15.3可化为一元一次方程的分式方程同步培优讲义（4知识点+10大题型归纳）【同步课堂】2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

15.3可化为一元一次方程的分式方程同步培优讲义 （4知识点+10大题型归纳） 目录 【知识点1 分式方程的概念】 1 【知识点2 分式方程的解法】 1 【知识点3 解分式方程产生增根的原因】 2 【知识点4 分式方程的应用】 2 【题型1 分式方程的定义】 3 【题型2 解分式方程】 4 【题型3 根据分式方程的解的情况求值】 6 【题型4 分式方程无解问题】 8 【题型5 列分式方程】 10 【题型6 分式方程的行程问题】 11 【题型7 分式方程的工程问题】 14 【题型8 分式方程的经济问题】 16 【题型9 分式方程的和差倍分问题】 19 【题型10 分式方程的其它实际问题】 22 1. 理解分式方程的定义，能准确区分分式方程与整式方程，明确分式方程的特征（分母含未知数）及成立前提（分母不为0）。 2. 掌握解分式方程的核心思路（转化思想），能熟练运用“去分母法”解分式方程，掌握“去分母→解整式方程→检验”的完整步骤，规避增根问题。 3. 能根据分式方程的解的情况（已知解、解为正数/负数等），求方程中字母参数的值，掌握分类讨论思想。 4. 理解分式方程无解的两种情况（整式方程无解、整式方程的解使原分式方程分母为0），能解决分式方程无解的相关问题，提升逻辑推理能力。 03 知识•梳理 【知识点1 分式方程的概念】 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 特别指出： （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）. 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 【知识点2 分式方程的解法】 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【知识点3 解分式方程产生增根的原因】 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 特别指出： （1） 增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的 两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方 程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根 就是原方程的增根. （2） 解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是 否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进 行的. 【知识点4 分式方程的应用】 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： 1. 审题：理清题目中的数量关系，找出题目中的等量关系（核心，列方程的关键）； 2. 设未知数：根据等量关系，设出合适的未知数（直接设未知数或间接设未知数，优先设题目所求的量）； 3. 列方程：根据等量关系，用含未知数的代数式表示相关量，列出分式方程； 4. 解方程：按照解分式方程的步骤，求出未知数的值； 5. 检验：① 检验所求值是否为原分式方程的解（分母不为0）；② 检验所求值是否符合实际意义（如人数、长度、时间等不能为负数、分数需符合题意）； 6. 作答：写出最终答案，注意单位。 【题型1 分式方程的定义】04 题型•汇总 解题关键：抓住“分母中含有未知数”这一核心特征，区分分式方程与整式方程，注意分母不能为0。 【典例1】．下列方程中，是分式方程的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①③ C．②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义，根据分式方程的定义是分母中含有未知数的方程，据此逐一判断各方程是否符合条件． 【详解】解： ∵方程① 的分母含有未知数， ∴ ①是分式方程； ∵ 方程② 的分母是常数， ∴ ②不是分式方程； ∵ 方程③ 的分母 都是常数， ∴ ③不是分式方程； ∵ 方程④ 的分母含有未知数， ∴ ④是分式方程． ∴ 是分式方程的是①④， 故选：A． 跟随训练1-1．下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案． 【详解】解：由分式方程的定义可知，四个选项中，只有D选项中的方程是分式方程， 故选：D． 跟随训练1-2．下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”逐一判断选项． 【详解】解：A选项：分母含未知数t，是分式方程； B选项：分母含未知数x，是分式方程； C选项：分母含未知数x，是分式方程； D选项：所有分母中均不含未知数，不是分式方程； 【题型2 解分式方程】 解题关键：遵循“去分母→解整式方程→检验”三步，注意去分母时每一项都要乘最简公分母，检验不可省略。 【典例2】．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，注意最后一定要检验． （1）先对分母分解因式，并写成含有的形式，然后方程两边同乘最简公分母，把分式方程化成整式方程，解方程求出x，最后进行检验即可； （2）方程两边同乘，把分式方程化成整式方程，解方程求出x，最后进行检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， 方程两边同乘，得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； （2）解：， 方程两边同乘，得：， ， 整理得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 跟随训练2-1．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程． （1）方程两边同乘最简公分母，化为整式方程，解方程，并检验，即可求解； （2）去分母 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程，解方程，并检验，即可求解． 【详解】（1）解： 方程两边同乘最简公分母，得： ， 解得： 当时，，因此是原方程的解． （2）解： 方程两边同乘最简公分母，得： ， 解得 当时，，因此是增根，原方程无解． 跟随训练2-2．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程和一元二次方程，掌握分式方程的解法并注意验根是解此题的关键．方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解： 通分得： ， 整理得：， 化简得：， ， 解得：， 将和代入方程中检验，得出是增根，是方程的解． 即原方程的解是． 【题型3 根据分式方程的解的情况求值】 解题关键：将已知解（或解的范围）代入整式方程求参数，再检验参数是否使原分式方程分母不为0。 【典例3】．若分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先将分式方程转化为整式方程求出解，再根据解为正数且分母不为0的条件，列不等式组确定m的取值范围． 【详解】解：∵原分式方程为， ∴变形为， 两边同乘（），得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， ∴， ∵方程的解为正数，且， ∴， 解，得，即， 解，得，即， ∴且． 【点睛】注意：要排除分式方程出现增根的情况，即解不能使原分母为0． 跟随训练3-1．若关于的分式方程的解为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的解，将代入原方程可得到关于的一元一次方程，求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵原分式方程的解为，且时原方程各分母均不为， ∴将代入原方程得： 即 两边同乘去分母得： 去括号得： 移项并合并同类项得： ∴， 故选：． 跟随训练3-2．方程有解，则m应满足（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解方程得到，再根据原方程有解可得不能是原方程的增根，结合分式方程有增根的条件是分母为0求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∵原方程有解， ∴原方程不能有增根， ∴且， ∴且， ∴且， 故选：D． 【题型4 分式方程无解问题】 解题关键：分两种情况讨论：① 整式方程无解；② 整式方程有解，但解为原分式方程的增根。 【典例4】．已知关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．或 B．10或 C．3或 D．5或10 【答案】A 【分析】本题考查分式方程无解的判定，需结合增根的定义，分析整式方程的解为原分式方程增根的情况，熟练掌握分式方程增根的性质是解题关键． 【详解】解：∵原分式方程分母为、、 ∴最简公分母为 去分母，两边同乘得： 展开整理得： ∵分式方程无解，且整理后的整式方程为一元一次方程（系数不为0，必有解） ∴仅需考虑整式方程的解为原分式方程的增根的情况 令原分式方程分母为0，得增根或 ①将代入，得，∴ ②将代入，得，∴ 综上，的值为或， 故选∶A． 跟随训练4-1．若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式方程的无解问题，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解的情况，把方程的增根代入去分母后的整式方程求解即可． 【详解】解：∵原分式方程为， ∴两边同乘（），得， 整理得， ∵分式方程无解，且整式方程必有解， ∴是原方程的增根， 将代入，得， 解得． 故答案为：B 跟随训练4-2．若关于x的方程无解，则m的值为（　　） A．2 B．0或2 C． D．0或 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，分式方程无解分两种情况：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解为原分式方程的增根．需先将分式方程化为整式方程，再分别讨论这两种情况求出m的值． 【详解】解：∵原方程为， ∴两边同乘（），得， 展开并整理：， 移项合并同类项得：，即， ①当时，整式方程无解，此时原分式方程无解，符合题意； ②当时，方程的解为， 原分式方程有增根时，增根满足，即， ∴，解得， 综上，的值为0或， 故选D． 【题型5 列分式方程】 解题关键：找准题目中的等量关系，设出未知数，用含未知数的代数式表示相关量，列出分式方程（不求解）。 【典例5】．、两地相距千米，一辆大汽车从地开出1小时后，又从地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的2倍，结果小汽车比大汽车早分钟到达地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为，则下面所列方程正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别表示出大、小汽车行驶全程的时间，再根据“大汽车先出发1小时，且比小汽车晚到分钟”的条件，建立时间等量关系，进而推导出正确方程． 【详解】解：设大汽车的速度为，则小汽车的速度为， 则大汽车行驶全程的时间为小时，小汽车行驶全程的时间为小时； 又∵大汽车先出发1小时，且比小汽车晚到分钟(即小时)， ∴可列等式：， 整理得：，与选项B的式子一致． 跟随训练5-1．某工程队原计划修路，实际每天比原计划多修，结果提前3天完成．设原计划每天修路，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的应用． 本题依据“工作时间工作总量工作效率”，结合原计划完成天数与实际完成天数的差值为3天来列方程． 【详解】解：∵原计划每天修路，总路程为， ∴原计划完成工程的天数为， ∵实际每天比原计划多修， ∴实际每天修路，实际完成工程的天数为， ∵结果提前3天完成，即原计划天数实际天数3， ∴可列方程为， 故选：B． 跟随训练5-2．某班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为____________ 【答案】 【分析】设慢车速度为，则快车速度为，根据“慢车行驶全程的时间 - 快车行驶全程的时间 = 慢车先行的时间”这一等量关系列方程． 【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为. ∴慢车行驶全程的时间为，快车行驶全程的时间为. 由此可列方程： 【题型6 分式方程的行程问题】 解题关键：抓住“路程=速度×时间”，找准时间、速度、路程的关系，通常根据时间差、时间和列方程，检验时注意速度不为0、时间为正数。 【典例6】．学生骑共享单车上学已成为一种时尚．小明家距学校3千米，若骑共享单车上学可比他步行上学少用分钟，已知他骑车的速度是他步行速度的倍，设小明步行的速度为每小时x千米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的实际应用，需先统一时间单位，再根据“骑车上学比步行上学少用分钟”的等量关系列方程。 【详解】解：∵分钟小时，小明步行速度为千米/小时，骑车速度为千米/小时， ∴步行上学用时为小时，骑车上学用时为小时， ∵骑车比步行少用小时，即步行用时小时+骑车用时， ∴可列方程：， 故选：D； 跟随训练6-1．甲、乙两辆汽车从地出发沿同一公路开往距离地的地，甲车的平均行驶速度是，乙车的平均行驶速度比甲车的平均行驶速度多． (1)若甲车和乙车同时出发，甲车到达B地用时_____，乙车到达B地用时_____，甲车用时是乙车用时的_____倍； (2)若甲车先行，乙车再出发，结果两车同时到达B地．求甲车的平均行驶速度； (3)若甲车和乙车同时出发，甲车行驶了（）后发现遗漏了行李，立即原速返回A地，取得行李后立即掉头以原来平均行驶速度的1.2倍赶往B地（取行李、掉头的时间均忽略不计），结果两车同时到达B地．则甲车的平均行驶速度是_____．（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，， (2)甲车的平均行驶速度； (3) 【分析】本题考查列代数式，分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意得到乙车的平均行驶速度为，利用时间路程速度即可解答； （2）根据两车同时到达B地，列出分式方程求解即可； （3）由题意得甲车所用时间为，乙车所用时间为，根据两车同时到达B地，列出分式方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得到乙车的平均行驶速度为， 则甲车到达B地用时，乙车到达B地用时， 甲车用时是乙车用时的（倍）； 故答案为：，，； （2）解：由题意得，，即， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：甲车的平均行驶速度是； （3）解：由题意得甲车所用时间为：，乙车所用时间为：， 则， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，即甲车的平均行驶速度是． 故答案为：． 跟随训练6-2．“苏超”期间，为保证供电安全，某电力公司投入了先进的无人机巡检系统对重点线路进行巡检，在巡检时，无人机需按固定航线完成往返作业（不计掉头时间），甲无人机负责段线路的巡检，乙无人机负责段线路的巡检，已知段线路单程长，段线路单程长，甲无人机与乙无人机的平均巡航速度比是． (1)若乙无人机完成段线路往返巡检的时间比甲无人机完成段线路往返巡检的时间多，求甲、乙无人机的平均巡航速度； (2)若两架无人机同时从起点出发，且完成往返巡检后同时回到起点，此时乙无人机的巡航速度较（1）中的速度提升了，甲无人机速度不变，求的值． 【答案】(1)甲无人机的平均巡航速度为，乙无人机的平均巡航速度为 (2)25 【分析】本题主要考查了列分式方程解决行程问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． （1）设甲无人机的平均巡航速度为，乙无人机的平均巡航速度为，根据时间差，列出方程求解即可； （2）得出乙无人机的平均巡航速度为，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲无人机的平均巡航速度为，乙无人机的平均巡航速度为，，根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，并符合题意， ∴，， ∴甲无人机的平均巡航速度为，乙无人机的平均巡航速度为； （2）解：乙无人机的平均巡航速度为， ∴ 解得， 经检验，是原分式方程的解，并符合题意， ∴的值为25． 【题型7 分式方程的工程问题】 解题关键：将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷工作时间，等量关系通常为“合作效率=各单独效率之和”“各部分工作量之和=总工作量”。 【典例7】．某工厂工人甲做90个机器零件所用时间和工人乙做120个机器零件所用时间相同，已知每小时甲、乙两人共做35个机器零件．设甲每小时做x个零件，则根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设甲每小时做个零件，则乙每小时做个零件，根据“甲做90个零件的时间=乙做120个零件的时间”这一等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设甲每小时做个零件，甲、乙两人每小时共做35个零件， ∴乙每小时做个零件， ∵甲做90个零件所用时间=乙做120个零件所用时间，且工作时间=工作量÷工作效率 ∴可列方程：． 故选C． 跟随训练7-1．为缓解城市地面交通压力，提高人们出行的效率，某地准备扩建一条地铁路线，现要对沿线6000m的地下管道进行改迁，为尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天比原计划多改迁30m，结果提前10天完成改迁任务．设原计划每天改迁管道m，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据提前10天完成任务列方程． 本题考查根据实际问题列分式方程，关键是找到原计划和实际完成任务的天数差． 【详解】解：∵设原计划每天改迁管道 ∴实际每天改迁管道 ∵总管道长度为 ∴原计划完成任务的天数为，实际完成任务的天数为 ∵实际比原计划提前10天完成任务 ∴ 故选：C 跟随训练7-2．在梅溪湖生态环境提升项目中，计划由甲、乙两个工程队合作完成部分工程．调查发现：甲工程队每天比乙工程队少整治40米，且甲工程队单独完成3000米整治任务的时间，与乙工程队单独完成4000米整治任务的时间相等． (1)甲、乙工程队每天分别整治多少米？ (2)由于施工条件限制，每天只能一个工程队施工，现由甲、乙两个工程队共用时80天，接力完成不少于11600米河堤整治任务，则乙工程队至少施工多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天整治120米，乙工程队每天整治160米； (2)乙工程队至少施工50天 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设甲工程队每天整治米，则乙工程队每天整治米，根据甲工程队单独完成3000米整治任务的时间，与乙工程队单独完成4000米整治任务的时间相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设乙工程队施工天，则甲工程队施工天，根据接力完成不少于11600米河堤整治任务，列出一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】（1）（1）设甲工程队每天整治米，则乙工程队每天整治米， 根据题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：甲工程队每天整治120米，乙工程队每天整治160米； （2）设乙工程队施工天，则甲工程队施工天， 根据题意得：， 解得：， 答：乙工程队至少施工50天． 【题型8 分式方程的经济问题】 解题关键：掌握“单价、总价、数量”“进价、售价、利润率”的关系，找准等量关系（如单价相等、利润率相等、总价差等）。 【典例8】．为推动生产力发展，某地区出台补贴政策：企业更新1套甲类设备可获得2万元补贴：更新1套乙类设备可获得1万元补贴．某企业对现有的甲、乙两类共10套设备进行了更新，共获得16万元补贴． (1)该企业甲、乙两类设备各有多少套？ (2)经测算，更新1套甲类设备的费用比更新1套乙类设备的费用的2倍少2万元．若用40万元更新甲类设备与用30万元更新乙类设备的数量相等，求更新1套乙类设备的费用． 【答案】(1)甲类设备6套，乙类设备4套 (2)更新1套乙类设备的费用为3万元 【分析】（1）列二元一次方程组解决实际问题即可； （2）列分式方程解决实际问题即可． 【详解】（1）解：设该企业更新甲类设备x套，乙类设备y套． 根据题意得，， 解得． 答：甲类设备6套，乙类设备4套； （2）解：设更新1套乙类设备的费用为a万元，则更新1套甲类设备的费用为万元．由题意得， ， 解得． 经检验，是原方程的解． 答：更新1套乙类设备的费用为3万元． 跟随训练8-1．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元 (2)4种 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购进A款哪吒玩偶的数量比用元购进B款哪吒玩偶少个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B款哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出A款哪吒玩偶的单价； （2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据“购进B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种进货方案． 【详解】（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元； （2）解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为，，，， ∴共有4种进货方案． 答：该超市共有4种进货方案． 跟随训练8-2．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因机器人舞团在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人进行销售．已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少万元，花万元购进甲种机器人的数量是花万元购进乙种机器人数量的倍． (1)求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元？ (2)某公司开展科技学习活动，打算从购进甲、乙两种机器人共个，且经费预算不超过万元，则该公司最少可以购进甲种机器人多少个？ 【答案】(1)购买一个甲种机器人需万元，购买一个乙种机器人需万元； (2)该公司最少可以购进甲种机器人个． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列方程（组）或不等式（组）求解是解题的关键． （1）设乙种机器人单价为万元，则甲种机器人单价为万元．根据1200万元购进甲种机器人的数量=2×（650万元购进乙种机器人的数量）这一等量关系，列分式方程求解． （2）设购进甲种机器人个，则购进乙种机器人个．根据甲种机器人总费用+乙种机器人总费用≤1900万元这一不等关系，列一元一次不等式求解的最小整数值． 【详解】（1）解：设购买一个乙种机器人需要万元，则购买一个甲种机器人需要万元． ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ， 答：购买一个甲种机器人需60万元，购买一个乙种机器人需65万元． （2）解：设该公司购进甲种机器人个，则购进乙种机器人个． ， ， ， ， 为整数， 的最小值为10． 答：该公司最少可以购进甲种机器人10个． 【题型9 分式方程的和差倍分问题】 解题关键：根据题目中“和、差、倍、分”的描述，找准等量关系，设出未知数，列出分式方程。 【典例9】．甲、乙两公司全体员工踊跃参与某捐款活动，甲公司共捐款元，乙公司共捐款元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： (1)甲、乙两公司分别有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱元，B种物资每箱元，若购买B种物资不少于箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注：A、B两种物资均需购买，并按整箱配送） 【答案】(1)甲公司有人，乙公司有人 (2)有两种购买方案：购买8箱A种物资、箱B种物资或购买4箱A种物资，箱B种物资 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设甲公司有x人，则乙公司有人，根据乙公司的人均捐款数是甲公司的倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，根据总价单价数量，即可得出关于m，n的二元一次方程组，再结合且m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设乙公司有人，则甲公司有人． 由题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲公司有人，乙公司有人． （2）（2）设购买A种物资箱，购买B种物资箱， 由题意，得， 整理，得． 又，且为正整数， ∴，． 答：有两种购买方案：购买8箱A种物资、箱B种物资或购买4箱A种物资，箱B种物资． 跟随训练9-1．【调查活动】小超同学为了完成老师布置的社会活动作业：《岳阳市初中生阅读水平的现状》，随机走访了岳阳市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书18000册； ②甲校比乙校人均图书册数多2册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】小超把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小超同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”中任选一个，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为人．根据“甲校比乙校人均图书册数多2册”可列方程，即可； 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为册．根据“甲校的学生人数比乙校的人数少”可列方程，即可． 【详解】解：问题：甲、乙两校的人数各是多少？ 设乙校的人数为人． 根据题意可列分式方程：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 人， 答：甲、乙两校的人数各是900人、1000人． 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？ 设：乙校的人均图书册数为册． 根据题意可列分式方程：． 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲、乙两校的人均图书册数各是20册、18册． 跟随训练9-2．《花卉装点校园，喜迎新春佳节》项目学习方案如下，请完成任务． 项目情景 春节将至，栖霞某中学购买花卉装点校园．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务． 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜3元，用600元购买的B种花卉数量为用240元购买的A种花卉数量的2倍． 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同． 任务1 小组成员甲设①_________的单价为x元， 由题意得方程：； 小组成员乙设购买A种花卉的数量为y枝，由题意得方程：②_________． 任务2 求m的值． 【答案】（1）①A种花卉；②；（2） 【分析】本题考查分式方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出分式方程是解题的关键． 任务1：由题意，可知：用600元购买的B种花卉数量为，根据每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜3元，可得①处的答案；根据小组成员乙设购买A种花卉的数量为y枝，结合单价之间的数量关系可得方程，可得②处的答案； 任务2：根据完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1）依题意，表示600元购买的B种花卉数量为用240元购买的A种花卉数量的2倍， ∴小组成员甲设的是A种花卉的单价为x元； ∴①处填A种花卉； 小组成员乙设购买A种花卉的数量为y枝，由题意得方程：， ∴②处填：； 故答案为：①A种花卉；②； （2）由题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的根且符合题意， ∴． 【题型10 分式方程的其它实际问题】 解题关键：根据题目场景，找准等量关系（如浓度、比例等），按照列分式方程的步骤求解，检验实际意义。 【典例10】．某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木箱需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 【采购清单】 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m ① 150 长方形木板 ② 390 (1)请直接写出清单中①，②处的内容（用含的代数式表示），并求的值． (2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ 【答案】(1)；；10 (2)制作竖式木箱3个，横式木箱6个，恰好将木板用完 【分析】本题考查了分式方程和二元一次方程组的应用： （1）根据“数量总价单价”分别表示出正方形木板和长方形木板的数量，再结合两者数量关系列出分式方程求解； （2）先根据第（1）问算出正方形木板块、长方形木板块，再根据两种木箱的用料，列出方程组求解，就能得到各自的制作数量． 【详解】（1）解：①处为：；②处为：； 由题意得：， 解得：， 经检验可知：是原分式方程的解， 的值为10 （2）解：由（1）可知，； 即正方形木板有15块，长方形木板共有30块， 设制作竖式木箱个，横式木箱个， 由题意得：， 解得：， 答：制作竖式木箱3个，横式木箱6个，恰好将木板用完． 跟随训练10-1．李师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产汽车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：________元 (1)用含的代数式表示出新能源车每千米行驶费用________元； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车的每千米行驶费用多元．请你帮李师傅计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少元？ 【答案】(1) (2)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，理解题意并正确列出代数式是解题关键． （1）先计算出行驶千米的总费用，再平均一下即可； （2）根据两种车每千米费用的差值，构造分式方程，求解并检验即可． 【详解】（1）解：由题意可得，新能源车行驶千米的费用为（元）， ∴每千米行驶费用为元． 故答案为：； （2）解：∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ∴可列方程， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元． 跟随训练10-2．如图①，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)“丰收1号”小麦的试验田单位面积产量为________，“丰收2号”小麦的试验田单位面积产量为________，________小麦的试验田单位面积产量高； (2)在试验田四周修建隔离网（图②中虚线部分），“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a的值． 【答案】(1)，，“丰收2号” (2)12 【分析】本题主要考查了列代数式，解分式方程解决实际问题，解题的关键找准等量关系列出方程． （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据单价列出分式方程求解即可． 【详解】（1）解：“丰收1号”小麦的试验田单位面积产量为， “丰收2号”小麦的试验田单位面积产量为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴“丰收2号”小麦的试验田单位面积产量高， 故答案为：，，“丰收2号”； （2）解：“丰收1号”小麦试验田隔离网长度为， “丰收2号”小麦试验田隔离网长度为， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， ∴a的值是12． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3可化为一元一次方程的分式方程同步培优讲义 （4知识点+10大题型归纳） 目录 【知识点1 分式方程的概念】 1 【知识点2 分式方程的解法】 1 【知识点3 解分式方程产生增根的原因】 2 【知识点4 分式方程的应用】 2 【题型1 分式方程的定义】 3 【题型2 解分式方程】 4 【题型3 根据分式方程的解的情况求值】 6 【题型4 分式方程无解问题】 8 【题型5 列分式方程】 10 【题型6 分式方程的行程问题】 11 【题型7 分式方程的工程问题】 14 【题型8 分式方程的经济问题】 16 【题型9 分式方程的和差倍分问题】 19 【题型10 分式方程的其它实际问题】 22 1. 理解分式方程的定义，能准确区分分式方程与整式方程，明确分式方程的特征（分母含未知数）及成立前提（分母不为0）。 2. 掌握解分式方程的核心思路（转化思想），能熟练运用“去分母法”解分式方程，掌握“去分母→解整式方程→检验”的完整步骤，规避增根问题。 3. 能根据分式方程的解的情况（已知解、解为正数/负数等），求方程中字母参数的值，掌握分类讨论思想。 4. 理解分式方程无解的两种情况（整式方程无解、整式方程的解使原分式方程分母为0），能解决分式方程无解的相关问题，提升逻辑推理能力。 03 知识•梳理 【知识点1 分式方程的概念】 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 特别指出： （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）. 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 【知识点2 分式方程的解法】 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【知识点3 解分式方程产生增根的原因】 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 特别指出： （1） 增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的 两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方 程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根 就是原方程的增根. （2） 解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是 否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进 行的. 【知识点4 分式方程的应用】 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： 1. 审题：理清题目中的数量关系，找出题目中的等量关系（核心，列方程的关键）； 2. 设未知数：根据等量关系，设出合适的未知数（直接设未知数或间接设未知数，优先设题目所求的量）； 3. 列方程：根据等量关系，用含未知数的代数式表示相关量，列出分式方程； 4. 解方程：按照解分式方程的步骤，求出未知数的值； 5. 检验：① 检验所求值是否为原分式方程的解（分母不为0）；② 检验所求值是否符合实际意义（如人数、长度、时间等不能为负数、分数需符合题意）； 6. 作答：写出最终答案，注意单位。 【题型1 分式方程的定义】04 题型•汇总 解题关键：抓住“分母中含有未知数”这一核心特征，区分分式方程与整式方程，注意分母不能为0。 【典例1】．下列方程中，是分式方程的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①③ C．②③ D．①②③④ 跟随训练1-1．下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 解分式方程】 解题关键：遵循“去分母→解整式方程→检验”三步，注意去分母时每一项都要乘最简公分母，检验不可省略。 【典例2】．解方程： (1)； (2)． 跟随训练2-1．解方程 (1)； (2)． 跟随训练2-2．解方程： 【题型3 根据分式方程的解的情况求值】 解题关键：将已知解（或解的范围）代入整式方程求参数，再检验参数是否使原分式方程分母不为0。 【典例3】．若分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 跟随训练3-1．若关于的分式方程的解为，则的值是（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-2．方程有解，则m应满足（   ） A． B． C．或 D．且 【题型4 分式方程无解问题】 解题关键：分两种情况讨论：① 整式方程无解；② 整式方程有解，但解为原分式方程的增根。 【典例4】．已知关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．或 B．10或 C．3或 D．5或10 跟随训练4-1．若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 跟随训练4-2．若关于x的方程无解，则m的值为（　　） A．2 B．0或2 C． D．0或 【题型5 列分式方程】 解题关键：找准题目中的等量关系，设出未知数，用含未知数的代数式表示相关量，列出分式方程（不求解）。 【典例5】．、两地相距千米，一辆大汽车从地开出1小时后，又从地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的2倍，结果小汽车比大汽车早分钟到达地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为，则下面所列方程正确的是( ) A． B． C． D． 跟随训练5-1．某工程队原计划修路，实际每天比原计划多修，结果提前3天完成．设原计划每天修路，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 跟随训练5-2．某班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为____________ 【题型6 分式方程的行程问题】 解题关键：抓住“路程=速度×时间”，找准时间、速度、路程的关系，通常根据时间差、时间和列方程，检验时注意速度不为0、时间为正数。 【典例6】．学生骑共享单车上学已成为一种时尚．小明家距学校3千米，若骑共享单车上学可比他步行上学少用分钟，已知他骑车的速度是他步行速度的倍，设小明步行的速度为每小时x千米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 跟随训练6-1．甲、乙两辆汽车从地出发沿同一公路开往距离地的地，甲车的平均行驶速度是，乙车的平均行驶速度比甲车的平均行驶速度多． (1)若甲车和乙车同时出发，甲车到达B地用时_____，乙车到达B地用时_____，甲车用时是乙车用时的_____倍； (2)若甲车先行，乙车再出发，结果两车同时到达B地．求甲车的平均行驶速度； (3)若甲车和乙车同时出发，甲车行驶了（）后发现遗漏了行李，立即原速返回A地，取得行李后立即掉头以原来平均行驶速度的1.2倍赶往B地（取行李、掉头的时间均忽略不计），结果两车同时到达B地．则甲车的平均行驶速度是_____．（用含的代数式表示）． 跟随训练6-2．“苏超”期间，为保证供电安全，某电力公司投入了先进的无人机巡检系统对重点线路进行巡检，在巡检时，无人机需按固定航线完成往返作业（不计掉头时间），甲无人机负责段线路的巡检，乙无人机负责段线路的巡检，已知段线路单程长，段线路单程长，甲无人机与乙无人机的平均巡航速度比是． (1)若乙无人机完成段线路往返巡检的时间比甲无人机完成段线路往返巡检的时间多，求甲、乙无人机的平均巡航速度； (2)若两架无人机同时从起点出发，且完成往返巡检后同时回到起点，此时乙无人机的巡航速度较（1）中的速度提升了，甲无人机速度不变，求的值． 【题型7 分式方程的工程问题】 解题关键：将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷工作时间，等量关系通常为“合作效率=各单独效率之和”“各部分工作量之和=总工作量”。 【典例7】．某工厂工人甲做90个机器零件所用时间和工人乙做120个机器零件所用时间相同，已知每小时甲、乙两人共做35个机器零件．设甲每小时做x个零件，则根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练7-1．为缓解城市地面交通压力，提高人们出行的效率，某地准备扩建一条地铁路线，现要对沿线6000m的地下管道进行改迁，为尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天比原计划多改迁30m，结果提前10天完成改迁任务．设原计划每天改迁管道m，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 跟随训练7-2．在梅溪湖生态环境提升项目中，计划由甲、乙两个工程队合作完成部分工程．调查发现：甲工程队每天比乙工程队少整治40米，且甲工程队单独完成3000米整治任务的时间，与乙工程队单独完成4000米整治任务的时间相等． (1)甲、乙工程队每天分别整治多少米？ (2)由于施工条件限制，每天只能一个工程队施工，现由甲、乙两个工程队共用时80天，接力完成不少于11600米河堤整治任务，则乙工程队至少施工多少天？ 【题型8 分式方程的经济问题】 解题关键：掌握“单价、总价、数量”“进价、售价、利润率”的关系，找准等量关系（如单价相等、利润率相等、总价差等）。 【典例8】．为推动生产力发展，某地区出台补贴政策：企业更新1套甲类设备可获得2万元补贴：更新1套乙类设备可获得1万元补贴．某企业对现有的甲、乙两类共10套设备进行了更新，共获得16万元补贴． (1)该企业甲、乙两类设备各有多少套？ (2)经测算，更新1套甲类设备的费用比更新1套乙类设备的费用的2倍少2万元．若用40万元更新甲类设备与用30万元更新乙类设备的数量相等，求更新1套乙类设备的费用． 跟随训练8-1．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 跟随训练8-2．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因机器人舞团在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人进行销售．已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少万元，花万元购进甲种机器人的数量是花万元购进乙种机器人数量的倍． (1)求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元？ (2)某公司开展科技学习活动，打算从购进甲、乙两种机器人共个，且经费预算不超过万元，则该公司最少可以购进甲种机器人多少个？ 【题型9 分式方程的和差倍分问题】 解题关键：根据题目中“和、差、倍、分”的描述，找准等量关系，设出未知数，列出分式方程。 【典例9】．甲、乙两公司全体员工踊跃参与某捐款活动，甲公司共捐款元，乙公司共捐款元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： (1)甲、乙两公司分别有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱元，B种物资每箱元，若购买B种物资不少于箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注：A、B两种物资均需购买，并按整箱配送） 跟随训练9-1．【调查活动】小超同学为了完成老师布置的社会活动作业：《岳阳市初中生阅读水平的现状》，随机走访了岳阳市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书18000册； ②甲校比乙校人均图书册数多2册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】小超把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小超同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”中任选一个，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 跟随训练9-2．《花卉装点校园，喜迎新春佳节》项目学习方案如下，请完成任务． 项目情景 春节将至，栖霞某中学购买花卉装点校园．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务． 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜3元，用600元购买的B种花卉数量为用240元购买的A种花卉数量的2倍． 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同． 任务1 小组成员甲设①_________的单价为x元， 由题意得方程：； 小组成员乙设购买A种花卉的数量为y枝，由题意得方程：②_________． 任务2 求m的值． 【题型10 分式方程的其它实际问题】 解题关键：根据题目场景，找准等量关系（如浓度、比例等），按照列分式方程的步骤求解，检验实际意义。 【典例10】．某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木箱需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 【采购清单】 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m ① 150 长方形木板 ② 390 (1)请直接写出清单中①，②处的内容（用含的代数式表示），并求的值． (2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ 跟随训练10-1．李师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产汽车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：________元 (1)用含的代数式表示出新能源车每千米行驶费用________元； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车的每千米行驶费用多元．请你帮李师傅计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少元？ 跟随训练10-2．如图①，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)“丰收1号”小麦的试验田单位面积产量为________，“丰收2号”小麦的试验田单位面积产量为________，________小麦的试验田单位面积产量高； (2)在试验田四周修建隔离网（图②中虚线部分），“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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