精品解析：2023年山东青岛市城阳第六中学中考数学第一次模拟试卷

2023年城阳六中第一阶段数学检测试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列四个图形中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 如果将一根圆柱形管道按如图方式摆放，那么其左视图是（　　） A. B. C. D. 3. 石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米 ，数字“0.000000000142”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下面运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将线段绕原点按逆时针方向旋转，得到线段，则点的坐标是（ ） A. （1， ） B. （ ，） C. （3， ） D. （ ，3） 7. 如图，五边形是⊙O的内接正五边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一次函数的图像如图所示，则二次函数和反比例函数在同一坐标系内的图像可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算： ______． 10. 某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则这组数据的方差是 ______． 11. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则值为__________． 12. 如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是______． 13. 如图，在中，为圆心，为直径，为圆上一点， ， ，则阴影部分面积为_____________； 14. 已知正方形的边长为3，为上一点，连接并延长，交的延长线于点，过点作 ，交 于点，交 于点，为的中点，为上一动点，分别连接，．若，则的最小值为__________． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 15. 如图，表示两条道路，在上有一个车站（用点P表示），现在要在两条道路形成的角的内部建一个报亭，要求报亭到两条道路的距离相等且到点P所表示的车站距离最短．请在图中作出报亭的位置． 四、解答题（本大题共9小题，共74分） 16. 计算及解不等式组： （1）； （2）并写出它的正整数解． 17. 小明与小亮玩游戏，如图，两组相同的纸牌，每组三张，牌面数字分别是3，4，5．他们将卡片背面朝上，分组充分洗匀后，从每组纸牌中各摸出一张，称为一次游戏．当摸出的两张纸牌的牌面数字之和大于8，则小明获胜；当摸出的两张纸牌的牌面数字之和小于8，则小亮获胜． （1）请你用列表法或画树状图法求出小明获胜的概率； （2）这个游戏公平吗？请说明理由． 18. 如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头，．某海岛上的观测塔距离海岸5海里，在处测得位于南偏西方向．一艘渔船从出发，沿正北方向航行至处，此时在处测得位于南偏东 方向，求此时观测塔与渔船之间的距离（结果精确到0.1海里）． （参考数据:，，，，，） 19. 今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示），其中60≤a<70记为“较差”，70≤a<80记为“一般”，80≤a<90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图． 请根据统计图提供的信息，回答如下问题： （1）x=________，y=________，并将直方图补充完整； （2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是________，众数是________； （3）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数； （4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率． 20. 如图，一次函数图象与反比例函数图象相交于，两点． （1）求，的值； （2）根据图象直接写出满足的的取值范围． 21. 如图，在中，点，分别为，的中点，连接 ，． （1）求证：； （2）当，时，四边形 是什么特殊四边形？请说明理由． 22. 某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式； （2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？ （3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？ 23. 知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c． ∵， ∴， ∴ （1）拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程． （2）解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 24. 已知：如图，在 中， ，cm，cm，为边上的高，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为cm/s；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为cm/s．设运动时间为． 解答下列问题： （1）当为何值时，； （2）当中点在上时，求的值； （3）设四边形的面积为，求与的函数关系式，并求最小值； （4）是否存在某一时刻，使得 ，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年城阳六中第一阶段数学检测试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列四个图形中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 如果将一根圆柱形管道按如图方式摆放，那么其左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】左视图是从左边看所得到的图形，据此即可得出答案． 【详解】它的左视图是一个矩形，矩形里面有两条横向的虚线． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三视图的知识，根据左视图是从物体的左边看得到的视图是解题关键． 3. 石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米 ，数字“0.000000000142”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：数字“0.000000000142”用科学记数法表示为． 故选：B． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 4. 实数 ， 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据实数 ， 在数轴上对应点的位置，分别得到实数 ， 的取值范围，据此即可一一判定． 【详解】解：由实数 ， 在数轴上对应点的位置可知：，， ，，，， 故A、B、D错误，C正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的加减运算，绝对值的意义，准确判定出实数 ， 的取值范围是解答本题的关键． 5. 下面运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由积的乘方运算可判断A，由合并同类项可判断B，由同底数幂的除法可判断C，由平方差公式可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，故A符合题意； 不是同类项，不能合并，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是积的乘方运算，合并同类项，同底数幂的除法，平方差公式，掌握以上基础运算是解本题的关键． 6. 如图，将线段绕原点 按逆时针方向旋转，得到线段，则点的坐标是（ ） A. （1， ） B. （ ，） C. （3， ） D. （ ，3） 【答案】C 【解析】 【分析】画出旋转后的图形位置，根据图形求解即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 由图形可知：点的坐标是， 故选：C． 【点睛】本题考查了画旋转图形，根据画旋转图形的步骤准确画出图形是解决本题的关键． 7. 如图，五边形是⊙O的内接正五边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正五边形的内角和求出每个内角，再根据等边对等角得出∠ABE=∠AEB，然后利用三角形内角和求出∠ABE=即可． 【详解】解：∵五边形是⊙O的内接正五边形， ∴∠A=∠ABC=，AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB， ∴∠ABE=， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查圆内接正五边形的性质，等腰三角形性质，三角形内角和公式，角的和差计算，掌握圆内接正五边形的性质，等腰三角形性质，三角形内角和公式，角的和差计算是解题关键． 8. 已知一次函数的图像如图所示，则二次函数和反比例函数在同一坐标系内的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用一次函数图像经过的象限得出，结合反比例函数图像得出A、C错误，再根据二次函数的性质即可解题． 【详解】解：一次函数图像经过第一、二、四象限， ， ∴反比例函数位于一三象限， 故选项A、C均错误，不符合题意； B中二次函数开口向上，a＞0，二次函数对称轴在y轴右侧， ∴b＜0，又二次函数与y轴交点在y轴的负半轴， ∴c＜0， ∵a于b异号，∴ab＜0， ∵b与c同号，∴bc＞0， 故选项B正确， D中二次函数开口向下，a＜0，二次函数的对称轴在y轴左侧，∴b＜0， ∴ab＞0与一次函数中ab＜0不符合， 故选项D不正确． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，一次函数图像，反比例函数图像，掌握相关知识是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算： ______． 【答案】3 【解析】 【详解】解： 10. 某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则这组数据的方差是 ______． 【答案】 1 【解析】 【分析】本题主要考查了求方差， 先利用算术平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式代入数据进行计算即可． 【详解】解：首先计算这组数据的算术平均数：， 根据方差公式 ，代入数据得：． 故答案为：1． 11. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的个数与判别式的关系．解题的关键在于明确当时，一元二次方程有两个相等的实数根． 12. 如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把、、分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即、、、， ∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，列出树状图是解题的关键． 13. 如图，在中， 为圆心，为直径，为圆上一点， ， ，则阴影部分面积为_____________； 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点 作 于，连接 ，首先在中利用三角函数求出，，进而求出的面积，然后再求出扇形的面积，最后由可得到答案． 【详解】解：如图，过点 作 于，连接 ， 在中，直径 ， ∴， ∴，， 在中， ， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查组合图形面积的计算，考查了等腰三角形的性质，三角函数，三角形外角的性质，三角形的面积，扇形的面积．解答的关键是明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可． 14. 已知正方形的边长为3，为上一点，连接并延长，交的延长线于点，过点作 ，交于点，交 于点，为的中点， 为上一动点，分别连接，．若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质，可得A点与C点关于BD对称，则有MN +CM=MN+AM≥AN，所以当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小为AN，先证明△DCG~△FCE，再由，可得，分别求出DE=1，CE=2，CF=6，即可求出AN． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴A点与C点关于BD对称， ∴CM=AM， ∴MN+CM=MN+AM≥AN， ∴当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小， ∵AD∥CF， ∴∠DAE=∠F， ∵∠DAE+∠DEH=90°， ∵DG⊥AF， ∴∠CDG+∠DEH=90°， ∴∠DAE=∠CDG， ∴∠CDG=∠F， ∴△DCG~△FCE， ∵， ∴ ， ∵正方形边长为3， ∴CF=6， ∵AD∥CF， ， ∴DE=1，CE=2， 在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2， ∴ ， ∵N是EF的中点， ， 在Rt△ADE中，EA2=AD2+DE2， ∴ ， ∴ ， ∴MN+MC的最小值为 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握正方形的性质，用轴对称求最短距离的方法，灵活应用三角形相似、勾股定理是解题的关键． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 15. 如图，表示两条道路，在 上有一个车站（用点P表示），现在要在两条道路形成的角的内部建一个报亭，要求报亭到两条道路的距离相等且到点P所表示的车站距离最短．请在图中作出报亭的位置． 【答案】 解：如图：点Q即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、垂线段的性质的运用等知识点，弄清问题中对所作图形的要求、结合对应几何图形的性质和基本作图的方法成为解题的关键． 先作的平分线，再过P作于点Q，则点Q到两条道路的距离相等且到点P所表示的车站距离最短． 【详解】略 四、解答题（本大题共9小题，共74分） 16. 计算及解不等式组： （1）； （2）并写出它的正整数解． 【答案】（1）； （2），，， 【解析】 【分析】（1）先因式分解，再把除化乘，约分即可； （2）先解每个不等式，再求出解集，然后找出正整数解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 （2）， 解：解不等式①得 ， 解不等式②得 ； 不等式组的解集为， 满足条件的正整数为，，， ∴它的正整数解为，，． 【点睛】本题考查分式的乘除法，不等式组的解法，掌握分式的乘除法法则，不等式组的解法是解题关键． 17. 小明与小亮玩游戏，如图，两组相同的纸牌，每组三张，牌面数字分别是3，4，5．他们将卡片背面朝上，分组充分洗匀后，从每组纸牌中各摸出一张，称为一次游戏．当摸出的两张纸牌的牌面数字之和大于8，则小明获胜；当摸出的两张纸牌的牌面数字之和小于8，则小亮获胜． （1）请你用列表法或画树状图法求出小明获胜的概率； （2）这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析，小明获胜的概率；（2）这个游戏公平，见解析. 【解析】 【分析】（1）用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后利用概率公式计算事件的概率. （2）若小明是小亮获胜的概率相同，则公平；反之，不公平. 【详解】解：（1）画树状图如下： 共有9种等可能的情况，其中和小于8的有3种，和大于8的有3种． ∴（小明胜）， 画表格如下： （2）由（1）知，（小亮胜）． ∵（小明胜）=（小亮胜）， ∴这个游戏公平． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及公平性问题：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后利用概率公式计算事件的概率.根据概率分析游戏公平与否即可. 18. 如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头 ，．某海岛上的观测塔 距离海岸5海里，在 处测得 位于南偏西方向．一艘渔船从出发，沿正北方向航行至处，此时在 处测得位于南偏东 方向，求此时观测塔 与渔船之间的距离（结果精确到0.1海里）． （参考数据:，，，，，） 【答案】4.3海里 【解析】 【分析】过点A作AE⊥BD，过点C作CF⊥AE，由正切函数与正弦函数的定义，以及矩形的性质，即可求解． 【详解】过点A作AE⊥BD，过点C作CF⊥AE，则四边形CDEF是矩形， ∵∠BAE=22°，AE=5（海里）， ∴BE=AE∙tan22°=5×=2（海里）， ∵DE=BD-BE=6-2=4（海里）， ∵四边形CDEF是矩形， ∴CF=DE=4（海里）， ∴AC=CF÷sin67°=4÷≈4.3（海里）． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 19. 今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示），其中60≤a<70记为“较差”，70≤a<80记为“一般”，80≤a<90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图． 请根据统计图提供的信息，回答如下问题： （1）x=________，y=________，并将直方图补充完整； （2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是________，众数是________； （3）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数； （4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率． 【答案】（1）30%，16%，图见解析 （2）95、94 （3）192人 （4） 【解析】 【分析】（1）先求出被调查的总人数，继而可求得y、x的值； （2）将数据重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可； （3）用总人数乘以样本中优秀人数所占百分比即可； （4）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：被调查的总人数为4÷8%=50（人）， ∴优秀对应的百分比， 则一般对应的人数为50-（4+23+8）=15（人）， ∴其对应的百分比， 补全图形如下： 故答案为：30%，16%． 【小问2详解】 解：将这组数据重新排列为91，93，94，94，96，98，99，100， 所以其中位数为，出现次数最多的是94，故众数为94， 故答案为：95，94； 【小问3详解】 解：估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为1200×16%=192（人）； 答：估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为192人 ． 【小问4详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能情况，其中被抽取的2人恰好是女生的有6种结果， 所以恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率为． 【点睛】此题考查了用列表法或树状图法求概率、频数分布直方图、扇形统计图、众数、中位数、用样本估计总体等知识，数形结合与用列表法或树状图法求概率是解题的关键． 20. 如图，一次函数图象与反比例函数图象相交于，两点． （1）求，的值； （2）根据图象直接写出满足的的取值范围． 【答案】（1）k的值为3，m的值为3 （2） 或 【解析】 【分析】（1）由点在一次函数与反比例函数图象上，可得 ，求出的值即可； （2）由（1）可知，反比例函数解析式为，进而可得，观察图象求不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：点在一次函数与反比例函数图象上， ， 解得， ∴的值为3，的值为3． 【小问2详解】 解：由（1）可知，反比例函数解析式为， 将代入，得 ， ∴， ∴由图象知，的取值范围为 或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，数形结合求不等式的解集等知识．解题的关键在于求出一次函数与反比例函数的交点坐标． 21. 如图，在 中，点，分别为，的中点，连接，． （1）求证：； （2）当，时，四边形 是什么特殊四边形？请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）四边形 是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，进而利用平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定解答即可． （2）先证明四边形AECF是平行四边形，再证明是等边三角形，得 ，从而可得结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠B=∠D，AD//BC， 又点，分别为，的中点， ， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∴∠AFC=∠AEC， ∴∠AFB=∠CED， 在△ABF与△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（AAS）． 【小问2详解】 解：四边形 是菱形 四边形ABCD为平行四边形， ，AD//BC， ， AE//CF，， 四边形 是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是菱形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定和菱形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形和菱形的判断方法． 22. 某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式； （2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？ （3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】（1）；（2） 时，w最大；（3）时，每天的销售量为20件． 【解析】 【分析】（1）将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式，即可求解； （2）由题意得w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，即可求解； （3）由题意得（x-30）（-2x+160）≥800，解不等式即可得到结论． 【详解】（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b， 将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得： ， 解得：， 故函数的表达式为：y=-2x+160； （2）由题意得：w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250， ∵-2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50， ∴当x=50时，w由最大值，此时，w=1200， 故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元； （3）由题意得：（x-30）（-2x+160）=800， 解得： 当时，每天获得的利润不低于 800 元， ∴每天的销售量y=-2x+160≥20， ∴每天的销售量最少应为20件． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w得出函数关系式是解题关键． 23. 知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c． ∵， ∴， ∴ （1）拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程． （2）解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 【答案】（1）， 证明：作CD⊥AB于点D，AC⊥BC于点E． 在RtΔABE中，， 同理：， ． ． ． ． ． （2）米 【解析】 【分析】拓展研究：作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，根据正弦的定义得AE = csinB， AE= bsin∠BCA，CD= asinB，CD = bsin∠BAC，从而得出结论； 解决问题：由拓展探究知， 代入计算即可． 【小问1详解】 （拓展探究）略 【小问2详解】 （解答问题）解：在ΔABC中， ∴ 解得： 答：点A到点B的距离为m． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出是解题的关键． 24. 已知：如图，在 中，，cm，cm，为边上的高，点从点 出发，沿方向匀速运动，速度为cm/s；同时，点从点 出发，沿方向匀速运动，速度为cm/s．设运动时间为． 解答下列问题： （1）当为何值时，； （2）当中点在上时，求的值； （3）设四边形的面积为，求与的函数关系式，并求最小值； （4）是否存在某一时刻，使得 ，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）s； （3），取得最小值为； （4）存在某一时刻s，使得 【解析】 【分析】（1）证明得到，即，求出t即可； （2）设与相交与点，则为中点，过作于点 ，利用三角函数求出，进而得到，，，求出，得到，求出t； （3）根据求出函数解析式，利用二次函数的性质解答； （4）当 时，过作 交于，利用等腰三角形三线合一的性质得到，表示出AN、AP，利用三角函数求出t． 【小问1详解】 由题意可知 ，，， ， ， ， 解得， 当时，； 【小问2详解】 设与相交与点，则为中点， 过作于点 ， ，，， ∴cosA=， ， ，，， ， ， ， ， ， s； 【小问3详解】 当s时，S取得最小值为； 【小问4详解】 当 时，过作 交于， 则， ，， ， 解得：s． 所以存在某一时刻s，使得 ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定及性质，三角函数，求函数解析式，二次函数的最值，等腰三角形三线合一的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $