专题02 实数的压轴题型（压轴题专项训练）数学新教材湘教版七年级下册

专题02 实数的压轴题型 目录 1 类型一、实数的大小比较 1 类型二、新定义下的实数运算 5 类型三、与实数运算相关的规律题 9 类型四、无理数整数部分的有关计算 15 18 类型一、实数的大小比较 ▶ 数轴法（几何直观） · 操作步骤：将数字标注在数轴上，右方的数恒大于左方 · 示例：比较-与-1.5，标出位置即可判定- > -1.5 ▶ 作差法（代数运算） · 公式：若a-b>0则a>b · 案例：比较(+1)/2与1.6 → 作差得(-2.2)/2，计算≈2.236，结果为正 ▶ 平方法（根式比较） · 适用条件：比较正数的平方根时 · 示范：与→ 平方后得7<8，故< ▶ 倒数法（分数比较） · 技巧：分子相同的正分数，分母越大值越小 · 应用：比较1/(-1)与1/(-2)时，先有理化再比较分母 ▶ 中间值法（估算技巧） · 关键：寻找基准数（如0,1,π等） · 例题：比较log₂3与1 → 因log₂2=1且3>2，故log₂3>1 ▶ 科学记数法（超大/小数） · 步骤：统一为a×10ⁿ形式后比较指数和系数 · 实例：3.6×10⁸ > 2.9×10¹⁰（指数2<8） 例1．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 变式1-3 已知四个数满足，则之间的大小关系是 ．（用“”连接） 类型二、新定义下的实数运算 一、理解新定义的本质 符号识别：明确题干中自定义运算符（如⊕、⊗）的具体含义，例如"a⊕b=2a-b²"代表将第一个数乘2后减去第二个数的平方。 对比常规运算：列出新运算与加减乘除的差异点，如不满足交换律（a⊕b≠b⊕a）时需注意操作顺序。 优先级判定：若定义中包含复合运算（如(a★b)◆c），需严格按照题干说明确定计算层级。 二、转化与建模方法 代数式替换：将新运算表达式转化为标准代数式，例如x⊗y=√(x+y)可视为求两数和的算术平方根。 数形结合：当定义涉及几何意义（如a▽b表示坐标平面中点距），可画辅助图形辅助理解。 特值验证法：代入具体数值（如a=1,b=0）快速检验运算规则是否掌握。 例2．任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，现对进行如下操作：，这样对只需进行3次操作后变为1．类似的，对只需进行3次操作后也变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 变式2-1．对于，规定，例如：，所以，记，，则y与x之间的数量关系式为 ． 变式2-2．对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当，时，求的值． (2)已知，，求式子的值． (3)已知，求a的值． 变式2-3．如果一个四位数满足千位数字与十位数字的和为8，百位数字比个位数字少3，那么称为“勤奋数”．若一个四位“勤奋数”的千位数字与个位数字的3倍的和记作，百位数字与十位数字的和记作，那么为整数时，则称为“勤奋整数”． 例如：2164满足，，故2164是“勤奋数”，且，，即是整数，故2164是“勤奋整数”． (1)判断：1346　　“勤奋数”，3659　　“勤奋数”（填“是”或“不是”）； (2)任意一个四位“勤奋数”与其个位数字的2倍之差能被11整除吗？为什么？ (3)直接写出2164以外的所有“勤奋整数”． 类型三、与实数运算相关的规律题 一、典型规律题型解析 等差数列规律 特征：相邻数差相等（如2,5,8,11...） 通式：aₙ=a₁+(n-1)d （d为公差） 例题：第10项=2+(10-1)×3=29 等比数列规律 特征：相邻数比值相等（如3,6,12,24...） 通式：aₙ=a₁×rⁿ⁻¹ （r为公比） 易错点：注意负号交替规律（如1,-2,4,-8...） 循环规律 识别周期（如小数点后142857循环） 定位技巧：第n位=n÷周期余数对应数字 二、实战解题四步法 观察特征：标记数字变化趋势（递增/递减/波动） 建立模型：尝试等差/等比/平方数等常见模型 验证规律：用前3项验证通式可靠 例3．设，，，…，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式3-1．将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则 ①表示的数是 ； ②与表示的两数的平方和为 ． 变式3-2已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 变式3-3综合与实践 活动主题 认识进位制，探究不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制的简单写法．十进制数一般不标注基数． 材料2 在数学中：规定除了零，任何数的零次幂都为1，即 如．由此，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，如： 材料3 不同进位制的数之间可以相互转换．下面对“十进制数与二进制数之间的转换”进行举例说明．十进制数转换成二进制数，如： 所以换成二进制数是，记为∶； 二进制数转换成十进制数， 如： 所以二进制数转换成十进制数为，记为 根据以上信息，解决下列问题： (1)①十进制数7转换成二进制数为( )₂； ②二进制数转换成十进制数为 ． (2)若一个十进制两位数转化成三进制数后是一个各数位上的数字全都为m的三位数，请求出这个十进制两位数； (3)已知a，b，c均是大于2的正整数，且，将，，转换成十进制数分别记为x，y，z．猜想x，y，z之间的数量关系，并说明理由． 类型四、无理数整数部分的有关计算 核心计算技巧 方法1：平方估算法（适用于根式） 步骤： 找到相邻的完全平方数（如在4<7<9之间） 确定范围：2<<3 → []=2 关键点：若被开方数介于n²和(n+1)²之间，则整数部分为n 方法2：小数夹逼法（适用于π、e等） 示例：求[π+2] 已知3.14<π<3.15 → 5.14<π+2<5.15 ∴ [π+2]=5 方法3：负数处理规则 若α为负无理数，先取绝对值确定整数部分，再加负号并减1 例：[-]] ≈2.236 → []=2 → [-]=-2-1=-3 例4．我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．例如：，．下列说法：①；②；③若，且，则或，其中正确的有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 变式4-1 若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（   ）式子中的“”，“”依次相间 A． B． C． D． 变式4-2对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于的最大整数），称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，，这时候结果为．只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大值与最小值之差 ． 变式4-3已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求的值． (2)求的平方根． 1．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，则有．下列说法中正确的有（   ）个 ①；②；③；④若，且，则或 A．1 B．2 C．3 D．4 2．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（   ）式子中的“”，“”依次相间 A． B． C． D． 3．将1、、三个数按如图所示方式排列，若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（   ） A． B． C．3 D．1 4．已知整数满足下列条件：，以此类推，则的值为（　　） A．2024 B．2026 C．1012 D．1013 5．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．定义新的运算：对于任意的有理数a，b，都有，，如，时，，．下列说法： ①若，则；②若，则；③若，则的最小值为7． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．在密码学中，你直接可以看到的内容为明文（真实文），对明文进行某种处理后得到的内容为密文．现有一种密码把英文的明文单词按字母分解，其中英文的个小写字母依次对应这个自然数，见以下表格： 现给出一个公式：，将明文字母对应的数字A按以上公式计算得到密文字母对应的数字，比如明文字母为，，所以明文字母对应的密文字母为若密文是，则对应的明文是（　　） A． B． C． D． 8．已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．已知表示不大于的最大整数，那么 ． 10．设，则的值为 ． 11．定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则．如：，，，… 试解决下列问题： ； ② ； ③ ． 12．在三位自然数中，把形如，，，的中间数位数字小于两边数位数字的数叫“凹数”，而把形如，，…，的中间数位数字大于两边数位数字的数叫“凸数”．则中“凹数”比“凸数” （填“多”或“少”） 个． 13．新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，即，其中，满足且，则称这个正整数为“平方差友好数”．若，则的个数为 ． 14．我们规定：若一个正整数A能写成，其中与都是两位数，且与的个位数字相同，十位数字之和为9，则称A为“方和数”，并把A分解成的过程，称为“方和分解”．例如：因为与82的个位数字相同（均为2），十位数字1与8的和为9，所以226是“方和数”，226分解成的过程就是“方和分解”． （1）按照这个规定，最小的“方和数”是 ； （2）把一个“方和数”A进行“方和分解”，即，将放在的右边组成一个新的四位偶数B，若B除以17余数为3，则满足条件的最小正整数A为 ． 15．是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 16．规定：对任意的非负实数n，用表示不大于n的最大整数，称为n的整数部分，用表示的值，称为n的小数部分.例如：，，，；请回答下列问题： (1)当时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号） ①；②；③；④；⑤若（a为整数），则 (2)当时，解关于x的方程 17．在数学的发展长河中，无理数的发现是一个具有里程碑意义的事件.北师大版八年级上学期数学教材第29页“阅读•思考”部分，为我们讲述了这段精彩的历史． 【经典回顾】 假设是有理数，那么可以写成两个整数p,q的比，即互质)．两边平方得，即①__________． 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数），代入得，②_____________． 所以是偶数，也是偶数.因为和都是偶数，所以有公因数2. 这与“和互质“矛盾.这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （1）请在上面划线处填写相应内容：①_______________，②_____________； 【类比推理】 （2）类比上述证明不是有理数的方法，推理说明不是有理数． 【实际应用】 （3）长方形画纸的面积为，长与宽的比为，能否从中裁出半径为的圆形画纸？请说明理由． 18．我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． (1)______________，______________，的小数部分＝______________； (2)设的小数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数的压轴题型 目录 1 类型一、实数的大小比较 1 类型二、新定义下的实数运算 5 类型三、与实数运算相关的规律题 9 类型四、无理数整数部分的有关计算 15 18 类型一、实数的大小比较 ▶ 数轴法（几何直观） · 操作步骤：将数字标注在数轴上，右方的数恒大于左方 · 示例：比较-与-1.5，标出位置即可判定- > -1.5 ▶ 作差法（代数运算） · 公式：若a-b>0则a>b · 案例：比较(+1)/2与1.6 → 作差得(-2.2)/2，计算≈2.236，结果为正 ▶ 平方法（根式比较） · 适用条件：比较正数的平方根时 · 示范：与→ 平方后得7<8，故< ▶ 倒数法（分数比较） · 技巧：分子相同的正分数，分母越大值越小 · 应用：比较1/(-1)与1/(-2)时，先有理化再比较分母 ▶ 中间值法（估算技巧） · 关键：寻找基准数（如0,1,π等） · 例题：比较log₂3与1 → 因log₂2=1且3>2，故log₂3>1 ▶ 科学记数法（超大/小数） · 步骤：统一为a×10ⁿ形式后比较指数和系数 · 实例：3.6×10⁸ > 2.9×10¹⁰（指数2<8） 例1．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将均计算6次幂，通过比较6次幂的大小，结合负数的绝对值越大，数越小的性质，确定的大小关系． 本题考查了实数的大小比较，掌握通过偶次幂将负数转化为正数比较，结合负数的绝对值越大，数越小是解题的关键． 【详解】解：将整理为：， ， ， 分别计算6次幂： ； ； 比较6次幂的大小：， 即， ∵均为负数，负数的偶次幂越大，原数的绝对值越大，数越小 ∴． 故选：B． 变式1-1．已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了进行实数大小比较的能力，关键是能准确运用作差法进行比较． 通过计算与的差以及与的差，利用平方根的性质比较大小，即可得到这三个数的大小关系． 【详解】解：∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ 综上，，即 . 故选：A． 变式1-2．设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的大小比较，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 先化简，根据不等式的基本性质比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵实数，，满足条件， ∴， ∴， ∴， 故选：． 变式1-3 已知四个数满足，则之间的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了用字母表示数，比较数的大小，熟练掌握相关知识点是解题关键．设，得的表达式，通过比较常数项与的关系即可确定大小． 【详解】解：设，则 ，，，。 比较差值： ，故 ； ，故 ； ，故 。 因此，大小关系为 ； 故答案为： ． 类型二、新定义下的实数运算 一、理解新定义的本质 符号识别：明确题干中自定义运算符（如⊕、⊗）的具体含义，例如"a⊕b=2a-b²"代表将第一个数乘2后减去第二个数的平方。 对比常规运算：列出新运算与加减乘除的差异点，如不满足交换律（a⊕b≠b⊕a）时需注意操作顺序。 优先级判定：若定义中包含复合运算（如(a★b)◆c），需严格按照题干说明确定计算层级。 二、转化与建模方法 代数式替换：将新运算表达式转化为标准代数式，例如x⊗y=√(x+y)可视为求两数和的算术平方根。 数形结合：当定义涉及几何意义（如a▽b表示坐标平面中点距），可画辅助图形辅助理解。 特值验证法：代入具体数值（如a=1,b=0）快速检验运算规则是否掌握。 例2．任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，现对进行如下操作：，这样对只需进行3次操作后变为1．类似的，对只需进行3次操作后也变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的估算，核心是理解“表示不超过的最大整数”的含义，思路为逆推法：从第三次操作的结果1出发，依次确定第二次操作、第一次操作的输入范围，最终找到满足条件的最大正整数．关键在于每次逆推时，根据取整的定义确定数的取值区间，再通过平方得到对应的整数范围． 【详解】解：设第三次操作的输入为，由，根据定义可知，两边平方得，因此的最大正整数值为3； 设第二次操作的输入为，要使最大，取，则，根据定义得，两边平方得，因此的最大正整数值为； 设原正整数为，要使最大，取，则，根据定义得，两边平方得，因此的最大正整数值为． 验证：对进行操作：，符合题意；而需4次操作变为1，不符合． 故答案为：． 变式2-1．对于，规定，例如：，所以，记，，则y与x之间的数量关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算的新定义问题。根据新定义，将和转化为指数形式，再利用同底数幂的乘法性质建立与的关系 【详解】解：由，得. 由，得. ∵， ， . 变式2-2．对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当，时，求的值． (2)已知，，求式子的值． (3)已知，求a的值． 【答案】(1)10 (2)14 (3)15或或10 【分析】本题考查了整式加减，有理数的混合运算，绝对值的性质，掌握有理数混合运算顺序及合并同类项，绝对值的性质的熟练应用是解题的关键． （1）根据新运算定义，先判断的奇偶性，再列式计算； （2）先判断的奇偶性，再列式计算； （3）先判断的奇偶性，列式计算结果为是偶数，求转化为求，针对a的取值分情况讨论，再结合，确定a的取值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，为偶数， ∴ ． （2）解：∵，为奇数， ∴， ∴， ∵整数a，b，， ∴，， ∴， 整理得， ∴． （3）解：∵一定为偶数， ∴是偶数， 当a为奇数时， ， ①当a为负奇数时得， ∴， 解得舍去； ②当a为正奇数时，得， ∴， 解得； 当a为偶数时， ， ①当a为负偶数时得 ， ∴， 解得， ②当a为正偶数时得 ， ∴， 解得， 综上所述：a的值为15或或10． 变式2-3．如果一个四位数满足千位数字与十位数字的和为8，百位数字比个位数字少3，那么称为“勤奋数”．若一个四位“勤奋数”的千位数字与个位数字的3倍的和记作，百位数字与十位数字的和记作，那么为整数时，则称为“勤奋整数”． 例如：2164满足，，故2164是“勤奋数”，且，，即是整数，故2164是“勤奋整数”． (1)判断：1346　　“勤奋数”，3659　　“勤奋数”（填“是”或“不是”）； (2)任意一个四位“勤奋数”与其个位数字的2倍之差能被11整除吗？为什么？ (3)直接写出2164以外的所有“勤奋整数”． 【答案】(1)①不是；②是 (2)能被11整除，理由见解析 (3)满足条件的“勤奋整数”分别为1477、5235、6124、7013、8104 【分析】本题考查了新定义运算，列代数式及整式的加减，有理数的混合运算，关键是理解新定义，正确运用新定义解决问题． （1）根据新定义及其计算方法，即可一一判定； （2）设任意一个四位“勤奋整数”的千位上的数字为a，百位上的数字为b，则十位上的数字为，个位上的数字为，可得，，据此即可证得； （3）根据题意和新定义可得为整数，再枚举即可求解． 【详解】（1）解：中，， 不是“勤奋数”； 中，， 是“勤奋数”； 故答案为：不是，是； （2）证明：设任意一个四位“勤奋数”的千位上的数字为a，百位上的数字为b， 则十位上的数字为，个位上的数字为， ， ，b均为整数， 也为整数， 能被11整除， 任意一个四位“勤奋数”与其个位数字的2倍之差能被11整除； （3）解：由（2）知“勤奋数”， ，， ， 又为整数， 所以当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”； 当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”； 当时，，枚举检验无符合题意的值； 当时，，枚举检验无符合题意的值； 当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”； 当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”； 当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”； 当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”； 当时，，枚举检验无符合题意的值； 综上，满足条件的“勤奋整数”分别为1477、5235、6124、7013、8104． 类型三、与实数运算相关的规律题 一、典型规律题型解析 等差数列规律 特征：相邻数差相等（如2,5,8,11...） 通式：aₙ=a₁+(n-1)d （d为公差） 例题：第10项=2+(10-1)×3=29 等比数列规律 特征：相邻数比值相等（如3,6,12,24...） 通式：aₙ=a₁×rⁿ⁻¹ （r为公比） 易错点：注意负号交替规律（如1,-2,4,-8...） 循环规律 识别周期（如小数点后142857循环） 定位技巧：第n位=n÷周期余数对应数字 二、实战解题四步法 观察特征：标记数字变化趋势（递增/递减/波动） 建立模型：尝试等差/等比/平方数等常见模型 验证规律：用前3项验证通式可靠 例3．设，，，…，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律，由，，，，得出，然后求出，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， 故选：． 变式3-1．将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则 ①表示的数是 ； ②与表示的两数的平方和为 ． 【答案】 【分析】先确定每行使用的自然数范围，再根据行数的奇偶性决定该行是递增还是递减排列． 【详解】①解：第1排： 第2排：，（从左到右依次增大） 第3排：，，（从左到右依次减小） 第4排：，，，（从左到右依次增大） 第5排：，，，，（从左到右依次减小） 奇数排（1，3，5，…）的数字从左到右是从大到小排列． 偶数排（2，4，…）的数字从左到右是从小到大排列． 数字是自然数开根号，不重复，顺序是连续填充的． 前m排数字的总个数：， 前一排（第排）的总个数是， 所以第m排的第1个数是序列中的第个数的平方根． 当 m为奇数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此奇数排的第n个数（从左向右数）是：， 当m为偶数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此偶数排的第 n个数是：， ，为偶数， ， 所代表的数为， 故答案为：； ②，为偶数，， ， ，为奇数，， ， 它们的平方和为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示数、图形的规律，用有序数对表示位置，求一个数的算术平方根解题关键是根据“蛇形”排列规则推导出第m排第n个数所对应的自然数序号． 变式3-2已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)；证明见解析 【分析】本题主要考查了实数的有关运算、数字变化的规律，能根据题意发现的变化规律是解题的关键． （1）分别求出，，根据定义即可求出，； （2）根据的规律猜想出的表达式，再利用裂项相消法证明该猜想． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，． （2）猜想：． 证明如下： ． 变式3-3综合与实践 活动主题 认识进位制，探究不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制的简单写法．十进制数一般不标注基数． 材料2 在数学中：规定除了零，任何数的零次幂都为1，即 如．由此，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，如： 材料3 不同进位制的数之间可以相互转换．下面对“十进制数与二进制数之间的转换”进行举例说明．十进制数转换成二进制数，如： 所以换成二进制数是，记为∶； 二进制数转换成十进制数， 如： 所以二进制数转换成十进制数为，记为 根据以上信息，解决下列问题： (1)①十进制数7转换成二进制数为( )₂； ②二进制数转换成十进制数为 ． (2)若一个十进制两位数转化成三进制数后是一个各数位上的数字全都为m的三位数，请求出这个十进制两位数； (3)已知a，b，c均是大于2的正整数，且，将，，转换成十进制数分别记为x，y，z．猜想x，y，z之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)，见解析 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，等式的性质以及单位进制的转化． （1）①根据题干中十进制数转换成二进制数的方法计算即可；②仿造题干中二进制数转换为十进制数的方法计算即可； （2）仿造题干中二进制数转换为十进制数的方法计算即可； （3）仿造题干中二进制数转换为十进制数的方法求出x、y、z，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：①； ②． 故答案为：； （2）解：依题意得，这个三进制数， 转换为十进制数为 因为这个数是十进制两位数，所以 ． 当时，，是两位数， 当时，，是两位数； 当时，，但三进制数每一位数字最大是2，所以m不能为3及更大的数． 所以这个十进制两位数是或． （3）解：，理由如下 依题意得： ， ， ， ， ． 类型四、无理数整数部分的有关计算 核心计算技巧 方法1：平方估算法（适用于根式） 步骤： 找到相邻的完全平方数（如在4<7<9之间） 确定范围：2<<3 → []=2 关键点：若被开方数介于n²和(n+1)²之间，则整数部分为n 方法2：小数夹逼法（适用于π、e等） 示例：求[π+2] 已知3.14<π<3.15 → 5.14<π+2<5.15 ∴ [π+2]=5 方法3：负数处理规则 若α为负无理数，先取绝对值确定整数部分，再加负号并减1 例：[-]] ≈2.236 → []=2 → [-]=-2-1=-3 例4．我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．例如：，．下列说法：①；②；③若，且，则或，其中正确的有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义理解以及整数部分的确定和分类讨论思想．根据整数部分和小数部分的定义，表示不超过的最大整数，表示不超过的最大整数，若，需分和进行讨论，逐项判断每个说法的正误即可． 【详解】表示不超过的最大整数，为，故①正确； 表示不超过的最大整数，为，故②正确； ，， 当时，，， 当时，，， 或，故③正确； 综上，正确的有个， 故选：． 变式4-1 若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（   ）式子中的“”，“”依次相间 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论． 【详解】解：，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ， ，， 与之间共有个数， ． 故选B． 变式4-2对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于的最大整数），称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，，这时候结果为．只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大值与最小值之差 ． 【答案】239 【分析】本题主要考查对新定义运算的理解和运用，以及对平方根和取整运算的掌握．解题关键在于理解根整数的定义，通过分析连续求根整数运算的过程，找出满足进行次连续求根整数运算后结果为的正整数的取值范围，进而确定最大值和最小值．只需找到进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数的最小值和最大值，并计算其差值即可求解． 【详解】根据操作定义，进行次操作后结果为，且前两次操作结果均不为．第二次操作结果必须为2或3． 当时，则第一次操作结果，对应的取值范围为： 时，，且为整数； 时，，且为整数； 时，，且为整数； 时，，且为整数； 时，，且为整数； 综上，，且为整数． 当时，，对应的取值范围为： 时，，且为整数； 时，，且为整数； 时，，且为整数； 时，，且为整数； 时，，且为整数； 时，，且为整数； 时，，且为整数； 综上，，且为整数． 因此，所有满足条件的的取值范围为，最小值为，最大值为，差值为． 故答案为． 变式4-3已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根的概念和平方根的性质．解题关键是一个正数的两个不同的平方根的和为0；一个数算术平方根的整数部分的确定方法：找到与被开方数最接近的两个平方数，较小的这个平方数的算术平方根即是它的整数部分；易错点是一个正数的算术平方根只有一个，它的平方根有两个，且一正一负． （1）一个正数的两个不同的平方根的和为0，可求出x的值，把x的值代入或，得到m的一个平方根，可求出m的值；由，即，得到，求出y的值； （2）将（1）中的y值代入，求其平方根即可． 【详解】（1）解：由题意得，． 解得． ∴． ∴． ，即 的整数部分是3． ． 解得． 故答案为：． （2）解：把代入，． 故的平方根是． 1．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，则有．下列说法中正确的有（   ）个 ①；②；③；④若，且，则或 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查新定义、无理数的整数部分、有理数的运算等知识点，理解新定义成为解题的关键． 根据新定义、无理数的整数部分可判断①、②和③；根据，且，求出或即可判断④． 【详解】解：由题可知： ，， 故①正确；②③错误； 由，则或， 当时，，； 当时，，； 所以④错误． 所以正确的只有①，即1个． 故选A． 2．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（   ）式子中的“”，“”依次相间 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论． 【详解】解：，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ， ，， 与之间共有个数， ． 故选B． 3．将1、、三个数按如图所示方式排列，若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】C 【分析】考查知识点：找规律（循环规律、数列求和）、二次根式的乘法运算．解题思想与方法：归纳推理思想，通过分析排列的循环规律和数列求和确定数的位置，再利用二次根式乘法法则计算乘积．解题关键：准确计算某一位置对应的总数字个数，结合循环节长度确定具体数字；明确列数的计数方向（从右往左）．易错点：列数的计数方向容易混淆（误将从左往右计数）；计算总数字个数时数列求和公式应用错误；确定循环节对应数字时余数分析失误． 要解决此题，可按以下步骤进行： 1.确定循环规律：观察到数的排列以1, ,为循环节，每3个数重复一次． 2.计算总数字个数：对于第a排第b列的数，需先计算前排的总数字个数（利用等差数列求和公式，再加上b得到该数的总序号． 3.确定循环节中的数字：用总序号除以循环节长度3，根据余数判断数字（余数为0对应循环节第3个，余数为1对应第1个，余数为2对应第2个）． 4.计算两数的积：根据二次根式乘法法则（此处时，）得出结果． 以为例，前7排总个数为，总序号为，无余数，对应；以为例，总序号为，除以3无余数，对应，最终积为3．． 【详解】数的循环节：1, ,． 排与数的关系：第a排有a个数，列数从右往左计数． 计算前7排的总数字个数：． 第8排第2列的数是第个数．     （无余数），对应循环节第3个数：． 第2025排第2025列的数，是前2024排的总个数加2025，即： 计算其与循环节长度3的关系： 结果为整数，说明对应循环节第3个数：． ． 故选：C． 4．已知整数满足下列条件：，以此类推，则的值为（　　） A．2024 B．2026 C．1012 D．1013 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，有理数的混合运算，求一个数的绝对值，解题的关键是找出规律． 根据给定示例，找出运算规律，然后直接代入公式计算即可． 【详解】解：∵, , , , , , ... ∴ 当n为偶数时，；当n为奇数时，． ∵ 2025是奇数， ∴ ． 故选：C． 5．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得; ； ； ； ； ， 故选：A． 6．定义新的运算：对于任意的有理数a，b，都有，，如，时，，．下列说法： ①若，则；②若，则；③若，则的最小值为7． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算的理解和计算、代数式求值、解方程、绝对值最值等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据新定义运算法则、代数式求值、解方程、绝对值最值逐项判断即可． 【详解】解：①当时，， ， ∴成立，符合题意； ②化简方程：左边， 右边，则， 解得：，成立，符合题意； ③当时，，， 则可化为，表示数为 b的 点到表示数和3的点的距离之和，最小值为7，且当时取等号，符合题意； 综上三个说法都正确． 故选D． 7．在密码学中，你直接可以看到的内容为明文（真实文），对明文进行某种处理后得到的内容为密文．现有一种密码把英文的明文单词按字母分解，其中英文的个小写字母依次对应这个自然数，见以下表格： 现给出一个公式：，将明文字母对应的数字A按以上公式计算得到密文字母对应的数字，比如明文字母为，，所以明文字母对应的密文字母为若密文是，则对应的明文是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值， 先确定密文字母对应的数字，再代入关系式，求出A的值，然后确定明文对应的字母即可． 【详解】解：因为密文字母为d，对应的数字是4， 所以， 解得，其对应的明文字母是g； 因为密文字母为h，对应的数字是8， 所以， 解得，其对应的明文字母是o； 因为密文字母为o，对应的数字是15， 所以， 解得，其对应的明文字母是d， 所以对应的明文是． 故选：B． 8．已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题分别计算的x值，找到满足条件的x值即可． 【详解】解：当时，，，不合题意； 当时，，当时，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用． 9．已知表示不大于的最大整数，那么 ． 【答案】606 【分析】本题主要考查了无理数的估算，正确估算出各无理数的整数部分成为解题的关键． 先分别估算出各无理数的整数部分，然后再计算即可． 【详解】解：由题意可得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 所以 ． 故答案为：． 10．设，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律和掌握规律是解题的关键．通过计算总结归纳出规律，再化简算术平方根，然后由计算即可． 【详解】解：∵， …… ∴， ∴ ． 11．定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则．如：，，，… 试解决下列问题： ； ② ； ③ ． 【答案】 2 3 【分析】①直接根据新定义，即可求解； ②根据题意，先推导出等于什么，再比较与的大小关系，可得，即可求解； ③根据，原式可变形为，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， 当时，； 当为正整数时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ③∵， ∴ ． 故答案为：①2；② 3；③． 【点睛】本题主要考查了新定义，无理数的估算，与实数运算有关的规律探索，解第②小题的关键是应用“完全平方公式”和“作差的方法”分别证明到当n为非负整数时，，从而得到；解题③的要点是：当n为正整数时，． 12．在三位自然数中，把形如，，，的中间数位数字小于两边数位数字的数叫“凹数”，而把形如，，…，的中间数位数字大于两边数位数字的数叫“凸数”．则中“凹数”比“凸数” （填“多”或“少”） 个． 【答案】 多 【分析】本题考查了新定义问题、分类讨论思想与计数原理，理解 “凹数” 和 “凸数” 的定义，并通过分类讨论计算个数是解题的关键． 设（、、均为的整数，且），先根据 “凹数” 和 “凸数” 的定义，以中间位数字为分类标准，分别计算出两种数的个数，再通过作差比较数量关系，即可得出结论． 【详解】解：设（、、均为的整数，且）， 中“凹数”个数： 根据“凹数”的定义，且， 当时，可以从中任选一个，有种选法，可以从中任选一个，有种选法，根据分步乘法计数原理，此时“凹数”的个数为个； 当时，可以从中任选一个，有种选法，可以从中任选一个，有种选法，此时“凹数”的个数为个； 当时，可以从中任选一个，有种选法，可以从中任选一个，有种选法，此时“凹数”的个数为个； 当时，只能选，有种选法，只能选，有种选法，此时“凹数”的个数为个； ∴“凹数”的总个数为个； 中“凸数”个数： 根据“凸数”的定义，且， 当时，可以从中选，有种选法，可以从、中选，有种选法，此时“凸数”的个数为个； 当时，可以从、中选，有种选法；可以从、、中选，有种选法，此时“凸数”的个数为个； 当时，可以从、、中选，有种选法，可以从、、、中选，有种选法，此时“凸数”的个数为个； 当时，可以从中选，有种选法，c可以从中选，有种选法，此时“凸数”的个数为个； ∴“凸数”的总个数为个； ∵，， ∴“凹数”比“凸数”多，多个． 故答案为：①多；②． 13．新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，即，其中，满足且，则称这个正整数为“平方差友好数”．若，则的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的应用，数的奇偶性与数的分解．根据平方差公式，通过分析因数的性质，研究数的奇偶性与数的分解，通过分类讨论得到答案，是解题的关键． 利用“”与“”同奇偶的性质，将问题转化为对奇数、偶数的分类讨论，分别分析偶数和奇数的“平方差友好数”，排除不符合条件的情况，统计满足条件的数的个数． 【详解】解：计算“平方差友好数”的表达式： ，其中且， 设，， ∵为偶数， ∴与同奇偶， ∵， ∴当(偶数)，为偶数且， ，共个，即： ， 当(奇数) ，为奇数且， ，共个： ， 当(奇数) ，为奇数且， ，共个：，其中与重复， ∴新增个， 当(奇数)，为奇数且， ，共个：，其中与重复， ∴新增个， 当且为偶数 (如)，或且为奇数 (如) , 其对应的均与上述结果重复, 无新增， 统计所有不重复的，总数为． 故答案为：． 14．我们规定：若一个正整数A能写成，其中与都是两位数，且与的个位数字相同，十位数字之和为9，则称A为“方和数”，并把A分解成的过程，称为“方和分解”．例如：因为与82的个位数字相同（均为2），十位数字1与8的和为9，所以226是“方和数”，226分解成的过程就是“方和分解”． （1）按照这个规定，最小的“方和数”是 ； （2）把一个“方和数”A进行“方和分解”，即，将放在的右边组成一个新的四位偶数B，若B除以17余数为3，则满足条件的最小正整数A为 ． 【答案】 180 342 【分析】本题考查整式加减的应用，新定义运算，理解“方和数”的定义是解题的关键． （1）设，则，只需a，b都取最小值时，的值最小； （2）先计算出，根据B除以17余数为3，可得能被17整除，进而可得是17的倍数，b为一位数偶数，尝试a取最小值1，依次计算即可． 【详解】解：（1）设，则，其中，， 求最小的“方和数”，即的最小值， 取，， ，， ，即最小的“方和数”是180， 故答案为：180； （2）将放在的右边组成一个新的四位偶数B， ， B除以17余数为3， 能被17整除， 是整数， 是整数，即是17的倍数， 求满足条件的最小正整数A， 尝试a取最小值1， B是四位偶数， 可能为0，2，4，6，8， 当，时，，不是17的倍数，不合题意； 当，时，，不是17的倍数，不合题意； 当，时，，不是17的倍数，不合题意； 当，时，，是17的倍数，符合题意； ，， 满足条件的最小正整数A为：， 故答案为：342． 15．是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出，的范围是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 16．规定：对任意的非负实数n，用表示不大于n的最大整数，称为n的整数部分，用表示的值，称为n的小数部分.例如：，，，；请回答下列问题： (1)当时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号） ①；②；③；④；⑤若（a为整数），则 (2)当时，解关于x的方程 【答案】(1)①②④⑤ (2)或 【分析】本题考查的是估算无理数的大小和实数的运算，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． （1）根据题目中的规定进行逐一判断即可得出答案； （2）先根据题目中的规定对原方程进行整理得，再进行分类讨论，求解即可． 【详解】（1）解： ，故①正确； ，由于，，故②正确； 表示的小数部分，，故③错误； 表示的整数部分，，故④正确； 为整数），，故⑤正确， 故五个命题中为真命题的是①②④⑤， 故答案为：①②④⑤； （2）解：， ， ， ， 是的小数部分， 当时，； 当时，， ， 可得， ， 综上可得或． 17．在数学的发展长河中，无理数的发现是一个具有里程碑意义的事件.北师大版八年级上学期数学教材第29页“阅读•思考”部分，为我们讲述了这段精彩的历史． 【经典回顾】 假设是有理数，那么可以写成两个整数p,q的比，即互质)．两边平方得，即①__________． 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数），代入得，②_____________． 所以是偶数，也是偶数.因为和都是偶数，所以有公因数2. 这与“和互质“矛盾.这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （1）请在上面划线处填写相应内容：①_______________，②_____________； 【类比推理】 （2）类比上述证明不是有理数的方法，推理说明不是有理数． 【实际应用】 （3）长方形画纸的面积为，长与宽的比为，能否从中裁出半径为的圆形画纸？请说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）不能，理由见解析 【分析】本题考查反证法，算术平方根的应用，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）按照步骤作答即可； （2）类比（1）的步骤作答即可． （3）求出长方形的长和宽，与圆的直径进行比较即可． 【详解】（1）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得， 两边平方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（是正整数），代入①得，． 所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质．这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （2）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边立方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的立方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得，． 即． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （3）她的想法不能，理由如下： 设长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴宽为， ∵圆的半径为， ∴圆的直径为； ∵， ∴她的想法不能． 18．我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． (1)______________，______________，的小数部分＝______________； (2)设的小数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点即可求得和；已知，则可求得的小数部分； （2）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点可求得的整数部分和小数部分，进而可求得，遵循同样步骤可求得，将和代入原式即可得解； （3）利用有理数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，不等式的性质等知识点可求得的取值范围，进而根据已知条件可求得和，于是可求得，并最终求得的相反数． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 的小数部分为， 故答案为：，，； （2）解：， ， ， 的小数部分为， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ，是整数，且， ，， ， 的相反数为． 【点睛】本题主要考查了实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，代数式求值，不等式的性质，求相反数等知识点，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解题的关键． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $