专题09 计数原理与概率统计（高频考点专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

高频考点09 计数原理与概率统计 内容概览 01命题探源·考向解密 02根基夯实·知识整合 03高频考点·妙法指津（13大命题点+10道高考预测题，高考必考·（22-32）分） 考点一：计数原理 命题点1二项式定理 命题点2排列组合问题 考点二：统计问题 命题点1用样本估计总体 命题点2变量的相关关系 命题点3统计案例 考点三：概率问题 命题点1古典概型问题 命题点2条件概率 命题点3超几何分布 命题点4二项分布 命题点5正态分布 命题点6全概率公式 命题点7概率递推问题 命题点8决策问题 高考预测题4道 04好题速递·分层闯关（精选10道最新名校模拟试题+10道高考闯关题） 考点 考向 命题特征 计数原理 二项式定理 排列组合问题 高考计数原理以选择、填空小题为主，分值 5–10 分，难度中低档。重点考查两个基本原理、排列组合、二项式定理，常考捆绑、插空等典型方法，二项式侧重通项与系数。多与概率结合，情境贴近生活，注重分类讨论与逻辑推理，不考复杂模型，属于基础必拿分板块。 统计问题 用样本估计总体 变量的相关关系 统计案例 高考统计常以解答题第一题出现，分值 12 分，属基础送分题型。重点考查频率分布直方图、样本数字特征、线性回归、独立性检验，贴近实际背景。重识图计算、公式套用与文字表述，难度稳定。常与概率结合，强调数据处理与实际应用，是高考中必须稳拿满分的模块。 概率问题 古典概型问题 条件概率 超几何分布 二项分布 正态分布 全概率公式 概率递推问题 决策问题 概率在高考中多以解答题出现，选择、填空也常涉及，分值稳定。重点考查古典概型、互斥与独立事件、条件概率、离散型随机变量分布列与期望。常结合生活、生产情境命题，重逻辑分析与计算，中档难度。多与统计、计数原理综合，考查阅读理解与建模能力，是高考核心得分点。 考点一：计数原理 《解题指南》 高考计数原理核心为分类加法、分步乘法，先判断 “独立完成” 还是 “依次完成”。优先掌握特殊元素 / 位置优先法，如排头、排尾、含 0 数字问题。相邻问题用捆绑法，不相邻用插空法。分组分配注意均分除序，避免重复。排列组合先选后排，有序用排列、无序用组合。做题先定模型，再列式计算，最后检验是否重漏。多练典型题型，掌握通法，不纠结偏难题，稳拿基础与中档分。 命题点1二项式定理 【典例01】已知随机变量且，则展开式中各项系数之和为（   ） A．64 B．128 C．-64 D．-128 【答案】B 【解析】由可知正态曲线对称轴为， 因为， 所以，解得， 可得二项式为， 令，则， 所以展开式中各项系数之和为. 故选：B. 【典例02】展开式中的系数为（    ） A．56 B．42 C．84 D．120 【答案】B 【解析】二项式展开式的通项公式为， 因此展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为42. 故选：B 命题点2排列组合问题 【典例01】现要从6名学生中选4名代表班级参加学校接力赛，其中已经确定甲参加且跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒.那么合适的选择方法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若甲跑第1棒，剩余3棒需要从5人中选3人安排，分为三种情况： 乙，丙均不参加，此时有种安排方案； 乙，丙有且仅有一人参加，此时有种安排方案； 乙，丙均参加，此时有种安排方案； 若甲跑第4棒，第1棒只能从去除乙，丙，丁后的2人中选择，第2,3棒从剩余的4人中安排即可，此时有种安排方案； 由分类计数原理可得，共有种安排方案. 故选：B 【典例02】某地文旅局联合多部门借助电商平台推销当地特色农产品，共有新鲜助农水果、核心助农产品、地域特色干货、五谷杂粮礼包、非遗手工艺品、限时秒杀六类选品，若要让限时秒杀类选品作为第一个链接上架，新鲜助农水果、核心助农产品作为相邻链接上架，且非遗手工艺品不能作为最后一个链接上架，则上架顺序有（   ） A．16 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种 【答案】C 【解析】因为要让限时秒杀类选品作为第一个链接上架，所以只要考虑余下的5类选品即可； 因为新鲜助农水果和核心助农产品要作为相邻链接上架，所以将它们视为一个整体，其内部排列方式有（种）； 所以此整体与剩下的地域特色干货、五谷杂粮礼包、非遗手工艺品3类选品的排列方式有（种）； 因此不考虑其他限制的排列方式有（种）； 当非遗手工艺品作为最后一个链接上架的排列方式有（种）； 所以新鲜助农水果、核心助农产品作为相邻链接上架，且非遗手工艺品不能作为最后一个链接上架的上架顺序有（种）. 故选：C. 考点二：统计问题 《解题指南》 高考统计重点考查频率分布直方图、平均数、方差。先看清图表，直方图用面积 = 频率，中位数找面积平分点，平均数用组中值计算。解答题规范书写步骤，先列式再代入，保留小数或分数。统计重理解题意、计算准确，基础题居多，掌握公式与步骤即可稳定得分。 命题点1用样本估计总体 【典例01】在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的物理成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法正确的是（   ） A． B．众数小于平均数 C．中位数超过75分 D．估计全校有640名考生及格 【答案】D 【解析】对于A，根据频率分布直方图的性质，可得， 解得，所以A不正确； 对于B，由频率分布直方图，可得数据的众数为， 平均数， 众数大于平均数，所以B错误； 对于C，由频率分布直方图，可得中位数为，所以C错误； 对于D，由频率分布直方图，可得落在中的人数为， 设全校有人及格，则，解得，即估计全校有640名考生及格，所以D正确. 故选：D. 【典例02】（多选题）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算：得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10.则（    ） 参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，. A． B．估计该年级学生成绩的中位数约为71.43 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 【答案】ACD 【解析】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为， 则，解得，故A正确； 对于B选项，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 设该年级学生成绩的中位数为，则， 根据中位数的定义可得，解得， 所以，估计该年级学生成绩的中位数约为，故B错误； 对于C选项，估计成绩在分以上的同学的成绩的平均数为 分，故C正确； 对于D选项，估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为 ，故D正确． 故选：ACD． 命题点2变量的相关关系 【典例01】已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如表： 0 1 2 3 4 2.5 4.0 4.3 4.2 且回归直线方程是，则（   ） A．6.2 B．6.3 C．6.4 D．6.5 【答案】D 【解析】由数据表，得， 依题意，回归直线过点，则, 所以. 故选：D 【典例02】对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．将某公司新产品自上市起的月份与该月的对应销量（单位：万件）整理成如下表格：建立与的线性回归方程为，则为（   ） 月份 1 2 3 4 5 销量 0.5 1 1.4 A．0.79 B．2 C．2.1 D．1.21 【答案】C 【解析】由题意可得， 将点代入中得，， 故， 故选：C 命题点3统计案例 【典例01】为了解观看某场“蒙超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“蒙超”赛事与性别有关； (2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“蒙超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和期望. 附：，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）零假设：关注“蒙超”赛事与性别无关， 经过计算. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以能认为关注“蒙超”赛事与性别有关. （2）由分层抽样知抽取男性市民4人，女性市民2人， X的取值为0，1，2， ， ， ， 0 1 2 所以. 【典例02】某汽车研发公司的工程师为了解一款新型汽车在不同行驶速度x（km/h）下油耗y（L/100km）的变化规律，进行了相关实验，记录不同速度下的油耗数据的散点图如下： (1)根据散点图求y关于x的经验回归方程（精确到0.01）； (2)根据线性回归方程，绘制残差图，并分析线性回归方程的拟合效果（若残差的平方和小于0.775，则说明拟合效果良好，否则拟合效果较差）. 附：，. 【解析】（1）由图得，， 则， 故， 则y关于x的经验回归方程为. （2）结合（1），计算得残差如下表： 行驶速度 60 70 80 90 100 110 油耗实际值 7.5 6.8 6.2 5.7 5.4 5 油耗估计值 7.35 6.85 6.35 5.85 5.35 4.85 残差 0.15 0.05 0.15 因此残差分布图如下： 因为， 所以经验回归方程的拟合效果较好. 考点三：概率问题 《解题指南》 高考概率常考古典概型、互斥事件、独立事件、条件概率、二项分布。先判断概型：等可能用古典概型，数清总事件与目标事件。互斥用加法，独立用乘法，条件概率套公式。二项分布先确定n次独立重复、成功概率p，再写分布列求期望。大题步骤要规范：设事件、列算式、代数值、写结论。注意审题分清“至少”“至多”“不都”，多用对立事件简化计算。概率重逻辑不重技巧，算准、写全、不看错条件，就能稳拿中档分。 命题点1古典概型问题 【典例01】甲、乙、丙、丁四名象棋选手进行单循环赛（每两人赛一场），规定每局胜者得分，平局各得分，负者得分．比赛结束后，四人的得分各不相同，且第二名的得分是最后两名得分之和的．则在甲和乙的比赛结果为平局的概率为__________． 【答案】 【解析】甲、乙、丙、丁四名象棋选手进行单循环赛（每两人赛一场），共比赛场， 其中每场两位选手的得分之和为分，则场比赛后四名选手的得分之和为分， 设第一、二、三、四名的得分分别为、、、，则， 根据题意得，解得或， ①当时，有种得分结果： 分（胜平）、分（胜平）、分（平负）、分（平负）； 分（胜平）、分（胜平）、分（胜负）、分（平负）； 分（胜平）、分（胜负）、分（平负）、分（平负）； 分（胜平）、分（胜负）、分（胜负）、分（平负）. 每种得分结果中平局的分别有：局、局、局、局； ②当时，有种得分结果： 分（胜平）、分（胜平）、分（胜平负）、分（负）； 分（胜平）、分（胜负）、分（胜平负）、分（负）； 每种得分结果中平局分别有：局、局. 综上所述，由对称性知，共有种可能的得分构成情况，由对称性可知这种情况等可能， 各种情况下，总比赛场次为场，平局的场次数分别为、、、、、， 所求概率为. 故答案为：. 【典例02】5本不同的书分给甲、乙、丙三人（允许有人分不到书），则甲分得1本书的概率为______． 【答案】 【解析】5本书都可以分给甲、乙、丙三个人的任意一个，所以每本书有3种选择，5本书的总方法数为：. 先从5本书中选1本给甲，有5种，剩下的4本书，每本都可以分给乙或丙，每本有2种选择，方法数为， 则甲分得1本书的方法数为. 故甲分得1本书的概率为． 故答案为：. 命题点2条件概率 【典例01】袋内有大小相同的4个红球和3个白球，从中任取3个球；至少有1个是白球的概率为_____；在“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是____. 【答案】 【解析】记事件A为“全是红球”，则， 记事件B 为“至少有1个是白球”，则， 记事件C为“至少有1个红球”，则 则事件AC为“全是红球”，则 所以“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是 . 故答案为：；. 【典例02】某中学有两个班，其中甲班科技课外兴趣小组有6人（4男2女），乙班科技课外兴趣小组有6人（3男3女），学校准备从这两个班的科技课外兴趣小组中随机挑选2个学生参加全市科技竞赛．已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率_____________． 【答案】/0.375 【解析】已知甲班科技小组：4男2女，共6人；乙班科技小组：3男3女，共6人， 则总人数为，其中男生7人，女生5人； 设事件为“选出的2个学生都是男生”，事件为“选出的2个学生中至少1个是男生”， 已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率为： 事件发生的情况下事件发生的概率，即为， 是的子集， ， ， ． 故答案为：． 命题点3超几何分布 【典例01】为了加强学生的交通安全意识，贵溪一中开展了“安全头盔守护生命”主题教育活动.学校为此次活动准备了10道关于安全头盔重要性､正确佩戴方法及相关法律法规的题目.在活动的知识竞答环节中，会从这10道题目中随机抽取3道让学生回答.已知该校学生小曾同学中午与家长一同认真学习了相关知识，能够准确回答其中的6道题目. (1)求抽到的题目中他能答对的题目数的分布列； (2)求的期望和方差. 【解析】（1）由题意知：所有可能的取值为， ； ； 的分布列为： 0 1 2 3 （2）期望； 又， ∴方差. 【典例02】2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 青年组 30 20 50 非青年组 15 35 50 合计 45 55 100 记表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为表示“抽取到的市民为非青年组”，其概率为． (1)给出的估计值； (2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世2》的人数的分布列和数学期望． 【解析】（1）A表示抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》，B表示抽取到的市民为非青年组． 样本容量，没看过电影的总人数55，抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》的频率为， 因此的估计值为， 抽取到的市民为非青年组的总人数50，抽取到的市民为非青年组的频率为， 因此的估计值为. 法一：， 在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为， 因此的估计值为； 法二：， 在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为， 因此的估计值为； （2）按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之魔童降世2》的有2人， 则看过《哪吒之魔童降世2》的人数的取值范围为， 由题意，看过《哪吒之魔童降世2》的人数，则， 此时，，. 则的分布列为： X 1 2 3 所以，或． 命题点4二项分布 【典例01】为落实中央经济工作会议“坚持内需主导，建设强大国内市场”的精神，某市大力推行某项消费补贴政策.政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”，形成消费涟漪，进一步扩大内需.政策规定每个家庭在2026年一年内有两次机会领取补贴，每次消费5000元以上可以领取500元补贴.通过调查可知，该市有的家庭了解政策；在所有了解政策的家庭中，有的家庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向.调研发现，每个了解政策的家庭，其每次发生消费行为的概率为，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消费，受带动的家庭每次发生消费行为的概率为． (1)求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率； (2)求一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴的分布列； (3)若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到1000元补贴，带动家庭可以拿到100元奖励；两个家庭合计拿到1500元补贴，带动家庭可以拿到200元奖励；两个家庭合计拿到2000元补贴，带动家庭可以拿到300元奖励，试估计该带动家庭可以拿到多少奖励（单位：元）. 【解析】（1）设事件A为抽取到的是一个有消费意向的家庭， 事件B为该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的家庭， ，， 所以， 所以在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下， 该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率为. （2）设一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴为， 的可能取值为0，500，1000，1500，2000， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 500 1000 1500 2000 （3）带动家庭可以拿到100元奖励的概率为， 带动家庭可以拿到200元奖励的概率为， 带动家庭可以拿到300元奖励的概率为， 该带动家庭可以拿到的奖励为 （元）. 【典例02】2026年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为,假设他们之间通过与否相互独立． (1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； (2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； (3)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 【解析】（1）记3人中通过第一轮的人数为， 由题意可知， 记“3人中至多有2人通过第一轮”为事件， 则. （2）记随机选择小明、小华、小方的事件分别为，通过第二轮的事件记为， 则由题意可知， 则， 所以. （3）记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为， 则， ， ， 由相互独立可知， ， ， 所以的分布列是 0 1 2 3 则的数学期望是． 命题点5正态分布 【典例01】某企业车载电池LG型有A，B两条生产线，产品质检员随机从A，B两条生产线共抽取50件车载电池进行电量误差检测，误差（单位：kwh）统计的数据如下表： 生产线 抽取件数 平均误差 标准差 A 30 0.2 2.1 B 20 1.1 (1)若两条生产线的车载电池电量的误差X服从正态分布，以抽取样本的误差的平均数作为的估计值，并规定为特等品，其余为一等品或二等品，求两条生产线生产的LG型的件车载电池中特等品的件数的估计值； (2)某小型新能源汽车装配了特等品和一等品车载电池，该车载电池特等品的续航优秀率为60%，为了测试特等品车载电池的续航功能，从装配了特等品的该新能源汽车中随机抽取4辆进行测试，记续航优秀的台数为，求随机变量X的分布列和数学期望. 附：，若，则，，. 【解析】（1）设这50件零件尺寸误差的平均数为， 由题意得，则， 而，规定为特等品，则为特等品， 故特等品的概率为， 故两条生产线生产的LG型的件车载电池中特等品的件数约为件. （2）由题意得， 则，， ，，， 则X的分布列如下， 0 1 2 3 4 且. 【典例02】某工厂生产一种零件，其长度 （单位：mm）服从正态分布. (1)求零件长度在 内的概率； (2)从一批零件中随机抽取 10 个，设长度在 内的零件个数为，求. （参考数据： ） 【解析】（1） （2）由题意知. 命题点6全概率公式 【典例01】“村BA”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为．甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得－1分．设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望； 【解析】（1）设B＝“甲同学所选的题目回答正确”， “所选的题目为篮球、足球、排球相关知识的题目”（i＝1，2，3）， 根据题意得， ； 所以 （2）由题意可知，X的可能取值为， 则， ， ， ， 所以X的分布列为： X 1 5 9 P 所以. 【典例02】某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为；若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功的概率为，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功. (1)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率； (2)记为参赛居民中闯关成功的人数，求的数学期望与方差. 【解析】（1）设事件为“第一轮基础知识作答成功”，事件为“第二轮拓展知识比拼成功”， 由题意可知，，则， 根据全概率公式，第二轮拓展知识比拼成功的概率为： . （2）闯关成功需要两项任务均成功，即事件，其概率为： ， 因不同参赛者的第一轮结果相互独立，且第二轮成功概率仅依赖于自身第一轮结果， 故各参赛者的闯关成功事件相互独立， 记为名居民中闯关成功的人数，则， 所以数学期望， 方差：. 命题点7概率递推问题 【典例01】某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)设第i次降落成功的概率为，求证：. 【解析】（1）设事件“第次降落成功”，则“第次降落未成功”，， 由全概率公式得， 该操作员第二次降落成功的概率为. （2）由题意得， 当时， 即， 整理得， 又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 即， 易知单调递增 所以. 【典例02】在平面直角坐标系中，设.其中为“区”点，为“区”点.现有一质点从点出发，在这四点之间跳动.若质点在“区”时，下一次跳动至同区域的另一个点的概率为，在“区”时，下一次跳动至同区域的另一个点的概率为，且质点会等可能地跳动至另一区域的两个点. (1)证明：跳动次后，该质点落在“区”的概率为定值； (2)跳动次后，求该质点落在点的概率. 【解析】（1）（1）证明：设跳动次后，该质点落在“区”的概率为， 则 所以跳动次后，该质点落在“区”的概率为，为定值 （2）时， 时， 所以 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.. 所以 所以 当时，，也满足上式 所以跳动次后，该质点落在点的概率 命题点8决策问题 【典例01】某市举行了一次大型宣传活动，结束后组办方分别从7个不同的地方的问卷调查中各随机抽取了相同数量的数据（人均得分）构成一个样本，依据相关标准，该样本中各地抽取的数据构成数列（n为各地区的编号），且由各地的数据可以认为各地人均得分服从正态分布，μ近似为抽取的样本中7个地方人均得分的平均值（得分的平均值四舍五入并取整数）． (1)利用正态分布的知识求． (2)组办方为此次参加问卷调查的市民制订如下两种奖励方案． 方案一：（ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费． （ⅱ）每次获赠的随机话费和对应的概率为 获赠的随机话费/元 50 100 概率 方案二：参加此次问卷调查的市民可获得价值100元的大型晚会入场券． 参加此次问卷调查的市民可选择其中一种奖励方案． ①市民小李参加了此次问卷调查，他选择了方案一，记X（单位：元）为他获赠的话费，求X的分布列及数学期望． ②仅从奖励的价值考虑，如果你参加了问卷调查，你选择参加获赠随机话费活动，还是获得价值100元的大型晚会入场券？用统计中相关知识做出决策． （附：若，则，，） 【解析】(1)样本中各地的人均得分分别为，，，，，，， 所以7个地方人均得分的平均值为，即μ可取123，所以． ， ， 所以． （2）①由题意可得X所有可能的取值为50，100，150，200， 得50元的情况为得分低于μ，概率为． 得100元的情况为有1次机会且获得100元或有2次机会且2次均获得50元，概率为 ． 得150元的情况为有2次机会且2次机会中有1次获得100元、1次获得50元，概率为 ． 得200元的情况为有2次机会且2次均获得100元，概率为． 所以X的分布列为 X 50 100 150 200 P 故． ②由①知，所以应选择获得价值100元的大型晚会入场券． 【典例02】某蔬菜批发商分别在甲､乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，末售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲､乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下： 以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲､乙两个市场同时销售，以（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，（单位：元）表示下个销售周期两个市场的销售总利润． (1)求变量概率分布列； (2)当时，求与的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率； (3)以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 【解析】（1）设甲市场需求量为的概率为，乙市场需求量为的概率为，则由题意得 ， ， 设两个市场总需求量为的概率为，则由题意得所有可能的取值为 且， 所以的分布列如下表： 16 17 18 19 20 0.06 0.23 0.35 0.27 0.09 （2）由题意得，当时，， 当时，． 所以 设“销售利润不少于8900元”，则 当时，， 当时，，解得． 由（1）中的分布列可知，． （3）由（1）知，． 当时，的分布列为： 0.06 0.94 所以； 当时，的分布列为： 0.06 0.23 0.71 所以， 因为，所以应选． 高考预测题 1．将6名志愿者随机分配到四个社区，且每个社区至少分到一名志愿者，则不同的分法有（     ） A．1 080种 B．1 560种 C．2 640种 D．3 960种 【答案】B 【解析】若志愿者人数依次为3、1、1、1，考虑到部分非均匀分组，则不同的安排方法有种, 若志愿者人数依次为2、2、1、1，则不同的安排方法有种， 种. 故选：B. 2．为探究某药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度与代谢时间的相关数据，如下表所示： 2 3 4 5 6 58 42 30 12 8 (1)若两组变量间的相关系数满足，则称其为高度相关，试判断血液中药物浓度与代谢时间是否高度相关，并说明理由（，结果保留3位小数）； (2)建立关于的经验回归方程，并预测代谢6.2小时后，血液中药物浓度． 参考数据：． 参考公式：相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：． 【解析】（1）依题意，， ， 则， 所以，即血液中药物浓度与代谢时间是高度相关的. （2）由（1）得，则， 因此血液中药物浓度与代谢时间的回归方程为，当时，， 所以代谢6.2小时后，血液中药物浓度约为. 3．某公司研发了一种智能语音客服系统，在测试时，当语音输入的问题表达清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为，当语音输入的问题表达不清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为.已知语音输入的问题表达清晰的概率为，且智能语音客服每次回答是否被采纳相互没有影响. (1)求智能语音客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了4个问题，设表示智能语音客服的回答被采纳的次数，求的分布列､数学期望和方差. 【解析】（1）设表示事件“智能语音客服的回答被采纳”；表示事件“语音输入的问题表达清晰”， 由题意可知，， 所以， 即智能语音客服的回答被采纳的概率为. （2）依题意得，的所有可能取值为，且. 所以 所以的分布列为 0 1 2 3 4 4．某综艺节目，5位嘉宾轮流参与抽奖．四个一模一样的箱子，只有一个箱子有奖品．抽奖规则为主持人请嘉宾在四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由嘉宾获得．前一位嘉宾抽奖结束后，主持人重新布置箱子，邀请下一位嘉宾抽奖． (1)记X为5位嘉宾中的中奖人数，求X的分布列，均值和方差； (2)主持人宣布游戏升级，新的抽奖规则是：当嘉宾选好一个箱子后，主持人（他知道哪个箱子有奖品）会打开一个嘉宾没有选择的空箱子给嘉宾看，此后嘉宾可以选择换一个箱子或者不换．嘉宾做出选择后，主持人再打开嘉宾最终选中的箱子，揭晓嘉宾是否中奖．嘉宾的哪种决策会有更大可能抽中奖品？请说明理由． 【解析】（1）由题意知，每位嘉宾中奖的概率为，不中奖的概率为， 则服从二项分布， 所以， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 数学期望为， 方差为； （2）不换箱子时中奖概率： 嘉宾第一次选择箱子时，中奖概率为； 换箱子时中奖概率： 设4个箱子分别为，有奖品的箱子为， 当嘉宾先选箱，主持人会在箱中打开一个空箱子， 此时嘉宾换箱子后，就选不中奖品，其概率为0； 当嘉宾先选或或箱子，概率为， 此时主持人打开另一个空箱子，嘉宾换箱子后一定能选中有奖品的箱， 其概率为，所以换箱子的中奖概率为. 所以，故嘉宾换箱子会有更大可能抽中奖品. 好题速递 1．（2026·江西·一模）若的展开式中存在含的项，则可能等于（    ） A．5 B．9 C．15 D．19 【答案】C 【解析】由二项式定理得，的展开式通项为， ，令， 当时，，故A错误；当时，，故B错误； 当时，，故C正确；当时，，故D错误. 故选：C. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，任意取的2个球共有种， 取出的2个球的编号之和为奇数， 则取出的2个球的编号必须为一个奇数一个偶数，且至少有一个为黑球， 所以，一个白球（奇数）一个黑球（偶数）有种， 一个白球（偶数）一个黑球（奇数）有种， 两个黑球（一奇一偶）共有种，故概率为． 故选：C． 3．（2026·安徽宿州·一模）2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件A，B，C， 三场比赛中恰有两场赢对方为事件D，则， ， 所以. 故选：B 4．（2026·江苏镇江·模拟预测）若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【解析】 ， 因为， 所以能被7整除， ， 所以能被7整除， 因此要想能被7整除，只需能被7整除. A：，，显然符合能被7整除； B：，，显然不符合能被7整除； C：，，显然不符合能被7整除； D：，，显然不符合能被7整除； 故选：A 5．（多选题）（2026·湖南常德·一模）设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】由，可得；因此C正确； 又，为两个相互独立的随机事件，所以，所以； 根据全概率公式可得, 解得，因此A错误； 又， 解得，因此B错误； 易知， 所以，即D正确. 故选：CD 6．（多选题）（2026·云南大理·二模）已知甲盒中有2个白球和4个红球，乙盒中有3个白球和2个红球．先从甲盒随机取出一球放入乙盒，设“从甲盒取出的球是白球”为事件，“从甲盒取出的球是红球”为事件；再从乙盒中随机取出一球，设“从乙盒取出的球是白球”为事件，“从乙盒取出的球是红球”为事件，下列说法正确的是（   ） A．，是互斥事件 B．，是独立事件 C． D． 【答案】AC 【解析】由题可知，，，，， ，， 因为，不可能同时发生，故，是互斥事件，故A正确； ，故D错误； ， 则，故，不是独立事件，故B错误； ，故C正确． 故选：AC 7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在的展开式中，项的系数是________．（用数字作答） 【答案】 【解析】， 的展开式通项为， 当，即时，， 当，即时，， 所以项的系数是． 故答案为：． 8．（25-26高三下·河南·开学考试）某数学兴趣小组有4名男生与2名女生参加答题活动，规则如下：先从这6人中随机选1人回答问题，再从剩下的5人中随机选1人回答问题，依次进行，直到剩下的学生的性别一样或仅剩1人时答题结束．为答题结束时选取答题的人数，则__________． 【答案】 【解析】由题意的可能取值为2，3，4，5， 则 ，， ，， 所以 ． 故答案为： 9．（2026·安徽马鞍山·一模）为响应“全民健身”号召，某社区统计了5名居民每周参与体育锻炼的时长（单位：小时）与身体活力指数的对应数据，结果如下表所示： 特征量 居民 居民 居民 居民 居民 2 4 6 8 10 4 5 6 8 7 (1)根据表中数据，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度； (2)求身体活力指数关于每周锻炼时长的一元线性回归方程，并利用该方程计算居民的身体活力指数残差. 