2026年中考数学一轮复习 第01讲 实数及其运算【三大考点17大题型】（举一反三）全国通用

第01讲 实数及其运算【练习】 1．（2025·山东·中考真题）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 2．（2025·四川广安·中考真题）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 3．（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是______． 4．（2025·四川遂宁·中考真题）计算：． 5．（2025·四川达州·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式：并把解集表示在数轴上． 6．（2025·四川泸州·中考真题）计算：． 7．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025·西藏山南·三模）在中，，，边上的高为，则面积为_____ 9．（2026·上海虹口·一模）计算：． 10．（2025九年级上·四川成都·专题练习）（1）计算：； （2）解方程：． 11．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）（1）计算： （2）分解因式：． 12．（2025·重庆·模拟预测）计算 ________． 13．（2025·宁夏银川·三模）计算： 14．（2025·四川雅安·二模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 15．（2025·新疆克拉玛依·模拟预测）计算： (1)； (2)． 16．（2025·陕西汉中·一模）对于任意实数a、b，定义新运算，例如：．若，则的值为（    ） A． B．4或 C．5 D．或2 17．（2025·新疆·模拟预测） 计算： (1) ； (2)． 18．（2025·河南·一模）如图，分别过点作x轴的垂线，交的图像于点，交直线于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·北京海淀·模拟预测）甲、乙两同学玩填数游戏，每人各自从左到右依次填写四个实数，如表所示． 所填的四个数满足：从第二个数开始，每一个数都大于或等于前面填写的任意一个数的2倍． （1）若甲同学填写的四个数中，，则整数为______； （2）若甲、乙两位同学各自填写的四个数都是非零整数，且他们所填写的第一个数互为相反数，则这两位同学填写的这八个数之和的最小值为______． 20．（2025·山西临汾·模拟预测）若，则，的值分别为______． 21．（2025·河北·模拟预测）对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数．例如：，，． 请结合上述材料，解决下列问题： (1) ____， _______； (2)若 ，则负整数a的值是______． 22．（2025·浙江·模拟预测）对于正整数n，符号，例如：，，如果，那么 (     ) A． B．1 C． D．2 23．（2025·广东广州·三模）如图，已知点是反比例函数图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图象于点、，交坐标轴于、，且，连接则下列结论：；在点运动过程中，的面积始终不变，面积为；连接，则；存在点，使得．其中正确的结论有______填写所有正确结论的序号 24．（2025·安徽芜湖·三模）数学兴趣小组设计了一个数列生成游戏：对于给定的一列有序数字，每次构造时在数列的末尾添加前一项的两倍与固定常数之和，形成新的一列有序数字例如，初始数列为，，第次构造后得到，，（即，，），第次构造后得到，，，（即，，，），依此类推第次构造后的这列数字的和用表示． (1)观察前几次构造的结果，完成下列问题： 构造次数 构造后的数列 的值 的值 ， ，， ，，， ，，，， ，，，，， ①第次构造后的的值为______；（直接填数字） ②根据上表规律，第次构造后的值是_____；（用含的代数式表示） (2)数学兴趣小组指导老师引导同学们推出了当时的结果，下面是部分分析过程： ，，，， 把上面这个式子的左边和右边分别相加，得， ．（其中表示，，，，这列数中的第个数） 那么如何计算的结果呢？ 不妨令（其中），则，两式左边和右边分别相减得，即， 阅读完上述过程，请直接写出当时______，的结果为______．（用含的代数式表示） 25．（2025·山东聊城·模拟预测）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则，按此规律继续计算，则第2025次“”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 26．（2025·河北邢台·三模）【规定】一列数中任意相邻的三个数满足，则这个数列为“漂亮数列”． 如下结论：①若是“漂亮数列”，则； ②若不论取何值，数列都是“漂亮数列”，则； ③若数列…，…是“漂亮数列”，则． 其中正确的是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 27．（2025·湖北·模拟预测）定义：若满足能被和的最大公因数的平方整除，即为整数，则称为傅里叶数组，其中表示和的最大公因数． 例如：在中，则，所以为傅里叶数组． 已知是1到15（包含1、15）之间的整数，且． 则在所有满足条件的数对中，傅里叶数组的个数为（   ） A．73 B．75 C．82 D．95 28．（2025·重庆·三模）对于一个四位自然数（各数位数字均不为），若千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之差的两倍，则称这样的四位数为“倍差和乐数”．例如：，因为，所以是一个“倍差和乐数”．若将“倍差和乐数”的百位数字与千位数字组成的数记为，个位数字与十位数字组成的数记为，并规定．若是一个“倍差和乐数”，则_______，若一个四位数（均为整数，且，，，．）是一个“倍差和乐数”，且与的差能被整除，则满足条件的的最大值与最小值之差为_______． 29．（2025·重庆·三模）对于任意一个四位正整数，若满足百位数字比千位数字大2，个位数字比十位数字大2．且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“繁花数”．将“繁花数”的千位、个位上的数字交换位置，百位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记．则最大的“繁花数”是______；已知都是“繁花数”，其中，（、、、、，且均为整数），若，且满足是12的倍数，则的值为______． 30．（2025·上海杨浦·模拟预测）①存在数字，使得，则称为虚数 ②若（、为实数），则称为复数 (1)判断：___________复数，___________复数，0___________复数 (2)化简： (3)在复数范围内解方程：． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 实数及其运算【练习】 1．（2025·山东·中考真题）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）2；（2），4 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式化简求值． （1）根据零指数，算术平方根的性质，进行计算即可求解； （2）先根据分式的加减计算括号内的，然后进行乘法进行化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当时，原式． 2．（2025·四川广安·中考真题）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，零指数幂，实数的运算，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，接着去绝对值后计算加减法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， 当时，原式． 3．（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于P的不等式组是解此题的关键．先根据新定义化简关于的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵ ∴关于a的不等式组即 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有3个整数解， ∴整数解为， ∴ 解得： 故答案为：． 4．（2025·四川遂宁·中考真题）计算：． 【答案】3 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，负整数指数幂，化简绝对值，先化简特殊角的三角函数，负整数指数幂，以及化简绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： 5．（2025·四川达州·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式：并把解集表示在数轴上． 【答案】（1）2；（2），数轴见解析 【分析】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式，在数轴上表示解集，涉及零指数幂和绝对值等知识点，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）分别计算零指数幂和有理数的平方以及计算绝对值，再进行加减计算； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤求出解集，再在数轴上表示解集即可． 【详解】（1）解： ； （2）， ， ， ， ， 解得：， ∴原不等式的解为：， 数轴表示为： 6．（2025·四川泸州·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算45度角的正切值，再计算零指数和算术平方根，接着计算乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 7．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确， ②∵， 当时，， 当时，，即，故②不正确； ③不成立，例如，则，故③不正确； ④当即时， 则：， 解得：， ∴； 当，即时， 则：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④正确， 故正确的有①和④，共2个， 故选：B． 8．（2025·西藏山南·三模）在中，，，边上的高为，则面积为_____ 【答案】126或66 【分析】此题分两种情况：为锐角或为钝角，根据、的值，利用勾股定理即可求出的长，利用三角形的面积公式求出结果． 【详解】解：当为锐角时，如图1， 在中， ， 在中， ， ∴， ∴； 当为钝角时（如图2）， 同理可得：，， ∴， ∴， 综上，面积为或． 9．（2026·上海虹口·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查特殊锐角三角函数值的混合运算，原式分别代入特殊锐角三角函数值，再根据实数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 10．（2025九年级上·四川成都·专题练习）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2），． 【分析】本题考查二次根式的化简，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，一元二次方程的解法． （1）先分别处理绝对值、根式、三角函数值，然后合并同类项，即可得出结果． （2）先将方程整理为 的形式，再使用求根公式． 【详解】解：（1）原式； （2）方程整理，得， ， ， 所以，． 11．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）（1）计算： （2）分解因式：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，因式分解-提公因式法、公式法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 12．（2025·重庆·模拟预测）计算 ________． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的混合运算，分别计算各项：为，为，为4，再求和即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 13．（2025·宁夏银川·三模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据有理数的乘方，绝对值，特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 14．（2025·四川雅安·二模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）（2）， 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的混合运算，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数，化简绝对值，计算负指数幂，再算乘法，最后算加减法； （2）先算括号内的加减法，再算乘除法，最后代入求值即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ， 当时， 原式． 15．（2025·新疆克拉玛依·模拟预测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，分式的混合运算； （1）根据特殊角的三角函数值，立方根，化简绝对值，零指数幂，进行计算即可求解； （2）先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，最后化简计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（2025·陕西汉中·一模）对于任意实数a、b，定义新运算，例如：．若，则的值为（    ） A． B．4或 C．5 D．或2 【答案】B 【分析】本题以新运算的形式考查了一元二次方程的解法，正确理解新运算法则、熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 根据新运算法则以及一元二次方程的解法解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， 解得 故选：B． 17．（2025·新疆·模拟预测） 计算： (1) ； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】此题考查了实数的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是关键． （1）先计算零指数幂、绝对值、立方根、算术平方根，再进行加减运算即可； （2）先计算括号内的减法，再计算分式的除法即可． 【详解】（1）解：原式   ； （2）解：原式=   =      =   =    = 18．（2025·河南·一模）如图，分别过点作x轴的垂线，交的图像于点，交直线于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键． 根据的纵坐标与纵坐标的绝对值之和为的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴ ． 故选：B． 19．（2025·北京海淀·模拟预测）甲、乙两同学玩填数游戏，每人各自从左到右依次填写四个实数，如表所示． 所填的四个数满足：从第二个数开始，每一个数都大于或等于前面填写的任意一个数的2倍． （1）若甲同学填写的四个数中，，则整数为______； （2）若甲、乙两位同学各自填写的四个数都是非零整数，且他们所填写的第一个数互为相反数，则这两位同学填写的这八个数之和的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查新定义，求不等式组的解集，列代数式，无理数的估算，整式的加减等知识，理解题中游戏规则是解题的关键． （1）依据题意，可得，从而，且，故，进而可以判断得解； （2）依据题意，设甲填写的四个数为，，，，乙填写的四个数为，，，，再设，则，，，又与互为相反数，则，则，，，结合，，即，继而得到，进而可得，故可判断得解． 【详解】解：（1）由题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： （2）由题意，设甲填写的四个数为，，，，乙填写的四个数为，，，，设（，且为整数），则，，， ∵与互为相反数， ∴，则，，， 又∵，，，， 即，，，， ∴， ∵，，，，，，，都是非零整数， 当时，为最小值， ∴这八个数之和的最小值为． 故答案为：． 20．（2025·山西临汾·模拟预测）若，则，的值分别为______． 【答案】， 【分析】本题考查了配方法的运用及非负数的性质，解题的关键是将原式进行配方．已知等式左边利用完全平方公式变形后，利用非负数的性质求出与的值． 【详解】解：， ，， 解得：， 故答案为：，． 21．（2025·河北·模拟预测）对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数．例如：，，． 请结合上述材料，解决下列问题： (1) ____， _______； (2)若 ，则负整数a的值是______． 【答案】(1)，4 (2) 【分析】本题考查了新定义，运用完全平方公式计算，解一元一次不等式，求不等式的整数解等知识，理解新定义是解题的关键． （1）由新定义即可求解； （2）首先得，则得不等式，解不等式，即可求得负整数a的值． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，4； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 满足条件的负整数为， 故答案为：． 22．（2025·浙江·模拟预测）对于正整数n，符号，例如：，，如果，那么 (     ) A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，涉及有理数的运算，数字类规律等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先确定末尾有4个0，再确定能被9整除，则各个数字之和也能被9整除，即可求解． 【详解】解：在中，的倍数有共4个，因此中，末尾共有4个0，故； ∵中的因数有9， ∴能被9整除，其各位数字之和也能被9整除， ∴是9的倍数，即， ∴， 故选：A． 23．（2025·广东广州·三模）如图，已知点是反比例函数图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图象于点、，交坐标轴于、，且，连接则下列结论：；在点运动过程中，的面积始终不变，面积为；连接，则；存在点，使得．其中正确的结论有______填写所有正确结论的序号 【答案】 【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征用函数的代数式表示出来，并找出点坐标，根据，即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论；根据（1）得出、的坐标，由轴确定点的坐标，由此即可得出、的长度，利用三角形的面积公式即可得出结论；证明即可；假设，根据相似三角形的性质，构建方程求出即可判断． 【详解】解：如图，连接，， ，且在反比例函数的图象上， ， ∵轴，且在反比例函数的图象上， ， 又， ，即， ，故正确． ，， ∵轴， 点的纵坐标为， 点在反比例函数的函数图象上， ，解得， 点， ，， ， 在点运动过程中，面积不变，始终等于，故错误； ， ，， ， ∴， ∴， ∴，故正确， 若， ∴， ， ∵， ， 在点的运动过程中，当时，，故正确， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，反比例函数系数的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键． 24．（2025·安徽芜湖·三模）数学兴趣小组设计了一个数列生成游戏：对于给定的一列有序数字，每次构造时在数列的末尾添加前一项的两倍与固定常数之和，形成新的一列有序数字例如，初始数列为，，第次构造后得到，，（即，，），第次构造后得到，，，（即，，，），依此类推第次构造后的这列数字的和用表示． (1)观察前几次构造的结果，完成下列问题： 构造次数 构造后的数列 的值 的值 ， ，， ，，， ，，，， ，，，，， ①第次构造后的的值为______；（直接填数字） ②根据上表规律，第次构造后的值是_____；（用含的代数式表示） (2)数学兴趣小组指导老师引导同学们推出了当时的结果，下面是部分分析过程： ，，，， 把上面这个式子的左边和右边分别相加，得， ．（其中表示，，，，这列数中的第个数） 那么如何计算的结果呢？ 不妨令（其中），则，两式左边和右边分别相减得，即， 阅读完上述过程，请直接写出当时______，的结果为______．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①；② (2)；． 【分析】本题考查了新定义以及规律的探究，正确理解题意，发现数字间规律是解题的关键． （1）①根据表格中信息，得到第五次构造的数列，得到的值，与表格中的值，得到的结果； ②根据题意，得到，，，，推理出规律为即可； （2）根据数字的变化规律，得到的表达式；把的表达式代入到中，结合表格中给出的，得到的表达式． 【详解】（1）解：①∵根据表格，第五次构造的数列为，，，，，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵，，，，， ∴，，，，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵表示，，，，这列数中的第个数， ∴表示，，，，这列数中的第个数， ∴， 令（其中）， 则， 两式相减，得， 即， 故答案为：； ∵， ∴ ， ∵根据表格， ∴， 故答案为：． 25．（2025·山东聊城·模拟预测）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则，按此规律继续计算，则第2025次“”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握“给什么用什么”是“新定义”解题的基本思路． 计算出时第1，2，3，4，5，6，7次运算的结果，通过计算从第5次开始，结果就只有1和4两个数循环出现，进而观察规律即可得结论． 【详解】解：当， 第1次“”运算的结果是： ， 第2次“”运算的结果是： ， 第3次“”运算的结果是： ， 第4次“”运算的结果是：， 第5次“”运算的结果是，， 第6次“”运算的结果是，， 第7次“”运算的结果是，， … 以此类推可知，从第5次“”运算开始，每两次“”运算为一个循环，运算的结果为1、4依次出现，且当次数为偶数时，结果是4，次数为奇数时，结果是1， ∴第2025次“”运算的结果是1， 故选：A． 26．（2025·河北邢台·三模）【规定】一列数中任意相邻的三个数满足，则这个数列为“漂亮数列”． 如下结论：①若是“漂亮数列”，则； ②若不论取何值，数列都是“漂亮数列”，则； ③若数列…，…是“漂亮数列”，则． 其中正确的是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，整式加减的应用，解题关键是理解新定义运算． 根据“漂亮数列”意义直接解可以判断①； 根据“漂亮数列”意义列出式子求得可以判断②； 根据“漂亮数列”意义列，由得出，代入，求出可以判断③． 【详解】解：①由题意得：； ②数列是“漂亮数列”， ， 不论取何值，数列都是“漂亮数列”， ，解得：， ； ③数列是“漂亮数列”， ， ∴， ， 解得：或−2． ∴正确的是①②， 故选：B． 27．（2025·湖北·模拟预测）定义：若满足能被和的最大公因数的平方整除，即为整数，则称为傅里叶数组，其中表示和的最大公因数． 例如：在中，则，所以为傅里叶数组． 已知是1到15（包含1、15）之间的整数，且． 则在所有满足条件的数对中，傅里叶数组的个数为（   ） A．73 B．75 C．82 D．95 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，分，，……，，一共14种情形，讨论b的值，根据傅里叶数组的定义确定每种情形下的傅里叶数组的个数即可得到答案． 【详解】解：当时，的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为14个； 当时，若b为偶数，则的最大公因数即为2，则此时要满足能被整除时，才符合题意，则有或或，共3个； 当，若b为奇数，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为7个； 当时，若b为3的倍数，则的最大公因数即为3，则此时要满足能被整除时，才符合题意，则有或，共2个； 当时，若b不为3的倍数，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为8个； 当时，若b为4的倍数，则的最大公因数即为4，则此时要满足能被整除时，才符合题意，则有，共1个； 当时，若b为偶数，且b不是4的倍数，则的最大公因数即为2，则此时要满足能被整除时，此时没有符合题意的； 当时，若b为奇数，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为6个； 当时，若b为5的倍数，则的最大公因数即为5，则此时要满足能被整除时，才符合题意，则此时傅里叶数组的个数为1个； 当时，若b不为5的倍数，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为8个； 当时，若b为6的倍数，则的最大公因数即为6，则此时要满足能被整除时，才符合题意，此时没有符合题意的； 当时，若b为奇数且b不能被3整除，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为3个； 当时，若b为奇数且b能被3整除，则的最大公因数即为3，则此时一定能被整除，此时没有符合题意的； 当时，若b为偶数，且b不能被6整除，则的最大公因数即为2，则此时一定能被整除，则或，共2个； 同理当时，此时傅里叶数组的个数为7个； 当时，此时傅里叶数组的个数为4个； 当时，此时傅里叶数组的个数为4个； 当时，此时傅里叶数组的个数为4个； 当时，此时傅里叶数组的个数为4个； 当时，此时傅里叶数组的个数为1个； 当时，此时傅里叶数组的个数为2个； 当时，此时傅里叶数组的个数为1个； 综上所述，一共有个， 故选：C． 28．（2025·重庆·三模）对于一个四位自然数（各数位数字均不为），若千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之差的两倍，则称这样的四位数为“倍差和乐数”．例如：，因为，所以是一个“倍差和乐数”．若将“倍差和乐数”的百位数字与千位数字组成的数记为，个位数字与十位数字组成的数记为，并规定．若是一个“倍差和乐数”，则_______，若一个四位数（均为整数，且，，，．）是一个“倍差和乐数”，且与的差能被整除，则满足条件的的最大值与最小值之差为_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，整式加减的运用，根据新定义可得，即得，同理可得，，即得，可得是的倍数，得到或，进而解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∴ ， ∴， ∵四位数是一个“倍差和乐数”， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵与的差能被整除， ∴是的倍数， ∴或， 当时，，此时，不合，舍去； 当时，，此时，即， 当，，，时，取最大值，最大值为， 当，，，时，取最小值，最小值为， ∴满足条件的的最大值与最小值之差为， 故答案为：，． 29．（2025·重庆·三模）对于任意一个四位正整数，若满足百位数字比千位数字大2，个位数字比十位数字大2．且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“繁花数”．将“繁花数”的千位、个位上的数字交换位置，百位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记．则最大的“繁花数”是______；已知都是“繁花数”，其中，（、、、、，且均为整数），若，且满足是12的倍数，则的值为______． 【答案】 7968 3524 【分析】本题考查了新定义，整式加减的应用，二元一次方程的应用，解题关键是准确理解题意，列出二元一次方程求解．根据“繁花数”的定义即可求出最大的“繁花数”；根据求出和，再根据是12的倍数，求出t的值，根据求出s的值即可． 【详解】解：根据“繁花数”的定义可知千位上的数最大为7，则百位上的数为9， ∵各个数位上的数字均不为零且互不相等， ∴十位上的数最大只能为6，则个位上的数为8，最大的繁花数是7968； ∵s是“繁花数”， ∴，， ； ∵t是“繁花数”， ， ∴， ； ∵是12的倍数，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：7968，3524． 30．（2025·上海杨浦·模拟预测）①存在数字，使得，则称为虚数 ②若（、为实数），则称为复数 (1)判断：___________复数，___________复数，0___________复数 (2)化简： (3)在复数范围内解方程：． 【答案】(1)是；是；是 (2) (3)，， 【分析】本题考查了新定义，特殊角三角函数的运算，多项式乘多项式，理解题中新定义是解题的关键． （1）根据题中复数的定义直接判断即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，然后根据多项式乘多项式的运算法则和去括号，合并同类项即可； （3）设（、为实数），则，根据多项式乘多项式的运算法则和去括号，合并同类项得到，可知，然后由①得到，解得或，最后利用代入法解出、值即可得到答案． 【详解】（1）解：若（、为实数），则称为复数， ，符合定义，是复数；，符合定义，是复数；，符合定义，是复数； 故答案为：是；是；是． （2）解： （3）解：根据题意，设（、为实数）， ， 则， ， ， ； ， 由①得，，解得或， 把代入②，得，解得，此时； 把代入②，得，解得， 此时，解得，此时； 原方程的解为，，． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 实数及其运算（举一反三复习讲义） 【3大考点17大题型】 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 1 [考点一 实数的分类] 3 【题型1 实数的分类】 5 【题型2 实数与数轴】 5 【题型3 实数的大小比较】 6 【题型4 绝对值的几何意义】 7 【题型5 绝对值的非负性】 8 【题型6 无理数的概念】 9 [考点二 实数的运算] 9 【题型7 有理数的加减】 10 【题型8 有理数的乘除】 11 【题型9科学计数法和近似数】 12 【题型10 实数的混合运算】 13 【题型11 实数运算的实际应用】 13 【题型12 与实数运算相关的规律题】 15 【题型13 平方根概念理解】 16 【题型14 算术平方根的非负性】 17 【题型15求一个数的平方根】 18 【题型16求代数式的平方根】 19 【题型17 平方根的应用】 19 特色专项练 20 【新考向：新考法】 20 【新考向：新情境】 21 【新考向：跨学科】 21 中考真题练 22 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 实数是中考数学的基础核心模块，贯穿整个初中数学知识体系，是后续二次根式、函数、几何计算等内容的铺垫，近4年中考命题严格遵循“素养立意”导向，整体难度适中、侧重基础，具体考情总结如下： （一）考查分值 全国各省市中考中，实数部分分值稳定在8～12分，占中考数学总分的4%～6%，属于基础送分模块，是学生必拿分的重点内容，主要分布在选择题、填空题，部分地区会在解答题第一题考查实数混合运算，为后续答题奠定基础。 （二）考查题型 基础题型（占比70%）：选择题、填空题，主要考查实数分类、相反数、绝对值、平方根、立方根的基础概念，以及科学记数法、无理数识别，难度极低，侧重基础知识的识记与简单应用，属于“零失误”必拿分题型； 中档题型（占比25%）：选择题、填空题、解答题（基础问），主要考查无理数估值、实数大小比较、实数混合运算（结合零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值），以及实数与数轴的综合应用，侧重运算能力和推理能力的考查； 创新题型（占比5%）：偶尔出现于填空题、解答题，结合绝对值非负性、实际情境（科技、经济数据）、跨学科融合命题，难度稍高，但核心考点仍围绕实数的概念和运算，侧重考查学生的应用能力和发散思维。 （三）高频考点（2023-2026年重点） 核心基础考点：实数的分类（重点区分无理数，常见类型为开方开不尽的数、π及含π的式子、无限不循环小数）、相反数与绝对值的计算、平方根与立方根的辨析及计算（立方根的唯一性是高频易错点）； 必考考点：科学记数法（兼顾大数、小数，常带“万”“亿”等单位，需注意单位换算）、实数混合运算（步骤规范是得分关键，常结合绝对值、零指数幂、负整数指数幂考查）、无理数估值（判断无理数所在整数范围或求整数部分）； 高频综合考点：实数与数轴的对应关系、实数大小比较（常用作差法、平方法、估值法）、绝对值非负性的应用（常与平方、二次根式结合考查）。 （四）命题趋势（2026年中考预测） 整体导向：保持“基础为主、素养立意”，难度稳定，不会出现偏题、怪题，重点考查学生的基础知识掌握程度和运算规范性，强化“基础得分”意识，契合中考“75%基础题”的命题分布规律； 题型变化：情境化命题增多，科学记数法、实数运算会结合社会热点（如科技成果、经济数据）设计题目，增强数学与实际生活的联系；实数与数轴、绝对值非负性的综合考查频率上升，偶尔会结合几何图形进行简单融合命题； 易错导向：重点考查学生对易混概念的辨析能力，如平方根与立方根的区别、无理数与有理数的判断、科学记数法中单位的忽略问题、实数运算的顺序和符号错误等，贴合学生日常复习中的易错点设计题目，引导教学强化规范训练。 （五）复习建议 1. 夯实基础：熟练掌握实数的核心概念、性质和运算法则，牢记特殊数的平方根、立方根，准确区分易混概念（如平方根与算术平方根、无理数与有理数），确保基础题型不丢分； 2. 强化运算：规范实数混合运算步骤，重点训练含零指数幂、负整数指数幂、绝对值、无理数的混合运算，杜绝运算顺序、符号、单位换算等常见错误； 3. 聚焦高频：重点突破科学记数法、无理数估值、实数与数轴结合等高频考点，结合近年中考真题专项训练，总结解题方法（如无理数估值技巧、实数大小比较的常用方法）； 4. 关注易错：针对性突破复习中的易错点，建立错题本，明确错误原因，避免重复犯错，同时适应情境化、综合化的命题趋势，提升知识应用能力。 [考点一 实数的分类] 1.实数的分类 分法一： 分法二： 2.实数的相关概念 （1）数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 （2）相反数 代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。 一般地，a和-a互为相反数。0的相反数是0。 a =-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a =0。 （3）绝对值 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 即：如果a >0，那么|a|=a； 如果a =0，那么|a|=0； 如果a <0，那么|a|=-a。 a =|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a≥0。 （4）倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数。即：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。 a=所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a =±1。 （5）科学记数法 定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法。小于-10的数也可以类似表示。 用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数。 用科学记数法表示一个绝对值小于1的数（a×10-n）时，n是从小数点后开始到第一个不是0的数为止的数的个数。 （6）近似数 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位。精确到十分位——精确到0.1；精确到百分位——精确到0.01；···。 3.平方根、算术平方根和立方根 平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 4.实数的大小比较 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b是实数， （3）求商比较法：设a、b是两正实数，＞1；=1；1； （4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则； （5）平方法：设a、b是两负实数，则. 【题型1 实数的分类】 【例1】．（2025·河南安阳·模拟预测）下列命题属于假命题的是（   ） A．实数包括正实数，0，负实数 B．实数与数轴上的点是一一对应的 C．实数a的相反数是 D．，，，都属于无理数 【变式1-1】．（2025·河南·模拟预测）下列各数中，属于有理数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】．（2022·上海崇明·二模）下列各数中，无理数是（    ） A． B． C． D．． 【变式1-3】．（19-20七年级下·重庆渝中·期末）下列实数中，无理数为（    ） A． B．0 C． D． 【题型2 实数与数轴】 【例2】．（2025·全国·一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 【变式2-1】．（2025·北京·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】．（2025·宁夏中卫·二模）如图，点在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，则点A表示的数是______． 【变式2-3】．（2025·江苏扬州·三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则____． 【题型3 实数的大小比较】 【例3】．（17-18八年级上·江苏镇江·单元测试）比较大小：______（填“”“ ”“ ”）． 【变式3-1】．（2025·宁夏·模拟预测）比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】．（2025·安徽芜湖·三模）为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得______．（填“>”“<”或“=”） 【变式3-3】．（2025·河南安阳·模拟预测）小亮同学通过学习知道：用一块面积大的纸片不一定能裁出一块面积小的纸片．他有一块面积为，且长与宽之比为的长方形，想裁出一个面积为的圆形，他的想法可行吗？ 思考：小亮想，可以这样做：方法①通过将长方形的宽和圆的直径大小对比……； 也可以这样做：方法②直接用长方形的宽作直径裁圆，和所要的圆面积相比……（取3.14） (1)上面两种方法中正确的方法为_______（填序号）； (2)选择你认为正确的一种或从你认为正确的两种方法中选择一种进行计算，说明小亮的想法是否可行． 【题型4 绝对值的几何意义】 【例4】．（2025·浙江杭州·模拟预测）当取得最小值时，x满足_____ 【变式4-1】．（22-23六年级下·上海静安·期末）若，且，则的值为（  ） A．5或1 B．或 C．5或 D．或1 【变式4-2】．（2025·河北·一模）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x． (1)求点A，B之间的距离； (2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示） ②求的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 【变式4-3】．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 【题型5 绝对值的非负性】 【例5】．（2025·上海·一模）在中，、都是锐角，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）已知关于的方程的两个根分别为． (1)是这个方程的解吗？请说明理由； (2)与是正数还是负数？请说明理由． 【变式5-2】．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）若，且一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是____． 【变式5-3】．（2025·江苏常州·模拟预测）先化简，再求值：，其中x，y满足． 【题型6 无理数的概念】 【例6】．（22-23七年级下·四川南充·月考）在，0，，，，0.2020020002，中，无理数有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式6-1】．（2025·四川广元·一模）有5张卡片，每张卡片上印着、，，0，中的某一个数字，若从中随意抽取两张卡片，两张卡片上数字都是无理数的概率是______． 【变式6-2】．（2025·河南漯河·三模）关于的不等式组，写出一个的负无理数解为________． 【变式6-3】．（2025·黑龙江大庆·二模）下列命题中，真命题有（    ） ①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③无理数都是无限小数 ④过三点有且只有一个圆 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 [考点二 实数的运算] 1.实数的运算法则 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。 加法运算律：①交换律 a+b=b+a； ②结合律 (a+b)+c=a+(b+c)。 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：a -b= a +(-b)。 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。 乘法运算律：①交换律ab=ba；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。 除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：a÷b=a·。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0 的数，都得0。 2.实数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 实数范围内混合运算的顺序：①先乘方开方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。▪▪▪▪ 3.常见的几种实数运算 （1）乘方 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。 如：读作a的n次方（幂），在an中，a叫做底数，n叫做指数。 性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。 （2）零指数幂：a0=1(a≠0). （3）负整数指数幂：a-p=(a≠0，p为正整数). 【题型7 有理数的加减】 【例7】．（2025·四川成都·一模）如图所示，实数a，b在数轴上的对应点分别为点A，B，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】．（24-25七年级上·河南郑州·期中）已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，…依次类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）下面数轴上点分别表示数，，，那么下列运算结果一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】．（2025·江苏盐城·二模）标有1－25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下： ①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位； ②每人使自己所选的座位号数字之和最小； ③座位不能重复选择． (1)如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么3，4，5号座位会被 选择； (2)如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为 ． 【题型8 有理数的乘除】 【例8】．（2025·广西·模拟预测）（1） 计算：； （2） 解方程组： 【变式8-1】．（2025·云南红河·模拟预测）根据材料，完成任务： 问题情境 为了举行羽毛球比赛，学校需要提前购买副羽毛球拍和若干个羽毛球（不少于个）． 素材 羽毛球拍：元副 羽毛球：元个 素材 方案一：每买一副羽毛球拍赠送个羽毛球． 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的九折销售． 任务 若方案一和方案二费用一致，你知道学校购进了多少个羽毛球吗？ 任务 现已知方案一和方案二既可以单独使用，也可以同时使用．若学校需要购进个羽毛球，请为学校设计最省钱的购买方式． 【变式8-2】．（2025·湖南·模拟预测）在一列数：，，，， 中，，，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第 个数是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】．（2025·上海杨浦·模拟预测）新定义：且，，若，则． (1)直接写出答案：； (2)解方程：； (3)证明：． 【题型9科学计数法和近似数】 【例9】．（2025·山东聊城·三模）人工智能给人民的生活带来了很大的便利，体现在生活、工作、医疗等各个方面，手机上人工智能APP品类繁多，其中AIPPT制作软件下载安装763万次，将763万用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】．（2025·青海西宁·二模）据青海省湿地保护管理中心和世界自然基金会公布的调查数据表明，我省湿地总面积的最新数据为公顷，居世界第一，该数据用科学记数法表示为______公顷． 【变式9-2】．（2025·山东·模拟预测）已知一个水分子的直径约为米，勿忘我的花粉直径约为米，用科学记数法表示一个水分子的直径是勿忘我花粉直径的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【变式9-3】．（2021·河北沧州·一模）我国第十四个五年规划和2035年远景目标纲要中阐释了“坚持农业农村优先发展，全面推进乡村振兴”的具体目标：坚持最严格的耕地保护制度，实施高标准农田建设工程，建成10.75亿亩集中连片高标准农田，下列关于10.75亿的说法正确的是（   ） A．10.75亿是精确到亿位 B．10.75亿是精确到十亿位 C．10.75亿用科学记数法表示为，则a=1.075，n=9 D．10.75亿用科学记数法表示为，则a=10.75，n=8 【题型10 实数的混合运算】 【例10】．（2025·辽宁大连·模拟预测）计算： (1) (2) 【变式10-1】．（2025·江苏无锡·模拟预测）（）计算： （）若，求代数式的值． 【变式10-2】．（2025·四川成都·模拟预测）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)解不等式组：． 【变式10-3】．（2025·黑龙江·模拟预测）（1）计算：． （2）分解因式：． 【题型11 实数运算的实际应用】 【例11】．（2020·四川达州·中考真题）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．10 B．89 C．165 D．294 【变式11-1】．（2024·重庆·模拟预测）某队伍需要在一片湖泊边铺地砖建人行道，如图所示，已知在的北偏东方向米处，在的东北方向，且在的正南方向．（参考数据：，） (1)求两点的距离（结果保留根号）； (2)按规定要求，队伍需要在湖边，上铺地砖，预计的总费用不超过元，若平均每平方米地砖的费用为元，人行道的宽度为米，则预计费用是否充足？ 【变式11-2】．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）超速行驶被称为“马路第一杀手”．为了让驾驶员自觉遵守交通规则，公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，如图所示．已知检测点设在距离公路20m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为．已知，．    (1)求B，C之间的距离（结果保留根号）． (2)如果此地限速为，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：，） 【变式11-3】．（2023·四川攀枝花·中考真题）2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然后进行决赛，决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名． (1)本届世界杯分在组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个组分组积分赛对阵表（不要求写对阵时间）． (2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ (3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ 【题型12 与实数运算相关的规律题】 【例12】．（2025·四川广元·一模）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“”，使其满足 (即方程．有一个根为)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行混合运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，，则 _________ 【变式12-1】．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【变式12-2】．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）将一组数：，按如图方式进行排列，则第八行左起第1个数是（　　） A．7 B．8 C． D．4 【变式12-3】．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【题型13 平方根概念理解】 【例13】．（24-25七年级下·山东滨州·月考）下列命题中，真命题有（　　） （1）平方根等于它本身的数只有0； （2）一个数的立方根和算术平方根都等于它本身，则这个数一定是0； （3）27是3的立方根； （4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离； （5）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行； （6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式13-1】．（24-25九年级上·福建泉州·期末）下列事件是必然事件的个数为（   ） 事件1：三条边对应相等的两个三角形全等． 事件2：相似三角形对应边成比例． 事件3：任何实数都有平方根． 事件4：在同一平面内，两条不重合直线的位置关系是平行或相交． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式13-2】．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于A、B、C． (1)求双曲线的解析式； (2)若，点M为双曲线上一点，点N为直线上一点．．且，求点M的坐标； (3)如图2，连接，当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变求其值；若变化说明理由． 【变式13-3】．（22-23七年级下·北京西城·期末）下列命题中，是假命题的是（    ） A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．同旁内角互补，两直线平行 C．如果，，那么 D．负数没有平方根 【题型14 算术平方根的非负性】 【例14】．（2025·广东清远·三模）若与互为相反数，则的值为_____． 【变式14-1】．（2025·贵州黔东南·二模）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A． B．或 C． D．或 【变式14-2】．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，连接．若，满足．平移线段，使点与点重合，点对应点为点． (1)填空： ， ，点的坐标为 ； (2)如图，延长线段至点． ①连接，请利用，，的面积关系，求出，满足的关系式； ②连接，，若的面积为，求的值．预备结论：可用） (3)过点作射线轴，交轴于点，动点从点出发沿射线以每秒个单位的速度向右运动，连接，，交轴于点，设运动时间为秒，的面积为，若，求的取值范围． 【变式14-3】．（2025·山东菏泽·模拟预测）在锐角中，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【题型15求一个数的平方根】 【例15】．（24-25七年级下·四川广元·期末）已知和是某正数m的两个平方根，的立方根为，c是的整数部分． (1)求m的值； (2)求的平方根． 【变式15-1】．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简； (2)若是9的平方根，求此时的值． 【变式15-2】．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【变式15-3】．（2025·江苏盐城·三模）已知实数a，b，c满足，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【题型16求代数式的平方根】 【例16】．（2022·四川绵阳·模拟预测）已知关于x的不等式组的解集是，则______． 【变式16-1】．（19-20七年级上·浙江杭州·期末）关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（    ） A．3 B． C． D． 【变式16-2】．（19-20八年级上·四川成都·期末）已知 、，满足，则的平方根为________． 【变式16-3】．（2018·四川凉山·中考真题）已知一个正数的平方根是3x﹣2和5x+6，则这个数是 __________． 【题型17 平方根的应用】 【例17】．（2018·北京东城·一模）已知关于x的方程． (1)求证：无论实数m取何值时，方程总有实数根； (2)若方程有一个根的平方等于4，求m的值． 【变式17-1】．（2022·安徽安庆·二模）（规律探究）如下图，是由若干个边长为1的小正三角形组成的图形，第（2）个图比第(1)个图多一层，第（3）个图比第（2）个图多一层，依次类推. (1)第（9）个图中阴影三角形的个数为 ；非阴影三角形的个数为 ． (2)第个图形中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是441∶43，求. (3)能否将某一个图形中的所有小三角形重新拼接成一个菱形，如果能，请指出是第几个图形，如果不能说明理由. 【变式17-2】．（17-18七年级下·甘肃庆阳·期末）如果一个正数的平方根为a+1和2a﹣7，则a的值为_____． 【变式17-3】．（11-12七年级下·全国·课后作业）若一个正数的平方根是2a+1和﹣a+2，则a＝_____，这个正数是_____． 特色专项练 【新考向：新考法】 1．（2024·广东·模拟预测）若关于，的方程组与有相同的解． (1)求的值． (2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值． 2．（2025·湖南衡阳·模拟预测）2029全运会花落湖南，数学小组以此为彩头，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“湘约运算”．实数，在数轴上的位置如图所示，例如：．由此“湘约运算”与原代数式之和为（   ） A． B．0 C． D．2 【新考向：新情境】 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）甲、乙两车从十字路口的同一点沿两互相垂直的方向行驶，走过的距离(单位：)  和时间(单位：) 的关系如下表所示： 时间 0.5 3 5.5 8 甲走过的距离 5 30 55 80 乙走过的距离 1.25 15 41.25 80 则第2秒甲、乙两车间的距离d满足（  ） A． B． C． D． 【新考向：跨学科】 1．（2024·湖南·模拟预测）若，则称b是以10为底a的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：．对数在化学中的一个应用为的计算，，表示氢离子的浓度（单位为：），若某种溶液中氢离子的浓度为，则该溶液的约为__________．（参考数据：） 中考真题练 1．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 2．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 3．（2025·山东德州·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 4．（2025·江苏淮安·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组：． 5．（2025·四川巴中·中考真题）（1）计算下列代数式的值．． （2）先化简，再求值．，其中． 6．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 7．（2025·宁夏·中考真题）计算：． 8．（2025·宁夏·中考真题）如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是______(结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)． 9．（2025·贵州·中考真题）（1）计算：； （2）先化简：，再从中选取一个使原式有意义的数代入求值． 10．（2025·辽宁·中考真题）计算： (1)； (2)． 11．（2025·四川成都·中考真题）（1）计算：． （2）解不等式组： 12．（2025·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 14．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 15．（2025·山东威海·中考真题）计算：___________． 16．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为________； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为________． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 实数及其运算（举一反三复习讲义） 【3大考点17大题型】 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 1 [考点一 实数的分类] 3 【题型1 实数的分类】 5 【题型2 实数与数轴】 7 【题型3 实数的大小比较】 9 【题型4 绝对值的几何意义】 12 【题型5 绝对值的非负性】 17 【题型6 无理数的概念】 19 [考点二 实数的运算] 22 【题型7 有理数的加减】 23 【题型8 有理数的乘除】 26 【题型9科学计数法和近似数】 29 【题型10 实数的混合运算】 31 【题型11 实数运算的实际应用】 34 【题型12 与实数运算相关的规律题】 39 【题型13 平方根概念理解】 42 【题型14 算术平方根的非负性】 47 【题型15求一个数的平方根】 52 【题型16求代数式的平方根】 55 【题型17 平方根的应用】 57 特色专项练 60 【新考向：新考法】 60 【新考向：新情境】 62 【新考向：跨学科】 63 中考真题练 64 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 实数是中考数学的基础核心模块，贯穿整个初中数学知识体系，是后续二次根式、函数、几何计算等内容的铺垫，近4年中考命题严格遵循“素养立意”导向，整体难度适中、侧重基础，具体考情总结如下： （一）考查分值 全国各省市中考中，实数部分分值稳定在8～12分，占中考数学总分的4%～6%，属于基础送分模块，是学生必拿分的重点内容，主要分布在选择题、填空题，部分地区会在解答题第一题考查实数混合运算，为后续答题奠定基础。 （二）考查题型 基础题型（占比70%）：选择题、填空题，主要考查实数分类、相反数、绝对值、平方根、立方根的基础概念，以及科学记数法、无理数识别，难度极低，侧重基础知识的识记与简单应用，属于“零失误”必拿分题型； 中档题型（占比25%）：选择题、填空题、解答题（基础问），主要考查无理数估值、实数大小比较、实数混合运算（结合零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值），以及实数与数轴的综合应用，侧重运算能力和推理能力的考查； 创新题型（占比5%）：偶尔出现于填空题、解答题，结合绝对值非负性、实际情境（科技、经济数据）、跨学科融合命题，难度稍高，但核心考点仍围绕实数的概念和运算，侧重考查学生的应用能力和发散思维。 （三）高频考点（2023-2026年重点） 核心基础考点：实数的分类（重点区分无理数，常见类型为开方开不尽的数、π及含π的式子、无限不循环小数）、相反数与绝对值的计算、平方根与立方根的辨析及计算（立方根的唯一性是高频易错点）； 必考考点：科学记数法（兼顾大数、小数，常带“万”“亿”等单位，需注意单位换算）、实数混合运算（步骤规范是得分关键，常结合绝对值、零指数幂、负整数指数幂考查）、无理数估值（判断无理数所在整数范围或求整数部分）； 高频综合考点：实数与数轴的对应关系、实数大小比较（常用作差法、平方法、估值法）、绝对值非负性的应用（常与平方、二次根式结合考查）。 （四）命题趋势（2026年中考预测） 整体导向：保持“基础为主、素养立意”，难度稳定，不会出现偏题、怪题，重点考查学生的基础知识掌握程度和运算规范性，强化“基础得分”意识，契合中考“75%基础题”的命题分布规律； 题型变化：情境化命题增多，科学记数法、实数运算会结合社会热点（如科技成果、经济数据）设计题目，增强数学与实际生活的联系；实数与数轴、绝对值非负性的综合考查频率上升，偶尔会结合几何图形进行简单融合命题； 易错导向：重点考查学生对易混概念的辨析能力，如平方根与立方根的区别、无理数与有理数的判断、科学记数法中单位的忽略问题、实数运算的顺序和符号错误等，贴合学生日常复习中的易错点设计题目，引导教学强化规范训练。 （五）复习建议 1. 夯实基础：熟练掌握实数的核心概念、性质和运算法则，牢记特殊数的平方根、立方根，准确区分易混概念（如平方根与算术平方根、无理数与有理数），确保基础题型不丢分； 2. 强化运算：规范实数混合运算步骤，重点训练含零指数幂、负整数指数幂、绝对值、无理数的混合运算，杜绝运算顺序、符号、单位换算等常见错误； 3. 聚焦高频：重点突破科学记数法、无理数估值、实数与数轴结合等高频考点，结合近年中考真题专项训练，总结解题方法（如无理数估值技巧、实数大小比较的常用方法）； 4. 关注易错：针对性突破复习中的易错点，建立错题本，明确错误原因，避免重复犯错，同时适应情境化、综合化的命题趋势，提升知识应用能力。 [考点一 实数的分类] 1.实数的分类 分法一： 分法二： 2.实数的相关概念 （1）数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 （2）相反数 代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。 一般地，a和-a互为相反数。0的相反数是0。 a =-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a =0。 （3）绝对值 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 即：如果a >0，那么|a|=a； 如果a =0，那么|a|=0； 如果a <0，那么|a|=-a。 a =|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a≥0。 （4）倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数。即：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。 a=所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a =±1。 （5）科学记数法 定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法。小于-10的数也可以类似表示。 用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数。 用科学记数法表示一个绝对值小于1的数（a×10-n）时，n是从小数点后开始到第一个不是0的数为止的数的个数。 （6）近似数 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位。精确到十分位——精确到0.1；精确到百分位——精确到0.01；···。 3.平方根、算术平方根和立方根 平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 4.实数的大小比较 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b是实数， （3）求商比较法：设a、b是两正实数，＞1；=1；1； （4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则； （5）平方法：设a、b是两负实数，则. 【题型1 实数的分类】 【例1】．（2025·河南安阳·模拟预测）下列命题属于假命题的是（   ） A．实数包括正实数，0，负实数 B．实数与数轴上的点是一一对应的 C．实数a的相反数是 D．，，，都属于无理数 【答案】D 【分析】本题考查命题的真假，根据实数的分类，实数与数轴，实数的性质以及无理数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、实数包括正实数，0，负实数，是真命题，不符合题意； B、实数与数轴上的点是一一对应的，是真命题，不符合题意； C、实数a的相反数是，是真命题，不符合题意； D、不是无理数，故该选项是假命题，符合题意； 故选D． 【变式1-1】．（2025·河南·模拟预测）下列各数中，属于有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了实数概念，正确掌握相关定义是解题关键． 直接利用有理数以及无理数的定义分别分析即可得出答案． 【详解】解：A、属于无理数，故A选项不符合题意； B、属于无理数，故B选项不符合题意； C、属于无理数，故C选项不符合题意； D、属于有理数，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】．（2022·上海崇明·二模）下列各数中，无理数是（    ） A． B． C． D．． 【答案】C 【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】、、属于有理数； 属于无理数； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 【变式1-3】．（19-20七年级下·重庆渝中·期末）下列实数中，无理数为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合选项即可作出判断． 【详解】解：A、-1是有理数，此选项错误； B、0是有理数，此选项错误； C、是有理数，此选项错误； D、是无理数，此选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数． 【题型2 实数与数轴】 【例2】．（2025·全国·一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简、绝对值等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，，且，则，再根据二次根式的性质、绝对值化简，然后再计算即可． 【详解】解：由数轴得，，且，则， ． 故选B． 【变式2-1】．（2025·北京·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与实数，不等式的性质，由数轴知，，，，然后逐项排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，， ∴，原选项正确，符合题意； 故选：． 【变式2-2】．（2025·宁夏中卫·二模）如图，点在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，则点A表示的数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式． 先根据线段中点的定义，求出，设点表示的数为，再根据两点间的距离，列出关于的方程，解方程求出即可． 【详解】解：是线段的中点，， ， 设点表示的数是， ， ， 或（不合题意舍去）， 点表示的数是：， 故答案为：． 【变式2-3】．（2025·江苏扬州·三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则____． 【答案】/ 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，如图，先计算，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∵点A表示的数为，点B表示的数为b， ∴， 故答案为：． 【题型3 实数的大小比较】 【例3】．（17-18八年级上·江苏镇江·单元测试）比较大小：______（填“”“ ”“ ”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较和无理数的估算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 通过比较分子的大小来确定分数的大小，由于分母相同，只需比较分子和1的大小，然后即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 【变式3-1】．（2025·宁夏·模拟预测）比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较．熟练掌握无理数大小的估算，实数的大小比较法则，是解题的关键． 根据无理数的估算方法以及被开方数的大小逐项进行分析即可得． 【详解】A．∵， ∴，A正确，故该选项不符合题意； B．∵， ∴， ∴，即，B不正确，故该选项符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∴，C正确，故该选项不符合题意； D．∵， ∴， 即，D正确，故该选项不符合题意． 故选：B． 【变式3-2】．（2025·安徽芜湖·三模）为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，勾股定理的应用，以及三角形的三边的关系，解答此题的关键是要明确：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 首先根据，在上且，求出的值，然后在中，求出的值，在中，求出的值，在根据三角形的三边的关系，判断出与的大小即可． 【详解】解：，， 在中，， ，， 在中，， ，在上且， ， 在中，， ． 故答案为：． 【变式3-3】．（2025·河南安阳·模拟预测）小亮同学通过学习知道：用一块面积大的纸片不一定能裁出一块面积小的纸片．他有一块面积为，且长与宽之比为的长方形，想裁出一个面积为的圆形，他的想法可行吗？ 思考：小亮想，可以这样做：方法①通过将长方形的宽和圆的直径大小对比……； 也可以这样做：方法②直接用长方形的宽作直径裁圆，和所要的圆面积相比……（取3.14） (1)上面两种方法中正确的方法为_______（填序号）； (2)选择你认为正确的一种或从你认为正确的两种方法中选择一种进行计算，说明小亮的想法是否可行． 【答案】(1)①② (2)见解析 【分析】本题考查了平方根、算术平方根的应用，实数的大小比较等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意分析即可求解； （2）设长方形的长为，则它的宽为，根据题意得，解得（舍负），那么长方形的宽为，分别计算方法①和方法②即可． 【详解】（1）解：由题意得，两种方法均正确， 故答案为：①②； （2）解：选择①，他的想法可行，理由如下： 设长方形的长为，则它的宽为，根据题意得． ， 解得（舍负）． 所以长方形的宽为． 设圆的半径为，根据题意得，， 解得， 所以该圆的直径． 因为，， 所以他的想法可行． 或选择②：他的想法可行，理由为： 设长方形的长为，则它的宽为，根据题意得． ． 解得（舍负）， 所以长方形的宽为． 以为直径的圆的面积为． 因为，所以他的想法可行． 【题型4 绝对值的几何意义】 【例4】．（2025·浙江杭州·模拟预测）当取得最小值时，x满足_____ 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义．通过求每个绝对值表达式的零点，再由根据绝对值的意义可得表示数x的点到表示数的六个点距离之和，从而得到当x取这些点中间的值时，距离之和最小，即可求解． 【详解】解：令得：， 令得：， 令得：， 令得：， 令得：， 令得：， 根据绝对值的意义得：表示数x的点到表示数的六个点距离之和， ∴当x取这些点中间的值时，距离之和最小， 把这六个数按从小到大排序为：，位于中间的两个数为， ∴当 时，原式取得最小值． 故答案为 ． 【变式4-1】．（22-23六年级下·上海静安·期末）若，且，则的值为（  ） A．5或1 B．或 C．5或 D．或1 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的加法运算，根据绝对值的意义结合，得到，再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴或； 故选A． 【变式4-2】．（2025·河北·一模）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x． (1)求点A，B之间的距离； (2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示） ②求的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 【答案】(1)6 (2)①；；②14 (3)的最小值为14，最大值为22 【分析】本题是三角形综合题，考查了实数与数轴上点的对应关系、数轴上两点间的距离公式，掌握其公式是解决此题的关键； （1）根据两点距离公式可得答案； （2）①由两点距离公式可得答案；②由①可知表示的意义是点到点，的距离之和，即可求解； （3）的几何意义是表示有理数的点到，，6所对应的三点距离之和，即可求解． 【详解】（1）解：点，之间的距离； （2）解：①点，之间的距离为，点，之间的距离为； 故答案为：；； ②由①可知表示的意义是点到点，的距离之和， 当在数轴上表示的点在表示和（包括和的点之间时，取得最小值，最小值为14； （3）解：的几何意义是表示有理数的点到，，6所对应的三点距离之和， 当时，的值最小，最小值为14； 当时，的值最大，最大值为22； 的最小值为14，最大值为22． 【变式4-3】．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 【答案】(1)a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； (2)a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；图见解析；2；2． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义． （1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干表示出的几何意义，仿照题干结合数轴作答即可． 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和， 当a在2和5之间时（包括2，5上），a到2和5的距离之和等于3，此时取得最小值是3； 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； （2）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和， ①如图，a在1的左边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； ②如图，a在1上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ③如图，a在1的右边2的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ④如图，a在2上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于2； ⑤如图，a在2的右边3的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ⑥如图，a在3上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ⑦如图，a在3的右边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； 可知的最小值是2，最小值时a的值为2，图如下： 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；2；2． 【题型5 绝对值的非负性】 【例5】．（2025·上海·一模）在中，、都是锐角，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键． 利用绝对值和平方的非负性，得到和的值，再根据特殊角的三角函数值得到和的度数，最后利用三角形的内角和定理求即可． 【详解】解：∵，且绝对值和平方均非负， ∴且， ∴，， ∵、都是锐角， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式5-1】．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）已知关于的方程的两个根分别为． (1)是这个方程的解吗？请说明理由； (2)与是正数还是负数？请说明理由． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)负数，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的含义，根与系数的关系以及绝对值和算术平方根的非负性，解题的关键是理解方程根的含义以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据方程解的含义，将代入方程，验证是否成立即可； （2）根据根与系数的关系，得到，，判断它们的符号从而确定与的符号． 【详解】（1）解：不是，理由如下： 根据方根解的含义，将代入方程可得，， ∵，， ∴， 显然不成立， ∴不是这个方程的解； （2）解：与是负数，理由如下： 关于的方程的两个根分别为， 由根与系数的关系可得，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴与是负数． 【变式5-2】．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）若，且一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是____． 【答案】且 【分析】本题主要考查了非负数的性质、根的判别式．在解答此题时，注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零． 根据非负数的性质求出 a 和 b 的值，再根据一元二次方程有两个实数根的条件，即判别式非负且二次项系数不为零，求解 k 的取值范围. 【详解】解：由，得 且， ∴， 则代入方程得， ∵方程有两个实数根， ∴判别式且； 解得 且 ， 故答案为： 且 . 【变式5-3】．（2025·江苏常州·模拟预测）先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，绝对值的非负性．利用完全平方公式和平方差公式进行化简可得化简结果，根据绝对值的非负性和平方的非负性求解的值，然后代入求解即可． 【详解】解： ∵，即， ∴，， 解得，， 将，，代入原式． 【题型6 无理数的概念】 【例6】．（22-23七年级下·四川南充·月考）在，0，，，，0.2020020002，中，无理数有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，立方根，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为无理数。 【详解】解：：分数，属于有理数， ：整数，属于有理数， ：非完全平方数的平方根，属于无理数， ：无限不循环小数，属于无理数， ：立方根结果为，属于有理数， ：有限小数，属于有理数， ：分数，属于有理数， 综上，无理数有和，共2个， 故选：C． 【变式6-1】．（2025·四川广元·一模）有5张卡片，每张卡片上印着、，，0，中的某一个数字，若从中随意抽取两张卡片，两张卡片上数字都是无理数的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，首先识别卡片中的无理数，然后列树状图计算概率即可． 【详解】卡片上的数字分别为：（有理数）、（有理数）、（无理数）、0（有理数）、（无理数）． 其中无理数有2个，即和， 则抽取卡片的情况如下： 从中随意抽取两张卡片共20种，两张卡片上数字都是无理数的有2种， 因此，概率为． 故答案为：． 【变式6-2】．（2025·河南漯河·三模）关于的不等式组，写出一个的负无理数解为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了实数的定义，一元一次不等式组的解，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 运算出不等式组的解集后解答即可． 【详解】解： 由可得：， 由可得：， ∴不等式的解集为：， ∴的负无理数解可为：（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式6-3】．（2025·黑龙江大庆·二模）下列命题中，真命题有（    ） ①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③无理数都是无限小数 ④过三点有且只有一个圆 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了真假命题的判断，圆的基本概念辨析，无理数概念，根据相关性质和定理进行判断即可． 【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角不一定相等，原命题是假命题； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题； ③无理数都是无限小数，是真命题； ④过不在同一条直线上的三点有且只有一个圆，原命题是假命题； 综上可知，只有③是真命题， 故选：A． [考点二 实数的运算] 1.实数的运算法则 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。 加法运算律：①交换律 a+b=b+a； ②结合律 (a+b)+c=a+(b+c)。 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：a -b= a +(-b)。 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。 乘法运算律：①交换律ab=ba；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。 除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：a÷b=a·。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0 的数，都得0。 2.实数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 实数范围内混合运算的顺序：①先乘方开方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。▪▪▪▪ 3.常见的几种实数运算 （1）乘方 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。 如：读作a的n次方（幂），在an中，a叫做底数，n叫做指数。 性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。 （2）零指数幂：a0=1(a≠0). （3）负整数指数幂：a-p=(a≠0，p为正整数). 【题型7 有理数的加减】 【例7】．（2025·四川成都·一模）如图所示，实数a，b在数轴上的对应点分别为点A，B，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴比较数的大小、有理数的加减运算等知识点．熟练掌握数轴上左边点表示的数总大于右边点表示的数是解题的关键． 先根据数轴确定a、b的取值范围，然后逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， A． ，故A选项错误，不符合题意； B．由，，则，故B选项错误，不符合题意； C． ，则，所以，故C选项正确，符合题意； D．由，故D选项错误，不符合题意． 故选C． 【变式7-1】．（24-25七年级上·河南郑州·期中）已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，…依次类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数加法运算，数字类规律探索等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 通过计算序列前几项，发现规律：当n为奇数时，；当n为偶数时，，由2025为奇数，代入公式计算即可求解． 【详解】解∶∵， ， ， ， ， ， ， … ∴规律为：n为奇数时，； n为偶数时，． ∵2025为奇数， ∴． 故选：A． 【变式7-2】．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）下面数轴上点分别表示数，，，那么下列运算结果一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴、有理数的加法、减法与乘法、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴可得，，则，，再根据有理数的加法、减法与乘法、绝对值的性质逐项判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，． A、，则此项一定是正数，符合题意； B、，则此项一定是负数，不符合题意； C、，则此项一定是负数，不符合题意； D、，则此项一定是负数，不符合题意； 故选：A． 【变式7-3】．（2025·江苏盐城·二模）标有1－25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下： ①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位； ②每人使自己所选的座位号数字之和最小； ③座位不能重复选择． (1)如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么3，4，5号座位会被 选择； (2)如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为 ． 【答案】(1)乙 (2)110 【分析】本题主要考查了有理数的加法，用有序数对表示位置，解题的关键是理清游戏规则． （1）根据游戏规则，那么甲选1，2号座位，乙选3，4，5号座位，丙选7，8，9，10号座位，丁选13，14，15，16，17号座位，即可得知； （2）根据游戏规则，按“同一竖列”或“同一横行”，分别得出丁、丙、乙、甲所选的数，再把它们相加即可． 【详解】（1）解：根据游戏规则可知： 甲选1，2号座位， 乙选3，4，5号座位， 丙选7，8，9，10号座位， 丁选13，14，15，16，17号座位， 故3，4，5号座位会被乙选择， 故答案为：乙； （2）解：根据游戏规则，第一种，可得丁选择了：23、8、1、4、15； 丙选择了：9、2、3、14； 乙选择了：7、6、5； 甲选择了：10、11； 故四人所选的座位号数字之和为：． 第二种，可得丁选择了：19、6、1、2、11； 丙选择了：5、4、3、12； 乙选择了：7、8、9； 甲选择了：10、13； 故四人所选的座位号数字之和为：． 故答案为：110． 【题型8 有理数的乘除】 【例8】．（2025·广西·模拟预测）（1） 计算：； （2） 解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查实数混合计算和二元一次方程组计算等． （1）先根据绝对值和有理数的乘法计算，再计算加法即可； （2）先得到③，再将得到，继而得到即可． 【详解】解：（1）原式． （2） ，得．③ ，得，解得． 把代入①，得，解得． 方程组的解为 【变式8-1】．（2025·云南红河·模拟预测）根据材料，完成任务： 问题情境 为了举行羽毛球比赛，学校需要提前购买副羽毛球拍和若干个羽毛球（不少于个）． 素材 羽毛球拍：元副 羽毛球：元个 素材 方案一：每买一副羽毛球拍赠送个羽毛球． 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的九折销售． 任务 若方案一和方案二费用一致，你知道学校购进了多少个羽毛球吗？ 任务 现已知方案一和方案二既可以单独使用，也可以同时使用．若学校需要购进个羽毛球，请为学校设计最省钱的购买方式． 【答案】任务：个；任务：先用方案一购买副羽毛球拍，再用方案二购买个羽毛球． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 任务1：设学校购进了个羽毛球，根据方案一和方案二费用一致，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 任务：利用“总价单价数量”，求出选择方案一及方案二所需费用，再求出“先用方案一购买副羽毛球拍，再用方案二购买个羽毛球”所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】解：任务1：设学校购进了个羽毛球（）， 则方案一的费用：， 方案二的费用：， 由题意，， 解得：， 答：学校购进了个羽毛球； 任务：需要购进个羽毛球， 单独使用方案一费用：（元）； 单独使用方案二费用：（元）； 混合使用：先用方案一购买副羽毛球拍，获赠个羽毛球，费用为元，再用方案二购买剩余个羽毛球，费用为（元），总费用为（元）； ∵， ∴最省钱的购买方式是先用方案一购买副羽毛球拍，再用方案二购买个羽毛球． 【变式8-2】．（2025·湖南·模拟预测）在一列数：，，，， 中，，，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第 个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是一道数字变化类问题，解答时需要用到有理数的乘除法，通过计算发现变化规律是解题的关键． 通过计算前若干项，发现数列每6项为一个循环周期，计算2027除以6的余数，对应周期中的位置即可． 【详解】解：∵的个位为7， 的个位为7，的个位为9，的个位为3，的个位为，的个位为1, …… ∴ 这一列数为7，1，7，7，9，3，7，1，7，7，9，3，…，周期为6； ∵，余数为5， ∴ 第2027个数对应周期第5位，即9． 故选：D． 【变式8-3】．（2025·上海杨浦·模拟预测）新定义：且，，若，则． (1)直接写出答案：； (2)解方程：； (3)证明：． 【答案】(1)2 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，同底数幂相乘等知识点，解一元二次方程——直接开平方法，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据定义直接求解； （2）根据定义得到关于的方程求解； （3）设，，先求得，再利用定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴不符合，舍去， 故； （3）证明：设，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【题型9科学计数法和近似数】 【例9】．（2025·山东聊城·三模）人工智能给人民的生活带来了很大的便利，体现在生活、工作、医疗等各个方面，手机上人工智能APP品类繁多，其中AIPPT制作软件下载安装763万次，将763万用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：763万． 故选：D． 【变式9-1】．（2025·青海西宁·二模）据青海省湿地保护管理中心和世界自然基金会公布的调查数据表明，我省湿地总面积的最新数据为公顷，居世界第一，该数据用科学记数法表示为______公顷． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式9-2】．（2025·山东·模拟预测）已知一个水分子的直径约为米，勿忘我的花粉直径约为米，用科学记数法表示一个水分子的直径是勿忘我花粉直径的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，同底数幂的除法运算，根据同底数幂的除法法则以及科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解： ； 故选：C． 【变式9-3】．（2021·河北沧州·一模）我国第十四个五年规划和2035年远景目标纲要中阐释了“坚持农业农村优先发展，全面推进乡村振兴”的具体目标：坚持最严格的耕地保护制度，实施高标准农田建设工程，建成10.75亿亩集中连片高标准农田，下列关于10.75亿的说法正确的是（   ） A．10.75亿是精确到亿位 B．10.75亿是精确到十亿位 C．10.75亿用科学记数法表示为，则a=1.075，n=9 D．10.75亿用科学记数法表示为，则a=10.75，n=8 【答案】C 【分析】根据科学记数法与精确度的定义即可判断求解． 【详解】解：10.75亿精确到百万位，故A、B选项不符合题意； 10.75亿用科学记数法表示为10.75亿=1.075×109，则a=1.075，n=9，故C选项符合题意，D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，解题关键是正确确定a的值以及n的值和精确度的定义． 【题型10 实数的混合运算】 【例10】．（2025·辽宁大连·模拟预测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，分式的混合运算； （1）根据有理数的乘方，立方根，算术平方根，化简绝对值，进行计算即可求解； （2）先将除法转化为乘法，再计算分式的减法，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式10-1】．（2025·江苏无锡·模拟预测）（）计算： （）若，求代数式的值． 【答案】（）；（） 【分析】（）利用二次根式的性质、负整数指数幂、特殊锐角三角函数值和绝对值性质分别化简，再进行加减运算即可； （）将原式化简后代入数值计算即可求解； 本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，正确计算是解题的关键． 【详解】（）解：原式 ； （）解：∵， ∴， 原式 ． 【变式10-2】．（2025·四川成都·模拟预测）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)解不等式组：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值和解不等式组等知识，熟练掌握相关法则和步骤是关键． （1）利用乘方、特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值进行计算即可； （2）求出每个不等式的解集取公共部分即可． 【详解】（1）解：； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 【变式10-3】．（2025·黑龙江·模拟预测）（1）计算：． （2）分解因式：． 【答案】（1）；（2）； 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，因式分解等知识． （1）先根据特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义化简，再算乘法，然后算加减即可； （2）整理后用完全平方公式分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【题型11 实数运算的实际应用】 【例11】．（2020·四川达州·中考真题）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．10 B．89 C．165 D．294 【答案】D 【分析】类比十进制“满十进一”，可以表示满5进1的数从左到右依次为：2×5×5×5，1×5×5，3×5，4，然后把它们相加即可． 【详解】依题意，还在自出生后的天数是： 2×5×5×5+1×5×5+3×5+4=250+25+15+4=294， 故选：D． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解答的关键是运用类比的方法找出满5进1的规律列式计算． 【变式11-1】．（2024·重庆·模拟预测）某队伍需要在一片湖泊边铺地砖建人行道，如图所示，已知在的北偏东方向米处，在的东北方向，且在的正南方向．（参考数据：，） (1)求两点的距离（结果保留根号）； (2)按规定要求，队伍需要在湖边，上铺地砖，预计的总费用不超过元，若平均每平方米地砖的费用为元，人行道的宽度为米，则预计费用是否充足？ 【答案】(1)米 (2)预计费用充足 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，实数混合运算的应用．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． （1）如图，作的延长线于，由题意知，，，，则，，，根据，计算求解即可； （2）由题意知，铺设地砖的面积为平方米，铺设地砖的费用为元，由，判断作答即可． 【详解】（1）解：如图，作的延长线于， 由题意知，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴两点的距离为米； （2）解：由题意知，铺设地砖的面积为（平方米）， ∴铺设地砖的费用为（元）， ∵， ∴预计费用充足． 【变式11-2】．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）超速行驶被称为“马路第一杀手”．为了让驾驶员自觉遵守交通规则，公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，如图所示．已知检测点设在距离公路20m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为．已知，．    (1)求B，C之间的距离（结果保留根号）． (2)如果此地限速为，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1) (2)超速，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数，速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）如图作于D．则m，求出、即可解决问题． （2）求出汽车的速度，即可解决问题，注意统一单位． 【详解】（1）作，则 在中， 在中， ， 答：B，C之间的距离为． （2）这辆汽车超速，理由如下： 这辆汽车超速． 【变式11-3】．（2023·四川攀枝花·中考真题）2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然后进行决赛，决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名． (1)本届世界杯分在组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个组分组积分赛对阵表（不要求写对阵时间）． (2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ (3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ 【答案】(1)组分组积分赛对阵表见解答过程； (2)本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛； (3)本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛． 【分析】（1）根据同组内每2支球队之间都只进行一场比赛列表即可； （2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场，决赛，决赛，半决赛，决赛又踢了4场，即可得到答案； （3）分组积分赛48场，决赛一共8场，决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场，相加即可． 【详解】（1）组分组积分赛对阵表：    阿根廷    沙特    墨西哥    波兰    阿根廷    阿根廷：沙特    阿根廷：墨西哥    阿根廷：波兰    沙特    沙特：阿根廷    沙特：墨西哥    沙特：波兰    墨西哥    墨西哥：阿根廷    墨西哥：沙特    墨西哥：波兰    波兰    波兰：阿根廷    波兰：沙特    波兰：墨西哥 （2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场，决赛，决赛，半决赛，决赛又踢了4场， 一共踢了（场）， 本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛； （3）分组积分赛每个小组6场，8个小组一共（场）； 决赛一共8场，决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场； 一共踢了（场）； 本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛． 【点睛】本题考查数学在实际生活中的应用，解题的关键是读懂题意，理解世界杯比赛的对阵规则． 【题型12 与实数运算相关的规律题】 【例12】．（2025·四川广元·一模）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“”，使其满足 (即方程．有一个根为)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行混合运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，，则 _________ 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据虚数单位的幂运算规律，其幂值每次循环一次，因此将指数除以取余数进行计算． 【详解】解：，，，，， 幂值每次循环一次， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式12-1】．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 【变式12-2】．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）将一组数：，按如图方式进行排列，则第八行左起第1个数是（　　） A．7 B．8 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根及规律探索问题，根据题意每行的数字个数与行数数字相同，被开方数是连续自然数的2倍，据此可解答． 【详解】解：由题意可得前七行所有的数的总个数为， ∵， ∴被开方数是连续自然数的2倍 ∴第八行左起第1个数是第29个数，即， 故选：C． 【变式12-3】．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，通过计算出，，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则表示的数为， ∵， ∴， 表示的数为， ，则表示的数为， ∵， ∴， 同理可得， ……， 以此类推，可知， ∴， 故选：D． 【题型13 平方根概念理解】 【例13】．（24-25七年级下·山东滨州·月考）下列命题中，真命题有（　　） （1）平方根等于它本身的数只有0； （2）一个数的立方根和算术平方根都等于它本身，则这个数一定是0； （3）27是3的立方根； （4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离； （5）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行； （6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题真假，根据平方根，算术平方根与立方根的定义，平行线公理及推论，点到直线的距离解答即可． 【详解】解：（1）平方根等于它本身的数只有0，是真命题； （2）一个数的立方根和算术平方根都等于它本身，则这个数一定是0或，原命题是假命题； （3）27的立方根是3，原命题是假命题； （4）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题； （5）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，是真命题； （6）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题； 故选：B． 【变式13-1】．（24-25九年级上·福建泉州·期末）下列事件是必然事件的个数为（   ） 事件1：三条边对应相等的两个三角形全等． 事件2：相似三角形对应边成比例． 事件3：任何实数都有平方根． 事件4：在同一平面内，两条不重合直线的位置关系是平行或相交． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了必然事件的定义，根据必然事件的定义逐一判断即可得出结论．熟记必然事件的概念是解题的关键． 【详解】解：事件1：三条边对应相等的两个三角形全等是必然事件； 事件2：相似三角形对应边成比例是必然事件； 事件3：任何实数都有平方根，说法错误，如负数没有平方根，故不属于必然事件； 事件4：在同一平面内，两条不重合直线的位置关系是平行或相交是必然事件； 故必然事件的个数为3个， 故选：C． 【变式13-2】．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于A、B、C． (1)求双曲线的解析式； (2)若，点M为双曲线上一点，点N为直线上一点．．且，求点M的坐标； (3)如图2，连接，当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变求其值；若变化说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不发生变化，18 【分析】（1）根据非负数的性质求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）联立方程组求得，设，，由．且，可得以M，N，O，C为顶点的四边形是以，为边的平行四边形，分两种情况：当，为对角线时，，的中点重合，当，为对角线时，，的中点重合，利用中点坐标公式列方程求解即可； （3）过C作轴于H，证得是等腰直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，设，则，可得，再根据题意可得，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵点为双曲线上一点， ∴， ∴双曲线的解析式为； （2）解：当时，由 解得（舍去）或， ∴， 设，， ∵．且， ∴以M，N，O，C为顶点的四边形是以，为边的平行四边形， 当，为对角线时，，的中点重合， ∴， 由得：， 解得（舍去）或， 经检验，是分式方程的解， ∴； 当，为对角线时，，的中点重合， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，是方程组的解， ∴； 综上所述，M的坐标为或； （3）解：的值不发生变化，理由如下： 过C作轴于H， 如图：在中，令得，令得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 由反比例函数可知，， ∴，即， ∴， ∴的值不发生变化． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用，等腰直角三角形的判定与性质等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 【变式13-3】．（22-23七年级下·北京西城·期末）下列命题中，是假命题的是（    ） A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．同旁内角互补，两直线平行 C．如果，，那么 D．负数没有平方根 【答案】A 【分析】本题需先根据真命题和假命题的定义判断出各题的真假，最后得出结果即可． 【详解】A、如果两个角相等，那么它们是对顶角，如等腰三角形的两个底角相等，这两个角不是对顶角，故A是假命题，符合题意； B、同旁内角互补，两直线平行，故B是真命题，不符合题意； C、如果，那么，故C是真命题，不符合题意； D、负数没有平方根，故D是真命题，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，判断一个命题是假命题时可以找到其反例． 【题型14 算术平方根的非负性】 【例14】．（2025·广东清远·三模）若与互为相反数，则的值为_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了相反数的定义，非负数的性质，根据相反数的定义得到，根据非负数的性质，可求出x、y的值，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式14-1】．（2025·贵州黔东南·二模）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性，三角形三边之间的关系，解二元一次方程组，等腰三角形的定义，由，得，解得，然后分为腰长时，为腰长时两种情况分析即可，熟练掌握相关性质以及运用分类讨论的思想方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，解得：， 当为腰长时，该等腰三角形三边为、、， ∵， ∴不能构成三角形； 当为腰长时，该等腰三角形三边为、、， ∵， ∴该等腰三角形存在， ∴此等腰三角形的周长， 综上：此等腰三角形的周长为， 故选：． 【变式14-2】．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，连接．若，满足．平移线段，使点与点重合，点对应点为点． (1)填空： ， ，点的坐标为 ； (2)如图，延长线段至点． ①连接，请利用，，的面积关系，求出，满足的关系式； ②连接，，若的面积为，求的值．预备结论：可用） (3)过点作射线轴，交轴于点，动点从点出发沿射线以每秒个单位的速度向右运动，连接，，交轴于点，设运动时间为秒，的面积为，若，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2)①；② (3)或 【分析】（1）利用非负数的性质（算术平方根和绝对值均为非负数，若和为则各自为 ）求出、，再依据平移性质（平移前后对应点坐标变化规律 ）确定点坐标． （2）①通过作辅助线（过作轴 ），结合三角形面积公式，根据建立等式，推导、关系．②同样作辅助线（过作轴 ），用割补法表示，结合①中、关系及面积值列方程求解． （3）先确定、等点坐标，利用面积关系得出关于的表达式，再依据列不等式求解范围． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，， ∵平移线段，使点与点重合，点对应点为点．点的坐标为， ∴，， 从到的平移方式是：先左平移个单位，再向上平移个单位， 将先左平移个单位，再向上平移个单位，得到，即， 故答案为：，，； （2）解：①如图，延长线段至点，则在第三象限，则，， 过点作轴于点， ∵，，， ∴，，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 即； ②如图，过点作轴于点， ∵，，，， ∴，，，，，， ∵ ， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得：； （3）解：如图4， ∵，依题意，，则，， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴即或≥， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中坐标的平移变换、非负数的性质、三角形面积公式以及一次函数相关知识，熟练掌握坐标平移规律、非负数性质和用割补法求三角形面积是解题的关键． 【变式14-3】．（2025·山东菏泽·模拟预测）在锐角中，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根和平方根的非负性，特殊角三角函数值，三角形内角和定理等．根据非负数的性质，两个非负数的和为零，则每个部分均为零．结合三角函数可求出和的度数，再利用三角形内角和计算． 【详解】解：由题意得：，， ，， 在锐角范围内，，， ． 故选A． 【题型15求一个数的平方根】 【例15】．（24-25七年级下·四川广元·期末）已知和是某正数m的两个平方根，的立方根为，c是的整数部分． (1)求m的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)25 (2) 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、无理数的估算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平方根的概念求出，即可得到； （2）根据立方根的概念求出，根据无理数的估算求出 ，把， ， 代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵和是某正数m的两个平方根， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的立方根为， ∴， ∴； ∵是的整数部分，， ∴， ∴， 的平方根是． 【变式15-1】．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简； (2)若是9的平方根，求此时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的化简求值，平方根的定义，掌握乘法公式，分式的性质，分式的混合混合法则是解题的关键． （1）根据乘法公式，分式的性质，分式的混合运算即可求解； （2）根据平方根的定义求出，结合分式有意义的条件得到，再代入化简后的计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵是9的平方根， ∴， ∵且， ∴且， ∴， 此时，． 【变式15-2】．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 【变式15-3】．（2025·江苏盐城·三模）已知实数a，b，c满足，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了不等式的性质，因式分解的应用，求一个数的平方根，正确求出是解题的关键． （1）根据题意可得，再由可得，据此可证明结论； （2）根据，，可得，进一步可得，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解；∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型16求代数式的平方根】 【例16】．（2022·四川绵阳·模拟预测）已知关于x的不等式组的解集是，则______． 【答案】 【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再根据不等式组的解集是得到，再利用求出，即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②，， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法、完全完全平方公式的变形、平方根等相关知识，读懂题意正确计算是解题的关键． 【变式16-1】．（19-20七年级上·浙江杭州·期末）关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】将两个多项式相加，根据相加后不含x的二次和一次项，求得m、n的值，再进行计算． 【详解】＋ ＝ 由题意知，， ， ∴，， ∴， 9的平方根是， ∴平方根为， 故选：C． 【点睛】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时考查了平方根的定义，熟练掌握正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根． 【变式16-2】．（19-20八年级上·四川成都·期末）已知 、，满足，则的平方根为________． 【答案】 【分析】利用算术平方根及绝对值的非负性求出x、y的值，即可代入求出的平方根. 【详解】∵， ∴x-1=0，y+2=0， ∴x=1，y=-2， ∴=1+8=9， ∴的平方根为， 故答案为：. 【点睛】此题考查算术平方根及绝对值的非负性，求一个数的平方根，能根据题意求出x、y的值是解题关键. 【变式16-3】．（2018·四川凉山·中考真题）已知一个正数的平方根是3x﹣2和5x+6，则这个数是 __________． 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，即可列方程求得x的值，进而求解． 【详解】解：根据题意得：3x-2+（5x+6）=0， 解得：x=， 则这个数是（3x-2）2=（）2=； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 【题型17 平方根的应用】 【例17】．（2018·北京东城·一模）已知关于x的方程． (1)求证：无论实数m取何值时，方程总有实数根； (2)若方程有一个根的平方等于4，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)0或 【分析】 （1）利用根的判别式计算判断即可． （2）根据题意得到是原方程的根，将其代入列出关于m的新方程，通过解新方程求得m的值． 【详解】（1） 证明：∵， ∴， ∴无论实数m取何值，方程总有实数根． （2） 解：∵方程有一个根的平方等于4，且， ∴是原方程的根， 当时，． 解得； 当时，． 解得． 综上所述，m的值为0或． 【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时要分类讨论，这是此题的易错点． 【变式17-1】．（2022·安徽安庆·二模）（规律探究）如下图，是由若干个边长为1的小正三角形组成的图形，第（2）个图比第(1)个图多一层，第（3）个图比第（2）个图多一层，依次类推. (1)第（9）个图中阴影三角形的个数为 ；非阴影三角形的个数为 ． (2)第个图形中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是441∶43，求. (3)能否将某一个图形中的所有小三角形重新拼接成一个菱形，如果能，请指出是第几个图形，如果不能说明理由. 【答案】(1)100 ，21 (2)20 (3)不可能拼成一个菱形，理由见解析 【分析】（1）观察图形，根据所给图形可得有阴影的三角形总数为：4，9，16，第9个图形中有阴影的三角形数为： ，故可求第（9）个图中阴影三角形的个数；非阴影三角形的个数为： ，故可得结论； （2）根据题意列方程求解即可； （3）根据菱形的特征和所给图形是等边三角形的特征解答即可． 【详解】（1）第（1）（2）（3）个图中阴影部分小三角形的个数分别是：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，由此可推测第（9）个图中阴影部分小三角形的个数是(9+1)2=102=100（个），空白三角形的个数为; 故答案为：100；21； （2）第n个图形中阴影三角形与非阴影三角形的个数比是：=， 解得，或（舍去） 经检验，符合要求， 所以，； （3）设第（m）个图形可重新拼成一个菱形，第（m）个图形总的三角形个数为,     由于可以拼一个菱形，则是一含有60度角的菱形，即两个等边三角形构成的菱形，每个等边三角形中含小三角形数为x2,则有： 解得， ∴不是正整数， ∴不可能拼成一个菱形． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，利用规律解决问题． 【变式17-2】．（17-18七年级下·甘肃庆阳·期末）如果一个正数的平方根为a+1和2a﹣7，则a的值为_____． 【答案】2 【分析】根据平方根的性质，得，再解一元一次方程即可得出答案． 【详解】由平方根的性质得： 解得 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平方根的性质、解一元一次方程，正确计算是解题关键． 【变式17-3】．（11-12七年级下·全国·课后作业）若一个正数的平方根是2a+1和﹣a+2，则a＝_____，这个正数是_____． 【答案】 -3 25 【分析】根据已知得出方程2a+1﹣a+2＝0，求出即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根是2a+1和﹣a+2， ∴2a+1﹣a+2＝0， 解得：a＝﹣3， 即这个正数是[2×（﹣3）+1]2＝25， 故答案为：﹣3；25． 【点睛】本题考查了对平方根的应用，注意：正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． 特色专项练 【新考向：新考法】 1．（2024·广东·模拟预测）若关于，的方程组与有相同的解． (1)求的值． (2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法以及二阶行列式的运算，熟练掌握方程组同解问题的处理方法和二阶行列式的运算法则是解题的关键． （1）先求出两个方程组的公共解，再将公共解代入含、的方程，求出、的值，进而计算． （2）根据二阶行列式的运算法则，将、、、的值代入计算． 【详解】（1）解：∵关于，的方程组与有相同的解． ∴， 解该方程组得， ∴，， 解得：， ∴． （2）解：将，，，代入， ∴． 2．（2025·湖南衡阳·模拟预测）2029全运会花落湖南，数学小组以此为彩头，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“湘约运算”．实数，在数轴上的位置如图所示，例如：．由此“湘约运算”与原代数式之和为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，解题的关键是根据新定义列出算式并利用数轴判断代数式的符号，易错点是对新定义的理解有误或忽略数轴信息导致符号错误；先根据新定义将“湘约运算”转化为绝对值形式，再结合数轴上的位置判断的正负，从而去绝对值，然后计算与原代数式的和，最后化简结果并与选项匹配． 【详解】由题意得： 根据数轴图，且靠近1，且靠近， ∴，则 ， 故选B． 【新考向：新情境】 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）甲、乙两车从十字路口的同一点沿两互相垂直的方向行驶，走过的距离(单位：)  和时间(单位：) 的关系如下表所示： 时间 0.5 3 5.5 8 甲走过的距离 5 30 55 80 乙走过的距离 1.25 15 41.25 80 则第2秒甲、乙两车间的距离d满足（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的应用，勾股定理，无理数的估算等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出甲，乙走过的距离关于时间的表达式，然后将代入表达式，然后利用勾股定理求出，然后根据无理数的估算求解即可． 【详解】解：由表格得，甲走过的距离和时间是一次函数关系，乙走过的距离和时间是二次函数关系， ∴设甲走过的距离关于时间的表达式为， 将，代入得， 解得 ∴； 设乙走过的距离关于时间的表达式为， 将，，，代入得， 解得 ∴； ∴当时，， ∵沿两互相垂直的方向行驶， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴第2秒甲、乙两车间的距离d满足． 故选：B． 【新考向：跨学科】 1．（2024·湖南·模拟预测）若，则称b是以10为底a的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：．对数在化学中的一个应用为的计算，，表示氢离子的浓度（单位为：），若某种溶液中氢离子的浓度为，则该溶液的约为__________．（参考数据：） 【答案】 【分析】本题是跨学科结合初高中衔接内容的结合考查，理解对数的计算方法和与对数的关系是解题的关键．该溶液的值可通过公式计算，将氢离子浓度代入公式，并利用对数性质，可得，已知，所以代入计算得． 【详解】解：因为氢离子浓度为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 故答案为：7.2． 中考真题练 1．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 【答案】2 【分析】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法解出的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：2． 2．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2），数轴表示见解析 【分析】本题主要考查负整数指数幂，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，求不等式组的解集，掌握实数的运算法则，不等式的性质是关键 （1）先计算负整数指数幂，求一个数的立方根，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再计算有理数的乘方运算，最后再进行加减运算即可． （2）根据不等式的性质分别求出解集，表示在数轴上，根据公共部分即为不等式组解集即可． 【详解】解：（1） （2） 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以不等式组的解集为． 不等式组的解集在数轴上表示为： 3．（2025·山东德州·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2）． 【分析】（1）根据二次根式，绝对值，乘方计算解答即可； （2）利用因式分解，约分，混合运算的法则解答即可． 本题考查了二次根式的化简，绝对值，有理数的乘方，分式的化简，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（2025·江苏淮安·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，求不等式组的解集，熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，解不等式的步骤，是解题的关键： （1）进行特殊角的三角函数值，去绝对值和零指数幂的运算即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式； （2） 由①，得：； 由②，得：； ∴． 5．（2025·四川巴中·中考真题）（1）计算下列代数式的值．． （2）先化简，再求值．，其中． 【答案】（1）4；（2）； 【分析】本题考查了有理数的乘方运算、特殊角的三角函数值（）、绝对值的性质、分式的混合运算与化简求值，解题的关键是熟练掌握乘方、三角函数、绝对值的基础计算规则，以及分式通分、因式分解、除法变乘法的化简方法，代入求值时准确计算． （1） 先计算乘方；再代入特殊角三角函数值，计算；接着化简绝对值；最后将各项结果进行加减运算． （2）先对括号内通分计算；再将除法转化为乘法（乘以倒数），对分子因式分解（完全平方公式）；然后约分简化分式；最后将代入化简后的式子计算． 【详解】（1） （2）解： 当时，原式 ∴化简结果为，代入求值结果为． 6．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 7．（2025·宁夏·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简、特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的运算，解题的关键是分别掌握各知识点的运算法则，准确进行化简和计算． 先化简绝对值，因为，所以；再计算特殊角的三角函数值，；接着计算负整数指数幂，；最后将各部分结果代入原式进行加减运算． 【详解】解： ． 8．（2025·宁夏·中考真题）如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是______(结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)． 【答案】2 【分析】本题考查了圆柱的性质、圆的直径与周长关系以及勾股定理的应用，解题的关键是明确圆柱内铅笔能放置的最大长度为以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边． 由点B坐标确定圆柱的高，根据圆柱侧面展开图的周长求出底面直径；利用勾股定理计算以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边长度，即笔筒内铅笔能放置的最大长度；用铅笔总长度减去该最大长度，得到露出部分的最小长度并保留整数． 【详解】解：如图，表示圆柱底面直径，为圆柱的高，示意铅笔能放置的最大长度，为露出部分的最小长度， ∵点坐标为， ∴，， ∴， ∵铅笔总长度为，即， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， ∵结果保留整数， ∴露出部分的最小长度约为． 故答案为：2． 9．（2025·贵州·中考真题）（1）计算：； （2）先化简：，再从中选取一个使原式有意义的数代入求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式；当时，原式． 【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂和算术平方根，再计算绝对值和乘法，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把两个分式通分，再约分化简，接着根据分式有意义的条件确定a的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式；当时，原式． 10．（2025·辽宁·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别进行乘方、乘法运算，以及求立方根和绝对值，再进行加减计算； （2）先将除法化为乘法，再进行分式的减法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（2025·四川成都·中考真题）（1）计算：． （2）解不等式组： 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，熟知运算法则和不等式组的解法是解题的关键． （1）分别根据负整数指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数、绝对值的性质进行计算，再把结果相加减； （2）分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为． 12．（2025·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式乘法运算、算术平方根等知识点，熟练掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据整式乘法运算、算术平方根逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 13．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式化简求值，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． （1）先把特殊角的三角函数值代入，并计算零指数幂和负整数指数幂，进行开方运算，再算加减即可； （2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数的值，再代入数据计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， 是使不等式成立的正整数， 且为正整数， ，2，3， 又，， ，3，， ， 当时，原式． 14．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2） 【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）第一步计算分配律时符号出错； （2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． 【详解】解：（1）原计算第一步开始出错； ； （2） 15．（2025·山东威海·中考真题）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 16．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为________； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为________． 【答案】 2 11 【分析】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数； （2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或或，再验证这三个数是否可经过变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证符合题意的n，据此可得答案． 【详解】解；（1）∵， ∴15进行一次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行二次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行三次变换后得到的数为2， 故答案为：2； （2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 综上所述，第一次变换后所得的数为3， 当n除以3的余数为0时，则，符合题意； 当n除以3的余数为1时，则，不符合题意； 当n除以3的余数为2时，则，符合题意； ∴符合题意的n的值是9或2， ∴所有满足条件的n的值之和为，故答案为；11． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $