专题10 构造全等三角形的基本方法（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦七年级下册三角形专题，核心讲解构造全等三角形的倍长中线法与截长补短法，通过例1求中线取值范围引入，逐步拓展至半角模型等复杂情境，搭建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于以一题多问和跟踪训练为载体，通过构造辅助线培养几何直观与推理能力，如倍长中线集中线段、截长补短证线段关系，助力学生形成数学思维，教师可借助分层案例提升教学效率。

初中数学 七年级下册·（BS版） 第四章　三角形 专题 10　构造全等三角形的基本方法 方法1　倍长中线法 例1【一题多问】问题：如图1，在△ABC中，若AB＝6，AC ＝4，求边BC上的中线AD的取值范围. 小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2， 延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，可证 △ACD≌△MBD，从而把AB，AC，2AD集中在△ABM中，利 用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围. （1）直接写出图1中AD的取值范围： ⁠. 1＜AD＜5　 上一页 下一页 （2）猜想图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并说明理 由. 解：（2）AC＝BM，AC∥BM. 理由如下： 因为AD是△ABC的中线， 所以BD＝CD. 在△MDB和△ADC中，因为BD＝CD，∠BDM＝CDA， DM＝AD，所以△MDB≌△ADC（SAS）， 所以∠M＝∠CAD，AC＝BM，所以AC∥BM. 上一页 下一页 （3）如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF， ∠BAE＝∠CAF＝90°，判断线段EF和AD的数量关系和位置 关系，并说明理由. 上一页 下一页 解：（3）EF＝2AD，EF⊥AD. 理由如下： 如图，延长AD到点M，使得DM＝AD，连接BM，延长DA 交EF于点G. 由（2），知△BDM≌△CDA，所以BM＝AC， 因为AC＝AF， 所以BM＝AF. 由（2），知AC∥BM， 所以∠BAC＋∠ABM＝180°. 因为∠BAE＝∠FAC＝90°， 上一页 下一页 所以∠BAC＋∠EAF＝180°， 所以∠ABM＝∠EAF. 在△ABM和△EAF中，因为BM＝AF，∠ABM＝∠EAF，AB ＝EA，所以△ABM≌△EAF（SAS）， 所以AM＝EF，∠BAD＝∠E. 因为AD＝DM，所以AM＝2AD，所以EF＝2AD. 因为∠BAD＋∠EAG＝90°， 所以∠E＋∠EAG＝90°， 所以∠AGE＝90°，即AD⊥EF. 上一页 下一页 [拓展]（4）如图4，（3）中的其他条件不变，AD是△ABC的 高线，延长DA交EF于点G. 若AD＝3，AG＝2，则△AEF的 面积是 ⁠. 6　 上一页 下一页 解：（4）如图，过点F作FH⊥DG于点H， 过点E作DG的垂线交DG的延长线于点P. 因为FH⊥DG，所以∠FHA＝90°， 所以∠HAF＋∠AFH＝90°. 因为∠FAC＝90°，所以∠HAF＋∠DAC＝90°， 所以∠AFH＝∠DAC. 因为AF＝AC，∠AHF＝∠CDA＝90°， 所以△FHA≌△ADC（AAS）， 所以FH＝AD＝3. 上一页 下一页 同理可得△EPA≌△ADB（AAS）， 所以EP＝AD＝3， 所以S△AEF＝S△AEG＋S△AGF ＝ AG·EP＋ AG·FH ＝ ×2×3＋ ×2×3＝6. 故答案为6. 上一页 下一页 方法2　截长补短法 例2如图，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝45°，CA＝CB， E为BC的中点，CN⊥AE交AB于N，连接EN. 试说明： （1）∠BCN＝∠CAE； 解：（1）因为∠CAB＝∠CBA＝45°， 所以∠ACB＝90°，所以∠CEA＋∠CAE＝90°. 设AE与CN交于点O（图略）. 因为CN⊥AE，所以∠COE＝90°， 所以∠CEA＋∠BCN＝90°， 所以∠BCN＝∠CAE. 上一页 下一页 例2如图，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝45°，CA＝CB， E为BC的中点，CN⊥AE交AB于N，连接EN. 试说明： 解：（2）【截长法】如图1，在AE上截取AF＝CN，连接CF. 在△ACF和△CBN中， 因为AF＝CN，∠CAE＝∠BCN，AC＝CB， 所以△ACF≌△CBN（SAS）， 所以CF＝BN，∠ACF＝∠B＝45°， 所以∠ECF＝45°＝∠B. 因为E为BC的中点， 上一页 下一页 所以CE＝BE. 在△CEF和△BEN中， 因为CE＝BE，∠ECF＝∠B，CF＝BN， 所以△CEF≌△BEN（SAS）， 所以EN＝EF， 所以AE＝AF＋EF＝CN＋EN. 上一页 下一页 【补短法】如图2，延长CN至点F，使CF＝AE，连接BF. 在△CAE和△BCF中， 因为AC＝CB，∠CAE＝∠BCN，AE＝CF， 所以△CAE≌△BCF（SAS）， 所以∠CBF＝∠ACE＝90°，CE＝BF. 因为∠CBA＝45°，所以∠FBN＝45°， 所以∠FBN＝∠EBN. 因为E为BC的中点，所以CE＝BE＝BF. 在△EBN和△FBN中，因为BE＝BF，∠EBN＝∠FBN，BN＝BN， 所以△EBN≌△FBN（SAS）， 所以NE＝NF，所以AE＝CF＝CN＋NF＝CN＋EN. 上一页 下一页 跟踪训练 1. 如图，AD是△ABC的边BC上的中线.若AB＝5，AD＝3， 则AC的取值范围是 ⁠. 1＜AC＜11　 1 2 3 4 上一页 下一页 2. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点， AB⊥AE，垂足为A，且AB＝4，AE＝5，求四边形ABCD的 面积. 1 2 3 4 上一页 下一页 解：如图，延长AE交BC的延长线于点F. 因为AD∥BC，所以∠DAE＝∠F，∠ADE＝∠FCE. 因为E是CD的中点，所以DE＝CE. 在△ADE和△FCE中， 因为∠DAE＝∠F，∠ADE＝∠FCE，DE＝CE， 所以△ADE≌△FCE（AAS）， 所以EF＝AE＝5，所以AF＝2×5＝10， 所以S四边形ABCD＝S△ABF＝ AB·AF＝ ×4×10＝20. 1 2 3 4 上一页 下一页 3. 如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，点E 在CD上.试说明AD＋BC＝AB. 解：如图，在AB上截取AF＝AD， 连接EF. 因为AE平分∠BAD， 所以∠DAE＝∠FAE. 在△ADE和△AFE中， 因为AD＝AF，∠DAE＝∠FAE，AE＝AE， 所以△ADE≌△AFE（SAS）， 所以∠D＝∠AFE. 1 2 3 4 上一页 下一页 因为AD∥BC， 所以∠D＋∠C＝180°. 因为∠AFE＋∠BFE＝180°， 所以∠C＝∠BFE. 因为BE平分∠ABC，所以∠CBE＝∠FBE. 在△BCE和△BFE中，因为∠C＝∠BFE， ∠CBE＝∠FBE，BE＝BE， 所以△BCE≌△BFE（AAS），所以BC＝BF， 所以AD＋BC＝AF＋BF＝AB. 1 2 3 4 上一页 下一页 4. [问题情境]在几何图形中，共顶点处的两个角中，较小的角 是较大的角的一半时，我们称之为半角模型.截长补短法是解 决这类问题常用的方法. 如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF＝45°， AE，AF与BC，CD分别交于E，F两点，连接EF. 为了探究 EF，BE，DF之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长CB到点H，使BH＝DF，连接AH，先证明 △ADF≌△ABH，再证明△AHE≌△AFE，从而得到EF，BE，DF之间的数量关系. 1 2 3 4 上一页 下一页 [知识应用]（1）EF，BE，DF之间的数量关系为 ⁠ ⁠. 解：（1）在题图2中，因为四边形ABCD是正方形， 所以AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°， 所以∠ABH＝∠D＝90°. 因为BH＝DF， 所以△ADF≌△ABH（SAS）， 所以AH＝AF，∠HAB＝∠DAF. 因为∠EAF＝45°， EF＝DF ＋BE. 　 1 2 3 4 上一页 下一页 所以∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝45°， 所以∠BAE＋∠HAB＝45°， 所以∠HAE＝∠EAF＝45°. 因为AE＝AE， 所以△AHE≌△AFE（SAS）. 所以HE＝EF. 因为HE＝BH＋BE＝DF＋BE， 所以EF＝DF＋BE. 故答案为EF＝DF＋BE. 1 2 3 4 上一页 下一页 （2）如图3，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，以A为顶点的 ∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，AE，AF与BC，CD分别交 于E，F两点，连接EF，你认为（1）中的结论还成立吗？请 说明理由. 1 2 3 4 上一页 下一页 解：（2）成立.理由如下： 如图3，延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG. 因为∠B＝∠D＝90°，所以∠ABG＝∠D＝90°. 在△ADF和△ABG中，因为AD＝AB，∠ABG＝∠D，DF＝BG， 所以△ADF≌△ABG（SAS），所以AG＝AF，∠GAB＝∠DAF. 因为∠EAF＝60°，∠BAD＝120°， 所以∠BAE＋∠DAF＝60°， 所以∠GAE＝∠GAB＋∠BAE＝60°. 因为AE＝AE，所以△AGE≌△AFE（SAS），所以GE＝EF. 因为GE＝BG＋BE＝DF＋BE，所以EF＝DF＋BE. 1 2 3 4 上一页 下一页 [知识拓展]（3）如图4，在四边形ABCD中，AB＝AD＝a， BC＝b，CD＝c，∠ABC与∠D互补，AE，AF与BC，CD 分别交于E，F两点，连接EF，且∠EAF＝ ∠BAD，则 △EFC的周长为 .（用含a，b，c的式子表示） b＋c　 1 2 3 4 上一页 下一页 解：（3）如图，延长CB到点H，使BH＝DF，连接AH， 则∠ABH＋∠ABC＝180°. 因为∠ABC与∠D互补， 所以∠ABC＋∠D＝180°， 所以∠ABH＝∠D. 因为AB＝AD，所以△ABH≌△ADF（SAS）， 所以AH＝AF，∠HAB＝∠FAD. 因为∠EAF＝ ∠BAD， 所以∠BAE＋∠FAD＝∠EAF， 1 2 3 4 上一页 下一页 所以∠HAB＋∠BAE＝∠EAF， 所以∠HAE＝∠EAF. 因为AE＝AE，所以△AHE≌△AFE（SAS）， 所以HE＝EF. 因为HE＝HB＋BE＝DF＋BE， 所以EF＝DF＋BE， 所以△CEF的周长为CF＋EF＋CE＝CE ＋CF＋BE＋DF＝BC＋CD＝b＋c. 故答案为b＋c. 1 2 3 4 上一页 下一页 谢谢观看 $