参考公式：相关系数；回归系数. 【解析】（1）由给定数表得， ， ， ， 所以样本相关系数， 与成正相关，有较强的相关性. （2）由（1）得， 所以身体活力指数关于每周锻炼时长的一元线性回归方程为， 当时，，所以居民的身体活力指数残差为. 10．（2026·湖南湘潭·二模）某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件中合格品占80%，不合格品占20%． (1)若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率． (2)若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率． (3)已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元．若某零件最终被判定为合格品，则以每件120元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户全额退款，并赔偿客户40元．设一个零件的利润为元，若的均值小于25，则该工厂将停止生产该零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由． 【解析】（1）设该零件被误判为合格品是事件．连续检测3次该零件的结果中， “合格”的次数不低于2才能被误判为合格品， 所以， 所以该零件最终被误判为合格品的概率为0.028. （2）设被检测的零件为合格品是事件，被检测的零件为不合格品是事件， 被检测的零件最终被判定为合格品是事件， 则． 由（1）知，又因为，， 所以由全概率公式得 ， 故该零件最终被判定为合格品的概率为0.7224. （3）的所有可能取值为，60，． ， ， ， 则． 因为，所以该工厂不会停止生产该零件． 高考闯关 1．（2026·重庆·一模）某地区有高中教师300人，初中教师800人，小学教师1100人，为调查某次教师培训的成效，采用分层抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44的样本进行访问，则小学教师应抽取（    ） A．6人 B．16人 C．22人 D．28人 【答案】C 【解析】由题可得抽样比为. 所以小学教师应抽取人. 故选：C 2．（2026·山东潍坊·模拟预测）某智慧交通管理平台为优化城市主干道通行效率，实时监测并记录各路口信号灯的运行模式.每个时段（例如早､晚高峰或特定监控周期）的运行模式对应一个代码（如下表）： 运行模式 代码 绿波协调 0 红灯截流控制 1 区域协调 -1 现按时间顺序记录某路口5个时段的运行模式，如编码表示5个时段中第1，3时段是“绿波协调”运行模式，则该路口某天这5个时段的运行模式中出现绿波协调不少于3个的所有可能种数为（    ） A．40 B．51 C．131 D．210 【答案】B 【解析】出现绿波协调个的可能种数有：； 出现绿波协调个的可能种数有：； 出现绿波协调个的可能种数有：； 则出现绿波协调不少于3个的所有可能种数为. 故选：B 3．（2026·安徽淮南·一模）2025年12月11日淮南市科技馆正式开馆，淮南市某中学有甲、乙、丙、丁等7位学生约好2026年1月1日去科技馆志愿服务．现将7位学生随机分为3组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，不同的分组方法有5,1,1；4,2,1；3,2,2；3,3,1四种， 当分组为5,1,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 当分组为4,2,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 当分组为3,2,2时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 当分组为3,3,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种； 甲乙同组且丙丁同组的概率为. 故选：A. 4．（2026·湖南邵阳·一模）已知随机变量，正实数满足，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】由，得正态曲线关于对称. 因为， 所以，得. 又， 当且仅当，即，时取等号. 故的最小值为6. 故选：D 5．（多选题）（2026·山东菏泽·模拟预测）下列结论正确的是（    ） A．若随机变量，且，则 B．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 C．对a，b两个变量进行相关性检验，得到相关系数为－0.8728，对m，n两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则a与b负相关，m与n正相关，其中m与n的相关性更强 D．一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为4.5 【答案】ABD 【解析】由题意得，，， 则，故选项A正确； ∵在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄， 表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故选项B正确； ∵，且， ∴a与b负相关，m与n正相关，且a与b的相关性更强，故选项C错误. 对于D，，所以一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为第8个数字和第9个数字的平均值，即，D正确； 故选：ABD. 6．（多选题）（2026·山东·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】A：因为， 所以多项式最高次项的次数为， 所以，因此本选项说法正确； B：因为，所以本选项说法不正确； C：在中， 令，得， 令，得， 所以本选项说法正确； D：对两边同时求导， 得， 令，得 ，所以本选项说法不正确. 故选：AC 7．（2026·广东广州·一模）设a为常数，多项式除以所得的余式为，则a＝______． 【答案】2 【解析】因为多项式除以所得的余式为， 所以可以设， 整理得到， 所以，则. 故答案为：2. 8．（2026·河北·一模）截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有__________种． 【答案】145 【解析】若这4人中有4名男运动员，则不同的选取情况共有种； 若这4人中有3名男运动员，1名女运动员，则不同的选取情况共有种， 若这4人中有2名男运动员，2名女运动员，则不同的选取情况有种， 故满足条件的所有不同情况共有种. 故答案为：145 9．（2026·湖南邵阳·一模）国家近年来对机器人的研究，尤其是在人形机器人和具身智能领域方面，出台了一系列的政策，旨在推动技术创新、产业升级和规模化应用．某学校为响应国家号召，培养学生的创新能力，举办机器人比赛，经过初赛，甲班团队和乙班团队进入了决赛阶段．决赛阶段规定：对每一轮比赛，获胜方记1分，另一方记0分，无平局；当两团队累积得分的分差为3分时，比赛结束，累积得分高的团队获冠军．若每轮比赛中，甲班团队获胜的概率为，且每轮比赛的结果相互独立． (1)求比赛结束时恰好进行了3轮比赛，且甲班团队获得冠军的概率； (2)（i）若比赛最多进行5轮，求比赛结束时比赛轮数的分布列及数学期望； （ii）若比赛轮数不限制，求甲班团队获得冠军的概率． 【解析】（1）设事件为“第轮比赛甲班团队获胜”，由题意得．设事件表示“当比赛结束时恰好进行了3轮比赛，且甲班团队获得冠军”，因为每轮比赛的结果相互独立， 则． 故甲班团队获得冠军的概率为. （2）（i）由题意得，事件为“第轮比赛乙班团队获胜”，， 的所有可能值为3，5． 所以. 所以的分布列为 3 5 所以. （ii）设事件表示“比赛轮数不限制，甲班团队获得冠军”．设比赛过程中，甲班团队与乙班团队累积得分的分差为表示时最终甲班团队获得冠军的概率，其中．由题意知． 根据全概率公式有 . 所以， 迭代得 所以， ， ． 累加得 所以． 故， 所以． 即． 故若比赛轮数不限制，甲班团队获得冠军的概率为. 10．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在篮球训练场上，教练甲指导三名学员进行传球训练，训练开始时，篮球在教练甲手中．由甲开始传球，他每次等可能地将篮球传给学员其中一人，学员接球后，将篮球传出，传给教练甲的概率为，传给另外两学员的概率相等，篮球在四人之间传递． (1)若四人进行了4次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望； (2)设表示经过次传球后篮球在手中的概率，求． 【解析】（1）设教练甲接球次数为，可取， 球在学员手中，传给教练甲的概率为，传给其他学员的概率为， ， ， 分布列为： 0 1 2 数学期望； （2）设表示经过次传球后篮球在教练甲手中的概率， ， 且， 即， 则数列是首项为，公比为的等比数列， ，即， 又传给学员的概率相等， ． 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频考点09 计数原理与概率统计 内容概览 01命题探源·考向解密 02根基夯实·知识整合 03高频考点·妙法指津（13大命题点+10道高考预测题，高考必考·（22-32）分） 考点一：计数原理 命题点1二项式定理 命题点2排列组合问题 考点二：统计问题 命题点1用样本估计总体 命题点2变量的相关关系 命题点3统计案例 考点三：概率问题 命题点1古典概型问题 命题点2条件概率 命题点3超几何分布 命题点4二项分布 命题点5正态分布 命题点6全概率公式 命题点7概率递推问题 命题点8决策问题 高考预测题4道 04好题速递·分层闯关（精选10道最新名校模拟试题+10道高考闯关题） 考点 考向 命题特征 计数原理 二项式定理 排列组合问题 高考计数原理以选择、填空小题为主，分值 5–10 分，难度中低档。重点考查两个基本原理、排列组合、二项式定理，常考捆绑、插空等典型方法，二项式侧重通项与系数。多与概率结合，情境贴近生活，注重分类讨论与逻辑推理，不考复杂模型，属于基础必拿分板块。 统计问题 用样本估计总体 变量的相关关系 统计案例 高考统计常以解答题第一题出现，分值 12 分，属基础送分题型。重点考查频率分布直方图、样本数字特征、线性回归、独立性检验，贴近实际背景。重识图计算、公式套用与文字表述，难度稳定。常与概率结合，强调数据处理与实际应用，是高考中必须稳拿满分的模块。 概率问题 古典概型问题 条件概率 超几何分布 二项分布 正态分布 全概率公式 概率递推问题 决策问题 概率在高考中多以解答题出现，选择、填空也常涉及，分值稳定。重点考查古典概型、互斥与独立事件、条件概率、离散型随机变量分布列与期望。常结合生活、生产情境命题，重逻辑分析与计算，中档难度。多与统计、计数原理综合，考查阅读理解与建模能力，是高考核心得分点。 考点一：计数原理 《解题指南》 高考计数原理核心为分类加法、分步乘法，先判断 “独立完成” 还是 “依次完成”。优先掌握特殊元素 / 位置优先法，如排头、排尾、含 0 数字问题。相邻问题用捆绑法，不相邻用插空法。分组分配注意均分除序，避免重复。排列组合先选后排，有序用排列、无序用组合。做题先定模型，再列式计算，最后检验是否重漏。多练典型题型，掌握通法，不纠结偏难题，稳拿基础与中档分。 命题点1二项式定理 【典例01】已知随机变量且，则展开式中各项系数之和为（   ） A．64 B．128 C．-64 D．-128 【典例02】展开式中的系数为（    ） A．56 B．42 C．84 D．120 命题点2排列组合问题 【典例01】现要从6名学生中选4名代表班级参加学校接力赛，其中已经确定甲参加且跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒.那么合适的选择方法种数为（    ） A． B． C． D． 【典例02】某地文旅局联合多部门借助电商平台推销当地特色农产品，共有新鲜助农水果、核心助农产品、地域特色干货、五谷杂粮礼包、非遗手工艺品、限时秒杀六类选品，若要让限时秒杀类选品作为第一个链接上架，新鲜助农水果、核心助农产品作为相邻链接上架，且非遗手工艺品不能作为最后一个链接上架，则上架顺序有（   ） A．16 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种 考点二：统计问题 《解题指南》 高考统计重点考查频率分布直方图、平均数、方差。先看清图表，直方图用面积 = 频率，中位数找面积平分点，平均数用组中值计算。解答题规范书写步骤，先列式再代入，保留小数或分数。统计重理解题意、计算准确，基础题居多，掌握公式与步骤即可稳定得分。 命题点1用样本估计总体 【典例01】在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的物理成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法正确的是（   ） A． B．众数小于平均数 C．中位数超过75分 D．估计全校有640名考生及格 【典例02】（多选题）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算：得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10.则（    ） 参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，. A． B．估计该年级学生成绩的中位数约为71.43 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 命题点2变量的相关关系 【典例01】已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如表： 0 1 2 3 4 2.5 4.0 4.3 4.2 且回归直线方程是，则（   ） A．6.2 B．6.3 C．6.4 D．6.5 【典例02】对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．将某公司新产品自上市起的月份与该月的对应销量（单位：万件）整理成如下表格：建立与的线性回归方程为，则为（   ） 月份 1 2 3 4 5 销量 0.5 1 1.4 A．0.79 B．2 C．2.1 D．1.21 命题点3统计案例 【典例01】为了解观看某场“蒙超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“蒙超”赛事与性别有关； (2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“蒙超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和期望. 附：，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【典例02】某汽车研发公司的工程师为了解一款新型汽车在不同行驶速度x（km/h）下油耗y（L/100km）的变化规律，进行了相关实验，记录不同速度下的油耗数据的散点图如下： (1)根据散点图求y关于x的经验回归方程（精确到0.01）； (2)根据线性回归方程，绘制残差图，并分析线性回归方程的拟合效果（若残差的平方和小于0.775，则说明拟合效果良好，否则拟合效果较差）. 附：，. 考点三：概率问题 《解题指南》 高考概率常考古典概型、互斥事件、独立事件、条件概率、二项分布。先判断概型：等可能用古典概型，数清总事件与目标事件。互斥用加法，独立用乘法，条件概率套公式。二项分布先确定n次独立重复、成功概率p，再写分布列求期望。大题步骤要规范：设事件、列算式、代数值、写结论。注意审题分清“至少”“至多”“不都”，多用对立事件简化计算。概率重逻辑不重技巧，算准、写全、不看错条件，就能稳拿中档分。 命题点1古典概型问题 【典例01】甲、乙、丙、丁四名象棋选手进行单循环赛（每两人赛一场），规定每局胜者得分，平局各得分，负者得分．比赛结束后，四人的得分各不相同，且第二名的得分是最后两名得分之和的．则在甲和乙的比赛结果为平局的概率为__________． 【典例02】5本不同的书分给甲、乙、丙三人（允许有人分不到书），则甲分得1本书的概率为______． 命题点2条件概率 【典例01】袋内有大小相同的4个红球和3个白球，从中任取3个球；至少有1个是白球的概率为_____；在“抽取的3个球中至少有1个红球”的前提下“抽取的3个球中全是红球”的概率是____. 【典例02】某中学有两个班，其中甲班科技课外兴趣小组有6人（4男2女），乙班科技课外兴趣小组有6人（3男3女），学校准备从这两个班的科技课外兴趣小组中随机挑选2个学生参加全市科技竞赛．已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率_____________． 命题点3超几何分布 【典例01】为了加强学生的交通安全意识，贵溪一中开展了“安全头盔守护生命”主题教育活动.学校为此次活动准备了10道关于安全头盔重要性､正确佩戴方法及相关法律法规的题目.在活动的知识竞答环节中，会从这10道题目中随机抽取3道让学生回答.已知该校学生小曾同学中午与家长一同认真学习了相关知识，能够准确回答其中的6道题目. (1)求抽到的题目中他能答对的题目数的分布列； (2)求的期望和方差. 【典例02】2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 青年组 30 20 50 非青年组 15 35 50 合计 45 55 100 记表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为表示“抽取到的市民为非青年组”，其概率为． (1)给出的估计值； (2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世2》的人数的分布列和数学期望． 命题点4二项分布 【典例01】为落实中央经济工作会议“坚持内需主导，建设强大国内市场”的精神，某市大力推行某项消费补贴政策.政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”，形成消费涟漪，进一步扩大内需.政策规定每个家庭在2026年一年内有两次机会领取补贴，每次消费5000元以上可以领取500元补贴.通过调查可知，该市有的家庭了解政策；在所有了解政策的家庭中，有的家庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向.调研发现，每个了解政策的家庭，其每次发生消费行为的概率为，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消费，受带动的家庭每次发生消费行为的概率为． (1)求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率； (2)求一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴的分布列； (3)若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到1000元补贴，带动家庭可以拿到100元奖励；两个家庭合计拿到1500元补贴，带动家庭可以拿到200元奖励；两个家庭合计拿到2000元补贴，带动家庭可以拿到300元奖励，试估计该带动家庭可以拿到多少奖励（单位：元）. 【典例02】2026年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为,假设他们之间通过与否相互独立． (1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； (2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； (3)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 命题点5正态分布 【典例01】某企业车载电池LG型有A，B两条生产线，产品质检员随机从A，B两条生产线共抽取50件车载电池进行电量误差检测，误差（单位：kwh）统计的数据如下表： 生产线 抽取件数 平均误差 标准差 A 30 0.2 2.1 B 20 1.1 (1)若两条生产线的车载电池电量的误差X服从正态分布，以抽取样本的误差的平均数作为的估计值，并规定为特等品，其余为一等品或二等品，求两条生产线生产的LG型的件车载电池中特等品的件数的估计值； (2)某小型新能源汽车装配了特等品和一等品车载电池，该车载电池特等品的续航优秀率为60%，为了测试特等品车载电池的续航功能，从装配了特等品的该新能源汽车中随机抽取4辆进行测试，记续航优秀的台数为，求随机变量X的分布列和数学期望. 附：，若，则，，. 【典例02】某工厂生产一种零件，其长度 （单位：mm）服从正态分布. (1)求零件长度在 内的概率； (2)从一批零件中随机抽取 10 个，设长度在 内的零件个数为，求. （参考数据： ） 命题点6全概率公式 【典例01】“村BA”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为．甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得－1分．设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望； 【典例02】某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为；若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功的概率为，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功. (1)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率； (2)记为参赛居民中闯关成功的人数，求的数学期望与方差. 命题点7概率递推问题 【典例01】某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)设第i次降落成功的概率为，求证：. 【典例02】在平面直角坐标系中，设.其中为“区”点，为“区”点.现有一质点从点出发，在这四点之间跳动.若质点在“区”时，下一次跳动至同区域的另一个点的概率为，在“区”时，下一次跳动至同区域的另一个点的概率为，且质点会等可能地跳动至另一区域的两个点. (1)证明：跳动次后，该质点落在“区”的概率为定值； (2)跳动次后，求该质点落在点的概率. 命题点8决策问题 【典例01】某市举行了一次大型宣传活动，结束后组办方分别从7个不同的地方的问卷调查中各随机抽取了相同数量的数据（人均得分）构成一个样本，依据相关标准，该样本中各地抽取的数据构成数列（n为各地区的编号），且由各地的数据可以认为各地人均得分服从正态分布，μ近似为抽取的样本中7个地方人均得分的平均值（得分的平均值四舍五入并取整数）． (1)利用正态分布的知识求． (2)组办方为此次参加问卷调查的市民制订如下两种奖励方案． 方案一：（ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费． （ⅱ）每次获赠的随机话费和对应的概率为 获赠的随机话费/元 50 100 概率 方案二：参加此次问卷调查的市民可获得价值100元的大型晚会入场券． 参加此次问卷调查的市民可选择其中一种奖励方案． ①市民小李参加了此次问卷调查，他选择了方案一，记X（单位：元）为他获赠的话费，求X的分布列及数学期望． ②仅从奖励的价值考虑，如果你参加了问卷调查，你选择参加获赠随机话费活动，还是获得价值100元的大型晚会入场券？用统计中相关知识做出决策． （附：若，则，，） 【典例02】某蔬菜批发商分别在甲､乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，末售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲､乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下： 以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲､乙两个市场同时销售，以（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，（单位：元）表示下个销售周期两个市场的销售总利润． (1)求变量概率分布列； (2)当时，求与的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率； (3)以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 高考预测题 1．将6名志愿者随机分配到四个社区，且每个社区至少分到一名志愿者，则不同的分法有（     ） A．1 080种 B．1 560种 C．2 640种 D．3 960种 2．为探究某药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度与代谢时间的相关数据，如下表所示： 2 3 4 5 6 58 42 30 12 8 (1)若两组变量间的相关系数满足，则称其为高度相关，试判断血液中药物浓度与代谢时间是否高度相关，并说明理由（，结果保留3位小数）； (2)建立关于的经验回归方程，并预测代谢6.2小时后，血液中药物浓度． 参考数据：． 参考公式：相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：． 3．某公司研发了一种智能语音客服系统，在测试时，当语音输入的问题表达清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为，当语音输入的问题表达不清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为.已知语音输入的问题表达清晰的概率为，且智能语音客服每次回答是否被采纳相互没有影响. (1)求智能语音客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了4个问题，设表示智能语音客服的回答被采纳的次数，求的分布列､数学期望和方差. 4．某综艺节目，5位嘉宾轮流参与抽奖．四个一模一样的箱子，只有一个箱子有奖品．抽奖规则为主持人请嘉宾在四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由嘉宾获得．前一位嘉宾抽奖结束后，主持人重新布置箱子，邀请下一位嘉宾抽奖． (1)记X为5位嘉宾中的中奖人数，求X的分布列，均值和方差； (2)主持人宣布游戏升级，新的抽奖规则是：当嘉宾选好一个箱子后，主持人（他知道哪个箱子有奖品）会打开一个嘉宾没有选择的空箱子给嘉宾看，此后嘉宾可以选择换一个箱子或者不换．嘉宾做出选择后，主持人再打开嘉宾最终选中的箱子，揭晓嘉宾是否中奖．嘉宾的哪种决策会有更大可能抽中奖品？请说明理由． 好题速递 1．（2026·江西·一模）若的展开式中存在含的项，则可能等于（    ） A．5 B．9 C．15 D．19 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽宿州·一模）2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏镇江·模拟预测）若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 5．（多选题）（2026·湖南常德·一模）设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）（2026·云南大理·二模）已知甲盒中有2个白球和4个红球，乙盒中有3个白球和2个红球．先从甲盒随机取出一球放入乙盒，设“从甲盒取出的球是白球”为事件，“从甲盒取出的球是红球”为事件；再从乙盒中随机取出一球，设“从乙盒取出的球是白球”为事件，“从乙盒取出的球是红球”为事件，下列说法正确的是（   ） A．，是互斥事件 B．，是独立事件 C． D． 7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在的展开式中，项的系数是________．（用数字作答） 8．（25-26高三下·河南·开学考试）某数学兴趣小组有4名男生与2名女生参加答题活动，规则如下：先从这6人中随机选1人回答问题，再从剩下的5人中随机选1人回答问题，依次进行，直到剩下的学生的性别一样或仅剩1人时答题结束．为答题结束时选取答题的人数，则__________． 9．（2026·安徽马鞍山·一模）为响应“全民健身”号召，某社区统计了5名居民每周参与体育锻炼的时长（单位：小时）与身体活力指数的对应数据，结果如下表所示： 特征量 居民 居民 居民 居民 居民 2 4 6 8 10 4 5 6 8 7 (1)根据表中数据，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度； (2)求身体活力指数关于每周锻炼时长的一元线性回归方程，并利用该方程计算居民的身体活力指数残差. 参考公式：相关系数；回归系数. 10．（2026·湖南湘潭·二模）某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件中合格品占80%，不合格品占20%． (1)若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率． (2)若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率． (3)已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元．若某零件最终被判定为合格品，则以每件120元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户全额退款，并赔偿客户40元．设一个零件的利润为元，若的均值小于25，则该工厂将停止生产该零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由． 高考闯关 1．（2026·重庆·一模）某地区有高中教师300人，初中教师800人，小学教师1100人，为调查某次教师培训的成效，采用分层抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44的样本进行访问，则小学教师应抽取（    ） A．6人 B．16人 C．22人 D．28人 2．（2026·山东潍坊·模拟预测）某智慧交通管理平台为优化城市主干道通行效率，实时监测并记录各路口信号灯的运行模式.每个时段（例如早､晚高峰或特定监控周期）的运行模式对应一个代码（如下表）： 运行模式 代码 绿波协调 0 红灯截流控制 1 区域协调 -1 现按时间顺序记录某路口5个时段的运行模式，如编码表示5个时段中第1，3时段是“绿波协调”运行模式，则该路口某天这5个时段的运行模式中出现绿波协调不少于3个的所有可能种数为（    ） A．40 B．51 C．131 D．210 3．（2026·安徽淮南·一模）2025年12月11日淮南市科技馆正式开馆，淮南市某中学有甲、乙、丙、丁等7位学生约好2026年1月1日去科技馆志愿服务．现将7位学生随机分为3组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南邵阳·一模）已知随机变量，正实数满足，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（多选题）（2026·山东菏泽·模拟预测）下列结论正确的是（    ） A．若随机变量，且，则 B．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 C．对a，b两个变量进行相关性检验，得到相关系数为－0.8728，对m，n两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则a与b负相关，m与n正相关，其中m与n的相关性更强 D．一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第80百分位数为4.5 6．（多选题）（2026·山东·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·广东广州·一模）设a为常数，多项式除以所得的余式为，则a＝______． 8．（2026·河北·一模）截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有__________种． 9．（2026·湖南邵阳·一模）国家近年来对机器人的研究，尤其是在人形机器人和具身智能领域方面，出台了一系列的政策，旨在推动技术创新、产业升级和规模化应用．某学校为响应国家号召，培养学生的创新能力，举办机器人比赛，经过初赛，甲班团队和乙班团队进入了决赛阶段．决赛阶段规定：对每一轮比赛，获胜方记1分，另一方记0分，无平局；当两团队累积得分的分差为3分时，比赛结束，累积得分高的团队获冠军．若每轮比赛中，甲班团队获胜的概率为，且每轮比赛的结果相互独立． (1)求比赛结束时恰好进行了3轮比赛，且甲班团队获得冠军的概率； (2)（i）若比赛最多进行5轮，求比赛结束时比赛轮数的分布列及数学期望； （ii）若比赛轮数不限制，求甲班团队获得冠军的概率． 10．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在篮球训练场上，教练甲指导三名学员进行传球训练，训练开始时，篮球在教练甲手中．由甲开始传球，他每次等可能地将篮球传给学员其中一人，学员接球后，将篮球传出，传给教练甲的概率为，传给另外两学员的概率相等，篮球在四人之间传递． (1)若四人进行了4次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望； (2)设表示经过次传球后篮球在手中的概率，求． 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $