第14讲 二次函数的实际应用（复习讲义，4考点7题型1重难）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学讲义聚焦二次函数实际应用，覆盖销售利润、面积、拱桥等七类中考核心命题点，按“考情剖析-知识导航-考点解析-题型预测-综合突破”架构系统梳理，通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题步骤，真题训练强化实战能力，助力学生突破最值求解等难点。 亮点在于“情境化建模”与“分层进阶”设计，如拱桥问题通过坐标系建立培养几何直观（数学眼光），销售利润问题函数建模渗透模型意识（数学语言）。设基础巩固、能力提升、全国新趋势三级练习，配合综合题思维训练，确保高效复习，帮助学生提升应考能力，为教师提供精准复习节奏把控依据。

第三章 函数 第14讲 二次函数的实际应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 销售利润问题 题型01 销售利润问题 命题点二 面积问题 题型01 面积问题 命题点三 拱桥问题 题型01 拱桥问题 命题点四 投球问题 题型01 投球问题 命题点五 喷水问题 题型01 喷水问题 命题点六 图形运动问题 题型01 图形运动问题 命题点七 其他问题 题型01 其他问题 05·重难突破·思维进阶 25 突破一 二次函数的实际应用综合 06·优题精选·练能提分 29 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 销售利润问题 / / 丹东卷T24 盘锦卷T24 鞍山卷T24 锦州卷T23 营口卷T22 抚顺、葫芦岛卷T23 本溪、铁岭、辽阳卷T23 能根据实际情境从问题中抽象出二次函数模型，利用二次函数的图象与性质解决具体问题。 面积问题 / / 沈阳卷T15 拱桥问题 辽宁省卷 T19 / / 动点图象问题 / / 鞍山卷T8 盘锦卷T10 锦州卷T8 抚顺、葫芦岛卷T10 本溪、铁岭、辽阳卷T10 命题预测 二次函数的实际应用为中考必考题，考查形式以大题和选填题压轴为主，一般需要通过题意建立二次函数模型，利用二次函数的图象与性质解决问题，多为最值问题，注意计算准确及根据题意进行解的取舍。 用二次函数解决实际问题的一般步骤： （1）审：仔细 审题 ，理清 题意 ； （2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的 未知数 ； （3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的 解析式 ； （4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； （5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论。 考点一 销售利润问题 1．（2025·辽宁沈阳·二模）某电商平台助力乡村振兴，采购某村甲品种优质农产品进行销售，将所得全部利润用于资助该村基础建设，打造美丽乡村．具体销售相关信息梳理如下表： 信息项目 甲品种农产品收购价格 运费等相关销售成本 甲种农产品销售价格限定条件 基础数据 18元 2元 不低于22元，不高于 45元 市场调研 经专业团队市场调研发现，每天的销售量y（）与销售价格x（元）之间的函数关系： 2．（2025·辽宁葫芦岛·一模）某花店老板购入一批进价为10元/束的满天星进行售卖，经市场调研发现：销售单价不低于进价时，日销售量（束）与销售单价（元）是一次函数关系，其部分图象如图所示： (1)求与之间的函数表达式，并写出的取值范围； (2)设该老板每天销售利润为元，求与之间的函数关系式； (3)当满天星的销售价格定为多少元时，该花店销售满天星所获日销售利润为400元． 3．（2025·辽宁锦州·三模）某班同学前往养鹅大户王大伯家开展调研活动．根据王大伯往年的饲养经验，他们发现：饲养A种白鹅获得的利润（万元）与投资金额x（万元）的函数关系式为．饲养B种白鹅获得的利润（万元）与投资金额x（万元）的函数关系式为．画出两函数的图象如图所示． (1)求函数的表达式． (2)王大伯计划明年投资10万元饲养A，B这两种白鹅．根据以往经验，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少？ 考点二 面积问题 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：）． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； (2)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 3．（2025·辽宁辽阳·模拟预测）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 考点三 拱桥问题 1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为 ． 2．（2025·辽宁·中考真题）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 3．（2025·辽宁抚顺·二模）利用素材解决问题： 《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽度（如图1），称为跨度，桥面最高点到的距离，称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度，拱高． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 ①如图2，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径．（点为圆心，，交于点，交于点D．） ②设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图3所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式． 任务二 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，，通过计算，我们确定：设计成圆弧型拱桥，货船可以顺利通过．如果设计成抛物线型，货船能否顺利通过？请写出结论并说明理由． 考点四 图形运动问题 1．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，是直角三角形，．点从点出发，沿方向以的速度向点运动到达点停止运动）；同时点从点出发，沿方向以的速度向点运动到达点停止运动；当其中一个动点到达终点时，则另一个动点也停止运动，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，在正方形中，，动点从点出发，沿折线运动到点，同时动点从点出发沿折线运动到点，当点和在正方形边上运动时，速度是每秒1个单位长度，当点和在正方形对角线上运动时速度是每秒个单位长度，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（   ）    A．   B．   C．     D．   3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图1，在中，，，动点从点，出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为．表示与之间关系的图象如图2所示，则当面积时，对应的运动时间的值是 ． 命题点一 销售利润问题 ►题型01 销售利润问题 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·三模）小莹打算自主创业开一家花店，她了解到某种花卉近期售价与日销售量的市场规律保持不变，于是她到附近A，B，C，D，E，5家花卉店对该种花卉的售价与日销售量情况作了市场调查，并记录了如下数据： 花店 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 (1)根据以上信息，求出日销售量与售价之间的一次函数关系式； (2)小莹欲购进进价为15元/盆的该种花卉在当地市场进行销售，在销售该种花卉中， ①当每盆售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ ②考虑到花店新开业，为了吸引顾客，让利于民，小贵打算在销售过程中每天获得400元的利润，应如何定价？ 【典例】2．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）某工厂计划投资生产、两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图①所示：产品的利润（万元）与投资量（万元）成顶点在原点的二次函数关系，如图②所示． (1)请直接写出利润与关于投资量的函数关系式______，______； (2)如果工厂以9万元资金投入生产、两种产品，要求产品的投资金额不超过产品的2倍，且不少于3万元，则如何投资该工厂能获得最大利润？最大利润是多少？ 【变式】1．（2025·辽宁盘锦·一模）某公司以元千克的价格收购一批农产品进行销售，经过市场调研发现，销售量y（千克）与售价x（元）之间满足一次函数关系，且当售价为元时，能销售千克；当售价为元时，能销售千克；但售价最高不得超过元． (1)求与之间的函数表达式； (2)若公司增加其他营销手段，销售量将提高到原来的倍，但售价在元的基础上每增加元，需多支付其他费用元，请问售价为多少元，该商家能获得最大利润，最大利润是多少？ 【变式】2．（2025·辽宁鞍山·一模）某工厂加工一种产品，其销售价随产品成本的变化而变化，已知该产品的最低成本为40元/千克，且销售价p（元/千克）与产品成本x（元/千克）符合一次函数关系；在产品销售过程中，销售量y（千克）随着销售价p（元/千克）的变化而变化，其函数关系如图所示： (1)请求出y与的函数解析式； (2)请计算当销售价是多少时该工厂可获得最大利润？ 【变式】3．（2025·辽宁铁岭·三模）某商场新购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品比购进4件乙商品费用多60元；购进5件甲商品和2件乙商品总费用为620元． (1)求甲、乙两种商品每件的进价． (2)该商场计划购进甲、乙两种商品共90件，且购进乙商品的件数不少于甲商品件数的2倍．若甲商品按每件160元销售，乙商品按每件90元销售． ①为满足销售完甲、乙两种商品后获得的总利润不低于3300元，则购进甲商品的件数最多为多少件？ ②随着甲商品销量的逐渐增加，以及乙商品销量的逐渐减少，于是总部下达命令：商场要调整销售策略，要求甲商品每件销售利润随销售数量的变化而变化．当购进甲商品n件时，甲每件利润变为元，乙每件利润仍然为30元，求当甲商品购进多少件时，商场获得利润最大？ 命题点二 面积问题 ►题型01 面积问题 【典例】1．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，一块矩形土地由篱笆围着，并且由一条与边平行的篱笆分开．已知篱笆的总长为（篱笆的厚度忽略不计），当 m时，矩形土地的面积最大．    【典例】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开（木栏的占地面积忽略不计），分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米． (1)若苗圃的面积为96平方米，求的值； (2)求当为何值时，苗圃的面积最大，最大面积是多少？ 【变式】1．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，其中，且．如果新建墙总长15m． (1)设储料场面积为，的长为，则的长为______，的长为______m，与的函数关系式______． (2)当取何值时，才能使储料场的面积最大？ 【变式】2．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，准备在校园里利用长的旧围墙，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为，矩形花园的面积为． (1)求y与x之间的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； (2)矩形花园的面积能否达到？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）【项目学习】把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再制用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：，，，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． (1)【类比探究】 当为何值时，有最小值，最小值为多少？ (2)【举一反三】 若代数式；当 时，有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ； (3)【拓展应用】如图，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度58米的棚栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，中间用棚栏隔开，且边上留两个1米宽的小门，设长为米，当为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 命题点三 拱桥问题 ►题型01 拱桥问题 【典例】1．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实践活动的调查报告： 活动题目 抛物线的课外实践活动 活动过程 如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量抛物线型拱门的底部跨度，然后将高度为的标杆垂直于所在地面，水平方向移动标杆使标杆顶部恰好与拱门的内壁接触，底部始终在上，再测量出、两点间的距离 拱门示意图 说明：以所在直线为轴，经过中点的垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 测量数据 ，， 任务（1） 求该抛物线型拱门的最高点到地面的距离； 任务（2） 要在该抛物线型拱门内壁距离地面高的两侧各安装一盏夜晚照明灯（大小忽略不计），求两盏灯的水平距离． 【典例】2．（2025·辽宁葫芦岛·二模）【提出问题】 小星学习二次函数后，查阅资料发现其中一个抛物线形门洞，门洞内的地面宽度为两侧距地面高处各有一盏灯．两灯间的水平距离为，未发现水泥门洞高度．他想知道这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米． 【分析问题】 数形结合思想是解决问题的重要思想．小星想到建立适当的平面直角坐标系．通过数据求出二次函数的表达式．利用表达式可以求得这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米． 【解决问题】 (1)小星根据二次函数图象的性质建立了如图所示的平面直角坐标系． ①求出抛物线的函数表达式； ②这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米？ (2)小星学习小组的小红发现，如果她家遥控飞机模型（如图）能飞过此门洞是非常有趣的一件事，飞机的机翼长（是指左右两侧翼尖之间的总长度）为，为保障飞行安全．飞机水平飞行时高度必须控制在多少米以下？ (3)为了造型更加美观，小星决定改造一下门洞，重新设计抛物线，其表达式为当时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在一处土坡上，有一个蔬菜大棚．在坡底点处有高1米的墙，在坡面点处有墙，蔬菜大棚横截面顶部为抛物线形，抛物线的一端固定在点处，另一端固定在点处，其中到坡底的竖直高度米，以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．已知大棚上最高点距坡底的水平距离为6米，竖直高度为3米，米． (1)求蔬菜大棚所在抛物线的函数关系式； (2)求墙的高度； (3)若在大棚顶部抛物线上安装一个电灯，求在竖直方向上，电灯与坡面的最大距离． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．    (1)求抛物线的表达式； (2)分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系．轴是抛物线的对称轴，最高点到地面距离为4米． (1)求出抛物线的解析式． (2)在距离地面米高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 命题点四 投球问题 ►题型01 投球问题 【典例】1．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ． 【典例】2．（2025·辽宁锦州·三模）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在x轴上的点处． (1)求抛物线的解析式； (2)某市男子实心球的得分标准 如表： 得分 掷远（米） 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； (3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点米处有一个身高米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 【变式】1．（2025·辽宁·一模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与小球的运动时间之间的关系式是，现有下列结论：①小球从抛出到落地需要；②小球运动中的高度可以是；③小球运动时的高度小于运动时的高度；④在的时间内，小球的高度随时间增大而增大．其中正确的有（   ） A．①③ B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），王同学站在原点，将乒乓球从1.5米的高度P处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离王同学1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)王同学抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明； (3)若乒乓球投入箱子后立即向右上方弹起，沿与原抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时乒乓球的最大高度达到原最大高度的一半，请判断乒乓球是否弹出箱子，并说明理由． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式； (2)场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性； (3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？ 命题点五 喷水问题 ►题型01 喷水问题 【典例】1．（2025·辽宁营口·模拟预测）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距离O点． 【典例】2．（2025·辽宁丹东·一模）为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛.如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分，第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系．      (1)直接写出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式：______； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点处，并说明理由； (3)若消防员从点前进到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，求请直接写出的值．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图，这组抛物2）线的统一形式为，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则的取值范围为 ． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）在一次学校组织的社会实践活动中，小洛看到农田里安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线（如图1），他发现这种喷枪射程是可调节的，且在一定的调节范围内喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一组相关数据，通过研究发现，以地面为轴，以喷枪所在直线为轴，建立平面直角坐标系（如图2所示），设水流的最高点到地面的距离为，水流的最高点与喷枪的水平距离为，且满足．    请解答下列问题： (1)该喷枪的出水口到地面的距离为______m； (2)当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，求水流的最高点到地面的距离； (3)在（2）的条件下，请计算水流的射程约为多少米（精确到，参考数据）． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图1，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，若喷水口上升到P处，水线落地点为B，记长度为h． (1)已知．若喷水口在P处，，． ①求水线最高点与点B之间的水平距离； ②求水线的最大高度； ③身高的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与O的水平距离应满足什么条件？请说明理由． (2)在喷水口上升过程中，当时，用含h的式子表示水线的最大高度． 命题点六 图形运动问题 ►题型01 图形运动问题 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在边上移动（不与点B，C重合），连接，过点E作交于点F，设，，则与之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁营口·模拟预测）如图，是等边三角形，，点M从点C出发沿CB方向以的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA方向以的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作交AB于点P，连接MN，NP，作关于直线MP对称的，设运动时间为ts，与重叠部分的面积为，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁锦州·模拟预测）如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，，设，，则关于的函数图象大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   命题点七 其他问题 ►题型01 其他问题 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图（示意图），某跳水运动员进行10m跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．运动员在空中最高处点A的坐标为运动员入水后，运动路线为另一条抛物线，在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数解析式为，且顶点C距水面5m，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），则a的取值范围 ． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图为从游乐场的过山车抽象出来的函数图象，线段是一段平行于轴的水平滑道，，滑道是一段抛物线，最低点，且，滑道是与滑道的形状完全相同，开口方向相反的一段抛物线，其最高点为，点在轴上，．    (1)求抛物线的解析式及线段的长； (2)求抛物线的解析式，当小车（看成点）沿滑道从运动到的过程中，小车距离轴的垂直距离为时，它到出发点的水平距离是多少？ (3)现在需要对滑道部分进行加固，过作支架轴于点，然后建造如图所示的水平支架和竖直支架，求所有支架（虚线部分）长度之和的最大值及此时点的坐标． 【变式】1．（2025·辽宁大连·一模）公司在优化模型改进图片识别的训练时，发现模型正确识别图片的准确率（单位：）和训练天数之间有明显的数学规律．他们通过分析数据，最终确定了二者的函数关系式：． (1)训练到第几天时，模型的准确率最高？最高准确率是多少？ (2)当准确率第一次达到时，训练了多少天？ 【变式】2．（2025·辽宁本溪·二模）某汽车测试机构对一款新型汽车的刹车性能进行测试，发现刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系，并记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间t（单位：s） 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y（单位：m） 0 27 48 63 请根据以上信息，完成下列问题： (1)求y关于t的函数解析式； (2)当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．若驾驶员驾驶该种新型汽车行驶在高速公路上时，发现正前方80m处有一辆出现故障的汽车停在路面上，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到出现故障的汽车？试说明理由． 【变式】3．（2025·辽宁盘锦·二模）同学们在操场上玩跳长绳的游戏，跳长绳时，绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线．如图，正在甩绳的甲、乙两名同学之间的水平距离为米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求出绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式； (2)如果身高为的小明站在之间，当绳子甩到最高处，小明站在距离点的水平距离为时，绳子是否能刚好甩过他的头顶上方？请说明理由； (3)现在老师要举行集体跳长绳比赛，比赛时各队跳绳人，摇绳人，共计人．某班挑选出身高都为的个同学参加跳绳．跳长绳比赛时，采用一路纵队的方式安排学生位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少，那么该班同学以一路纵队的方式站在地面上时，为了能顺利完成比赛（绳子超过头顶），左边第一位同学跑离点的水平距离的取值范围？请说明理由． 突破一 二次函数的实际应用综合 【典例】1．（2025·辽宁盘锦·三模）如图，某数学兴趣小组以楼梯为场景设计的小球弹射实验示意图，楼梯平台宽为3，前方有六个台阶（各拐点均为90°），每个台阶的高为2，宽为2，楼梯平台到x轴距离，从y轴上的点C处向右上方弹射出一个小球P（小球视为点），飞行路线为抛物线，当点P落到台阶后立即弹起，其飞行路线是与L形状相同的抛物线． (1)通过计算判断小球P第一次会落在哪个台阶上； (2)若小球P第二次的落点在台阶中点M上，求小球P第二次飞行路线的解析式； (3)若小球P再次从点M处弹起后落入x轴上一圆柱形小球接收装置（小球落在圆柱形边沿也为接收），接收装置最大截面为矩形，点E横坐标为16，，，求出小球第三次飞行路线的顶点到x轴距离最小值． 【典例】2．（2025·辽宁盘锦·二模）【问题情境】综合与实践小组的同学到医学院参加活动，对、两种药物在注射后几小时内的微量元素的浓度变化情况展开了探究，并以此为课题，研究系列问题． 数据获取：待测量对象注射药物结束时，用微量元素测量仪器测量并记录其微量元素浓度变化情况，直至仪器显示其微量元素浓度持续稳定在某一小范围内（），无较大幅度变化时停止记录，得到注射药物后几小时内的微量元素的浓度变化（单位：）与时间（单位：）的曲线图如下． 【初步探究】 (1)观察图象推断，正常情况下人体的微量元素可能是（　　） A． B． 【问题解决】已知段微量元素的浓度与时间关系的函数图象可近似看作抛物线，且其函数解析式为． (2)求段抛物线的函数解析式； (3)该测量对象注射药物后多久时，微量元素的浓度达到最大值，最大值是多少？ 【拓展应用】 信息1：第二次测量时，该测量对象注射药物，通过测量发现，微量元素的浓度的最大值比注射药物高，且达到最大值的时间比注射药物延长了1小时（已知第二次测量时微量元素的浓度变化曲线仍是抛物线且经过点）． 信息2：注射药物后，微量元素的浓度与时间关系的函数图象可近似看作过点的射线（其中）．若注射药物生效后（），微量元素的浓度高于微量元素的浓度时为药物有效时间，记药物的有效时间为，药物的有效时间为，由于不同的病毒会导致注射药物后微量元素的浓度函数中的值不同，临床上通常比较与的大小进行决策． (4)请帮助综合实践小组的同学求出注射药物后的微量元素的浓度函数，并直接写出当时的值． 【变式】1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）数学活动课上，李老师和同学们一起运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究—】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图象经过原点，求抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，抛物线与轴交于另一点，点是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）同学们在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)求6米材料恰好用完时与的长； (3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决． (1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______； (2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动的高度可以是25m； ③小球运动时的高度大于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边 时，羊圈的面积最大．    3．跳台滑雪是2022年北京冬奥会比赛项目之一．一名参赛运动员起跳后，他的飞行路线可以看作是抛物线的一部分（如图所示），则这名运动员起跳后的最大飞行高度是 m． 4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（    ）      A．   B．       C．   D．   5．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． (1)请直接写出y与x的函数关系式； (2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ (3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 6．某工厂生产种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系．部分数据如下表： 每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 … 月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 … (1)求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）． (2)该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元． ①求：三月份每件产品的成本是多少万元？ ②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元？ 7．多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动．在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可以近似地看成抛物线．阳光体育活动时间，小李和伙伴们一起跳绳．小李与小王分别站在两点摇绳，两位同学的摇绳点高度一致，其他伙伴参与跳绳．已知米，米．当大绳所在平面与地面垂直，且大绳的最低点E与地面刚好接触时，以点A为坐标原点，地面为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求此时抛物线的表达式； (2)若参与跳绳的同学站在点F处，米，当绳位于图中抛物线时，则该同学最低要跳过多少米，才能让绳安全通过？ 8．综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 9．如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系． (1)求抛物线表示的二次函数解析式； (2)通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (3)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 米射门，才能让足球经过点O正上方处． 10．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为hm，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离为d m．当m，m，m时，解答下列问题： (1)①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； ②求出点B的坐标； (2)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d的取值范围． 11．小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为元，这款“中国结”的批发单价（元）与一次批发量（为正整数）（件）之间满足如图所示的函数关系． (1)当时，求与的函数关系式； (2)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付元，求此次批发量； (3)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”（）件，小黄获得的利润为元，当为何值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少？ 12．根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润（千元）与进货量（吨）之间的函数的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润（千元）与进货量（吨）之间的函数的图象如图②所示． （1）分别求出、与之间的函数关系式； （2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共吨，设乙种蔬菜的进货量为吨． ①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和（千元）与（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？ ②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？ 13．根据以下内容，完成问题 探究主题 拱桥水位的变化 呈现问题 某景区有一座抛物线形石拱桥，工作人员需研究水位变化对桥面下水面宽度的影响．测量发现：当拱顶离水面时，水面宽，当水面上涨3m时，水面宽度减少多少? 数学抽象 从实际问题抽象出数学问题为：已知抛物线顶点为，，垂足为，交于点，，，，求． 自主建模 求线段长，需要先求点的坐标，就需要建立平面直角坐标系． 小组展示对比优化 小组一：以顶点为原点，抛物线的对称轴为轴建立如图所示平面直角坐标系． 小组二：以的中点为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系． 小组三：以原水面左侧端点为原点，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． 小组四：以上涨后水面左侧端点为原点，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． 问题解决： (1)选择一种建模思路求出水面上涨，水面宽度减少多少？ (2)把呈现问题中的“当水面上涨时”改为“当水面宽度为时”，水面是下降还是上涨?水位变化是多少? 14．某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 15．【发现问题】 各式各样精致的流水景观成了当下家装的一种时尚，用各种盛水容器可以制作家用流水景观（如图①）．爱思考的小琦用一些高度为的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，如图②．如果在离水面竖直距离的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程，随着的变化而变化．（图中，，，在同一平面内） 【提出问题】 小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）与小孔离水面竖直距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小琦结合实际操作和计算得到下表所示的数据： 小孔离水面竖直距离为 0 1 2 3 4 … 小孔射出水的射程 0 12 16 0 76 144 204 256 然后在平面直角坐标系中，描出表格中与的各对数值所对应的点，得到图③，小琦根据图③中点的分布情况，确定其图象是抛物线的一部分． 【解决问题】 （1）直接写出与的解析式； （2）求出当为何值时，射程有最大值，最大射程是多少？ （3）如图④，在（2）的条件下，如果水流的路线刚好是以小孔的位置为顶点的抛物线的一部分，将一个高度为，底面直径的圆柱体杯子如图摆放，水流能否落在杯口中心位置？通过计算说明理由． 1．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川眉山·中考真题）如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 5．（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 6．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 7．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 8．（2025·湖北武汉·中考真题）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 0 2 3 5 6 … 竖直高度 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 【应用模型】 （1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． （2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． 9．（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 10．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 11．（2025·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 12．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； (3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 13．（2025·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 14．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 15．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第14讲 二次函数的实际应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 19 命题点一 销售利润问题 题型01 销售利润问题 命题点二 面积问题 题型01 面积问题 命题点三 拱桥问题 题型01 拱桥问题 命题点四 投球问题 题型01 投球问题 命题点五 喷水问题 题型01 喷水问题 命题点六 图形运动问题 题型01 图形运动问题 命题点七 其他问题 题型01 其他问题 05·重难突破·思维进阶 67 突破一 二次函数的实际应用综合 06·优题精选·练能提分 82 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 销售利润问题 / / 丹东卷T24 盘锦卷T24 鞍山卷T24 锦州卷T23 营口卷T22 抚顺、葫芦岛卷T23 本溪、铁岭、辽阳卷T23 能根据实际情境从问题中抽象出二次函数模型，利用二次函数的图象与性质解决具体问题。 面积问题 / / 沈阳卷T15 拱桥问题 辽宁省卷 T19 / / 动点图象问题 / / 鞍山卷T8 盘锦卷T10 锦州卷T8 抚顺、葫芦岛卷T10 本溪、铁岭、辽阳卷T10 命题预测 二次函数的实际应用为中考必考题，考查形式以大题和选填题压轴为主，一般需要通过题意建立二次函数模型，利用二次函数的图象与性质解决问题，多为最值问题，注意计算准确及根据题意进行解的取舍。 用二次函数解决实际问题的一般步骤： （1）审：仔细 审题 ，理清 题意 ； （2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的 未知数 ； （3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的 解析式 ； （4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； （5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论。 考点一 销售利润问题 1．（2025·辽宁沈阳·二模）某电商平台助力乡村振兴，采购某村甲品种优质农产品进行销售，将所得全部利润用于资助该村基础建设，打造美丽乡村．具体销售相关信息梳理如下表： 信息项目 甲品种农产品收购价格 运费等相关销售成本 甲种农产品销售价格限定条件 基础数据 18元 2元 不低于22元，不高于 45元 市场调研 经专业团队市场调研发现，每天的销售量y（）与销售价格x（元）之间的函数关系： 【答案】当销售价格为35元时，利润最大为450元 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．设销售利润为w元，然后分和两种情况根据销售利润（销售价格收购价格运费等相关销售成本）销售量列出函数解析式，由函数性质求出最大值． 【详解】解：设销售利润为w元， 当时， ， ∵，， ∴当时，w取得最大值，w的最大值为（元）， 当时， ， ∵，， ∴当时，w取得最大值，w的最大值为450， ∵， ∴当销售价格为35元时，利润最大为450元． 2．（2025·辽宁葫芦岛·一模）某花店老板购入一批进价为10元/束的满天星进行售卖，经市场调研发现：销售单价不低于进价时，日销售量（束）与销售单价（元）是一次函数关系，其部分图象如图所示： (1)求与之间的函数表达式，并写出的取值范围； (2)设该老板每天销售利润为元，求与之间的函数关系式； (3)当满天星的销售价格定为多少元时，该花店销售满天星所获日销售利润为400元． 【答案】(1)，的取值范围为 (2) (3)20元或30元 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二次函数的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握一次函数和二次函数的应用是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法求解即可得；再根据销售单价不低于进价，建立不等式组，解不等式组即可得的取值范围； （2）根据每天销售利润（销售单价进价）日销售量列出函数关系式即可得； （3）令，建立一元二次方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则与之间的函数表达式为． ∵销售单价不低于进价，， ∴， 解得， 答：与之间的函数表达式为，的取值范围为． （2）解：由题意得： ， 答：与之间的函数关系式为． （3）解：令，则， 解得或，均在范围内， 答：当满天星的销售价格定为20元或30元时，该花店销售满天星所获日销售利润为400元． 3．（2025·辽宁锦州·三模）某班同学前往养鹅大户王大伯家开展调研活动．根据王大伯往年的饲养经验，他们发现：饲养A种白鹅获得的利润（万元）与投资金额x（万元）的函数关系式为．饲养B种白鹅获得的利润（万元）与投资金额x（万元）的函数关系式为．画出两函数的图象如图所示． (1)求函数的表达式． (2)王大伯计划明年投资10万元饲养A，B这两种白鹅．根据以往经验，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少？ 【答案】(1)， (2)当均投资万元时，利润最大，最大利润为万元 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是： （1）由图可知，函数的图象均过，代入它们的表达式联立方程组求出即可； （2）设投资（）万元饲养A种白鹅，投资种白鹅的投资为（）万元，用m表示出总利润，再根据二次函数的性质即可求出其最大值． 【详解】（1）解：由图可知，函数的图象均过， ∴ 解得：，， ，； （2）设投资（）万元饲养A种白鹅，则种白鹅的投资为（）万元，由题意得： ， 整理得：， 当时，有最大值，最大值为，此时， ∴当投资万元饲养A种白鹅，则种白鹅的投资也为万元时，可使得利润最大，最大利润为万元． 考点二 面积问题 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键．设，花圃面积为，根据题意得，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，花圃面积为，则， 根据题意，， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为32， 故这个花圃的最大面积是， 故选：C． 2．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：）． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； (2)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)当时，有最大值 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）将与的函数配成顶点式，先求出的取值范围，再根据二次函数的性质求出的最大值． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ∵，对称轴为直线， 当时，有最大值． 3．（2025·辽宁辽阳·模拟预测）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【答案】(1)， (2)自行车车棚的长为，宽为 (3)自行车车棚面积最大可达到，计算见解析 【分析】本题主要考查了用代数式表示式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可解答； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽．另外，一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过8米； （3）根据（1）得到的函数解析式，然后再根据函数解析式求得车棚的最大值即可解答． 【详解】（1）解：∵车棚宽度为， ∴， ∴． 由，解得：． ∴S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：自行车车棚的长为57m，宽为5m． （3）解：自行车车棚面积最大可达到，计算如下： ， ，， 当时，有最大值为：， 自行车车棚面积最大可达到． 考点三 拱桥问题 1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． 2．（2025·辽宁·中考真题）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 【答案】(1) (2)这根材料的长度够用 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）求出点坐标，代入函数解析式，进行求解即可； （2）求出的坐标，进而求出的长，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）由题意，可知：， ∴关于轴对称， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， 故这根材料的长度够用． 3．（2025·辽宁抚顺·二模）利用素材解决问题： 《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽度（如图1），称为跨度，桥面最高点到的距离，称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度，拱高． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 ①如图2，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径．（点为圆心，，交于点，交于点D．） ②设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图3所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式． 任务二 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，，通过计算，我们确定：设计成圆弧型拱桥，货船可以顺利通过．如果设计成抛物线型，货船能否顺利通过？请写出结论并说明理由． 【答案】任务一：①圆弧所在圆的半径为；②抛物线的解析式为； 任务二：货船不能顺利通过抛物线型拱桥，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理的应用，掌握建模的数学思想是解题关键． 任务一：①，设的半径为，利用垂径定理，可得，然后在中利用勾股定理求出即可；②设抛物线的解析式为，代入 点和点即可求出抛物线式； 任务二：在抛物线型拱桥中，把代入，利用求出的值即可判断． 【详解】解：任务一：①设计成圆弧形，设的半径为， ，交于点，交于点 ， 在中， ， 解得：． 答：圆弧所在圆的半径为. ②设计成抛物线型 设抛物线的解析式为， 抛物线经过点和点 解得 抛物线的解析式为. 任务二：货船不能顺利通过抛物线型拱桥．在抛物线型拱桥中 当时，， 货船不能顺利通过抛物线型拱桥. 考点四 图形运动问题 1．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，是直角三角形，．点从点出发，沿方向以的速度向点运动到达点停止运动）；同时点从点出发，沿方向以的速度向点运动到达点停止运动；当其中一个动点到达终点时，则另一个动点也停止运动，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查动点问题中三角形面积的最值求解，解题的关键是用含时间的表达式表示出的底和高，进而得出面积表达式，再根据二次函数性质求最值．先设运动时间为秒，分别表示出、的长度，再根据三角形面积公式得出面积关于的表达式，最后求该表达式的最大值． 【详解】解：点从到运动时间为秒，点从到运动时间为秒， 其中一个动点到达终点，另一个动点也停止运动， ． 已知点速度为，点速度为， 设运动时间为秒，则， ． ， ，且， 当时，有最大值，最大值为． 故选：A． 2．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，在正方形中，，动点从点出发，沿折线运动到点，同时动点从点出发沿折线运动到点，当点和在正方形边上运动时，速度是每秒1个单位长度，当点和在正方形对角线上运动时速度是每秒个单位长度，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（   ）    A．   B．   C．     D．   【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，分类讨论思想的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 分两种情况讨论：点在上，点在上；点在上，点在上；分别求出函数解析式；，即可得到答案． 【详解】解：在正方形中，， ，， ， ， 如图1，点在上，点在上，作于点，   ， ， 当点与点重合时，，则， ，， ， ； 如图2，点在上，点在上，作于点，   ， ，， ， ， ； 故选：B． 3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图1，在中，，，动点从点，出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为．表示与之间关系的图象如图2所示，则当面积时，对应的运动时间的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质. 分别求出，，求出直线的解析式，将代入即可. 【详解】如图， ∵，， ∴ ∵， ∴动点到达点时，动点到达点， 此时， ∴ ∵， ∴的面积降为0时，， ∴ 设直线的解析式为， 将，代入得 解得 ∴直线的解析式为， 当时， 解得： ∴当面积时，对应的运动时间的值是4 故答案为：4 命题点一 销售利润问题 ►题型01 销售利润问题 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·三模）小莹打算自主创业开一家花店，她了解到某种花卉近期售价与日销售量的市场规律保持不变，于是她到附近A，B，C，D，E，5家花卉店对该种花卉的售价与日销售量情况作了市场调查，并记录了如下数据： 花店 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 (1)根据以上信息，求出日销售量与售价之间的一次函数关系式； (2)小莹欲购进进价为15元/盆的该种花卉在当地市场进行销售，在销售该种花卉中， ①当每盆售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ ②考虑到花店新开业，为了吸引顾客，让利于民，小贵打算在销售过程中每天获得400元的利润，应如何定价？ 【答案】(1) (2)①当每盆售价定为30元时，每天获得的利润最大是450元；②元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． （2）根据待定系数法求解； （3）①根据配方法求解； ②根据“”列方程求解． 【详解】（1）解：∵日销售量与售价满足一次函数关系， ∴设售价为x元/盆，日销售量y盆， 直线过点和点， ∴， 解得：， ∴， 答：日销售量与售价之间的一次函数关系式为． （2）解：①设利润为w元，则， 即， ∵， ∴开口向下，对称轴为直线， ∵ ， ∴， ∴符合， 把代入， 答：当每盆售价定为30元时，每天获得的利润最大，最大利润是450元； ②当时 ， ∵让利于民，不符合题意舍去， ． 答：每天获得400元的利润，应定价为25元． 【典例】2．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）某工厂计划投资生产、两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润（万元）与投资量（万元）成正比例关系，如图①所示：产品的利润（万元）与投资量（万元）成顶点在原点的二次函数关系，如图②所示． (1)请直接写出利润与关于投资量的函数关系式______，______； (2)如果工厂以9万元资金投入生产、两种产品，要求产品的投资金额不超过产品的2倍，且不少于3万元，则如何投资该工厂能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)投资A产品3万元，投资B产品6万元时，该工厂能获得最大利润，最大利润是33万元 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式、不等式在实际问题中的应用以及二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设，，分别利用待定系数法求得解析式即可； （2）设投资产品万元，则投资产品万元，根据题意得关于的不等式组，解得的取值范围，根据（1）中的两个函数关系式得出关于的二次函数，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设， 点在该函数的图象上， ， ， ， 设， 点在该函数图象上， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：设投资产品万元，则投资产品万元， 由题意可得： ， 解得：， 该工厂能获得的利润为： ， ∵对称轴为，当时，利润随着的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值是， 投资产品3万元，则投资产品6万元时，该工厂能获取最大利润，最大利润为33万元． 【变式】1．（2025·辽宁盘锦·一模）某公司以元千克的价格收购一批农产品进行销售，经过市场调研发现，销售量y（千克）与售价x（元）之间满足一次函数关系，且当售价为元时，能销售千克；当售价为元时，能销售千克；但售价最高不得超过元． (1)求与之间的函数表达式； (2)若公司增加其他营销手段，销售量将提高到原来的倍，但售价在元的基础上每增加元，需多支付其他费用元，请问售价为多少元，该商家能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价为 元时，获得最大利润，最大利润为 元 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合应用，学会用待定系数法求解一次函数解析式，并将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题． （1）根据题意待定系数法，求解析式，即可求解； （2）设利润为，根据销售量乘以销售价格减去销售成本和其他费用，列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 依题意，得 解得： ∴ （2）解：设利润为，根据题意得， ， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为 答：售价为 元时，获得最大利润，最大利润为 元 【变式】2．（2025·辽宁鞍山·一模）某工厂加工一种产品，其销售价随产品成本的变化而变化，已知该产品的最低成本为40元/千克，且销售价p（元/千克）与产品成本x（元/千克）符合一次函数关系；在产品销售过程中，销售量y（千克）随着销售价p（元/千克）的变化而变化，其函数关系如图所示： (1)请求出y与的函数解析式； (2)请计算当销售价是多少时该工厂可获得最大利润？ 【答案】(1) (2)当销售价为80元时，工厂可获最大利润 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由图形可知销量与价格有两段，所以分两段去讨论，然后比较求解即可． 【详解】（1）解：设函数解析式为， 由题意可得， 解得：， 所求的函数解析式为； （2）设该工厂获得的利润为w， 由，可得， ， 对称轴，且抛物线开口向上，在对称轴左侧，y是随x增大而减小， ， ， ∴当时，可获得最大利润， 由图像可得，当时，， ， ， 随x增大而减小， 当时，可获得最大利润， ， 当销售价为80元时，工厂可获最大利润． 【变式】3．（2025·辽宁铁岭·三模）某商场新购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品比购进4件乙商品费用多60元；购进5件甲商品和2件乙商品总费用为620元． (1)求甲、乙两种商品每件的进价． (2)该商场计划购进甲、乙两种商品共90件，且购进乙商品的件数不少于甲商品件数的2倍．若甲商品按每件160元销售，乙商品按每件90元销售． ①为满足销售完甲、乙两种商品后获得的总利润不低于3300元，则购进甲商品的件数最多为多少件？ ②随着甲商品销量的逐渐增加，以及乙商品销量的逐渐减少，于是总部下达命令：商场要调整销售策略，要求甲商品每件销售利润随销售数量的变化而变化．当购进甲商品n件时，甲每件利润变为元，乙每件利润仍然为30元，求当甲商品购进多少件时，商场获得利润最大？ 【答案】(1)甲商品每件进价为100元，乙商品每件进价为60元 (2)①购进甲商品的件数最多为30件；②当甲商品购进90件时，商场获得利润最大，最大利润为4590元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是： （1）设甲商品的进价是x元/件，乙商品的进价是y元/件，根据“购进3件甲商品比购进4件乙商品费用多60元；购进5件甲商品和2件乙商品总费用为620元”列方程组求解即可； （2）①设购进m件甲商品，则购进件乙商品，根据“购进乙商品的件数不少于甲商品件数的2倍；总利润不低于3300元”列不等式组求解即可； ②设总利润为 W 元，根据总利润=甲的利润+乙的利润求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲商品的进价是x元/件，乙商品的进价是y元/件， 根据题意，得：， 解得， 答：甲商品每件进价为100元，乙商品每件进价为60元； （2）解：①设购进m件甲商品，则购进件乙商品． 根据题意，得：， 解得：， 所以m的最大值为30． 答：购进甲商品的件数最多为30件； ②设总利润为 W 元， 则． ∴． ∵，，，又， ∴开口向下，W有最大值． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 但因为总共购进90件， ∴n的取值范围是． ∵当时，W随n的增大而增大， ∴当时，W的值最大，即 ． 命题点二 面积问题 ►题型01 面积问题 【典例】1．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，一块矩形土地由篱笆围着，并且由一条与边平行的篱笆分开．已知篱笆的总长为（篱笆的厚度忽略不计），当 m时，矩形土地的面积最大．    【答案】50 【分析】设，求出的长度关系，然后求出四边形的面积关系式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设，则， 所以四边形的面积为， ∵，开口向下， ∴当时，S取得最大值为3750平方米， 故答案为：50． 【点睛】本题考查了二次函数函数的实际应用，涉及到二次函数的性质，属于基础题． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开（木栏的占地面积忽略不计），分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米． (1)若苗圃的面积为96平方米，求的值； (2)求当为何值时，苗圃的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)8 (2)当x为米时，苗圃的最大面积为平方米 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式． （1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，即得的长为米；根据题意得，，即可解得x的值； （2）设苗圃的面积为w，，由二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为米， ∴的长为米， 根据题意得，， 解得，或， ∵当时，（不合题意，舍去）； 当时，（符合题意） ∴的值为； （2）解：设苗圃的面积为， ， ∵， ∴， ∵，图象开口向下， ∴当时，w取得最大值，w最大为； 答：当x为米时，苗圃的最大面积为平方米． 【变式】1．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，其中，且．如果新建墙总长15m． (1)设储料场面积为，的长为，则的长为______，的长为______m，与的函数关系式______． (2)当取何值时，才能使储料场的面积最大？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）根据线段的和差关系求出，过A作于H，证明四边形是矩形，得出，，求出，根据等角对等边得出，再根据线段的和差关系求出，最后根据梯形的面积公式求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵新建墙总长15m，的长为， ∴的长为， 过A作于H， ∵， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：由（1）可知： ∵ 抛物线开口向下 抛物线的对称轴为 ∴ 当时，储料场的面积最大． 【变式】2．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，准备在校园里利用长的旧围墙，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为，矩形花园的面积为． (1)求y与x之间的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； (2)矩形花园的面积能否达到？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)函数表达式为，自变量x的取值范围 (2)矩形花园的面积不能达到，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解． （1）设的长为，先表示出边长，进而表示面积，得出关系式，再结合求出自变量x的取值范围； （2）把代入关系式求出x值，注意检验根的合理性； 【详解】（1）解：设的长为，则， ， ∵由题意得：， 解得：； （2）解：当时，， 整理，得：， ∵， ∴方程没有实数根， 所以矩形花园的面积不能达到． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）【项目学习】把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再制用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：，，，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． (1)【类比探究】 当为何值时，有最小值，最小值为多少？ (2)【举一反三】 若代数式；当 时，有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ； (3)【拓展应用】如图，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度58米的棚栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，中间用棚栏隔开，且边上留两个1米宽的小门，设长为米，当为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1)当时，有最小值，最小值3 (2)，大，1 (3)当时，有最大值300 【分析】本题考查了完全平方公式的应用； （1）先配方，再根据求解即可； （2）先计算，根据可得时，作判断即可； （3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则，求出，然后利用配方法求出最大值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，有最小值，最小值3； （2）解：， ∵， ∴， 则，有最大值，这个值是1； （3）解：当时，有最大值300． 理由如下：设的长为米，四边形的面积为，则米，则， ∵， 当时，长方形场地的面积最大，最大值是300平方米． 命题点三 拱桥问题 ►题型01 拱桥问题 【典例】1．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实践活动的调查报告： 活动题目 抛物线的课外实践活动 活动过程 如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量抛物线型拱门的底部跨度，然后将高度为的标杆垂直于所在地面，水平方向移动标杆使标杆顶部恰好与拱门的内壁接触，底部始终在上，再测量出、两点间的距离 拱门示意图 说明：以所在直线为轴，经过中点的垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 测量数据 ，， 任务（1） 求该抛物线型拱门的最高点到地面的距离； 任务（2） 要在该抛物线型拱门内壁距离地面高的两侧各安装一盏夜晚照明灯（大小忽略不计），求两盏灯的水平距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法解抛物线的解析式，熟练掌握二次函数的相关知识是解题关键． （1）由题意可设该抛物线表达式为，、、对称轴为轴，分别代入，解二元一次方程组，求得抛物线的解析式为，即可求解； （2）将代入抛物线的解析式，解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：任务（1）：由题意可得：点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为轴． 设该抛物线型拱门的函数表达式为（、为常数，）， 将，代入，得， 解得， 该抛物线型拱门的函数表达式为， 当时，， 该抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 任务（2）：令，得， 解得，， ， 两盏灯的水平距离为． 【典例】2．（2025·辽宁葫芦岛·二模）【提出问题】 小星学习二次函数后，查阅资料发现其中一个抛物线形门洞，门洞内的地面宽度为两侧距地面高处各有一盏灯．两灯间的水平距离为，未发现水泥门洞高度．他想知道这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米． 【分析问题】 数形结合思想是解决问题的重要思想．小星想到建立适当的平面直角坐标系．通过数据求出二次函数的表达式．利用表达式可以求得这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米． 【解决问题】 (1)小星根据二次函数图象的性质建立了如图所示的平面直角坐标系． ①求出抛物线的函数表达式； ②这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米？ (2)小星学习小组的小红发现，如果她家遥控飞机模型（如图）能飞过此门洞是非常有趣的一件事，飞机的机翼长（是指左右两侧翼尖之间的总长度）为，为保障飞行安全．飞机水平飞行时高度必须控制在多少米以下？ (3)为了造型更加美观，小星决定改造一下门洞，重新设计抛物线，其表达式为当时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围． 【答案】(1)①；②9米 (2)米以下 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）①由抛物线的对称性可知对称轴为y轴，点，设这条抛物线的解析式为，根据待定系数法即可求解； ②将代入中，求出值，即可求解； （2）由对称性可知机翼一侧的长为米，将代入中，求出值，即可求解； （3）由题意得，新抛物线的对称轴为直线，根据抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的y值越大，反之抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的y值越小．分情况讨论：①当时， ②当时，分别求解即可； 【详解】（1）①由抛物线的对称性可知对称轴为y轴，点， 设这条抛物线的解析式为， 将B，D代入得， 解得， 设这条抛物线的解析式为； ②将代入中，， 答：这个门洞内部顶端离底面的距离为9米． （2）由对称性可知机翼一侧的长为米， 所以将代入中，， 答：飞机飞行时高度必须控制在米以下． （3）由题意得，新抛物线的对称轴为直线， ，抛物线开口向下， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的y值越大，反之抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的y值越小． 分情况讨论： ①当时，y的最小值在处取得，最小值为， 由题意，得，解得， ∴b的取值范围为， ②当时， y的最小值在处取得，最小值为， 由题意，得， 解得， ∴b的取值范围为， 综上所述，或， ∴b的取值范围为：． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在一处土坡上，有一个蔬菜大棚．在坡底点处有高1米的墙，在坡面点处有墙，蔬菜大棚横截面顶部为抛物线形，抛物线的一端固定在点处，另一端固定在点处，其中到坡底的竖直高度米，以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．已知大棚上最高点距坡底的水平距离为6米，竖直高度为3米，米． (1)求蔬菜大棚所在抛物线的函数关系式； (2)求墙的高度； (3)若在大棚顶部抛物线上安装一个电灯，求在竖直方向上，电灯与坡面的最大距离． 【答案】(1)蔬菜大棚所在抛物线的函数关系式为 (2)墙的高度为米 (3)电灯与坡面的最大距离为米 【分析】 （1）根据顶点，设抛物线的顶点式，将，代入，即可求解， （2）在中，令，求出点坐标，根据，即可求解， （3）将点，代入，求出直线函数表达式，设在大鹏顶部抛物线上安装点灯的点为，解出的最大值，即可求解， 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：理解题意，用待定系数法求出函数解析式． 【详解】（1）解：根据已知得：，顶点， 设所在抛物线的函数关系式为：，解得：， ∴， 故答案为：蔬菜大棚所在抛物线的函数关系式为， （2）解：在中，令得：， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 故答案为：墙的高度为米， （3）解：由已知得：， 设直线函数表达式为，则，解得：， ∴直线函数表达式为， 设在大鹏顶部抛物线上安装点灯的点为， 则点灯与坡面的距离为：， ∵， ∴当时，取得最大值， 即电灯与坡面的最大距离为米． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．    (1)求抛物线的表达式； (2)分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离． 【答案】(1) (2)10分米 【分析】（1）待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）写出直线解析式，求出与抛物线的交点坐标F，根据抛物线的对称性计算出点E坐标，利用横坐标之差计算线段长． 【详解】（1）解：根据题意，点，，， 设抛物线解析式为：，将坐标代入解析式得：， 解得：， 抛物线解析式为：． （2）设直线解析式为，将坐标代入得，，解得， ∴直线解析式为：， 联立函数解析式：， 解得：，或， ∴点F坐标为； 抛物线的对称轴是y轴， ∴点E的坐标为， ∴（分米）． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，求解二次函数与正比例函数的交点坐标，熟练掌握二次函数的对称性是解答本题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系．轴是抛物线的对称轴，最高点到地面距离为4米． (1)求出抛物线的解析式． (2)在距离地面米高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【答案】(1) (2)米 (3)能通过，见解析 【分析】(1)根据题意可以设出抛物线的顶点式，然后根据题目中的信息可以求得抛物线的解析式； (2)把代入解析式，即可求得； (3)根据题意可以求得当x=1.2时的y的值然后与3.6比较，即可解答本题． 【详解】（1）解：最高点到地面距离为4米， 米，点E为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为y轴， 设抛物线的解析式为， 四边形ABCD是矩形， ， 又， 四边形BCOF是矩形， 米， (米)， 点E的纵坐标为1， ， ， 又米， 点C的坐标为(2,0)， 把点C的坐标代入解析式，得， 解得， 故抛物线的解析式为； （2）解：把代入解析式， 得， 解得，， 故在距离地面米高处，隧道的宽度是(米)； （3）解：这辆货运卡车能通过该隧道； 当x=1.2时，， ， 这辆货运卡车能通过该隧道． 【点睛】本题考查二次函数的应用，利用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是明确题，找出所求问题需要的条件． 命题点四 投球问题 ►题型01 投球问题 【典例】1．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离． 【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为． 故答案为： 【典例】2．（2025·辽宁锦州·三模）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在x轴上的点处． (1)求抛物线的解析式； (2)某市男子实心球的得分标准 如表： 得分 掷远（米） 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； (3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点米处有一个身高米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 【答案】(1) (2)小强在这次训练中的成绩为米，小强的得分是分 (3)有危险，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用待定系数法求解析式是关键． （1）依据题意，设二次函数解析式为顶点式，即为，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）依据题意，令时，求出点的坐标，进行比较即可求解； （3）依据题意，当 时，代入计算即可求解． 【详解】（1）解:由题意可得，抛物线的顶点的坐标为 设该抛物线的解析式为 抛物线经过点 解得， 该抛物线的解析式为 （2）解:当时， 解得 点在轴的正半轴 舍去 ，即小强在这次训练中的成绩为米 ∴小强的得分是90分 （3）解:有危险;理由如下: 把代入得 ∵ ∴该小朋友有危险. 【变式】1．（2025·辽宁·一模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与小球的运动时间之间的关系式是，现有下列结论：①小球从抛出到落地需要；②小球运动中的高度可以是；③小球运动时的高度小于运动时的高度；④在的时间内，小球的高度随时间增大而增大．其中正确的有（   ） A．①③ B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的运用，掌握二次函数图象的性质，顶点坐标的计算，函数值的计算是解题的关键． 根据时，可得，可判定结论①；根据二次函数的顶点坐标的计算，可判定结论②；把运动时的高度，运动时的高度计算出来比较即可判定结论③；根据函数图象开口向下，顶点坐标为即可判断结论④，由此即可求解． 【详解】解：小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是， 令时，， 解得，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴顶点的横坐标为，纵坐标为，即顶点坐标为， 当时间为时，小球运动的最高高度为，故②正确； 当运动时，小球的高度为， 当运动时，小球的高度为， ∵， ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； ∵， ∴函数的图象开口向下， ∵顶点坐标为， ∴在的时间内，小球的高度随时间增大而增大， 综上所述，正确的有①②④， 故选：C ． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），王同学站在原点，将乒乓球从1.5米的高度P处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离王同学1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)王同学抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明； (3)若乒乓球投入箱子后立即向右上方弹起，沿与原抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时乒乓球的最大高度达到原最大高度的一半，请判断乒乓球是否弹出箱子，并说明理由． 【答案】(1) (2)能，见解析 (3)乒乓球不能弹出箱子，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中坐标问题，然后利用坐标数值关系反推实际问题． （1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）只要判断出乒乓球在运行中，高于，并落在之间即可； （3）依题意，设乒乓球弹出后的抛物线解析式为，利用待定系数法求得值，并求得当时，的值，即可判断． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为，即 （2）解：能，理由如下： 当时，， 当时，， 解得（舍去），， ∴乒乓球在运行中，高于，并落在的中点处， ∴王同学抛出的乒乓球能投入箱子； （3）解：乒乓球不能弹出箱子．理由如下： 依题意，设乒乓球弹出后的抛物线解析式为， ∵抛物线的图象经过点， ∴， 解得（舍去），， ∴弹出后抛物线解析式为， 当时，， ∴乒乓球不能弹出箱子． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式； (2)场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性； (3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？ 【答案】(1) (2)小丽的判断是正确的，计算过程见解析 (3)张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功 【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，球出手时的坐标为，设抛物线的解析式为，由待定系数法求解即可； （2）求得当时的函数值，与比较即可说明小丽判断的正确性； （3）将代入函数的解析式求得x的值，进而得出答案． 【详解】（1）抛物线顶点坐标为， 设抛物线的解析式为． 把代入，得． ； （2）把代入抛物线解析式 得． ， 此球不能投中，小丽的判断是正确的． （3）当时，， 解之，得或． ，． 答：张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 命题点五 喷水问题 ►题型01 喷水问题 【典例】1．（2025·辽宁营口·模拟预测）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距离O点． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数 在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质 是解题关键． 由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设将代入解析式得出喷头高时，可设 将代入解析式得联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为将代入可求出． 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高时，可设， 将代入解析式得出①； 喷头高时，可设； 将代入解析式得 ②； 联立可求出， 设喷头高为时，水柱落点距点， ∴此时的解析式为 将代入可得 解得 ， 故答案为：． 【典例】2．（2025·辽宁丹东·一模）为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛.如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分，第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系．      (1)直接写出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式：______； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点处，并说明理由； (3)若消防员从点前进到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，求请直接写出的值．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据函数顶点坐标且过，可设抛物线解析式为，再待定系数法求解析式即可求解； （2）利用平移求出消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令，即可求解； （3）利用平移求出消防员到点处时水流所在抛物线的解析式，再结合水流未达到最高点且恰好到达点，即可求解． 【详解】（1）依题意顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 将点代入得，， 解得：， ∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； 故答案为：； （2）不能，理由如下， 依题意，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移2个单位得到 ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式， 令，解得：， 即消防员第二次灭火时水流所在抛物线不过 ∴水流不能到达点处， （3）依题意，消防员从点前进到点（水流从点射出）处，可以看成把第一次抛物线向左平移个单位得到 ∴消防员到点处时水流所在抛物线的解析式 ， ∵水流未达到最高点且恰好到达点处， ∴过点，且对称轴 ∴ 将点代入得， 解得或， ∴ 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图，这组抛物2）线的统一形式为，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件．依据题意，抛物线的顶点在直线上可得的值，根据喷出的抛物线水线不能到岸边，而出水口离岸边可知其对称轴，可得的范围． 【详解】解：由题意，的顶点为，抛物线的顶点在直线上， ． ． 喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边， ，即：． ． 故答案为：． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）在一次学校组织的社会实践活动中，小洛看到农田里安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线（如图1），他发现这种喷枪射程是可调节的，且在一定的调节范围内喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一组相关数据，通过研究发现，以地面为轴，以喷枪所在直线为轴，建立平面直角坐标系（如图2所示），设水流的最高点到地面的距离为，水流的最高点与喷枪的水平距离为，且满足．    请解答下列问题： (1)该喷枪的出水口到地面的距离为______m； (2)当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，求水流的最高点到地面的距离； (3)在（2）的条件下，请计算水流的射程约为多少米（精确到，参考数据）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用： （1）将代入即可求解； （2）将代入即可求解； （3）根据（2）中结论设出抛物线的顶点式为，将代入求出a的值，再令，求出对应的x的值即可． 【详解】（1）解：将代入，得， 即该喷枪的出水口到地面的距离为， 故答案为：； （2）解：将代入，得， 即水流的最高点到地面的距离为； （3）解：由（2）知，水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为， 此时抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， 解得， ， 当时，， 解得，（负值舍去）， 水流的射程约为． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图1，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，若喷水口上升到P处，水线落地点为B，记长度为h． (1)已知．若喷水口在P处，，． ①求水线最高点与点B之间的水平距离； ②求水线的最大高度； ③身高的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与O的水平距离应满足什么条件？请说明理由． (2)在喷水口上升过程中，当时，用含h的式子表示水线的最大高度． 【答案】(1)①水线最高点与点B之间的水平距离为2米；②水线的最大高度为米；③该点与O的水平距离应小于4米 (2)水线的最大高度是米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的性质． （1）①根据得出抛物线对称轴为直线，即可解答；②根据抛物线对称轴为直线，得出，得出，设，把代入得求出a、b、c的值，进而得出该抛物线的解析式，即可解答；③把代入，求出函数值，结合二次函数的增减性，即可解答； （2）设，则，则抛物线对称轴为直线，，设该抛物线解析式为． ，代入得，推出，即可解答． 【详解】（1）解：①∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴水线最高点与点B之间的水平距离为2米； ②∵抛物线对称轴为直线， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， 设， 把代入得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为， ∵，， ∴当时，y取最大值， ∴水线的最大高度为米； ③把代入得：， 解得：， ∵，抛物线对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴该点与O的水平距离应小于4米； （2）解：设，则， ∴抛物线对称轴为直线，， ∴， 设该抛物线解析式为． ∵， ∴， 设， 把，代入得： ， 得：， ∴， ∴水线的最大高度是米． 命题点六 图形运动问题 ►题型01 图形运动问题 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在边上移动（不与点B，C重合），连接，过点E作交于点F，设，，则与之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键．由，，且为直角三角形，运用勾股定理得出y与x的关系，再判断出函数图象即可． 【详解】解：如图，连接． ∵在矩形中，，， ∴，， ∵，，则，， ∴，，， 又∵为直角三角形， ∴，即， 整理得， 该函数图象是开口向下、顶点坐标是的抛物线， ∵点在边上移动（不与点B，C重合）， ∴该函数图象不包含原点和x轴的交点， 故选：B． 【典例】2．（2025·辽宁营口·模拟预测）如图，是等边三角形，，点M从点C出发沿CB方向以的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA方向以的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作交AB于点P，连接MN，NP，作关于直线MP对称的，设运动时间为ts，与重叠部分的面积为，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出当点落在AB上时，t的值，分或两种情形，分别求出S的解析式，可得结论． 【详解】解：如图1中，当点落在AB上时，取CN的中点T，连接MT． ，，， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ，，， ，是等边三角形， ， ， ， ， 四边形CMPN是平行四边形， ， ， ， 如图2中，当时，过点M作于K，则， ． 如图3中，当时，， 观察图象可知，选项A符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题，等边三角形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题． 【变式】1．（2025·辽宁锦州·模拟预测）如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点与面积的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的性质，掌握动点运用的规律，相似三角形的判定和性质得到的值，正确计算三角形的面积，确定函数关系式，结合图形分析是解题的关键． 运用勾股定理，等面积法得到边上的高，根据点在折线上运动，分类讨论：当点在上时，，即；当点在上时，如图所示，，即；运用相似三角形的判定和性质可得的值，由三角形面积的公式可得关于的函数解析式，结合二次函数图象的性质判定即可求解； 【详解】解：在中，， ∴， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点在上时，，即，， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向上，故A、B选项符合题意，C、D选项不符合题意； 当点在上时，如图所示，，即， ∵， ∴，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向下，故A选项符合题意，B选项不符合题意； 故选：A ． 【变式】2．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°，再分0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°， ∴△ABC，ACD都是等边三角形， ∴∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°． 如图1，当0≤x≤1时，AQ=2x，AP=x， 作PE⊥AB于E， ∴， ∴， 故D选项不正确； 如图2，当1＜x≤2时，CP=2-x，CQ=4-2x，BQ=2x-2， 作PF⊥BC与F，作QH⊥AB于H， ∴， ， ∴， 故B选项不正确； 当2＜x≤3时，CP=x-2，CQ=2x-4， ∴PQ=x-2， 作AG⊥CD于G， ∴， ∴， 故C不正确． 故选：A 【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性质，利用三角函数解三角形等知识，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，，设，，则关于的函数图象大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图形．过作的垂线，根据矩形的性质以及勾股定理，写出关于的表达式从而可以得到图象的形状． 【详解】解：过作于，   四边形为矩形， ， ， ∴， 四边形也是矩形， ，， ， ， 在上，在上， ，， ， 关于的函数图象是开口向上，对称轴为的抛物线． 故选：C． 命题点七 其他问题 ►题型01 其他问题 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图（示意图），某跳水运动员进行10m跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．运动员在空中最高处点A的坐标为运动员入水后，运动路线为另一条抛物线，在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数解析式为，且顶点C距水面5m，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），则a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．依据题意，先求其解析式，再根据条件即可求出的取值范围． 【详解】解：，， 点的坐标为． 点，的坐标分别为，． ， 可设运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为． 又此时抛物线过， ． ． 运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为． 令， ． 或（舍去）． ． 该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为， 当抛物线过点时，顶点为． 此时，把代入，得． 同理，当抛物线过点时，， 由点在之间得的取值范围为． 故答案为：． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图为从游乐场的过山车抽象出来的函数图象，线段是一段平行于轴的水平滑道，，滑道是一段抛物线，最低点，且，滑道是与滑道的形状完全相同，开口方向相反的一段抛物线，其最高点为，点在轴上，．    (1)求抛物线的解析式及线段的长； (2)求抛物线的解析式，当小车（看成点）沿滑道从运动到的过程中，小车距离轴的垂直距离为时，它到出发点的水平距离是多少？ (3)现在需要对滑道部分进行加固，过作支架轴于点，然后建造如图所示的水平支架和竖直支架，求所有支架（虚线部分）长度之和的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)，AB=2 (2)或或 (3)有最大值，此时的坐标为 【分析】（1）根据顶点式设抛物线的解析式为，待定系数法求得抛物线的解析式为，结合题意可得B点纵坐标为，代入求得，即可求解； （2）待定系数法求得抛物线的解析式为，结合题意即可求解； （3）根据顶点式求得顶点坐标，推得，设，则点，推得，，即可求得，根据二次函数的性质即可求得最值． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵轴，， ∴B点纵坐标为，令， 解得：，； ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵抛物线是与抛物线的形状完全相同，开口方向相反， 抛物线的解析式为， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴， 将，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 当小车距离轴的垂直距离为时，即， 解得：， 或， 解得：，（不符题意，舍去） ∴小车到出发点A的水平距离为或或． （3）解：由抛物线，可得顶点， ∴，， 设，则点 则，， ∴所有支架的长度和 化简，得 ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，求二次函数的函数值，二次函数的性质等，熟练掌握二次函数的解析式和性质是解题的关键． 【变式】1．（2025·辽宁大连·一模）公司在优化模型改进图片识别的训练时，发现模型正确识别图片的准确率（单位：）和训练天数之间有明显的数学规律．他们通过分析数据，最终确定了二者的函数关系式：． (1)训练到第几天时，模型的准确率最高？最高准确率是多少？ (2)当准确率第一次达到时，训练了多少天？ 【答案】(1)训练到第8天时，模型的准确率最高，最高准确率 (2)当准确率第一次达到时，训练了天 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据二次函数的最值问题求解即可； （2）根据二次函数与一元二次方程的关系求解即可． 【详解】（1）解： 时，有最大值． 训练到第8天时，模型的准确率最高，最高准确率． （2）解：由题意得时，． 解得，， ∴当准确率第一次达到时，训练了天． 【变式】2．（2025·辽宁本溪·二模）某汽车测试机构对一款新型汽车的刹车性能进行测试，发现刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系，并记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间t（单位：s） 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y（单位：m） 0 27 48 63 请根据以上信息，完成下列问题： (1)求y关于t的函数解析式； (2)当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．若驾驶员驾驶该种新型汽车行驶在高速公路上时，发现正前方80m处有一辆出现故障的汽车停在路面上，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到出现故障的汽车？试说明理由． 【答案】(1) (2)该车在不变道的情况下不会撞到拋锚的车，见解析 【分析】此题考查了二次函数的应用，准确求出函数解析式是关键． （1）设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）由（1）得：，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）由表格可设关于的函数解析式为， ， 解得：， 答：关于的函数解析式为； （2）该车在不变道的情况下不会撞到拋锚的车， 由（1）得：， ， 抛物线开口向下， 对称轴是， 当时，汽车行驶距离最大，此时， 米米. 答：该车在不变道的情况下不会撞到拋锚的车． 【变式】3．（2025·辽宁盘锦·二模）同学们在操场上玩跳长绳的游戏，跳长绳时，绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线．如图，正在甩绳的甲、乙两名同学之间的水平距离为米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求出绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式； (2)如果身高为的小明站在之间，当绳子甩到最高处，小明站在距离点的水平距离为时，绳子是否能刚好甩过他的头顶上方？请说明理由； (3)现在老师要举行集体跳长绳比赛，比赛时各队跳绳人，摇绳人，共计人．某班挑选出身高都为的个同学参加跳绳．跳长绳比赛时，采用一路纵队的方式安排学生位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少，那么该班同学以一路纵队的方式站在地面上时，为了能顺利完成比赛（绳子超过头顶），左边第一位同学跑离点的水平距离的取值范围？请说明理由． 【答案】(1)该抛物线解析式为． (2)绳子不能刚好甩过他的头顶上方． (3)的取值范围是． 【分析】（1）根据题意得出点、点、点的坐标后，代入抛物线的顶点式即可求解函数表达式； （2）代入横坐标计算对应纵坐标，比较即可得解； （3）通过解一元二次方程确定抛物线满足高度的区间，结合队伍长度确定取值范围． 【详解】（1）解：依题得：，，最高点纵坐标为， ，， 绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线， 点是该抛物线的顶点，横坐标应为， ， 设抛物线解析式为， 将代入可得， 该抛物线解析式为． （2）解：依题得，小明所站位置的横坐标为， 将代入抛物线解析式得， 绳子能刚好甩过他的头顶上方， 当绳子甩到最高处，小明站在距离点的水平距离为时，绳子不能刚好甩过他的头顶上方． （3）解：当时，即， 解得，， 可以站立跳绳的距离范围为， 人队伍的总长度为， 左边第一位同学跑离点的水平距离需满足，， 综合可得，的取值范围是． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求函数解析式、二次函数的实际应用、一元二次方程和二次函数综合，解题关键是熟练掌握抛物线的顶点式求解、利用抛物线对称性求解． 突破一 二次函数的实际应用综合 【典例】1．（2025·辽宁盘锦·三模）如图，某数学兴趣小组以楼梯为场景设计的小球弹射实验示意图，楼梯平台宽为3，前方有六个台阶（各拐点均为90°），每个台阶的高为2，宽为2，楼梯平台到x轴距离，从y轴上的点C处向右上方弹射出一个小球P（小球视为点），飞行路线为抛物线，当点P落到台阶后立即弹起，其飞行路线是与L形状相同的抛物线． (1)通过计算判断小球P第一次会落在哪个台阶上； (2)若小球P第二次的落点在台阶中点M上，求小球P第二次飞行路线的解析式； (3)若小球P再次从点M处弹起后落入x轴上一圆柱形小球接收装置（小球落在圆柱形边沿也为接收），接收装置最大截面为矩形，点E横坐标为16，，，求出小球第三次飞行路线的顶点到x轴距离最小值． 【答案】(1)台阶上． (2) (3) 【分析】（1）根据题意，第二个台阶的左端点坐标为，右端点坐标为，计算，时的y值，运用夹逼法确定交点位置． （2）根据（1）得到P的起点坐标为，再次着地左端点横坐标为，纵坐标为，结合台阶宽为2，得到点P的落地点坐标为，设解析式求解即可． （3）根据（2）得到P的起点坐标为，再次着地近地点坐标为，远地点坐标为，设解析式求解即可． 【详解】（1）∵楼梯平台宽为3，每个台阶的高为2，宽为2，， ∴第二个台阶的左端点坐标为，右端点坐标为， 当时，； 当时，； 故与抛物线交点在， 之间， 当时，， 解得（舍去） ∴小球落在第二个台阶上，此时点． （2）根据（1）得到P的起点坐标为，再次着地左端点横坐标为，纵坐标为，结合台阶宽为2，得到点P的落地点坐标为， 设解析式， 得， 解得． 故解析式为． （3）根据（2）得到P的起点坐标为，近地点坐标为， 设解析式， 得， 解得． 故解析式为， 此时，函数的最小值为． 根据（2）得到P的起点坐标为，远地点坐标为， 设解析式， 得， 解得． 故解析式为， 此时，函数的最小值为． ∵， ∴小球第三次飞行路线的顶点到x轴距离最小值是． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，求函数的最值，熟练掌握待定系数法，抛物线的最值是解题的关键． 【典例】2．（2025·辽宁盘锦·二模）【问题情境】综合与实践小组的同学到医学院参加活动，对、两种药物在注射后几小时内的微量元素的浓度变化情况展开了探究，并以此为课题，研究系列问题． 数据获取：待测量对象注射药物结束时，用微量元素测量仪器测量并记录其微量元素浓度变化情况，直至仪器显示其微量元素浓度持续稳定在某一小范围内（），无较大幅度变化时停止记录，得到注射药物后几小时内的微量元素的浓度变化（单位：）与时间（单位：）的曲线图如下． 【初步探究】 (1)观察图象推断，正常情况下人体的微量元素可能是（　　） A． B． 【问题解决】已知段微量元素的浓度与时间关系的函数图象可近似看作抛物线，且其函数解析式为． (2)求段抛物线的函数解析式； (3)该测量对象注射药物后多久时，微量元素的浓度达到最大值，最大值是多少？ 【拓展应用】 信息1：第二次测量时，该测量对象注射药物，通过测量发现，微量元素的浓度的最大值比注射药物高，且达到最大值的时间比注射药物延长了1小时（已知第二次测量时微量元素的浓度变化曲线仍是抛物线且经过点）． 信息2：注射药物后，微量元素的浓度与时间关系的函数图象可近似看作过点的射线（其中）．若注射药物生效后（），微量元素的浓度高于微量元素的浓度时为药物有效时间，记药物的有效时间为，药物的有效时间为，由于不同的病毒会导致注射药物后微量元素的浓度函数中的值不同，临床上通常比较与的大小进行决策． (4)请帮助综合实践小组的同学求出注射药物后的微量元素的浓度函数，并直接写出当时的值． 【答案】(1)B (2) (3)该测量对象注射药物后时，微量元素的浓度达到最大值，最大值是 (4)， 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，理解题意是解题的关键． （1）观察图象即可判断； （2）利用待定系数法即可求解； （3）利用二次函数的性质即可求解； （4）由题意得，当时，取得最大值，最大值为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出的解析式；联立抛物线与射线的解析式，用含的式子表示出，结合求出的值即可解答． 【详解】（1）解：观察图象推断，正常情况下人体的微量元素可能是． 故选：B． （2）解：由图象可得，，， 代入和到，得， 解得：， 段抛物线的函数解析式为． （3）解：由（2）得，， ， 当时，有最大值，最大值为150， 答：该测量对象注射药物后时，微量元素的浓度达到最大值，最大值是． （4）解：由题意得，当时，取得最大值，最大值为， 抛物线的顶点为， 设函数的解析式为， 代入得，， 解得：， 函数的解析式为； 联立， 解得：或， ， 联立， 解得：或， ， ， ， 解得：； 综上所述，，． 【变式】1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）数学活动课上，李老师和同学们一起运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究—】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图象经过原点，求抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，抛物线与轴交于另一点，点是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）同学们在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）过点作轴，交直线于点，求得，，得到，证明为等腰直角三角形，得到，再证明为等腰直角三角形，得到，求出，即可求解； （3）求出右侧幼苗上方轮廓表达式，设，则，则，即可求解． 【详解】解：（1）把点代入中，得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）由（1）可知，抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， 如图，过点作轴，交直线于点， 将代入中，得：， ∴， ∴， ∵直线与坐标轴交于两点， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点是关于对称轴直线的一对对称点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 解得：， ∴； （3）如图： ∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状想再，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓表达式为， 把代入得： ， 解得：， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)求6米材料恰好用完时与的长； (3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 【答案】(1)图见解析， (2)的长为4米，的长为2米 (3)矩形周长的最大值为米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）根据题意以点O为原点建立坐标系，根据垂直平分，得出，根据设抛物线的函数表达式为，将代入求出a的值即可； （2）设点E的坐标为，可得，，，根据求出m的值即可； （3）由矩形周长，即可求解． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， ∵所在直线是的垂直平分线，且， ∴． ∴点B的坐标为， ∵， ∴点P的坐标为， ∵点P是抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：． ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点D，E在抛物线 上， ∴设点E的坐标为， ∵，交y轴于点F， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴． ∴， 根据题息，得， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴． ∴， 答：的长为4米，的长为2米． （3）解：如图矩形灯带为， ，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴， ∴，， 设直线解析式为， 将，代入，得：， 解得， ∴直线解析式为， 同理可得，直线的表达式， 设点、、、， 则矩形周长， 故矩形周长的最大值为米． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决． (1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______； (2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)①此人腾空后的最大高度是米，解析式为；②此人腾空飞出后的落点D在安全范围内，理由见解析 (3)这条钢架的长度为米 【分析】（1）根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，设水滑道所在抛物线的解析式为，将代入，计算求出a的值即可； （2）①根据题意可设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，由抛物线的顶点为，即可得出结果；②由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，令，求出的值，即点的坐标，即可得出结论； （3）根据题意可得点的纵坐标为4，令中，求出符合实际的x值，得到点M的坐标，求出所在直线的解析式为，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，根据这条钢架与平行，设该钢架所在直线的解析式为，由该钢架与水滑道有唯一公共点，联立，根据方程组有唯一解，求出，即该钢架所在直线的解析式为，点H与点O重合，根据，，，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点， 设水滑道所在抛物线的解析式为， 将代入，得：，即， ， 水滑道所在抛物线的解析式为； （2）解：①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称， 则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为， 人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称， ， 人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即， ∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：； 由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：， 令，则，即 或（舍去，不符合题意）， 点， ， ， ， 此人腾空飞出后的落点D在安全范围内； （3）解：根据题意可得点的纵坐标为4， 令，即， （舍去，不符合题意）或， ， 设所在直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 所在直线的解析式为， 如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H， 这条钢架与平行， 设该钢架所在直线的解析式为， 联立，即， 整理得：， 该钢架与水滑道有唯一公共点， ， 即该钢架所在直线的解析式为， 点H与点O重合， ，，， ， 这条钢架的长度为米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法，二次函数的实际应用，一次函数与二次函数交点问题，勾股定理，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想． 1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动的高度可以是25m； ③小球运动时的高度大于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数图象的性质，顶点坐标的计算，函数值的计算是解题的关键． 根据时，解方程，可判定结论①；配方出顶点式，求出最大值，可判定结论②；把运动时的高度，运动时的高度计算出来比较即可判定结论③；由此即可求解． 【详解】解：当时，， 解得：或， ∴小球从抛出到落地需要，正确，故①符合题意； ，由于， ∴当时，小球运动的高度是20m，不可能为，故②错误，不符合题意； 当时，，当时，， 那么小球运动时的高度等于运动时的高度，故③错误，不符合题意， ∴正确的个数为1， 故选：B． 2．如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边 时，羊圈的面积最大．    【答案】15 【分析】设为，则，根据矩形的面积公式可得关于x的二次函数关系式，配方后即可解． 【详解】解：设为，面积为， 由题意可得：， 当时，取得最大值， 即时，羊圈的面积最大， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大面积的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得． 3．跳台滑雪是2022年北京冬奥会比赛项目之一．一名参赛运动员起跳后，他的飞行路线可以看作是抛物线的一部分（如图所示），则这名运动员起跳后的最大飞行高度是 m． 【答案】45 【分析】将抛物线表达式变换为顶点式，确定抛物线的顶点坐标，即可确定运动员起跳后的最大飞行高度． 【详解】解：抛物线， ∴抛物线顶点C的坐标为（15，45）， ∴这名运动员起跳后的最大飞行高度是45m． 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题关键是能够熟练将抛物线表达式由一般式转换为顶点式． 4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（    ）      A．   B．       C．   D．   【答案】A 【分析】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在，，之间三个阶段，用含x的代数式表示出的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可． 【详解】解：菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上， ，， ， ， ，，， 设直线的解析式为，将，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为． 轴， N的横坐标为x， （1）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为， ， ， ， 该段图象为开口向上的抛物线； （2）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中，上的高为， ， 该段图象为直线； （3）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为， 由，可得直线的解析式为， ，， ， ， 该段图象为开口向下的抛物线； 观察四个选项可知，只有选项A满足条件， 故选A． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及坐标与图形，菱形的性质，二次函数、一次函数的应用等知识点，解题的关键是分段求出函数解析式． 5．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． (1)请直接写出y与x的函数关系式； (2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ (3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)6元 (3)当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元 【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点，y与x的函数关系式为，将代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式； （2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可； （3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质， 即可解答． 【详解】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点， 设y与x的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴y与x的函数关系式为， （2）解；根据题意可得：， ∴， 整理得：， 解得：， ∵售价不低于成本价且不超过每千克7元， ∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元； （3）解：设利润为w， ， ∵，函数开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，此时， ∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质． 6．某工厂生产种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系．部分数据如下表： 每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 … 月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 … (1)求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）． (2)该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元． ①求：三月份每件产品的成本是多少万元？ ②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)①20万元；②，四月份最少利润是500万元． 【分析】（1）从表格中任选两组数据，利用待定系数法求解； （2）①利用（1）中结论求出3月份销量，根据利润、销量、成本、售价之间的关系列方程即可；②列关于x的二次函数关系式，结合自变量的取值范围求出函数的最值即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，将，代入，得： ， 解得， y与x的函数关系式为； （2）解：①将代入，得（件）， 设三月份每件产品的成本是a万元， 由题意得， 解得， 即三月份每件产品的成本是20万元； ②四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为， 由题意得：， 则抛物线的对称轴为，且，开口向下， 则时，取得最小值， 此时，， 即四月份最少利润是500万元． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的实际应用，解题的关键是根据利润、销量、成本、售价之间的关系正确列出函数关系式． 7．多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动．在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可以近似地看成抛物线．阳光体育活动时间，小李和伙伴们一起跳绳．小李与小王分别站在两点摇绳，两位同学的摇绳点高度一致，其他伙伴参与跳绳．已知米，米．当大绳所在平面与地面垂直，且大绳的最低点E与地面刚好接触时，以点A为坐标原点，地面为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求此时抛物线的表达式； (2)若参与跳绳的同学站在点F处，米，当绳位于图中抛物线时，则该同学最低要跳过多少米，才能让绳安全通过？ 【答案】(1) (2)该同学最低要跳过米，才能让绳安全通过 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的应用等知识点，掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）依据题意可得：抛物线的顶点E为，从而可设抛物线为，又抛物线过点，将其代入求得a的值即可解答； （2）依据题意可得：F的横坐标为4，从而G的纵坐标即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线的顶点E为，， ∴可设抛物线为． 又∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴抛物线为． （2）解：如图：过F作轴交抛物线与G， 由题意可知，F的横坐标为，则断G的横坐标为4， ∴点G的纵坐标为 ∴该同学最低要跳过米，才能让绳安全通过． 8．综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】(1)15米； (2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 9．如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系． (1)求抛物线表示的二次函数解析式； (2)通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (3)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 米射门，才能让足球经过点O正上方处． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)1 【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法即可求出抛物线表示的二次函数解析式； （2）当时，求出的值再与2.44比较，即可知球能不能射进球门； （3）设小明带球向正后方移动米，则可用含的式子表示移动后的抛物线解析式，把点代入求出得的值，即知当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处． 【详解】（1）， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为， 把点代入得：， 解得， 抛物线的函数解析式为：； （2）当时，， 球不能射进球门． （3）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为：， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点正上方处． 故答案为：1． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． 10．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为hm，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离为d m．当m，m，m时，解答下列问题： (1)①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； ②求出点B的坐标； (2)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d的取值范围． 【答案】(1)①；6m；② (2) 【分析】（1）①设函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，令，求出抛物线与轴的交点坐标，即可得出结论；②利用对称轴得到点的对称点为，得到下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的，即可得到点的坐标； （2）根据，求出点的坐标，利用增减性可得的最大值和最小值，从而得出答案． 【详解】（1）解：①由题意，得是上边缘抛物线的顶点，设． ∵上边缘抛物线过点， ∴，解得， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． 当时，，解得，（舍去）， ∴点C的坐标为， ∴喷出水的最大射程OC为6 m； ②由①知，上边缘抛物线的对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的． 又∵点C的坐标为， ∴点B的坐标为； （2）∵， ∴点F的纵坐标为， ∴， 解得． ∵， ∴． 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，要使，则． ∵当时，y随x的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则． ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴d的最大值为． 由下边缘抛物线可知，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴d的最小值为2． 综上所述，d的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质进行求解，是解题的关键． 11．小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为元，这款“中国结”的批发单价（元）与一次批发量（为正整数）（件）之间满足如图所示的函数关系． (1)当时，求与的函数关系式； (2)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付元，求此次批发量； (3)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”（）件，小黄获得的利润为元，当为何值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)件 (3)当时，小黄获得的利润最大，最大利润为元 【分析】本题主要涉及一次函数的求解、一元二次方程的应用以及二次函数的最大值问题，解题的关键是通过给定的函数图像和条件，逐步求解函数关系式、批发量以及最大利润． （1）根据图像中的两点和，利用待定系数法，求解一次函数的系数和即可； （2）根据支付金额位于元和元之间，确定批发量位于与之间，利用函数关系式，确定，通过方程求解； （3）利润等于收入减去成本，当时，，通过二次函数的顶点式找到的最大值；当时，，利润随增加而增加，求出的最大值；和的最大值作比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：设当时，与的函数关系式为：， 把点和代入解析式得：，， 解得：，， 当时，与的函数关系式为：； （2）由图可知，当时，所付款为（元）， 当时，所付款为（元）， ， 购买数量位于与之间， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：此次批发量为件； （3）①当时，， ， 当时，有最大值，最大值为元； ②当时，批发单价固定，批发量越大，则利润越大， 当时，利润最大，最大利润为元； 综上所述，， 当时，最大，最大利润为元． 12．根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润（千元）与进货量（吨）之间的函数的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润（千元）与进货量（吨）之间的函数的图象如图②所示． （1）分别求出、与之间的函数关系式； （2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共吨，设乙种蔬菜的进货量为吨． ①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和（千元）与（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？ ②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？ 【答案】（1），；（2）①，当乙种蔬菜进货4吨，甲种蔬菜进货6吨，利润之和最大，最大9200元；②乙种蔬菜进货量为吨到吨范围内 【分析】（1）分别设一次函数解析式与二次函数解析式的一般式，再利用待定系数法求解即可； （2）①根据，利用配方法求得二次函数的最值即可解题； ②令①中千元，解析式化为一般式，求得与轴的两个交点，结合二次函数图象与性质解题，从中选择符合题意的范围即可． 【详解】（1）由题意得，设 ， 根据题意得，设，由图知，抛物线经过点，代入得， ； （2）①设乙种蔬菜的进货量为吨， 当，利润之和最大 （元） 答：当乙种蔬菜进货4吨，甲种蔬菜进货6吨，利润之和最大，最大9200元． ② 当时，即， 令 解得，， 因为抛物线开口向下，所以， 答：乙种蔬菜进货量为吨到吨范围内． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合、二次函数与一元二次方程综合，涉及一次函数解析式、二次函数解析式、配方法求最值、二次函数与轴的交点，一元二次方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 13．根据以下内容，完成问题 探究主题 拱桥水位的变化 呈现问题 某景区有一座抛物线形石拱桥，工作人员需研究水位变化对桥面下水面宽度的影响．测量发现：当拱顶离水面时，水面宽，当水面上涨3m时，水面宽度减少多少? 数学抽象 从实际问题抽象出数学问题为：已知抛物线顶点为，，垂足为，交于点，，，，求． 自主建模 求线段长，需要先求点的坐标，就需要建立平面直角坐标系． 小组展示对比优化 小组一：以顶点为原点，抛物线的对称轴为轴建立如图所示平面直角坐标系． 小组二：以的中点为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系． 小组三：以原水面左侧端点为原点，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． 小组四：以上涨后水面左侧端点为原点，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． 问题解决： (1)选择一种建模思路求出水面上涨，水面宽度减少多少？ (2)把呈现问题中的“当水面上涨时”改为“当水面宽度为时”，水面是下降还是上涨?水位变化是多少? 【答案】(1)水面宽度减少值为． (2)故水面下降，水位变化量为． 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的建模（建立平面直角坐标系、求解析式）是解题的关键． （1）针对四个小组的建模思路，均通过建立平面直角坐标系，确定抛物线的顶点或过点坐标，求出抛物线解析式，再根据水面上涨后的纵坐标求出对应水面宽度，进而计算宽度减少的值． （2）根据水面宽度求出对应纵坐标，与原水面纵坐标比较判断水位升降并计算变化量． 【详解】（1）解：小组一建模（以顶点为原点，抛物线对称轴为轴）， 以为原点，抛物线对称轴为轴建立平面直角坐标系，则，原水面距拱顶，故所在直线，，则，． 设抛物线解析式为． ∵ 抛物线过， ∴ ， 解得， ∴ 抛物线解析式为． 水面上涨后，水面所在直线，代入解析式得 ， 解得， ∴ 此时水面宽度． 水面宽度减少值为． （1）小组二建模（以中点为原点，所在直线为轴） 以中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，． 设抛物线解析式为． ∵ 抛物线过， ∴ ， 解得， ∴ 抛物线解析式为． 水面上涨后，，代入解析式得 ， 解得， ∴ 此时水面宽度． 水面宽度减少值为． 小组三建模（以原水面左侧端点为原点，所在直线为轴）， 以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，拱顶． 设抛物线解析式为． ∵ 抛物线过， ∴ ， 解得， ∴ 抛物线解析式为． 水面上涨后，，代入解析式得 ， 解得或， ∴ 此时水面宽度． 水面宽度减少值为． 小组四建模（以上涨后水面左侧端点为原点，所在直线为轴） 以上涨后水面左侧端点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设， ，则 ， ∵原水面距拱顶，故 ∴原水面所在直线，， ∴，． 设抛物线解析式为． ∵ 抛物线过， ∴ ， 解得， ∴ 抛物线解析式为． 又因原水面过，且原抛物线在小组二建模中解析式为，其对称性可知，即． 水面宽度减少值为． （2）解：以小组二坐标系为例，抛物线解析式． 当水面宽度为时，，代入得， 原水面，，故水面下降． 水位变化量为． 14．某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式； （2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可； （3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离． 【详解】（1）解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，， 设第一象限内的抛物线解析式为， 将点代入物线解析式， ， 解得， 第一象限内的抛物线解析式为； （2）解：根据题意，令， 即， 解得，， ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为； （3）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示， ， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， ， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程只有一个根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， 即， 射灯射出的光线与地面成角， ， ， ， ， 光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解直角三角形，一次函数的平移与性质，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式． 15．【发现问题】 各式各样精致的流水景观成了当下家装的一种时尚，用各种盛水容器可以制作家用流水景观（如图①）．爱思考的小琦用一些高度为的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，如图②．如果在离水面竖直距离的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程，随着的变化而变化．（图中，，，在同一平面内） 【提出问题】 小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）与小孔离水面竖直距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小琦结合实际操作和计算得到下表所示的数据： 小孔离水面竖直距离为 0 1 2 3 4 … 小孔射出水的射程 0 12 16 0 76 144 204 256 然后在平面直角坐标系中，描出表格中与的各对数值所对应的点，得到图③，小琦根据图③中点的分布情况，确定其图象是抛物线的一部分． 【解决问题】 （1）直接写出与的解析式； （2）求出当为何值时，射程有最大值，最大射程是多少？ （3）如图④，在（2）的条件下，如果水流的路线刚好是以小孔的位置为顶点的抛物线的一部分，将一个高度为，底面直径的圆柱体杯子如图摆放，水流能否落在杯口中心位置？通过计算说明理由． 【答案】【解决问题】（1） ；（2）时，射程有最大值，最大射程是；（3）水流能落在杯口中心位置 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，运用了待定系数法，二次函数的极值，二次函数的图象与性质等知识，求出水流的抛物线解析式是解题的关键． （1）采用待定系数法即可求解； （2）将写成顶点式，按照二次函数的性质得出的最大值，再求的算术平方根即可； （3）根据（2）中的结论可得N点坐标为：，B点坐标为：，再根据顶点式可得水流的抛物线解析式为：，结合图形可知杯口中心的坐标为：，代入验证即可判断． 【详解】（1）设与的解析式为：， 根据表格数据有：， 解得：， 即：与的解析式为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∴当时，s有最大值． ∴当h为时，射程s有最大值，最大射程是； （3）在（2）中当h为时，射程s有最大值，最大射程是， 即可知N点坐标为：，B点坐标为：， ∵水流的路线刚好是以小孔的位置为顶点的抛物线的一部分， ∴设水流的抛物线解析式为：， 代入B点坐标可得：， 解得：， ∴水流的抛物线解析式为：， ∵杯子的高度为，，， ∴杯口中心的坐标为：， 将代入，可知：水流的抛物线经过点， ∴水流能落在杯口中心位置． 1．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三种情况：点E在上时，点E在上且l与相交时，点E在上且l与相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解． 【详解】解：当点E在上时，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 当点E在上且l与相交时，作，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为直线一部分； 当点E在上且l与相交时，如图， ，，， ， ， ， 此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选A． 【点睛】本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等，求出不同阶段y与x的解析式是解题的关键． 3．（2025·四川眉山·中考真题）如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出，当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出S，据此可判断①；当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，据此可判断②；求出当时，t的值，可得的长，再利用勾股定理求出的长，据此可判断③；可求出P在上时，；函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则，据此可判断④． 【详解】解：由图2可知当点P运动到B点时，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； ∵动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， ∴当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上， ∴此时， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴当时，，故①正确； 当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为，故②错误 在中，当时，解得或， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故③错误； ∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； 点P在上运动时， 函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 4．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 5．（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 【答案】【猜想】：图见解析，一次，二次；【检验】：，，验证见解析；【应用】：最大为 【分析】本题考查一次函数，二次函数的实际应用，正确求出函数解析式，是解题的关键： 猜想：描点，连线，画出函数图象，根据图象形状，判断函数类型即可； 检验：待定系数法求出函数解析式，再代入另外一组数据进行验证即可； 应用：设，由题意，得到，得到，根据二次函数求最值即可． 【详解】解：【猜想】：描点，连线，画图如下： 猜想：与之间的关系可以近似地用一次函数表示，与之间的关系可以近似地用二次函数表示； 故答案为：一次，二次； 【检验】：设，把代入，得， 解得：， ∴， 验证：当时，，符合题意； 设，把点，代入，得， 解得， ∴， 验证：当时，，符合题意； 【应用】：∵，设， 由题意，得：， ∴， ∴当时，最大为； 故最大为． 6．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 7．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 【答案】(1)每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元 (2) 【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解； （2）先根据利润公式求出关于的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元； （2）解：由题意得，， ∵，对称轴为直线，且a为整数， ∴当时，取最大值， 答：当时，每天的利润W最大． 8．（2025·湖北武汉·中考真题）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 0 2 3 5 6 … 竖直高度 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 【应用模型】 （1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． （2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． 【答案】建立模型：；应用模型：（1）不能，理由见解析；（2） 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． 建立模型：将点，代入计算即可得； 应用模型：（1）令，则可得，利用一元二次方程根的判别式进行判断即可得； （2）先求出，再根据当时，；当时，建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：建立模型：将点，代入得：， 解得， 所以与的函数解析式为． 应用模型：（1）令，则， 整理得：， 这个方程根的判别式为，方程没有实数根， 所以羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到． （2）∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变， ∴的值不变，即， ∴改变发球方式后，羽毛球飞行路线对应的抛物线为， ∵发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于， ∴当时，；当时，， ∴， 解得， 所以的取值范围为． 9．（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 【答案】(1)米 (2) (3)米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真研读题干，过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米），即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∴（米）； （2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴； （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米） ∵涉及安全问题， ∴（米）． 10．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线 ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．（2025·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 【答案】(1)y关于x的函数是二次函数，； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先判断出y关于x的函数是二次函数，再利用待定系数法求解即可； （2）先计算出种子自然发芽率为35，令和时，分别求得x的值，再结合图象求解即可． 【详解】（1）解：观察上述各点的分布规律， y关于x的函数是二次函数， 设该二次函数的解析式为， 将，，代入得， ， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴种子自然发芽率为35， ∴当时，， 解得，， 当时，， 解得（舍去），， ∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为． 12．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； (3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可； （3）首先求出，然后由越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）∵当时， ∵点坐标为 ∴ ∴ ∴抛物线的表达式为； （2）不能，理由如下： ∵，点坐标为 ∴ ∴ ∵点的坐标为， ∴ ∴将代入 ∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物； （3）∵正方形， ∴ ∴如图所示， ∵抛物线开口向下 ∴ ∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点） ∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴的取值范围为． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是解题的关键． 13．（2025·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 14．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)能安全通过，见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：能安全通过，理由如下： 如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 15．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； (2)至少需要购进B款纪念品200个 (3)，W的最大值为4500 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，根据购买资金不超过12000元建立不等式求解即可； （3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【详解】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； （3）解：由题意得， ， ∵， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $