专题04 分式方程的实际应用（专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题04 分式方程的实际应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、行程问题 1 题型二、工程问题 3 题型三、经济问题 5 题型四、和差倍分问题 6 题型五、其他实际问题 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、行程问题 1．（25-26八年级上·吉林·期末）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，甲、乙两校分别组织学生去中国人民抗日战争纪念馆参观．甲校距纪念馆，乙校距纪念馆．两校学生同时从学校出发，甲校学生乘坐中巴车，乙校学生乘坐大巴车，结果两校学生同时到达纪念馆．已知中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快．求大巴车行驶的时间．请将以下解题过程补充完整． (1)解法一：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为．根据题意可列方程： ； (2)解法二：设大巴车行驶的时间为．根据题意可列方程，得： ． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （）解法一：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为，根据结果两校学生同时到达纪念馆，列出分式方程，解方程，即可解决问题； （）解法二：设大巴车行驶的时间为，根据中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为， 根据题意可列方程，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：大巴车行驶的时间为， 故答案为：； （2）解：设大巴车行驶的时间为， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：大巴车行驶的时间为， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）魅力新保定，跑向新未来4月20日上午，君乐宝2025保定马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两人参加约40千米的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2千米，最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时千米，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程，分式方程的行程问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时；根据距离相等，甲比乙早到1小时，即乙所用时间比甲多1小时，列出方程． 【详解】解：设乙的平均速度为每小时千米， 乙跑完全程所需时间为小时， 甲跑完全程所需时间为小时； 由甲比乙早到1小时，得， 故答案为：． 3．（2026九年级·吉林·专题练习）小王从A地开车去B地，两地相距，实际平均速度比原计划平均速度提高了，结果提前到达，求小王原计划的平均速度． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的行程问题，列分式方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 设小王原计划的平均速度为，根据题意列出分式方程求解． 【详解】解：设小王原计划的平均速度为， 由题意得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：小王原计划的平均速度为． 题型二、工程问题 4．（25-26八年级上·贵州黔南·期末）随着人工智能的快速发展，某快递站使用机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用，则人工每小时分拣小型包裹的数量为（   ） A．200件 B．300件 C．400件 D．500件 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设人工每小时分拣x件包裹，则每小时分拣件包裹，根据分拣3200件比人工分拣1600件少用的时间差关系列方程求解． 【详解】解：设人工每小时分拣x件包裹，则每小时分拣件包裹， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 因此，人工每小时分拣400件包裹． 故选：C． 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）今年哈市入冬以来，为保障道路畅通及市民出行安全，及时开展扫雪除冰工作．其中甲、乙两组共同负责一条大街的扫雪工作，若由甲、乙两组合作则2小时可完成扫雪工作；若甲组先单独扫雪4小时，再由乙组单独扫雪1小时可完成扫雪工作． (1)求甲、乙两组单独完成此项工作各需要多少小时？ (2)如果甲、乙两组先合作若干小时后，甲组有事离开，剩下的工作全由乙单独完成，且要求完成扫雪工作不超过小时，问甲乙两组至少合作多少小时才能完成任务？ 【答案】(1)甲组单独完成此项工作需要6小时，乙组单独完成此项工作需要3小时 (2)1小时 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设甲组单独完成此项工作需要x小时，则甲组的工作效率为，乙组的工作效率为，利用甲组完成的工作量+乙组完成的工作量=总工作量，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值即甲种单独完成此项工作所需时间，再将其代入中，即可求出乙种单独完成此项工作所需时间； （2）设甲、乙合作了m小时，则剩下的工作由乙组单独完成还需小时，根据要求完成扫雪工作不超过小时，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲组单独完成此项工作需要x小时，则甲组的工作效率为，乙组的工作效率为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 小时 答：甲组单独完成此项工作需要6小时，乙组单独完成此项工作需要3小时； （2）解：设甲、乙合作了m小时，则剩下的工作由乙组单独完成还需小时， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为 答：甲乙两组至少合作1小时才能完成任务． 6．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品？设原计划平均每天生产箱药品，则下面所列方程正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的实际应用，理解题意并根据等量关系列方程是解题关键． 设原计划平均每天生产箱药品，则实际每天生产箱药品，由“现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同”构造方程． 【详解】解：设原计划平均每天生产箱药品，则实际每天生产箱药品， 现在生产6000箱药品所需时间为天，原计划生产4500箱药品所需时间为天， 由两者时间相等，可列方程． 故选：C． 题型三、经济问题 7．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，正确理解题意，利用价格关系表示数量是解题关键； 根据买得的牛和羊数量相等这一等量关系列方程即可． 【详解】解：设每头牛的价格为x两，则每只羊的价格为两， 用20两买牛，牛的数量为头， 用15两买羊，羊的数量为只， 则， 故选A． 8．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）为进一步发展新质生产力，某企业计划对现有甲、乙两类生产线的设备进行更新换代，经测算，升级1条甲类生产线比升级1条乙类生产线需多投入5万元，用120万元升级甲类生产线的条数和用100万元升级乙类生产线的条数相同，求升级1条甲类、乙类生产线各需投入的资金． 【答案】升级1条甲类生产线需投入30万元，升级1条乙类生产线需投入25万元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 设升级1条乙类生产线需投入万元，则升级1条甲类生产线需投入万元，根据用120万元升级甲类生产线的条数和用100万元升级乙类生产线的条数相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设升级1条乙类生产线需投入万元，则升级1条甲类生产线需投入万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （万元）． 答：升级1条甲类生产线需投入30万元，升级1条乙类生产线需投入25万元． 9．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类，用350万元购买甲型机器人和用490万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为120万元，甲、乙两种型号机器人单价分别是多少万元？ 【答案】甲型机器人单价为50万元，乙型机器人单价为70万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲型号机器人单价为万元，则乙型号机器人单价为万元，依题意列出方程，求解即可得出答案，掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设甲型号机器人单价为万元，则乙型号机器人单价为万元，依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴（万元）， 答：甲型机器人单价为50万元，乙型机器人单价为70万元． 题型四、和差倍分问题 10．（25-26八年级上·河南周口·期末）为举办“青春露营·亲近自然”校园帐篷节，某校计划购进两种款式的帐篷——专业户外帐篷和基础露营帐篷．已知专业户外帐篷的单价比基础露营帐篷高，用18000元购买专业户外帐篷的数量比用9000元购买基础露营帐篷的数量多6顶，求专业户外帐篷和基础露营帐篷的单价． 【答案】专业户外帐篷的单价为1200元，基础露营帐篷的单价为1000元 【分析】本题考查分式的实际应用，设基础露营帐篷的单价为元，根据用18000元购买专业户外帐篷的数量比用9000元购买基础露营帐篷的数量多6顶，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设基础露营帐篷的单价为元，由题意，得： ， 解得：； 经检验，是原方程的解； ∴； 答：专业户外帐篷的单价为1200元，基础露营帐篷的单价为1000元． 11．（25-26八年级上·重庆巴南·月考）随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及．物流园某仓库运用甲、乙两种机器人搬运粮食共，甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少． (1)甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？ (2)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的倍，结果甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？ 【答案】(1)甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食 (2)甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确理解题意列出对应的方程是解题的关键． （1）设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克，根据甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少建立方程求解即可； （2）设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食，根据甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克， 由题意得 解得， ， 答：甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食； （2）解：设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食． 12．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）某边防哨所运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果，那么，这个哨所共有多少名战士？若设这个哨所共有名战士，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设这个哨所共有名战士，第一次分苹果每人分得个，第二次分苹果每人分得个，根据第二次每人比第一次多分1个苹果，列出方程即可． 【详解】解：设这个哨所共有名战士， 第一次分苹果：剩余5个苹果，实际分发苹果数为：个，每人分得个， 第二次分苹果：还差6个苹果，需要苹果数为个，每人分得个， 由题意，第二次每人比第一次多分1个苹果，因此有， 故可列方程为：． 故答案为：． 题型五、其他实际问题 13．（25-26八年级上·北京朝阳·期末）某校计划租车前往博物馆开展研学活动．某租车公司有，两种型号的客车可供租用，每辆车满员的情况下，每辆型客车的载客量比每辆型客车的载客量多人，用型客车载客人与用型客车载客人的车辆数相同．求每辆型客车的载客量． 【答案】人 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系列出分式方程并检验解的合理性是解题的关键．设每辆型客车的载客量为人，根据题意表示出型客车的载客量为人；利用“载客人数每辆车的载客量车辆数”这一关系，结合“用型客车载客人与用型客车载客人的车辆数相同”这一等量关系，列出分式方程；最后解方程并检验，得出型客车的载客量． 【详解】解：设每辆B型客车的载客量为x人，则每辆A型客车的载客量为人． 由题意，得． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 答：每辆B型客车的载客量为45人． 14．（25-26八年级上·北京海淀·期末）柿子在中国文化中具有丰富的寓意，常被视为吉祥的象征．近年来，某村成立合作社，新增柿子的种植面积300亩．已知该村成立合作社前柿子年产量为90万千克，在亩产量不变的情况下，成立合作社后年产量达到135万千克．求该村成立合作社前柿子的种植面积．（列分式方程解答） 【答案】600亩 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该村成立合作社前柿子种植面积为x亩，则成立合作社后柿子种植面积为亩．根据亩产量不变列方程，即可求解． 【详解】解：设该村成立合作社前柿子种植面积为x亩，则成立合作社后柿子种植面积为亩．根据亩产量不变，得 ． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 答：该村成立合作社前柿子种植面积为600亩． 15．（2026·山东临沂·模拟预测）端午节，又称端阳节、龙舟节、重午节等，日期在每年农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某小区开展“包粽子，庆端午”活动，活动期间，计划每小时包相同数量的粽子．该活动开始后，实际比原计划每小时多包100个，实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相同．设实际每小时包个，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设实际每小时包x个，原计划每小时包个，根据实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相等，据此列方程． 【详解】解：设实际每小时包x个，原计划每小时包个， 根据题意，得． 故选：A． 1．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）2025年春节电影档掀起观影热潮，特别是《哪吒之魔童闹海》，截至2月23日全球票房超135亿，登顶动画电影票房排行榜，五一假期小明一家自驾去哪吒传奇主题公园游玩． (1)从小明家到主题公园行驶的高速公路路程为120千米，普通公路的路程为30千米，已知高速公路路段行驶的平均速度是普通公路路段行驶速度的2倍，经过1.8小时后到达目的地．求汽车在普通公路路段行驶的平均速度是多少？ (2)小明计划用不超过300元购买《哪吒之魔童闹海》主题手办，哪吒手办单价35元，敖丙手办单价40元．他准备买一些送给表弟表妹，要求敖丙手办数量比哪吒手办多1个．请问小明最多能买几个哪吒手办？ 【答案】(1)汽车在高速路段行驶的平均速度为100千米/时； (2)小明最多能买个哪吒手办． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找出数量关系，列出分式方程和不等式是解题的关键． （1）设汽车在普通公路路段行驶的平均速度为x千米/时，则汽车在高速路段行驶的平均速度为2x千米/时，根据题意得，然后解方程并检验即可； （2）设小明购买了m个哪吒手办，则购买了（）个敖丙手办，根据题意得，然后解不等式并检验即可． 【详解】（1）解：设汽车在普通公路路段行驶的平均速度为x千米/时，则汽车在高速路段行驶的平均速度为2x千米/时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米/时）． 答：汽车在高速路段行驶的平均速度为100千米/时； （2）解：设小明购买了m个哪吒手办，则购买了（）个敖丙手办， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 的最大值为， 答：小明最多能买个哪吒手办． 2．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）某校八年一班学生去距学校的爱国主义教育基地参观，一部分学生乘甲客车先出发，过了，其余学生乘乙客车出发，结果他们同时到达．已知乙客车的平均速度是甲客车的平均速度的倍． (1)求甲客车的平均速度； (2)若甲、乙两辆客车都沿着与去时相同的路线返回．甲客车在前半段路程的平均速度为，在后半段路程的平均速度是；乙客车返回全程的平均速度为．如果，哪辆客车用时少先返回学校？请说明理由． 【答案】(1) (2)乙客车；理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用以及分式的混合运算，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设甲客车的平均速度为，则乙客车的平均速度为，利用时间路程速度，结合甲客车比乙客车多用，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）利用时间路程速度，可求出甲、乙两客车所用时间，作差后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲客车的平均速度为，则乙客车的平均速度为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：甲客车的平均速度为； （2）解：乙客车用时少先返回学校，理由如下： 甲客车所用时间为， 乙客车所用时间为 ， ，，， ，， ， 乙客车用时少先返回学校． 3．（25-26八年级上·贵州黔南·期末）贵州的花江峡谷大桥以米的桥面高度成为世界第一高桥．某标段在筹建之初，有一项挖土石方工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．若每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款2万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有以下三种施工方案： （方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完工； （方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天； （方案三）若由甲、乙两队合作做6天，剩下的工程再由乙队单独做，也正好按规定工期完工． (1)设这项工程的规定工期为x天，则甲队单独完成这项工程需要 天，乙队单独完成这项工程需要_____天．（用含x的代数式表示） (2)请你列方程求出这项工程的规定工期． (3)若你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？并说明理由． 【答案】(1)x， (2)天 (3)选择方案三，理由见解析 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）根据方案一可知甲队单独完成这项工程的时间等于规定工期即x天， 根据方案二乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天可知乙队单独完成这项工程需要天； （2）根据方案三可知甲队6天完成的工作量+乙队工期时间完成的工作量，列方程求解即可； （3）根据（2）求出甲乙单独完成这项工程需要的时间，分别求出方案一、三求出需要的工程款，进行比较即可． 【详解】（1）解：∵甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完工， ∴甲队单独完成这项工程的时间等于规定工期， ∵设这项工程的规定工期为x天， ∴甲队单独完成这项工程需要x天， ∵乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天，这项工程的规定工期为x天， ∴乙队单独完成这项工程需要天； 故答案为：x，； （2）解：由题意得： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， 答：这项工程的规定工期为天； （3）解：∵这项工程的规定工期为天， ∴甲队单独完成这项工程需要天，乙队单独完成这项工程需要天， ∵这项工程能如期完工， ∴只能选由甲单独完成或甲乙合作完成，即方案一或方案三， （方案一）甲队单独完成这项工程的费用：（万元）， （方案三） 若由甲乙两队合作做6天 ，剩下的工程由乙队单独做费用为：（万元）， ∵， ∴选方案三， 答：为了节省工程款，同时又能如期完成，应选择方案三． 4．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题．题目：某商店准备购进甲、乙两种商品；甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价少元，用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设甲种商品每件进价元 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：乙商品进价-甲商品进价= (1)解法二所列方程中的表示 （填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③购进甲种商品和乙种商品各件． (2)请根据解法一列出方程，并求出甲、乙两种商品每件的进价； (3)若该商店准备购进甲、乙两种商品共件，且两种商品的总进价不超过元，设购进甲种商品件，则该商店最少购进甲种商品多少件？ (4)该商店准备再花费元全部用于购进甲、乙两种商品（两种商品都买），则最多可购进甲种商品 件． 【答案】(1)③ (2)甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为50元； (3)商店最少购进甲种商品件； (4) 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用，二元一次方程的应用．理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）设甲种商品每件进价为元，根据用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （3）设甲商品购进件，则乙种商品购进件，利用两种商品的总进价不超过元，列出不等式，求解的范围，可得答案； （4）设购进甲种商品件，购进乙种商品件．根据该商店准备再花费元全部用于购进甲、乙两种商品（两种商品都买），列出关于，的等式，根据等式关系可得答案． 【详解】（1）解：根据表格中解法二的等量关系：乙商品进价-甲商品进价=及可知表示的是购进甲种商品和乙种商品相同的数量．故选：③； （2）解：设甲种商品每件进价元． 根据题意，得， 解得，经检验，是原方程的根，且符合题意． ∴． ∴甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为50元； （3）解：∵设购进甲种商品件， ∴购进乙种商品件． 根据题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴商店最少购进甲种商品件； （4）解：设购进甲种商品件，购进乙种商品件． 根据题意，得， 整理，得． ∵，均为正整数， ∴当越小时，越大． ∴当时，． ∴最多可购进甲种商品件． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）请根据以下素材，探索完成任务． 如何确定托县葡萄销售利润的探究活动 素材1 呼和浩特市下辖托克托县盛产葡萄，素有“葡萄之乡”的美誉，其中“玫瑰香”最受欢迎．数学课外兴趣小组深入某大型超市进行活动，了解托克托县葡萄销售情况．经调查，超市用3000元购进了托县葡萄进行销售； 素材2 由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种葡萄，但这次的进价比第一次的进价提高了，购进葡萄数量是第一次的2倍还多300千克； 素材3 超市进行让利促销活动，将该品种葡萄按定价每千克9元的九折（“九折”即定价的）出售，全部售完； 问题解决 任务1 探求葡萄的第一次进货数量 若第一次该种葡萄进价为a元，则第一次进货数量为________千克．（用含a的代数式表示） 任务2 探究该种葡萄第一次的进价 据以上素材提供的信息，求出第一次葡萄进价是多少元？ 任务3 探究葡萄全部售出后的利润 超市全部售出这种葡萄共盈利多少元？ 【答案】任务1：；任务2：5元；任务3：5010元 【分析】本题考查了列代数式，分式方程的应用． 任务1：根据数量总价单价，列数代数式即可； 任务2：根据第二次的进货价有两种表示方法，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出结论； 任务3：根据数量总价单价，可求出两次购进葡萄的数量，再由利润销售收入成本，即可求出结论． 【详解】解：任务1：若第一次该种葡萄进价为a元，则第一次进货数量为， 故答案为：； 任务2：第一次进货数量为，则第二次的进货量为千克，第二次的进价为元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是所列方程的解， 答：第一次葡萄进价是5元； 任务3：第一次进货数量为（千克）， 第二次进货数量为（千克）， 全部售出这种葡萄共盈利： （元）． 答：超市全部售出这种葡萄共盈利5010元． 6．（25-26八年级上·云南昆明·期末）阅读并完成任务． 翠湖公园附近设有，两类摊位，已知每个类摊位的占地面积比每个类摊位多，且场地可布置的类摊位个数与场地可布置的类摊位个数相等．每个类摊位和每个类摊位的占地面积各是多少？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 相等关系：布置类摊位的个数等于布置类摊位的个数 解法二 相等关系：每个类摊位的面积减去每个类摊位的面积等于 任务： (1)解法一所设未知数为______．解法二所设未知数为______； A．每个类摊位的占地面积为； B．每个类摊位的占地面积为； C．可布置类摊位个或可布置类摊位个； (2)请选择一种解法求出每个类摊位和每个类摊位的占地面积各是多少？ 【答案】(1)B；C (2)每个类摊位的占地面积是，每个类摊位的占地面积是 【分析】本题考查了分式方程的实际应用的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据对题干的理解和分式方程的等量关系，进行分析，然后即可求解； （2）根据解分式方程的知识，进行作答，即可求解； 【详解】（1）解：解法一，设每个类摊位的占地面积为， 即； 解法二：设可布置类摊位个，则可布置类摊位也为个， 即； 故答案为：B；C； （2）解：解法一，设每个类摊位的占地面积为， 即， 解得：， 检验，时，， ∴是分式方程的解， ∴； 即每个类摊位的占地面积为，每个类摊位的占地面积是； 7．（25-26八年级上·广东广州·期末）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)策略一：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)策略二：如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，应选择策略_______更优． 【答案】(1)需要清水 (2)能达到洗衣目标 (3)二 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，核心是利用题目给出的浓度关系式，结合不同漂洗策略的条件进行计算，通过对比结果确定最优方案． （1）直接将已知的漂洗前后浓度代入浓度关系式，解方程求出所需清水量； （2）先将清水均分，再分两次代入浓度关系式计算最终浓度，与洗衣目标对比； （3）对比两次策略的用水量和漂洗效果，判断更优方案． 【详解】（1）解：把，，代入得， ， 解得：，经检验，符合题意， 答：只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． （2）解：第一次漂洗：把，代入得， ； 第二次漂洗：把，代入得， ； ， 进行两次漂洗，能达到洗衣目标． （3）解：由（1）和（2）的漂洗结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能节约用水，所以从洗衣用水策略方面，应选择策略二更优． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 分式方程的实际应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、行程问题 1 题型二、工程问题 1 题型三、经济问题 2 题型四、和差倍分问题 2 题型五、其他实际问题 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、行程问题 1．（25-26八年级上·吉林·期末）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，甲、乙两校分别组织学生去中国人民抗日战争纪念馆参观．甲校距纪念馆，乙校距纪念馆．两校学生同时从学校出发，甲校学生乘坐中巴车，乙校学生乘坐大巴车，结果两校学生同时到达纪念馆．已知中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快．求大巴车行驶的时间．请将以下解题过程补充完整． (1)解法一：设大巴车的平均速度为，则中巴车的平均速度为．根据题意可列方程： ； (2)解法二：设大巴车行驶的时间为．根据题意可列方程，得： ． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）魅力新保定，跑向新未来4月20日上午，君乐宝2025保定马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两人参加约40千米的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2千米，最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时千米，根据题意可列方程为 ． 3．（2026九年级·吉林·专题练习）小王从A地开车去B地，两地相距，实际平均速度比原计划平均速度提高了，结果提前到达，求小王原计划的平均速度． 题型二、工程问题 4．（25-26八年级上·贵州黔南·期末）随着人工智能的快速发展，某快递站使用机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用，则人工每小时分拣小型包裹的数量为（   ） A．200件 B．300件 C．400件 D．500件 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）今年哈市入冬以来，为保障道路畅通及市民出行安全，及时开展扫雪除冰工作．其中甲、乙两组共同负责一条大街的扫雪工作，若由甲、乙两组合作则2小时可完成扫雪工作；若甲组先单独扫雪4小时，再由乙组单独扫雪1小时可完成扫雪工作． (1)求甲、乙两组单独完成此项工作各需要多少小时？ (2)如果甲、乙两组先合作若干小时后，甲组有事离开，剩下的工作全由乙单独完成，且要求完成扫雪工作不超过小时，问甲乙两组至少合作多少小时才能完成任务？ 6．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品？设原计划平均每天生产箱药品，则下面所列方程正确的是（    ）． A． B． C． D． 题型三、经济问题 7．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）为进一步发展新质生产力，某企业计划对现有甲、乙两类生产线的设备进行更新换代，经测算，升级1条甲类生产线比升级1条乙类生产线需多投入5万元，用120万元升级甲类生产线的条数和用100万元升级乙类生产线的条数相同，求升级1条甲类、乙类生产线各需投入的资金． 9．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类，用350万元购买甲型机器人和用490万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为120万元，甲、乙两种型号机器人单价分别是多少万元？ 题型四、和差倍分问题 10．（25-26八年级上·河南周口·期末）为举办“青春露营·亲近自然”校园帐篷节，某校计划购进两种款式的帐篷——专业户外帐篷和基础露营帐篷．已知专业户外帐篷的单价比基础露营帐篷高，用18000元购买专业户外帐篷的数量比用9000元购买基础露营帐篷的数量多6顶，求专业户外帐篷和基础露营帐篷的单价． 11．（25-26八年级上·重庆巴南·月考）随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及．物流园某仓库运用甲、乙两种机器人搬运粮食共，甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少． (1)甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？ (2)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的倍，结果甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？ 12．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）某边防哨所运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果，那么，这个哨所共有多少名战士？若设这个哨所共有名战士，则根据题意可列方程为 ． 题型五、其他实际问题 13．（25-26八年级上·北京朝阳·期末）某校计划租车前往博物馆开展研学活动．某租车公司有，两种型号的客车可供租用，每辆车满员的情况下，每辆型客车的载客量比每辆型客车的载客量多人，用型客车载客人与用型客车载客人的车辆数相同．求每辆型客车的载客量． 14．（25-26八年级上·北京海淀·期末）柿子在中国文化中具有丰富的寓意，常被视为吉祥的象征．近年来，某村成立合作社，新增柿子的种植面积300亩．已知该村成立合作社前柿子年产量为90万千克，在亩产量不变的情况下，成立合作社后年产量达到135万千克．求该村成立合作社前柿子的种植面积．（列分式方程解答） 15．（2026·山东临沂·模拟预测）端午节，又称端阳节、龙舟节、重午节等，日期在每年农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某小区开展“包粽子，庆端午”活动，活动期间，计划每小时包相同数量的粽子．该活动开始后，实际比原计划每小时多包100个，实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相同．设实际每小时包个，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）2025年春节电影档掀起观影热潮，特别是《哪吒之魔童闹海》，截至2月23日全球票房超135亿，登顶动画电影票房排行榜，五一假期小明一家自驾去哪吒传奇主题公园游玩． (1)从小明家到主题公园行驶的高速公路路程为120千米，普通公路的路程为30千米，已知高速公路路段行驶的平均速度是普通公路路段行驶速度的2倍，经过1.8小时后到达目的地．求汽车在普通公路路段行驶的平均速度是多少？ (2)小明计划用不超过300元购买《哪吒之魔童闹海》主题手办，哪吒手办单价35元，敖丙手办单价40元．他准备买一些送给表弟表妹，要求敖丙手办数量比哪吒手办多1个．请问小明最多能买几个哪吒手办？ 2．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）某校八年一班学生去距学校的爱国主义教育基地参观，一部分学生乘甲客车先出发，过了，其余学生乘乙客车出发，结果他们同时到达．已知乙客车的平均速度是甲客车的平均速度的倍． (1)求甲客车的平均速度； (2)若甲、乙两辆客车都沿着与去时相同的路线返回．甲客车在前半段路程的平均速度为，在后半段路程的平均速度是；乙客车返回全程的平均速度为．如果，哪辆客车用时少先返回学校？请说明理由． 3．（25-26八年级上·贵州黔南·期末）贵州的花江峡谷大桥以米的桥面高度成为世界第一高桥．某标段在筹建之初，有一项挖土石方工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．若每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款2万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有以下三种施工方案： （方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完工； （方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用7天； （方案三）若由甲、乙两队合作做6天，剩下的工程再由乙队单独做，也正好按规定工期完工． (1)设这项工程的规定工期为x天，则甲队单独完成这项工程需要 天，乙队单独完成这项工程需要_____天．（用含x的代数式表示） (2)请你列方程求出这项工程的规定工期． (3)若你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？并说明理由． 4．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题．题目：某商店准备购进甲、乙两种商品；甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价少元，用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设甲种商品每件进价元 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：乙商品进价-甲商品进价= (1)解法二所列方程中的表示 （填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③购进甲种商品和乙种商品各件． (2)请根据解法一列出方程，并求出甲、乙两种商品每件的进价； (3)若该商店准备购进甲、乙两种商品共件，且两种商品的总进价不超过元，设购进甲种商品件，则该商店最少购进甲种商品多少件？ (4)该商店准备再花费元全部用于购进甲、乙两种商品（两种商品都买），则最多可购进甲种商品 件． 5．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）请根据以下素材，探索完成任务． 如何确定托县葡萄销售利润的探究活动 素材1 呼和浩特市下辖托克托县盛产葡萄，素有“葡萄之乡”的美誉，其中“玫瑰香”最受欢迎．数学课外兴趣小组深入某大型超市进行活动，了解托克托县葡萄销售情况．经调查，超市用3000元购进了托县葡萄进行销售； 素材2 由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种葡萄，但这次的进价比第一次的进价提高了，购进葡萄数量是第一次的2倍还多300千克； 素材3 超市进行让利促销活动，将该品种葡萄按定价每千克9元的九折（“九折”即定价的）出售，全部售完； 问题解决 任务1 探求葡萄的第一次进货数量 若第一次该种葡萄进价为a元，则第一次进货数量为________千克．（用含a的代数式表示） 任务2 探究该种葡萄第一次的进价 据以上素材提供的信息，求出第一次葡萄进价是多少元？ 任务3 探究葡萄全部售出后的利润 超市全部售出这种葡萄共盈利多少元？ 6．（25-26八年级上·云南昆明·期末）阅读并完成任务． 翠湖公园附近设有，两类摊位，已知每个类摊位的占地面积比每个类摊位多，且场地可布置的类摊位个数与场地可布置的类摊位个数相等．每个类摊位和每个类摊位的占地面积各是多少？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 相等关系：布置类摊位的个数等于布置类摊位的个数 解法二 相等关系：每个类摊位的面积减去每个类摊位的面积等于 任务： (1)解法一所设未知数为______．解法二所设未知数为______； A．每个类摊位的占地面积为； B．每个类摊位的占地面积为； C．可布置类摊位个或可布置类摊位个； (2)请选择一种解法求出每个类摊位和每个类摊位的占地面积各是多少？ 7．（25-26八年级上·广东广州·期末）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)策略一：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)策略二：如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，应选择策略_______更优． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $