趣小组学生人数的。绘画兴趣小组有( )人。 12．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托。如果1托为5尺，那么设竿子长为x尺，依据题意，可列出方程得________。 13．笑笑和妈妈想在六一儿童节前，为希望小学的小朋友编60个笔筒。妈妈平均每时编3个，笑笑平均每时编2个。编好60个笔筒，一共需要多长时间？ 14．光的速度是30万千米/秒，相当于1秒绕地球赤道约7圈还多2万千米。地球赤道的周长大约多少万千米？ 15．秦腔的表演技艺朴实、粗犷、豪放，是中国汉族最古老的戏剧之一，也是国家级非物质文化遗产之一。小俊调查了本校153名学生对秦腔的了解程度，其中了解的人数是不了解的2.4倍，调查的学生中了解秦腔和不了解秦腔的分别有多少人？ 16．刺绣是中国民间传统手工艺之一、陈阿姨绣一幅花鸟图，她准备了一些丝线，绣花朵部分用了这些丝线的，绣鸟部分用了5米，这些丝线还剩下。陈阿姨准备了多少米的丝线？（用方程解） 17．农历五月初五是中国的传统节日一端午节。实验小学五（1）班和五（2）班举行包粽子活动，共包224个粽子。其中五（1）班包的粽子个数是五（2）班的3倍，五（1）班和五（2）班各包了多少个粽子？（用方程解答） 18．《张丘建算经》卷上第31问中有如下问题：“今有七百人造浮桥，九日成，今增五百人，问日几何？”意思是现在有700人造浮桥，9天能完成，如果增加500人，那么几天能完成？（假设每人每天的工作效率相等） 19．甲、乙两车从相距480千米的两地同时出发，经过4小时相遇，乙车每小时行驶70千米，甲车每小时行驶多少千米？（列方程解） 20．甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每时行驶80千米，乙车每时行驶90千米，经过4时后两车还相距40千米（未相遇），甲、乙两地相距多少千米？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 用方程解决问题 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、方程的意义与相关概念回顾 1 二、用方程解决问题的一般步骤 2 三、常见的用方程解决的问题类型及等量关系 2 四、列方程解决问题的注意事项 4 考点讲练 4 考点一：列方程解决和差倍问题 4 考点二：列方程解决年龄问题 6 考点三：列方程解决相遇问题 9 考点四：列方程解决稍复杂的行程问题 12 考点五：列方程解决稍复杂的实际问题 15 综合训练 22 知识梳理 一、方程的意义与相关概念回顾 1.方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。例如：(3x + 5 = 20)、(y - 12 = 30)都是方程。 2.等式的性质 等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。如：若(a = b)，则(a + c = b + c)，(a - c = b - c)。 等式两边同时乘或除以同一个不为(0)的数，等式仍然成立。如：若(a = b)，且(c eq 0)，则(a×c = b×c)，(a÷c = b÷c)。 3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。例如：方程(2x = 10)的解是(x = 5)。 4.解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 5.用字母表示数：在解决问题时，通常用字母（如(x)、(y)、(z)等）表示未知数，字母可以表示任意数，也可以表示特定的数量关系。书写时要注意：数字与字母相乘时，数字在前，字母在后，乘号可以省略（如(3×x)写作(3x)）；(1)与字母相乘时，(1)可以省略（如(1×x)写作(x)）；字母与字母相乘时，乘号可以省略（如(x×y)写作(xy)）；除法运算一般写成分数形式。 二、用方程解决问题的一般步骤 1.审清题意，找出关键信息：认真读题，理解题意，明确题目中的已知条件和所求问题，找出题目中的关键语句和数量关系。 2.找出等量关系：这是列方程的核心步骤。可以通过以下方法寻找等量关系： 根据题目中的关键词，如“一共”“还剩”“比……多/少”“是……的几倍”“平均”等确定等量关系。 根据常见的数量关系，如路程=速度×时间、总价=单价×数量、工作总量=工作效率×工作时间、长方形周长=（长+宽）×2、长方形面积=长×宽等确定等量关系。 通过画图（如线段图、示意图等）帮助分析数量关系，找出等量关系。 3.设未知数：一般设所求的量为未知数，通常用(x)表示。如果有多个未知数，根据题目中的数量关系，设其中一个为(x)，其他未知数用含(x)的式子表示。设未知数时，要在(x)后面带上单位（如果题目中涉及单位）。 4.列出方程：根据找出的等量关系，把已知数和未知数代入等量关系式，列出方程。 5.解方程：运用等式的性质求出方程的解。解方程时要注意书写规范，每一步都要有依据。 6.检验并作答：把求出的未知数的值代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。同时，还要检验所求的解是否符合实际情况。如果检验正确，就写出答案，答案要带上单位。 三、常见的用方程解决的问题类型及等量关系 1.简单的和差倍问题 和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求这两个数。等量关系：较小数×倍数 + 较小数 = 和，或较小数×（倍数 + 1）= 和。 例：学校图书馆买来故事书和科技书共(120)本，故事书的本数是科技书的(2)倍，两种书各买了多少本？设科技书有(x)本，则故事书有(2x)本，等量关系为(x + 2x = 120)。 差倍问题：已知两个数的差及它们之间的倍数关系，求这两个数。等量关系：较大数 - 较小数 = 差，或较小数×倍数 - 较小数 = 差，即较小数×（倍数 - 1）= 差。 例：妈妈的年龄比小明大(24)岁，妈妈的年龄是小明的(3)倍，小明和妈妈各多少岁？设小明的年龄为(x)岁，则妈妈的年龄为(3x)岁，等量关系为(3x - x = 24)。 和差问题：已知两个数的和与差，求这两个数。等量关系：较大数 + 较小数 = 和，较大数 - 较小数 = 差。可以设较大数为(x)，则较小数为和 - (x)，再根据差的关系列方程；或者设较小数为(x)，则较大数为和 - (x)，再根据差的关系列方程。 例：甲、乙两数的和是(56)，差是(12)，甲、乙两数各是多少？设甲数为(x)，则乙数为(56 - x)，等量关系为(x - (56 - x) = 12)。 2.行程问题 相遇问题：两人或两车从两地同时出发，相向而行，经过一段时间相遇。等量关系：甲走的路程 + 乙走的路程 = 总路程，或（甲的速度 + 乙的速度）×相遇时间 = 总路程。 例：甲、乙两车分别从相距(480)千米的(A)、(B)两地同时出发，相向而行，甲车每小时行(60)千米，乙车每小时行(80)千米，经过几小时两车相遇？设经过(x)小时相遇，等量关系为(60x + 80x = 480)或((60 + 80)x = 480)。 追及问题：两人或两车同向而行，速度快的在后，速度慢的在前，经过一段时间速度快的追上速度慢的。等量关系：快的所走路程 - 慢的所走路程 = 两者最初的距离，或（快的速度 - 慢的速度）×追及时间 = 两者最初的距离。 例：小明和小红在同一条路上同向而行，小明在小红后面，小明每分钟走(70)米，小红每分钟走(50)米，两人相距(100)米，经过几分钟小明能追上小红？设经过(x)分钟小明追上小红，等量关系为(70x - 50x = 100)或((70 - 50)x = 100)。 3.工程问题（简单）：一般把工作总量看作单位“(1)”，工作效率 = 工作总量÷工作时间。等量关系：甲的工作效率×工作时间 + 乙的工作效率×工作时间 = 工作总量（如果两人合作）。 例：一项工程，甲单独做需要(10)天完成，乙单独做需要(15)天完成，两人合作几天可以完成这项工程？设两人合作(x)天完成，甲的工作效率为 4.购物问题：涉及单价、数量、总价之间的关系。等量关系：单价×数量 = 总价；买(A)商品的总价 + 买(B)商品的总价 = 总花费等。 例：妈妈买了(3)千克苹果和(2)千克香蕉，一共花了(32)元，苹果每千克(6)元，香蕉每千克多少元？设香蕉每千克(x)元，等量关系为(3×6 + 2x = 32)。 5.年龄问题：两个人的年龄差始终不变。等量关系：现在的年龄差 = 过去的年龄差 = 未来的年龄差。 例：今年爸爸(40)岁，儿子(10)岁，几年后爸爸的年龄是儿子的(3)倍？设(x)年后爸爸的年龄是儿子的(3)倍，等量关系为(40 + x = 3×(10 + x))。 6.鸡兔同笼问题（用方程解）：已知鸡和兔的总头数和总脚数，求鸡和兔各有多少只。等量关系：鸡的只数 + 兔的只数 = 总头数；鸡的脚数 + 兔的脚数 = 总脚数（鸡有(2)只脚，兔有(4)只脚）。 例：鸡和兔一共有(20)个头，(56)只脚，鸡和兔各有多少只？设鸡有(x)只，则兔有((20 - x))只，等量关系为(2x + 4×(20 - x) = 56)。 四、列方程解决问题的注意事项 1.设未知数要明确：设未知数时，要清楚表示出所设的量是什么，带上单位（如果题目有单位）。例如：设苹果每千克(x)元，而不是只写设(x)。 2.等量关系要准确：这是列方程的关键，一定要根据题目中的实际数量关系找出正确的等量关系，避免张冠李戴。 3.解方程步骤要规范：解方程时，要严格按照等式的性质进行变形，每一步都要写清楚，等号要对齐。 4.检验不可少：求出方程的解后，要代入原方程检验，看左右两边是否相等，同时还要检查解是否符合实际意义，比如人数不能为负数，物品数量不能为小数（特殊情况除外）等。 5.作答要完整：答案要清晰、完整，带上相应的单位。 考点讲练 考点一：列方程解决和差倍问题 【典例精讲】市场运来一批水果，其中苹果的质量是梨的3倍，运来苹果和梨的质量一共240千克，梨运来( )千克，苹果运来( )千克。 【答案】 60 180 【分析】苹果的质量是梨的3倍，将梨的质量设为x千克，苹果的质量为3x千克，根据数量关系式：梨的质量＋苹果的质量＝240，列出方程解方程得出梨的质量是60千克，再根据苹果的质量＝梨的质量×3。把数代入即可求解。 【详解】解：设梨的质量是x千克，苹果的质量是3x千克。 3x＋x＝240 4x＝240 x＝240÷4 x＝60 60×3＝180（千克） 则梨运来60千克，苹果运来180千克。 【变式训练】书架上有科技书和故事书共100本，科技书的本数是故事书的3倍，故事书有( )本。 【答案】25 【分析】由题意可知，假设故事书有x本，则科技书的本数是3x。根据关系式科技书的本数＋故事书的本数＝100，列方程解答即可。 【详解】解：设故事书有x本，则科技书的本数是3x。 故事书有25本。 【变式训练】今年妈妈比小明大24岁，妈妈的年龄是小明的3倍，今年妈妈的年龄是( )岁。 【答案】36 【分析】根据题意可知，小明的年龄×3＝妈妈的年龄，妈妈的年龄－小明的年龄＝24岁，据此设小明今年x岁，列方程为3x－x＝24，然后解出方程，进而求出妈妈的年龄即可。 【详解】解：设小明今年x岁。 3x－x＝24 2x＝24 2x÷2＝24÷2 x＝12 12×3＝36（岁） 今年妈妈的年龄是36岁。 【变式训练】川剧脸谱是川剧表演艺术中重要的组成部分。张阿姨对川剧脸谱有着浓厚的兴趣，她共收集红色脸谱和黑色脸谱15张，红色脸谱的数量是黑色脸谱的2倍，红色脸谱有( )张，黑色脸谱有( )张。 【答案】 10 5 【分析】设黑色脸谱有x张，红色脸谱是黑色脸谱的2倍，则红色脸谱有2x张；共收集红色脸谱和黑色脸谱15张，即红色脸谱的张数＋黑色脸谱的张数＝15，列方程：x＋2x＝15，解方程，即可解答。 【详解】解：设黑色脸谱有x张，则红色脸谱有2x张。 x＋2x＝15 3x＝15 x＝15÷3 x＝5 红色脸谱：5×2＝10（张） 【点睛】根据方程的实际应用，利用红色脸谱张数与黑色脸谱的张数之间的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 考点二：列方程解决年龄问题 【典例精讲】今年妈妈的年龄比笑笑年龄的3倍少3岁，妈妈今年39岁，笑笑今年多少岁？（列方程解答） 【答案】14岁 【分析】根据题目可知，妈妈的年龄比笑笑年龄的3倍少3岁，可以设笑笑的年龄为x岁，则妈妈的年龄＝笑笑年龄×3－3，把x代入等式即可列方程，再解答即可。 【详解】解：设笑笑今年x岁。 3x－3＝39 3x＝39＋3 3x＝42 x＝42÷3 x＝14 答：笑笑今年14岁。 【点睛】本题主要考查列方程解应用题，应找准等量关系再列方程。 【变式训练】淘气和智慧老人今年各多少岁？（用方程解） 【答案】淘气11岁；智慧老人66岁 【分析】设淘气今年x岁，因为智慧老人的年龄是淘气的6倍，所以智慧老人今年6x岁。已知智慧老人比淘气大55岁，可列方程为：6x－x＝55，然后解方程即可。 【详解】解：设淘气今年x岁。 6x－x＝55 5x＝55 x＝55÷5 x＝11 11×6＝66（岁） 答：淘气今年11岁，智慧老人今年66岁。 【变式训练】马丁一家人坐火车回家乡。车上有个很唠叨的人，不停地问这问那，最后问起马丁一家人的年龄。马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5倍，我妻子的年龄是我儿子年龄的5倍，我的年龄是我妻子年龄的1.2倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的年龄，今天她正要庆祝61岁的生日。”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？ 【答案】30岁 【分析】先设马丁的女儿岁，然后根据题意可知，分别表示出其他三人的年龄，即儿子岁，马丁妻子岁，马丁岁。再根据把他们的年龄都加起来，正好等于祖母的年龄，列方程解答，进而求出马丁的年龄。 【详解】解：设马丁的女儿岁，则儿子岁，马丁妻子岁，马丁岁。 马丁的年龄：（岁） 答：马丁30岁。 【变式训练】小明今年8岁，爸爸今年42岁，若干年后，爸爸的年龄比小明年龄的4倍少11岁，那时爸爸的年龄是多少岁？ 【答案】49岁 【分析】根据题意，爸爸今年比小明大42－8＝34（岁），那么若干年后，爸爸仍然比小明大34岁。设若干年后小明x岁，则爸爸（4x－11）岁，根据“爸爸的年龄－小明的年龄＝34岁”列方程求出若干年后小明的年龄，再求出爸爸那时的年龄。 【详解】解：设若干年后小明x岁，则爸爸（4x－11）岁。 4x－11－x＝42－8 3x－11＝34 3x＝45 x＝45÷3 x＝15 爸爸：15×4－11 ＝60－11 ＝49（岁） 答：那时爸爸的年龄是49岁。 【点睛】列方程解含有两个未知数的问题时，设其中的一个未知数是x，用含有x的式子表示另一个未知数，再根据等量关系即可列出方程。明确“若干年后，爸爸仍然比小明大34岁”，然后找出等量关系式是解题的关键。 考点三：列方程解决相遇问题 【典例精讲】甲乙两车从相距850km的两地同时出发相向而行，甲车每小时行80km，乙车每小时行90km，两车出发几时后相遇？ 【答案】5小时 【分析】首先把甲车的速度和乙车的速度相加，求出两车的速度之和是多少；然后根据速度和×相遇时间＝路程和，设x小时后相遇，列方程为（80＋90）x＝850，然后解出方程即可。 【详解】解：设x小时后相遇。 （80＋90）x＝850 170x＝850 170x÷170＝850÷170 x＝5 答：两车出发5小时后相遇。 【点睛】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程三者之间的关系，解答此题的关键是求出两车的速度之和。 【变式训练】甲、乙两艘轮船分别从相距198千米的A、B两港同时出发相向而行，甲船平均每小时行驶18千米，经过6小时两船在途中相遇，乙船平均每小时行驶多少千米？（列方程解答） 【答案】15千米 【分析】题目中已知甲船平均每小时行驶18千米，时间为6小时，总路程为198千米，可以设乙船速度为每小时x千米，得到等量关系式为：甲船速度×时间＋乙船速度×时间＝总路程，据此列出方程求解即可。 【详解】由分析可得： 解：设乙船平均速度为每小时x千米， 18×6＋6x＝198 108＋6x＝198 108＋6x－108＝198－108 6x＝90 6x÷6＝90÷6 x＝15 答：乙船平均每小时行驶15千米。 【点睛】本题考查了速度、时间和总路程三者之间的关系以及应用，找出他们之间的等量关系，结合实际列出方程，在解方程的过程中要注意运算的正确性。 【变式训练】星期日，笑笑和欢欢约好去社区做核酸检测，笑笑家和欢欢家之间相距800米，两人同时出发，笑笑平均每分钟走56米，8分钟后两人相遇，欢欢平均每分钟走多少米？（列方程解答） 【答案】44米 【分析】用笑笑和欢欢各自的速度乘相遇时间，得到两人各自走的路程，两家的距离就是两人各自走的路程的和，根据“笑笑的速度×相遇时间＋欢欢的速度×相遇时间＝两家的距离”，设欢欢的速度为每分钟走x米，可列出方程，解方程即可求出欢欢每分钟走多少米。 【详解】解：设欢欢平均每分钟走x米。 56×8＋8x＝800 448＋8x＝800 8x＝800－448 8x＝352 x＝44 答：欢欢平均每分钟走44米。 【点睛】列方程解答此题，需要先根据题中数量之间的关系，找出主要的等量关系，把等量关系中未知的量设为未知数，根据等量关系列出方程并解答。 【变式训练】甲、乙两船同时从相距240千米的两个码头相对开出，4时后两船相遇。甲船每时行27千米，乙船每时行多少千米？（列方程解答） 【答案】33千米 【分析】根据题意可知，甲船行驶的距离＋乙船行驶的距离＝两个码头的距离；设乙船每小时行x千米；4小时行4x千米，甲船每小时行27千米，4小时行4×27千米；列方程：27×4＋4x＝240，解方程，即可解答。 【详解】解：设乙船每小时行x千米。 27×4＋4x＝240 108＋4x＝240 4x＝240－108 4x＝132 x＝132÷4 x＝33 答：乙船每小时行33千米。 【点睛】根据方程的实际应用，根据距离、速度和时间三者的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 考点四：列方程解决稍复杂的行程问题 【典例精讲】淘气家到笑笑家的路程是860米，淘气从家出发，每分步行70米，2分钟后，笑笑也从家出发，每分步行50米。笑笑出发多长时间两人相遇？ 【答案】6分 【分析】根据题意，用淘气每分走的速度×2，求出淘气2分钟走的路程，再用总路程减去淘气2分钟走的路程，剩下的路程就是笑笑和淘气相遇时，笑笑用的时间和淘气用的时间相同，设笑笑出发x分两人相遇，笑笑每分步行50米，x分步行50x米，淘气每分步行70米，x分步行70x米，两人走的路程和等于淘气家到笑笑家的路程减去淘气先走2分钟的路程，列方程：50x＋70x＝860－70×2，代入数据，即可解答。 【详解】解：设笑笑出发x分后两人相遇。 50x＋70x＝860－70×2 120x＝860－140 120x＝720 x＝720÷120 x＝6 答：笑笑出发6分两人相遇。 【点睛】本题考查方程的实际应用，利用速度、时间和距离三者的关系设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程；关键明确，笑笑和淘气相遇时，所走的路程是两家的路程减去淘气先走2分钟的路程。 【变式训练】小强家到学校，如果每分走50米，上课就要迟到3分钟，如果每分钟走60米，就可以提前2分钟到校。小强家到学校的路程是多少米？ 【答案】1500米 【分析】设小强正常从家到学校时间为x分钟，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟，小强实际走了（x＋3）分钟，走了50×（x＋3）米，就是家到学校的路程；如果每分钟走60米，就可以提前2分钟到学校，小强实际走了（x－2）分钟，走了60×（x－2）米，也就是家到学校的路程，由于学校路程不变，列方程：50×（x＋3）＝60×（x－2），解方程，求出小强正常从家到学校的时间。进而求出家到学校的路程。 【详解】解：设小强正常从家到学校的时间为x分钟。 50×（x＋3）＝60×（x－2） 50x＋150＝60x－120 60x－50x＝150＋120 10x＝270 x＝270÷10 x＝27 50×（27＋3） ＝50×30 ＝1500（米） 答：小强家到学校的路程是1500米。 【点睛】本题考查方程的实际应用，利用路程不变，小强正常上学的时间不变，列方程，找出相关的量，列方程，解方程。 【变式训练】兄妹二人同时离家去上学，哥哥每分钟走80米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门口时，突然发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，返回时行至离校门140米处与妹妹相遇，问他们家离学校有多远？ 【答案】980米 【分析】根据题意，兄妹俩同时从家出发去学校，哥哥到学校立即返回又行了140米遇到妹妹，这时哥哥比妹妹多行了140×2＝280米，哥哥每分钟比妹妹多行80－60＝20米，根据速度差×相遇时间＝路程差，设x分钟后两人相遇，据此列方程为：（80－60）x＝140×2，然后解出方程即可求出相遇时间，根据速度×时间＝路程，用妹妹的速度乘相遇时间加140米，即可求出家到学校的距离。 【详解】解：设x分钟后两人相遇。 （80－60）x＝140×2 20x＝140×2 20x÷20＝140×2÷20 x＝14 家到学校路程： 60×14＋140 ＝840＋140 ＝980（米） 答：他们家离学校980米。 【点睛】本题主要考查对相遇问题公式的掌握与灵活运用，还可以根据等量关系列方程解答。 【变式训练】甲、乙两队合凿一条长700米的隧道，甲队每天凿12.6米，乙队每天凿14.4米，甲队先凿了25米后，甲、乙合作开凿，合作多少天后能凿通隧道？（用方程解） 【答案】25天 【分析】甲队先凿了25米后，这条隧道剩（700－25）米，由甲、乙合作开凿，根据工作效率×工作时间＝工程量列方程并求解。 【详解】解：设合作x天后能凿通隧道。 （12.6＋14.4）x＝700－25 27x＝675 x＝25 答：合作25天后能凿通隧道。 【点睛】本题考查利用方程解决问题，关键是掌握工作效率×工作时间＝工程量这一等量关系。 考点五：列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】张叔叔到达家乡县城后下车休息，于是就去找当地的美食，恰巧遇到316路公共汽车，若316路公共汽车每隔一段时间发车一次，且张叔叔也随316路公交线路匀速行走，他发现每隔6分钟从背后开过来一辆316路公共汽车，每隔分钟对面有一辆316路公共汽车驶来，请问316路公共汽车每隔多长时间发车一次？ 【答案】5分钟 【分析】设316路公共汽车的速度为x米/分，人速为y米/分，发车间隔为t分钟，则相邻两车的距离是xt，从背后开来的车属于追及问题，根据追及路程＝追及速度×追及时间，得方程：6（x－y）＝xt①，人的对面驶来的车属于相遇问题，根据速度和×时间＝路程，得方程（x＋y）＝xt②，由①和②得6（x－y）＝（x＋y），求出x与y的关系，再代入方程①即可求解。 【详解】解：设316路公共汽车的速度为x米/分，人速为y米/分，发车间隔为t分钟，则相邻两车的距离是xt。 6（x－y）＝xt   ① （x＋y）＝xt    ② 6（x－y）＝（x＋y） 42（x－y）＝30（x＋y） 42x－42y＝30x＋30y 42x－42y＋42y＝30x＋30y＋42y 42x＝30x＋72y 42x－30x＝30x＋72y－30x 12x＝72y 12x÷12＝72y÷12 x＝6y 把x＝6y代入6（x－y）＝xt，得： 6（6y－y）＝6yt 6×5y＝6yt 30y＝6yt 30y÷6y＝6yt÷6y t＝5 答：316路公共汽车每隔5分钟发车一次。 【点睛】本题考查了追及问题和相遇问题，解题的关键在于设出公共汽车的速度、张叔叔的速度，然后根据追及问题和相遇问题公式列出方程，进而求出公共汽车的发车间隔。 【变式训练】火爆打卡。花江峡谷大桥是自带流量的世界级打卡地。据官方媒体数据显示，2026年元旦假期旅客接待量约3万人次，其中第一天与第二天的旅客人数比是5∶6，第三天旅客人数比第二天少。元旦假期这三天的旅客接待量各有多少人？ 【答案】第一天：10000人；第二天：12000人；第三天：8000人 【分析】把3万人次改写成30000人次；根据题意，第一天与第二天的游客人数比是5∶6，设第一天游客是5x人，第二天游客是6x人；把第二天游客人数看作单位“1”，第三天游客人数比第二天少，则第三天游客人数是第二天游客人数的（1－），用第二天游客人数×（1－），即（1－）×6x，求出第三天游客人数；三天游客接待量约30000人次，即第一天游客人数＋第二天游客人数＋第三天游客人数＝30000，列方程：5x＋6x＋（1－）×6x＝30000，解方程，即可解答。 【详解】3万＝30000 解：设第一天游客人数是5x人，第二天游客人数是6x人。 5x＋6x＋（1－）×6x＝30000 5x＋6x＋×6x＝30000 5x＋6x＋4x＝30000 11x＋4x＝30000 15x＝30000 x＝30000÷15 x＝2000 第一天：2000×5＝10000（人） 第二天：2000×6＝12000（人） 第三天：12000×（1－） ＝12000× ＝8000（人） 答：元旦假期第一天的游客接待有10000人，第二天的游客接待有12000人，第三天的游客接待有8000人。 【变式训练】甲乙丙三人各有一些金币，甲拿出他的金币的，乙拿出他的金币的，丙拿出他的金币的，然后将三人拿出的金币平均分成三份，甲乙丙各取一份，结果甲乙丙三人手中的金币数依次占金币总数的、、。问：金币总数至少是多少？ 【答案】 282枚 【分析】最后甲、乙、丙三人手中的金币数依次占金币总数的、、，即甲∶乙∶丙＝∶∶＝3∶2∶1。可设最后甲、乙、丙分别有金币枚、枚、枚，那么金币总数为枚。三人拿出的金币被平均分成三份，且三人各取一份，那么可设每一份有枚金币。那么甲、乙、丙拿出金币后剩余的金币数分别为枚、枚、枚。根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”可知：甲是拿出他的金币的，那么剩余的金币数占甲原有金币数的，所以用除以即可计算甲原有的金币数；乙是拿出他的金币的，那么剩余的金币数占乙原有金币数的，用除以即可计算乙原有的金币数；丙是拿出他的金币的，那么剩余的金币数占丙原有金币数的，用除以即可计算丙原有的金币数。最后根据“甲原有的金币数＋乙原有的金币数＋丙原有的金币数＝金币总数”代入数值计算得到与的关系：即，和都是整数，所以是42的倍数，当时，最小，所以金币总数至少是6×47＝282（枚）。 【详解】甲、乙、丙最后手中金币数的比为： 甲∶乙∶丙 ＝∶∶ ＝3∶2∶1 解：设最后甲、乙、丙分别有金币枚、枚、枚；三人拿出的金币被平均分成三份，设每一份有枚金币。 总金币为：＝（枚） 甲原来的金币数： ＝ ＝ ＝枚 乙原来的金币数： ＝ ＝ ＝枚 丙原来的金币数： ＝ ＝ ＝枚 因为和都是整数，所以是42的倍数，当时，最小。 所以最少有金币：6×47＝282（枚） 答：金币总数至少是282枚。 【点睛】本题利用“倒推法”计算出甲、乙、丙原来的金币数，再根据金币总数不变的情况列出等量关系式并求解分析。 【变式训练】某单位计划10月份组织员工到外地旅游，人数在6～15人之间。甲、乙两旅行社的服务质量相同，且对外报价都是每人200元。该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示，可先免去一位游客的旅游费用，其余游客九折优惠。当人数是多少时，两个旅行社旅游费用一样多？ 【答案】 9人 【分析】由题意知，甲旅行社旅行费用为报价乘80%乘人数，乙旅行社旅行费用为总人数减1乘报价再乘90%。设当人数是人时，两个旅行社旅游费用一样多，则列方程为，先化简方程，再根据等式的性质求出方程的解即可。据此解答。 【详解】解：设当人数是人时，两个旅行社旅游费用一样多。                                                               答：当人数是9时，两个旅行社旅游费用一样多。 综合训练 1．一个四位数各个数位上的数字都增加4，得到一个新的四位数，新的四位数比原来四位数的5倍还多4，那么，原来这个四位数是（    ）。 A．1110 B．2206 C．2220 D．3330 【答案】A 【分析】将各个数位上的数字都增加了4，所以该四位数增加了4×1000＋4×100＋4×10＋4，计算出结果。再根据增加的值＋原先的四位数＝新的四位数，又因为新的四位数＝原先的四位数×5＋4，设原来的四位数为x，据此列方程解答。 【详解】4×1000＋4×100＋4×10＋4 ＝4000＋400＋40＋4 ＝4444 解：设原来的四位数为x。 x＋4444＝5x＋4 x＋4444－x＝5x＋4－x 4x＋4＝4444 4x＋4－4＝4444－4 4x＝4440 4x÷4＝4440÷4 x＝1110 所以原来这个四位数是1110。 故答案为：A 2．《九章算术》记载：“今有凫（fú）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫雁俱起，问何日相逢。”其大意是：野鸭从南海飞到北海需要7天；大雁从北海飞到南海需要9天。野鸭与大雁分别从南海和北海同时起飞，经过（    ）天相遇。 A． B． C． D．16 【答案】C 【分析】分析题目，把总路程看作单位“1”，根据速度＝路程÷时间分别求出野鸭和大雁的速度，再用加法求出野鸭和大雁的速度之和，最后根据相遇时间＝总路程÷速度和求出相遇时间即可。 【详解】1÷7＝ 1÷9＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（天） 《九章算术》记载：“今有凫（fú）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫雁俱起，问何日相逢。”其大意是：野鸭从南海飞到北海需要7天；大雁从北海飞到南海需要9天。野鸭与大雁分别从南海和北海同时起飞，经过天相遇。 故答案为：C 3．今年小方父亲的年龄是小方的3倍，去年小方的父亲比小方大26岁，那么小方明年多大？（    ） A．16 B．13 C．15 D．14 【答案】D 【分析】设今年小方的年龄是x岁，则今年小方父亲的年龄是3x岁，结合“小方父亲去年的年龄－小方去年的年龄＝26”可得方程：3x－1－（x－1）＝26，解这个方程即可知道小方今年的年龄，即而可得小方明年的年龄。 【详解】解：设小方今年x岁，则小方父亲今年3x岁，根据题意可得： （3x－1）－（x－1）＝26 3x－1－x＋1＝26 2x＝26 x＝26÷2 x＝13 小方明年的年龄：13＋1＝14（岁） 故答案为：D。 【点睛】本题关键是明年的年龄，求出今年的年龄要加上1岁，才是明年的年龄。 4．某单位向希望工程捐款，其中部门领导每人捐50元，普通员工每人捐20元。某部门所有人员共捐款320元。已知该部门总人数超过10人，问该部门可能有（    ）名部门领导。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】假定该部门领导、普通员工分别为x、y，根据捐款总数是320元列出一个等式，化简等式得到5x＋2y＝32；根据奇数偶数的计算规律可以判断出x一定是偶数，这样就排除了A、C。然后把另外两个选项中的领导数代入验证，得到正确的领导数即可。 【详解】解：设该部门领导、普通员工分别为x、y，根据题意可得，50x＋20y＝320，则5x＋2y＝32； x＋y＞10，可知x必为偶数，排除A、C； 将其余选项代入验证，若x＝2，则y＝11，x＋y＝13＞10，符合要求； 若x＝4，则y＝6，x＋y＝10，不符合要求。 故答案为：B。 【点睛】本题主要考查列方程解含有两个未知数的问题。 5．李师傅加工一批零件，如果每天做50个，要比计划晚8天完成；如果每天做60个，就可提前5天完成，这批零件共有多少个？（    ）。 A．3500个 B．3800个 C．3900个 D．4000个 【答案】C 【分析】设计划x天完成，则60（x－5）表示这批零件的总数，50（x＋8）也表示这批零件的总数，根据总数相等列出方程，解方程求出计划需要的天数，进而求出这批零件的个数即可。 【详解】解：设计划x天完成。 60（x－5）＝50（x＋8） 60x－300＝50x＋400 60x－50x＝400＋300 10x＝700 x＝70 60×（70－5） ＝60×65 ＝3900（个） 故答案为：C。 【点睛】找出比计划晚8天完成的工作总量和提前5天完成工作总量之间的等量关系，进而列出方程是解答本题的关键。 6．甲乙两地间的公路长336千米，两辆汽车从两地同时相对开出，经过3.5小时在途中相遇。已知甲地开出的汽车每小时行52千米，乙地开出的汽车每小时行（    ）。 A．48千米 B．44千米 C．42千米 D．38千米 【答案】B 【分析】根据题意可知，设乙地开出的汽车每小时行x千米，用（甲地开出的汽车速度＋乙地开出的汽车速度）×相遇时间＝甲、乙两地之间的公路长度，据此列方程解答。 【详解】解：设乙地开出的汽车每小时行x千米， （52＋x）×3.5＝336 （52＋x）＝336÷3.5 52＋x＝96 x＝96－52 x＝44 故答案为：B。 【点睛】本题考查相遇问题，根据题意，找出相关的量，列方程，解方程。 7．体育商店一个足球80元，一个篮球60元。学校要买足球和篮球共30个，足球的总价比篮球贵440元，学校买篮球______个。 【答案】14 【分析】设学校买了足球x个，则篮球买了（30－x）个；根据总价＝单价×数量，一个足球80元，买x个足球需要80x元；一个篮球60元，买（30－x）个篮球需要60×（30－x）元；足球的总价比篮球贵440元，列方程：80x－60×（30－x）＝440，解方程，求出买足球的个数，进而求出篮球的个数。 【详解】解：设学校买了x个足球，则篮球买了（30－x）个。 80x－60×（30－x）＝440 80x－60×30＋60x＝440 140x－1800＝440 140x＝440＋1800 140x＝2240 x＝2240÷140 x＝16 30－16＝14（个） 体育商店一个足球80元，一个篮球60元。学校要买足球和篮球共30个，足球的总价比篮球贵440元，学校买篮球14个。 8．六（1）班共有学生39人，其中男生人数比女生多。如果设女生有x人，那么可列方程为( )；如果设女生有5x人，那么可列方程为( )。 【答案】 【分析】根据题意可知女生人数为单位“1”，男生人数为：女生人数×，等量关系为：女生人数＋男生人数＝全班人数，根据等量关系及设的量即可列出方程。 【详解】（1）已知女生人数为，男生人数为：，可列方程为：。 （2）已知女生人数为，男生人数为：，可列方程为：。 六（1）班共有学生39人，其中男生人数比女生多。如果设女生有x人，那么可列方程为（）；如果设女生有5x人，那么可列方程为（）。 9．李老师买了2副羽毛球拍和50个羽毛球共用去300元，每个羽毛球2元。若设每副羽毛球拍为m元，则可列方程为( )。 【答案】 【分析】根据题目得到等量关系为：2副羽毛球拍的价格＋50个羽毛球的价格＝300元，根据等量关系列方程即可。 【详解】2副羽毛球拍价格：（）元，50个羽毛球价格为：（）元，方程为： 李老师买了2副羽毛球拍和50个羽毛球共用去300元，每个羽毛球2元。若设每副羽毛球拍为m元，则可列方程为（）。 10．如下图，正五边形的周长比等边三角形的周长长10cm，正五边形的周长是( )cm，等边三角形的周长是( )cm。 【答案】 25 15 【分析】由图可知，正五边形与等边三角形的边长相等，设等边三角形的边长是x厘米，那么等边三角形的周长是3x厘米，正五边形的周长是5x厘米；已知正五边形的周长比等边三角形的周长长10cm，即正五边形的周长等边三角形的周长＝10，据此列方程并求出等边三角形的边长；最后再求出正五边形和等边三角形的周长，据此解答。 【详解】解：设等边三角形的边长是x厘米。                          正五边形的周长：（厘米） 等边三角形的周长：（厘米） 因此，正五边形的周长是25厘米，等边三角形的周长是15厘米。 【点睛】本题的关键在于从图中找出正五边形的边长与等边三角形边长之间的关系，据此设未知数并列方程求解。 11．五年级无人机兴趣小组的学生比绘画兴趣小组的学生少9人，无人机兴趣小组的学生人数是绘画兴趣小组学生人数的。绘画兴趣小组有( )人。 【答案】21 【分析】根据题意，已知五年级无人机兴趣小组的学生比绘画兴趣小组的学生少9人，即绘画兴趣小组的学生人数-无人机兴趣小组的学生人数=9；设绘画兴趣小组有x人，无人机兴趣小组的学生人数是绘画兴趣小组学生人数的，故无人机兴趣小组有人，再根据绘画兴趣小组的学生人数-无人机兴趣小组的学生人数=9，列方程并解答。 【详解】解：设绘画兴趣小组有x人。 因此，绘画兴趣小组有21人。 12．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托。如果1托为5尺，那么设竿子长为x尺，依据题意，可列出方程得________。 【答案】（x＋5）÷2＝x－5 【分析】根据题意可知，索比竿子长一托，也就是长5尺，设竿子长为x尺，则索长（x＋5）尺；对折索子来量竿，却比竿子短一托，也就是索子的一半比竿子短5尺，据此可知，（x＋5）÷2＝x－5，据此解出方程即可。 【详解】根据分析可知，设竿子长为x尺，依据题意，可列出方程得（x＋5）÷2＝x－5。 【点睛】本题主要考查了列方程解决问题，找到相应的关系式是解答本题的关键。 13．笑笑和妈妈想在六一儿童节前，为希望小学的小朋友编60个笔筒。妈妈平均每时编3个，笑笑平均每时编2个。编好60个笔筒，一共需要多长时间？ 【答案】12时 【分析】根据题意可得出等量关系：妈妈每时编笔筒的数量×编的时间＋笑笑每时编笔筒的数量×编的时间＝笑笑和妈妈一共编笔筒的总数量，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设一共需要时。 3＋2＝60 5＝60 5÷5＝60÷5 ＝12 答：一共需要12时。 14．光的速度是30万千米/秒，相当于1秒绕地球赤道约7圈还多2万千米。地球赤道的周长大约多少万千米？ 【答案】4万千米 【分析】根据题意可得出等量关系：地球赤道的周长×7＋2＝光的速度，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设地球赤道的周长大约万千米。 7＋2＝30 7＋2－2＝30－2 7＝28 7÷7＝28÷7 ＝4 答：地球赤道的周长大约4万千米。 15．秦腔的表演技艺朴实、粗犷、豪放，是中国汉族最古老的戏剧之一，也是国家级非物质文化遗产之一。小俊调查了本校153名学生对秦腔的了解程度，其中了解的人数是不了解的2.4倍，调查的学生中了解秦腔和不了解秦腔的分别有多少人？ 【答案】108人；45人 【分析】分析题目，设调查的学生中不了解秦腔的有x人，则了解秦腔的有2.4x人，根据等量关系：了解秦腔的人数＋不了解秦腔的人数＝153列出方程x＋2.4x＝153，进一步解方程即可得到不了解秦腔的人数，再用不了解秦腔的人数乘2.4即可得到了解秦腔的人数。 【详解】解：设调查的学生中不了解秦腔的有x人，则了解秦腔的有2.4x人。 x＋2.4x＝153 3.4x＝153 3.4x÷3.4＝153÷3.4 x＝45 2.4×45＝108（人） 答：调查的学生中不了解秦腔的有45人，了解秦腔的有108人。 16．刺绣是中国民间传统手工艺之一、陈阿姨绣一幅花鸟图，她准备了一些丝线，绣花朵部分用了这些丝线的，绣鸟部分用了5米，这些丝线还剩下。陈阿姨准备了多少米的丝线？（用方程解） 【答案】24米 【分析】设陈阿姨准备了x米的丝线，则绣花朵部分用了x米，还剩下x米。根据题意可得：丝线的总长度－绣花朵部分用去的长度－剩下的长度＝绣鸟部分用去的长度，据此列出方程x－x－x＝5，然后根据等式的性质解出方程即可。 【详解】解：设陈阿姨准备了x米的丝线。 x－x－x＝5 x－x＝5 x－x＝5 x＝5 ×x＝5× x＝24 答：陈阿姨准备了24米的丝线。 17．农历五月初五是中国的传统节日一端午节。实验小学五（1）班和五（2）班举行包粽子活动，共包224个粽子。其中五（1）班包的粽子个数是五（2）班的3倍，五（1）班和五（2）班各包了多少个粽子？（用方程解答） 【答案】五（1）班168个；五（2）班56个 【分析】根据“五（1）班包的粽子个数是五（2）班的3倍”，可以设五（2）班包了个粽子，则五（1）班包了3个粽子； 根据“五（1）班和五（2）班共包224个粽子”可得出等量关系：五（1）班包粽子的个数＋五（2）班包粽子的个数＝两班一共包粽子的个数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设五（2）班包了个粽子，则五（1）班包了3个粽子。 3＋＝224 4＝224 4÷4＝224÷4 ＝56 56×3＝168（个） 答：五（1）班包168个粽子，五（2）班包56个粽子。 18．《张丘建算经》卷上第31问中有如下问题：“今有七百人造浮桥，九日成，今增五百人，问日几何？”意思是现在有700人造浮桥，9天能完成，如果增加500人，那么几天能完成？（假设每人每天的工作效率相等） 【答案】5.25天 【分析】假设每人每天的工作效率是1，设x天能完成，根据工作总量＝工作效率×工作时间，工作总量相等，列出方程解答即可。 【详解】解：假设每人每天的工作效率是1，设x天能完成。 答：5.25天能完成。 19．甲、乙两车从相距480千米的两地同时出发，经过4小时相遇，乙车每小时行驶70千米，甲车每小时行驶多少千米？（列方程解） 【答案】50千米/小时 【分析】设甲车每小时行驶x千米。根据路程＝速度×时间，两车相向而行，总路程等于两车行驶路程之和，已知两地相距480千米，两车行驶时间都是4小时，乙车每小时行驶70千米，即列方程为：4x＋4×70＝48，计算出结果即可，据此解答。 【详解】解：设甲车每小时行驶x千米 4x＋4×70＝480 4x＋280＝480 4x＋280－280＝480－280 4x＝200 4x÷4＝200÷4 x＝50 答：甲车每小时行驶50千米。 20．甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每时行驶80千米，乙车每时行驶90千米，经过4时后两车还相距40千米（未相遇），甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】720千米 【分析】由题意知：可设两地距离为x千米，甲乙两车实际行驶距离是千米，根据路程÷甲乙两车的速度和＝行驶时间，列出方程解答即可。 【详解】解：设两地距离为x千米。 答：甲、乙两地相距720千米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $