第4章 专题特训11 添加辅助线构造全等三角形-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

第四章三角形 拍照批改 专题特训十一添加辅助线构造全等三角形 “答案与解析”见P27 类型一 延长法构造全等三角形 类型二截取法构造全等三角形 1.如图，在△ABC中，AD为BC边上 3.如图，AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分 的中线，E为AD上一点，连接BE ∠BCD,点E在AD上，探究BC,AB,CD 并延长，交AC于点F.若∠AEF=答案讲解 之间的数量关系，并说明理由。 ∠FAE,BE=4,EF=1.6,求CF的长 (第3题) (第1题) 4.如图，在△ABC中，∠ABC=60°， 2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB, 于点D,点E,F分别在BD,AD上，EF∥ AD,CE交于点O, 答案讲解 AB,且DE=CD.试说明：EF=AC (1)求∠AO℃的度数， (2)试说明：AC=AE+CD. BE D (第2题) (第4题) 75 拔尖特训·数学（北师版）七年级下 照批改 4 利用三角形全等测距离 ●“答案与解析”见P28 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·山西)如图，小谊将两根长度不等的 4.如图，大树AB与大树CD相距13m,小华从 木条AC,BD的中点连在一起，记中点为O, 点B沿BC走向点C,行走一段时间后到达 即AO=CO,BO=DO.测得C,D两点之间 点E,此时他仰视两棵大树的顶点A和D, 的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶 两条视线的夹角正好为90°（忽略小华的身 内壁上A,B两点之间的距离.图中△AOB 高)，且AE=ED.已知大树AB的高为5m, 与△COD全等的依据是 小华行走的速度为1m/s,则小华走到，点E A.SSS B.SAS 所用的时间是 C.ASA D.以上都不对 D-----C (第4题) (第1题) (第2题) A.13s B.8s C.6 s D.5s 2.如图，用10块高度都是5cm的相同长方体 5.新考法·操作实践题某数学兴趣小组设计方 小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之 案测量河两岸A,B两点间的距离.如图，在 间刚好可以放进一把三角尺(AC=BC, 点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D, ∠ACB=90°)，点C在DE上，点A,B分别 使得点A,B,C在同一直线上，且CD=BC, 与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离 在CD的延长线上取点E,使得∠CEB= 为 cm. 15°，测得∠ACD=100°，∠ADC=65°，DE 3.如图，要测量池塘沿岸上A,E两，点之间的距 的长度为30米.请根据以上数据求出A,B 离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段 两点间的距离。 AB和CD,且AB=CD,E是线段BC的中 点，要想知道A,E两点之间的距离，只需要 测出线段DE的长度，这样做正确吗？请说 明理由 C D (第5题) (第3题) 76AB=AC, ∠BAD=∠CAE， AD-AE 所以△ABD≌△ACE (2)CE⊥BC. 理由：因为∠BAC=∠DAE=90°， 所以∠BAC-∠BAE=∠DAE- ∠BAE. 所以∠CAE=∠BAD 在△DAB和△EAC中， AD-AE. ∠BAD=∠CAE， AB=AC, 所以△DAB≌△EAC. 所以∠ABD=∠ACE. 因为易得∠ABC=∠ACB=45°， 所以∠ABD=∠ACE=135. 所以∠BCE=∠ACE一∠ACB= 135°-45°=90°，即CE⊥BC. 专题特训十全等三角形 判定的常见模型 1.(1)因为EAFB, 所以∠A=∠FBD. 因为AB=CD, 所以AB+BC=CD+BC,即 AC-BD. 在△EAC和△FBD中， EA=FB, ∠A=∠FBD, AC=BD, 所以△EAC≌△FBD. 所以∠E=∠F」 (2)因为△EAC≌△FBD, 所以∠ECA=∠D=80°. 因为∠A=40°， 所以∠E=180°一∠A一∠ECA= 180°-40°-80°=60°. 2.△ACE2△ADE,△ACB≌ △ADB. 理由：在△ACB和△ADB中， (AC=AD, ∠CAB=∠DAB, AB=AB, 所以△ACB2△ADB(SAS). 在△ACE和△ADE中， (AC=AD, ∠CAE=∠DAE, AE-AE, 所以△ACE2△ADE(SAS)」 3.BD=CE,BD⊥CE 理由：因为∠BAC=∠DAE=90°， 所以∠BAC+∠CAD=∠CAD+ ∠DAE. 所以∠BAD=∠CAE. 在△BAD和△CAE中， (AB=AC, R∠BAD=∠CAE AD-AE, 所以△BAD≌△CAE. 所以BD=CE,∠ABD=∠ACE. 因为易得∠ABC十∠ACB=90, ∠ABC=∠ABD+∠DBC, 所以∠ACE+∠DBC+∠ACB= 90°」 所以∠BDC=90° 所以BD⊥CE. 4.因为∠B=∠C,∠ADE=∠B, 所以∠B=∠ADE=∠C 因为∠BAD=180°-∠B-∠ADB, ∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB, 所以∠BAD=∠CDE 在△ABD和△DCE中， ∠BAD=∠CDE, ∠B=∠C BD=CE. 所以△ABD2△DCE 所以AD=DE 专题特训十一添加辅助线 构造全等三角形 1.如图，延长AD至点G,使DG= AD,连接BG. 因为AD为BC边上的中线， 所以BD=CD. 在△BDG和△CDA中， (BD-CD. ∠BDG=∠CDA, ADG-DA. 所以△BDG≌△CDA(SAS). 27 所以BG=AC,∠G=∠CAD. 因为∠AEF=∠FAE, 所以∠CAD=∠AEF. 因为∠BEG=∠AEF, 所以∠CAD=∠BEG 所以∠G=∠BEG. 所以易得BG=BE=4. 所以AC=4. 因为∠AEF=∠FAE, 所以易得AF=EF=1.6. 所以CF=AC-AF=4-1.6=2.4. G (第1题) 2.如图，过点C作CP⊥AD于点P, 延长AD至点Q,使DQ=PD,连 接EQ. 在△EDQ和△CDP中， QD-PD, ∠EDQ=∠CDP, ED-CD, 所以△EDQ2△CDP(SAS). 所以EQ=CP,∠Q=∠CPD=90° 所以∠Q=∠CPA=90. 因为EF∥AB, 所以∠EFQ=∠BAD. 因为AD平分∠BAC, 所以∠BAD=∠CAP. 所以∠EFQ=∠CAP. 在△EFQ和△CAP中， ∠Q=∠APC, ∠EFQ=∠CAP, EQ=CP, 所以△EFQ≌△CAP(AAS). 所以EF=CA. E (第2题) 3.BC=AB+CD. 理由：在BC上截取FB-AB,连 接EF. 因为BE平分∠ABC, 所以∠FBE=∠ABE=Z∠ABC. 在△FBE和△ABE中， FB=AB, ∠FBE=∠ABE, BE=BE, 所以△FBE≌△ABE(SAS). 所以∠BEF=∠BEA. 因为ABCD, 所以∠ABC+∠BCD=180°. 因为CE平分∠BCD, 所以∠FCE=∠DCE=2∠BCD. 所以∠FBE+∠PCE=(∠ABC+ ∠BCD)=90 所以∠CEF十∠BEF=∠BEC= 90°. 所以∠CED+∠BEA=90°. 所以∠CEF=∠CED. 在△CEF和△CED中， ∠FCE=∠DCE, CE=CE, ∠CEF=∠CED, 所以△CEF≌△CED(ASA). 所以CF=CD. 所以BC=FB+CF=AB+CD. 4.(1)因为∠ABC=60°，AD,CE分 别平分∠BAC,∠ACB, 所以∠OAC+∠ACE=2X(180° 60°)=60° 所以∠AOC=120°. (2)在AC上截取AF=AE,连接OF」 因为AD平分∠BAC, 所以∠BAD=∠DAC. 在△AOE和△AOF中， (AE=AF, ∠OAE=∠OAF, AO=AO, 所以△AOE≌△AOF(SAS) 所以∠AOE=∠AOF 因为∠AOC=120°， 所以∠AOE=∠AOF=60°. 所以∠COF=∠COD=60°. 在△CFO和△CDO中， I∠FCO=∠DCO, CO-CO, ∠FOC=∠DOC 所以△CFO≌△CDO(ASA). 所以FC=DC. 所以AC=AF+CF=AE+CD. 4利用三角形全等测距离 1.B2.50 3.这样做正确 理由：因为ABCD, 所以∠B=∠C. 因为E是线段BC的中点， 所以BE=CE. 在△AEB和△DEC中， (AB=DC, N∠B=∠C BE=CE, 所以△AEB≌△DEC. 所以AE=DE. 所以这样做正确。 4.B解析：因为∠AED=90°，所以 ∠AEB+∠DEC=90°.因为 ∠ABE=90°，所以∠A+∠AEB= 90°.所以∠A=∠DFC.在△ABE和 ∠B=∠C △ECD中， 了∠A=∠DEC,所以 AE=ED, △ABE≌△ECD.所以AB=EC= 5m.因为BC=13m,所以BE= BC-EC=13-5=8(m).所以小华 走到，点E所用的时间是8÷1=8(s). 5.因为∠C=100°，∠ADC=65, 所以∠CAD=15. 所以∠CAD=∠BEC. ∠A=∠E, 在△ACD和△ECB中， ∠C=∠C, CD=CB, 28 所以△ACD≌△ECB(AAS) 所以AC=EC. 又因为CB=CD, 所以AB=DE=30米. 6.可行. 理由：如图，连接AB,AD, 因为ACBD, 所以∠CAD=∠BDA. 在△ACD和△DBA中， (AC=DB, ∠CAD=∠BDA, AD-DA, 所以△ACD≌△DBA. 所以DC=AB. 所以量出CD的长即可得到A,B两 点之间的距离，即小明的设计方案 可行. A D (第6题) 7.A,B两地到路段MN的距离 相等 理由：如图，过，点A作AE⊥MN于点 E,过点B作BF⊥MN于点F. 所以∠AEM=∠BFN=90. 由题意，得AMBN,AM=BN, 所以∠M=∠N. 在△AEM和△BFN中， ∠AEM=∠BFN, ∠M=∠N, AM-BN, 所以△AEM≌△BFN. 所以AE=BF,即A,B两地到路段 MN的距离相等. M A E (第7题)