15.2.2分式的加减同步培优讲义（6知识点+10大题型归纳）【同步课堂】2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

15.2.2分式的加减同步培优讲义 （6知识点+10大题型归纳） 目录 【知识点1 同分母分式加减法】 1 【知识点2 异分母分式加减法】 2 【知识点3 整式与分式相加减】 2 【知识点4 分式加减混合运算】 2 【知识点5 分式加减乘除混合运算】 3 【知识点6 已知分式恒等式确定分子或分母】 3 【题型1 同分母分式加减法】 4 【题型2 异分母分式加减法】 5 【题型3 整式与分式相加减】 7 【题型4 已知分式恒等式确定分子或分母】 8 【题型5 分式加减混合运算】 9 【题型6 分式加减的实际应用】 12 【题型7 分式加减乘除混合运算】 15 【题型8 分式化简求值】 16 【题型9 分式最值】 18 【题型10 分式解答题】 20 1. 理解同分母、异分母分式加减法的法则，掌握法则的推导过程（类比分数的加减法则），明确运算的前提条件（分母不为0）。 2. 能熟练运用同分母、异分母分式加减法法则，进行分式与分式、整式与分式的加减运算，掌握通分、约分技巧，做到格式规范、计算准确。 3. 能熟练进行分式加减混合运算、分式加减乘除混合运算，掌握运算顺序，规避运算顺序错误和符号错误。 03 知识•梳理 【知识点1 同分母分式加减法】 1. 文字表述 同分母的分式相加减，分母不变，只把分子相加减。 2. 数学表达式 上述法则可用式子表为： . 3. 关键说明（易错重点） · 运算前提：分母C≠0，保证分式有意义； · 分子相加减：分子是多项式时，要加上括号，避免符号错误； · 结果处理：加减后得到的分子要化简（合并同类项），再与分母约分，最终结果化为最简分式或整式。 【知识点2 异分母分式加减法】 1. 文字表述 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按照同分母分式加减法的法则进行计算。 上述法则可用式子表为： 2. 核心步骤 1. 通分：找出两个（或多个）分式的最简公分母，将每个分式化为以最简公分母为分母的同分母分式； 2. 加减：按照同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加减； 3. 化简：合并分子中的同类项，再与分母约分，化为最简分式或整式。 3. 关键说明（易错重点） · 通分是异分母分式加减的核心，最简公分母的找法的要准确（先因式分解分母，再找所有不同因式的最高次幂的积）； · 通分时，分子要随分母的变形而相应变形（分子乘分母所乘的因式），避免只变分母、不变分子； · 分子相加减时，注意符号变化，尤其是括号前是负号时，括号内各项要变号。 【知识点3 整式与分式相加减】 1. 运算方法 将整式看作分母为1的分式，再按照异分母分式加减法的法则进行计算（先通分，再加减）。 2. 关键说明 整式与分式相加减，本质是异分母分式加减，通分时最简公分母为分式的分母；若整式是多项式，要加上括号，避免符号错误。 【知识点4 分式加减混合运算】 1. 运算顺序 从左到右依次运算；若有括号，先算括号内的运算（括号内优先算异分母通分，再加减）。 2. 运算方法 先将所有分式化为同分母分式（或先通分），再按从左到右的顺序进行加减运算，最后化简结果；也可根据式子特点，灵活调整运算顺序，简化运算。 【知识点5 分式加减乘除混合运算】 1. 运算顺序（核心重点） 先算乘除，后算加减；若有括号，先算括号内的运算（括号内按先乘除、后加减的顺序）。 2. 运算方法 第一步：先算乘除运算（将除法转化为乘法，因式分解、约分，得到最简结果）； 第二步：再算加减运算（通分，化为同分母分式，分子相加减，化简结果）； 注意：避免先算加减、后算乘除的顺序错误，同时注意符号和约分规范。 【知识点6 已知分式恒等式确定分子或分母】 1. 核心思路 分式恒等式是指对于使分式有意义的所有未知数，等式都成立。解题关键是利用“同分母分式相等，分子必相等”“异分母分式化为同分母后，分子必相等”，结合因式分解、合并同类项，确定未知的分子或分母。 2. 常用方法 待定系数法：设未知分子（或分母）为含待定系数的整式，根据恒等式性质列出方程，求解待定系数，进而确定分子（或分母）。 易错点提醒 · 同分母分式加减：分子是多项式时，漏加括号，导致符号错误；加减后分子不合并同类项、不约分。 · 异分母分式加减：通分错误（找错最简公分母、分子未随分母变形）；通分后分子相加减时符号错误。 · 整式与分式加减：未将整式看作分母为1的分式，直接加减；多项式与分式加减时，漏加括号。 · 混合运算：运算顺序错误（先算加减、后算乘除）；括号内运算遗漏；乘除运算与加减运算混淆。 · 化简求值：未先化简就代入求值，计算繁琐；代入前未检验分母不为0，导致无意义。 04 题型•汇总 【题型1 同分母分式加减法】 解题关键：分母不变，只把分子相加减（分子是多项式加括号），合并同类项后约分，注意分母不为0。 【典例1】．计算：______． 跟随训练1-1．计算的结果是_____． 跟随训练1-2．计算： (1)． (2)． (3)． 【题型2 异分母分式加减法】 解题关键：先找最简公分母，通分转化为同分母分式，再按同分母分式加减法则计算，最后化简，注意通分规范。 【典例2】．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．计算+的结果为（    ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．计算：． 【题型3 整式与分式相加减】 解题关键：将整式看作分母为1的分式，通分后按异分母分式加减法则计算，注意多项式加括号。 【典例3】．计算：的结果是______． 跟随训练3-1．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-2．计算的结果等于（   ） A．1 B． C． D． 【题型4 已知分式恒等式确定分子或分母】 解题关键：利用“同分母分式相等，分子必相等”，结合因式分解、合并同类项，确定未知分子或分母，注意检验分母不为0。 【典例4】．已知，则__________． 跟随训练4-1．已知，其中、为常数，求的值． 跟随训练4-2．若，且A，B均为常数，则________． 【题型5 分式加减混合运算】 解题关键：从左到右依次运算，先通分转化为同分母分式，再加减，有括号先算括号内，最后化简。 【典例5】．计算： (1)． (2)． 跟随训练5-1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 跟随训练5-2．计算： (1)； (2)； (3)． 【题型6 分式加减的实际应用】 解题关键：理清数量关系（和、差），列出分式加减算式，按法则计算，结合实际意义检验结果。 【典例6】．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 跟随训练6-1．张华和李明同时从甲地沿同一线路步行去乙地．张华在前半段路程的平均步行速度是，在后半段路程的平均步行速度是；李明全程的步行速度是．已知甲乙两地的路程为，且，张华从甲地到乙地所用的时间为______；张华和李明先到达乙地的是_______（填“张华”或“李明”或“同时到达”或“不能确定”） 跟随训练6-2．集大原高速铁路是国家“八纵八横”高速铁路网的重要组成部分，它连接内蒙古乌兰察布与山西忻州原平，其山西段通车后，一举打破晋北地区交通瓶颈，让晋北接入全国高铁网，尽显“中国速度”的硬核实力．已知大同至原平的高铁里程约，通车前普通列车行驶全程需；通车后“复兴号”高铁的行驶时间比原来减少，则高铁列车的平均速度比普通列车提升了________． 【题型7 分式加减乘除混合运算】 解题关键：先算乘除，后算加减，有括号先算括号内，先将除法转化为乘法，再通分加减，注意运算顺序。 【典例7】．化简：． 跟随训练7-1．化简： 跟随训练7-2．化简：． 【题型8 分式化简求值】 解题关键：先化简分式（加减、乘除、约分），再检验未知数的值使分母不为0，最后代入求值。 【典例8】．先化简，再求值：，其中． 跟随训练8-1．先化简，再求值：，其中． 跟随训练8-2．先化简：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【题型9 分式最值】 解题关键：化简分式，转化为熟悉的代数式，结合未知数取值范围（分母不为0），求最值。 【典例9】．分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 跟随训练9-1．已知，则的最小值是__________． 跟随训练9-2．新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 【题型10 分式解答题5道】 解题关键：整合分式加减、乘除、化简等知识，步骤完整、逻辑清晰，计算准确，检验分母不为0（或实际意义）。 【典例10】．阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，…，含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： (1)式子①；②；③：④中，属于对称式的是 （填序号）； (2)已知． ①若，时，求对称式的值． ②若时，请直接写出对称式的最大值． 跟随训练10-1．阅读与思考 阅读下面材料，并完成相应任务． 分式中的欧拉公式欧拉是18世纪瑞士著名的数学家和物理学家，近代数学先驱之一，在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理．下面是关于分式的欧拉公式： （其中a，b，c均不为0，且两两互不相等） 这个公式可以分情况进行研究，当时的欧拉公式为： ． 证明：左边 ________ ． 右边． 所以． 任务一：将阅读材料中时欧拉公式的证明过程中的三个空填写完整，它们分别是__________，__________，__________； 任务二：直接写出当时的欧拉公式：_____________； 任务三：任选一组a，b，c的值，对公式时的情形进行验证； 任务四：利用欧拉公式直接写出的结果． 跟随训练10-2．【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． (1)【知识运用】请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”，“”或“”）： ① ；②当时， ； (2)【知识运用】若，试比较与的大小，并说明理由； (3)【类比运用】图（1）是边长为4的正方形，将正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图（2）所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加a，得到如图（3）所示的新正方形，此正方形的面积为；请判断与的大小关系，并说明理由． 跟随训练10-3．对于分式与，若（为常数），则称是的“级牵挂分式”，如分式，则是的“3级牵挂分式”． (1)若分式是分式的“级牵挂分式”，则的值为____________； (2)已知分式，且分式是分式的“2级牵挂分式”， ①求（用含的式子表示）； ②若的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知分式（为整数），是的“级牵挂分式”，若，请用含的代数式表示和． 跟随训练10-4．定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，则称这个分式为“优美分式”． 如；，，则、都是“优美分式”． (1)请你判断下列式子是否为“优美分式”？（在题后相应的括号中，是“优美分式”打“√”，不是“优美分式”打“×”）； ①；（    ） ②；（    ） ③；（    ） ④．（    ） (2)若“优美分式”，其中A为整式，B为常数． ①求整式A； ②若，求的值． (3)若“优美分式”与（其中a，b为常数），当两者拆分后的分式分子为相等常数时，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.2.2分式的加减同步培优讲义 （6知识点+10大题型归纳） 目录 【知识点1 同分母分式加减法】 1 【知识点2 异分母分式加减法】 2 【知识点3 整式与分式相加减】 2 【知识点4 分式加减混合运算】 2 【知识点5 分式加减乘除混合运算】 3 【知识点6 已知分式恒等式确定分子或分母】 3 【题型1 同分母分式加减法】 4 【题型2 异分母分式加减法】 5 【题型3 整式与分式相加减】 7 【题型4 已知分式恒等式确定分子或分母】 8 【题型5 分式加减混合运算】 9 【题型6 分式加减的实际应用】 12 【题型7 分式加减乘除混合运算】 15 【题型8 分式化简求值】 16 【题型9 分式最值】 18 【题型10 分式解答题】 20 1. 理解同分母、异分母分式加减法的法则，掌握法则的推导过程（类比分数的加减法则），明确运算的前提条件（分母不为0）。 2. 能熟练运用同分母、异分母分式加减法法则，进行分式与分式、整式与分式的加减运算，掌握通分、约分技巧，做到格式规范、计算准确。 3. 能熟练进行分式加减混合运算、分式加减乘除混合运算，掌握运算顺序，规避运算顺序错误和符号错误。 03 知识•梳理 【知识点1 同分母分式加减法】 1. 文字表述 同分母的分式相加减，分母不变，只把分子相加减。 2. 数学表达式 上述法则可用式子表为： . 3. 关键说明（易错重点） · 运算前提：分母C≠0，保证分式有意义； · 分子相加减：分子是多项式时，要加上括号，避免符号错误； · 结果处理：加减后得到的分子要化简（合并同类项），再与分母约分，最终结果化为最简分式或整式。 【知识点2 异分母分式加减法】 1. 文字表述 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按照同分母分式加减法的法则进行计算。 上述法则可用式子表为： 2. 核心步骤 1. 通分：找出两个（或多个）分式的最简公分母，将每个分式化为以最简公分母为分母的同分母分式； 2. 加减：按照同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加减； 3. 化简：合并分子中的同类项，再与分母约分，化为最简分式或整式。 3. 关键说明（易错重点） · 通分是异分母分式加减的核心，最简公分母的找法的要准确（先因式分解分母，再找所有不同因式的最高次幂的积）； · 通分时，分子要随分母的变形而相应变形（分子乘分母所乘的因式），避免只变分母、不变分子； · 分子相加减时，注意符号变化，尤其是括号前是负号时，括号内各项要变号。 【知识点3 整式与分式相加减】 1. 运算方法 将整式看作分母为1的分式，再按照异分母分式加减法的法则进行计算（先通分，再加减）。 2. 关键说明 整式与分式相加减，本质是异分母分式加减，通分时最简公分母为分式的分母；若整式是多项式，要加上括号，避免符号错误。 【知识点4 分式加减混合运算】 1. 运算顺序 从左到右依次运算；若有括号，先算括号内的运算（括号内优先算异分母通分，再加减）。 2. 运算方法 先将所有分式化为同分母分式（或先通分），再按从左到右的顺序进行加减运算，最后化简结果；也可根据式子特点，灵活调整运算顺序，简化运算。 【知识点5 分式加减乘除混合运算】 1. 运算顺序（核心重点） 先算乘除，后算加减；若有括号，先算括号内的运算（括号内按先乘除、后加减的顺序）。 2. 运算方法 第一步：先算乘除运算（将除法转化为乘法，因式分解、约分，得到最简结果）； 第二步：再算加减运算（通分，化为同分母分式，分子相加减，化简结果）； 注意：避免先算加减、后算乘除的顺序错误，同时注意符号和约分规范。 【知识点6 已知分式恒等式确定分子或分母】 1. 核心思路 分式恒等式是指对于使分式有意义的所有未知数，等式都成立。解题关键是利用“同分母分式相等，分子必相等”“异分母分式化为同分母后，分子必相等”，结合因式分解、合并同类项，确定未知的分子或分母。 2. 常用方法 待定系数法：设未知分子（或分母）为含待定系数的整式，根据恒等式性质列出方程，求解待定系数，进而确定分子（或分母）。 易错点提醒 · 同分母分式加减：分子是多项式时，漏加括号，导致符号错误；加减后分子不合并同类项、不约分。 · 异分母分式加减：通分错误（找错最简公分母、分子未随分母变形）；通分后分子相加减时符号错误。 · 整式与分式加减：未将整式看作分母为1的分式，直接加减；多项式与分式加减时，漏加括号。 · 混合运算：运算顺序错误（先算加减、后算乘除）；括号内运算遗漏；乘除运算与加减运算混淆。 · 化简求值：未先化简就代入求值，计算繁琐；代入前未检验分母不为0，导致无意义。 04 题型•汇总 【题型1 同分母分式加减法】 解题关键：分母不变，只把分子相加减（分子是多项式加括号），合并同类项后约分，注意分母不为0。 【典例1】．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查同分母分式的加法运算．解题思路是依据同分母分式加法的运算法则，分母不变，将分子相加后化简即可掌握以上知识是解答本题的关键；本题根据同分母分式的加法运算知识，进行计算，即可求解． 【详解】解：根据同分母分式加法法则：同分母的分式相加，分母不变，把分子相加． 即， 故答案为：． 跟随训练1-1．计算的结果是_____． 【答案】3 【分析】本题考查分式的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．由于分母相同，直接合并分子后约分即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 跟随训练1-2．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同分母分式的加减运算，掌握同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最后约分是解题的关键． （1）同分母分式相加减，分母不变，分子直接相加减，合并同类项后约分； （2）同分母分式相加减，分母不变，分子相加减后化简； （3）同分母分式相加减，分母不变，分子相加减后因式分解约分． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【题型2 异分母分式加减法】 解题关键：先找最简公分母，通分转化为同分母分式，再按同分母分式加减法则计算，最后化简，注意通分规范。 【典例2】．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减运算，需将整式转化为同分母分式，再依据同分母分式的加减法则计算． 【详解】解：∵原式=， ∴将化为分母为的分式，得， ∵同分母分式相加，分母不变，分子相加， ∴分子计算：， ∴原式． 故选：C． 跟随训练2-1．计算+的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查异分母分式的加法运算，需先将异分母分式化为同分母分式，再根据同分母分式加法法则计算. 【详解】解： ， 故选：D． 跟随训练2-2．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查异分母分式的加减运算，掌握其运算法则是关键，先因式分解后约分，再计算和差，最后再化简即可． 【详解】解：根据分式有意义的性质得到，， ． 【题型3 整式与分式相加减】 解题关键：将整式看作分母为1的分式，通分后按异分母分式加减法则计算，注意多项式加括号。 【典例3】．计算：的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算．根据分式的加减运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 跟随训练3-1．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式化简．先由平方差公式因式分解，再约分，最后由整式减法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 跟随训练3-2．计算的结果等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：D． 【题型4 已知分式恒等式确定分子或分母】 解题关键：利用“同分母分式相等，分子必相等”，结合因式分解、合并同类项，确定未知分子或分母，注意检验分母不为0。 【典例4】．已知，则__________． 【答案】4 【分析】本题考查了分式的通分与部分分式分解，掌握通分后通过比较分子的系数建立方程，直接获取系数关系是解题的关键． 通过部分分式分解，将等式右边通分后分子与左边分子比较系数，得到关于和的方程，直接得出的值 【详解】解：右边通分：， 与左边分母相同，故分子相等： 展开右边： 比较等式两边的系数，左边的系数为 4，右边为，因此：． 故答案为：4． 跟随训练4-1．已知，其中、为常数，求的值． 【答案】7 【分析】本题考查了分式的减法运算，解二元一次方程，代数式求值，先将通分计算得，再根据题意得关于、的二元一次方程，解方程求得、的值，再代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 解得：， ． 跟随训练4-2．若，且A，B均为常数，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加法运算，解二元一次方程组，根据分式的加减运算法则求出，则可得到，解方程组即可得到答案． 【详解】解： ， ∵，且A，B均为常数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型5 分式加减混合运算】 解题关键：从左到右依次运算，先通分转化为同分母分式，再加减，有括号先算括号内，最后化简。 【典例5】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 跟随训练5-1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式加减法的混合运算，理解通分的运算法则，分式的加减法运算法则是解答关键． （1）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （2）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （3）先通分，再利用分式减法运算法则求解； （4）先变号，再通分，再利用分式减法运算法则求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ． 跟随训练5-2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． （1）原式先通分，再化简即可； （2）先利用平方差公式，再化简即可； （3）先对前两项进行计算，再对最后一项约分，接下来通分，再化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【题型6 分式加减的实际应用】 解题关键：理清数量关系（和、差），列出分式加减算式，按法则计算，结合实际意义检验结果。 【典例6】．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 【答案】B 【分析】本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键．先求出两块试验田的面积，再根据“单位面积产量总产量面积”得到两块试验田的单位面积产量，最后用“丰收2号”的单位面积产量除以“丰收1号”的单位面积产量，再比较结果与1的大小关系即可． 【详解】解：由题意得：“丰收1号”的面积为；“丰收2号”的面积为， 则“丰收1号”的单位面积产量为；“丰收2号”的单位面积产量为， 则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比“丰收2号”高， 故选：B． 跟随训练6-1．张华和李明同时从甲地沿同一线路步行去乙地．张华在前半段路程的平均步行速度是，在后半段路程的平均步行速度是；李明全程的步行速度是．已知甲乙两地的路程为，且，张华从甲地到乙地所用的时间为______；张华和李明先到达乙地的是_______（填“张华”或“李明”或“同时到达”或“不能确定”） 【答案】 李明 【分析】本题考查了分式混合运算的应用，理解题意是解题的关键． 根据时间路程速度，求出张华从甲地到乙地所用的时间；再求出李明从甲地到乙地所用的时间，利用作差法比较两人所用时间的多少，用时较少的即可先到达乙地． 【详解】解：张华从甲地到乙地所用的时间为； 李明从甲地到乙地所用的时间为， ， ∵，，， ∴，即张华所用的时间大于李明所用的时间， ∴先到达乙地的是李明． 故答案为：；李明． 跟随训练6-2．集大原高速铁路是国家“八纵八横”高速铁路网的重要组成部分，它连接内蒙古乌兰察布与山西忻州原平，其山西段通车后，一举打破晋北地区交通瓶颈，让晋北接入全国高铁网，尽显“中国速度”的硬核实力．已知大同至原平的高铁里程约，通车前普通列车行驶全程需；通车后“复兴号”高铁的行驶时间比原来减少，则高铁列车的平均速度比普通列车提升了________． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的加减运算的应用，根据题意列式计算速度差即可. 【详解】解：∵大同至原平的高铁里程约，通车前普通列车行驶全程需；通车后“复兴号”高铁的行驶时间比原来减少， ∴高铁列车的平均速度比普通列车提升了， 故答案为： 【题型7 分式加减乘除混合运算】 解题关键：先算乘除，后算加减，有括号先算括号内，先将除法转化为乘法，再通分加减，注意运算顺序。 【典例7】．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算；根据分式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ． 跟随训练7-1．化简： 【答案】 【分析】先通分括号内，再把除法化为乘法，最后运算乘法，即可作答． 【详解】解： ． 跟随训练7-2．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先对分子分母进行因式分解，计算乘法并进行约分，然后再进行同分母分式加法运算即可． 【详解】解：原式 ． 【题型8 分式化简求值】 解题关键：先化简分式（加减、乘除、约分），再检验未知数的值使分母不为0，最后代入求值。 【典例8】．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算，然后代入求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 跟随训练8-1．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】首先将括号里面通分，再将分子与分母分解因式进而化简得出，最后代入数据计算分式的值． 【详解】解： ， 当时，原式． 跟随训练8-2．先化简：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】先进行除法运算，再进行减法运算，再代入一个满足题意的的值，进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵，且是整数，， ∴， ∴当时，原式． 【题型9 分式最值】 解题关键：化简分式，转化为熟悉的代数式，结合未知数取值范围（分母不为0），求最值。 【典例9】．分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的最值，利用完全平方公式，求出分母的最小值，进而求出分式的最大值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴的最小值为4， ∴分式的最大值是； 故选：C． 跟随训练9-1．已知，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算、完全平方式的非负性、不等式的性质、分母有理化等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．先根据分式的混合运算法则得，设，根据完全平方式的非负性和分母有理化，结合不等式的性质求解即可． 【详解】解  ∵， ∴， ∴ ， 设，则， 当时取得等号， ∴， 解得：， ∴，． 因此，当，时，取得最小值． 故答案为：． 跟随训练9-2．新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键． 对于①，利用多项式的乘法得到和的值，代入表达式求值；对于②，先将表达式化简为关于的表达式，然后配方求最小值． 【详解】①∵，， ∴， ∴，， ∵ ∵，， ∴原式， 故答案为； ② ∵ ∴原式 故答案为． 【题型10 分式解答题5道】 解题关键：整合分式加减、乘除、化简等知识，步骤完整、逻辑清晰，计算准确，检验分母不为0（或实际意义）。 【典例10】．阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，…，含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： (1)式子①；②；③：④中，属于对称式的是 （填序号）； (2)已知． ①若，时，求对称式的值． ②若时，请直接写出对称式的最大值． 【答案】(1)①③④ (2)①；② 【分析】本题考查了新定义的意义，整式、分式的化简求值以及二次函数的最值求法． （1）根据新定义的“对称式”的定义进行判断，作出选择； （2）已知，则，， ①，，利用整式变形可求出的值； ②时，即，由可以求出的最大值． 【详解】（1）解：根据“对称式”的定义，式子①，③，④，属于对称式， 故答案为：①③④． （2）解：∵， ∴，， ①当，时，即，， ∴； ②当时，即， ， ∴对称式的最大值为． 跟随训练10-1．阅读与思考 阅读下面材料，并完成相应任务． 分式中的欧拉公式欧拉是18世纪瑞士著名的数学家和物理学家，近代数学先驱之一，在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理．下面是关于分式的欧拉公式： （其中a，b，c均不为0，且两两互不相等） 这个公式可以分情况进行研究，当时的欧拉公式为： ． 证明：左边 ________ ． 右边． 所以． 任务一：将阅读材料中时欧拉公式的证明过程中的三个空填写完整，它们分别是__________，__________，__________； 任务二：直接写出当时的欧拉公式：_____________； 任务三：任选一组a，b，c的值，对公式时的情形进行验证； 任务四：利用欧拉公式直接写出的结果． 【答案】任务一：，，； 任务二：； 任务三：见解析； 任务四：． 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 任务一：根据分式的加减运算法则计算即可； 任务二：当时，； 任务三：当时，，任选一组符合要求的a，b，c的值，代入验证即可； 任务四：当时，，令，，，代入运算即可． 【详解】任务一：解：左边 ． 右边． 所以． 故答案为：，，； 任务二：解：由题意可知，当时，； 故答案为：； 任务三：解：由题意可知，时，， 令，，， 则 ， 右边，成立； 任务四：解：当时，， 令，，， 则， 即． 跟随训练10-2．【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． (1)【知识运用】请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”，“”或“”）： ① ；②当时， ； (2)【知识运用】若，试比较与的大小，并说明理由； (3)【类比运用】图（1）是边长为4的正方形，将正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图（2）所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加a，得到如图（3）所示的新正方形，此正方形的面积为；请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了整式混合运算，分式的大小比较，完全平方公式在几何图形中的应用． （1）先求出两数的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可； （2）先求出两数的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可； （3）先求出和的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：， 理由如下： ， ， ， ， ； （3）解：， 理由如下： ，， ， ． 跟随训练10-3．对于分式与，若（为常数），则称是的“级牵挂分式”，如分式，则是的“3级牵挂分式”． (1)若分式是分式的“级牵挂分式”，则的值为____________； (2)已知分式，且分式是分式的“2级牵挂分式”， ①求（用含的式子表示）； ②若的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知分式（为整数），是的“级牵挂分式”，若，请用含的代数式表示和． 【答案】(1) (2)①；②当时，；当时，； (3)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了分式的减法运算，正确理解“级牵挂分式”的定义是解题的关键． （1）计算出的结果即可得到答案； （2）①根据题意可得，据此去分母求解即可；②可得，则根据题意可得为正整数，且6能被整除，据此建立方程求解即可； （3）根据题意可得，则可推出，，进一步可得，根据a、b都是整数，可推出是一个完全平方数，则，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ∴分式是分式的“级牵挂分式”， ∴； （2）解：①∵分式，且分式是分式的“2级牵挂分式”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由（2）①得， ∵的值为正整数，为正整数， ∴为正整数，且6能被整除， ∴或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）； 当时，； 当时，； （3）解：∵分式（为整数），是的“级牵挂分式”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵k为常数， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵a、b都是整数， ∴是整数， ∴是一个完全平方数， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴； 当时，则， ∴ 跟随训练10-4．定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，则称这个分式为“优美分式”． 如；，，则、都是“优美分式”． (1)请你判断下列式子是否为“优美分式”？（在题后相应的括号中，是“优美分式”打“√”，不是“优美分式”打“×”）； ①；（    ） ②；（    ） ③；（    ） ④．（    ） (2)若“优美分式”，其中A为整式，B为常数． ①求整式A； ②若，求的值． (3)若“优美分式”与（其中a，b为常数），当两者拆分后的分式分子为相等常数时，求的取值范围． 【答案】(1)①√；②×；③√；④√； (2)①；②19； (3)且 【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方、整式、分式的化简求值，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． （1）依据题意，根据“优美分式”的意义逐个计算判断可以得解； （2）①依据题意，由，且“优美分式”，其中A为整式，B为常数，从而可以得解； ②由，则结合①可得，，则，故，从而代入计算可以得解； （3）依据题意，设， ，故，，则，，，，从而，，代入可得即可求解． 【详解】（1）解：①， ∴①是“优美分式”． 故答案为：√； ②是整式，不是“优美分式”． 故答案为：×； ③=1+， ∴③是“优美分式”． 故答案为：√； ④， ∴④是“优美分式”． 故答案为：√； （2）解：①由题意，∵ ， 且“优美分式”，其中A为整式，B为常数， ∴整式； ②∵， ∴结合①可得，，则． ∴． ∴ ； （3）解：∵“优美分式”与（其中a，b为常数）， 当两者拆分后的分式分子为相等常数， ∴可设， ，， ∴， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵， ， ∵ ∴， ∴，且． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $