专题7 与三角形重要线段有关的常考模型（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）
2026-05-08
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦七年级下册三角形重要线段常考模型，涵盖中线等分面积、高线分类讨论、角平分线与高线夹角、两内角平分线夹角等核心内容。通过模型图示导入，搭建从基础概念到综合应用的学习支架，衔接已学三角形知识与复杂问题解决。
其亮点在于以模型化教学为主线，结合几何直观培养数学眼光，通过分类讨论（如高线位置不同求角度）发展推理意识，借助公式推导（如角平分线夹角公式）强化数学语言表达。实例丰富且含变式训练，助力学生构建结构化知识，教师可高效开展专题教学，提升学生解题能力。
内容正文：
初中数学
七年级下册·（BS版）
第四章 三角形
专题 7 与三角形重要线段有关的常考模型
模型1 三角形中线等分面积模型
模型展示 如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，则BD
＝CD，S△ABD＝S△ACD＝ S△ABC.
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1. 如图，在△ABC中，AD，AE分别是边CB上的中线和高，
AE＝6 cm，S△ABD＝12 cm2，则BC＝ cm.
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2. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝5，
AD是边BC上的中线，E是AD的中点，连接BE，CE，则阴影
部分的面积是 .
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3. 如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的中
线，AD和BE交于点N. 若S△BDN＝5，则S四边形DCEN＝ .
[变式] 在第3题中，连接CN并延长，交AB于点M，那么与
△BDN面积相等的三角形有 个.
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模型2 与三角形高线有关的分类讨论模型
模型展示 已知AD是△ABC的高，分以下两种情况：
①AD在三角形内部 ②AD在三角形外部
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4. 已知AD是△ABC的高，∠BAD＝65°，∠CAD＝20°，则
∠BAC＝ .
[变式] （2025·丹东七中开学）在△ABC中，AD为边BC上的
高，∠ABC＝40°，∠CAD＝30°，则∠BAC的度数
是 .
85°或45°
20°或80°
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5. （2025·延安月考）若AD是△ABC的高，且BD＝5，CD＝
2，则边BC的长为 .
[变式] 已知△ABC的面积为14，AD是边BC上的高，若AD＝
4，CD＝2，则BD的长为 .
7或3
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6. （2025·沈阳和平区期中）在△ABC中，AD，BE为三角形
的高，M为AD，BE所在直线的交点，∠BMD＝52°，求
∠C的度数.
解：分以下两种情况：
①当△ABC为锐角三角形时，即∠C为锐角，如图所示.
因为AD⊥BC，BE⊥AC，
所以∠AME＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠C＝90°，
所以∠AME＝∠C.
又因为∠AME＝∠BMD＝52°，所以∠C＝52°.
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②当△ABC为钝角三角形时，即∠C为钝角，如图所示.
因为AD⊥BC，BE⊥AC，
所以∠BMD＋∠DBM＝90°，∠DBM＋∠BCE＝90°，
所以∠BMD＝∠BCE.
因为∠BMD＝52°，所以∠BCE＝52°，
所以∠ACB＝180°－∠BCE＝180°－52°＝128°.
综上所述，∠C的度数为52°或128°.
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模型3 角平分线、高线的夹角模型
模型展示 已知AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线
（∠ACB＞∠B）.
如图1，当AD在△ABC的内部时，∠DAE＝ （∠ACB－∠B）；如图2，当AD在△ABC的外部时，∠DAE＝ （∠ACB－∠B）.
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7. 如图1，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE为∠BAC的
平分线，已知∠B＝20°，∠C＝50°.
（1）求∠DAE的度数.
解：因为∠B＝20°，∠C＝50°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝110°.
又因为AE为∠BAC的平分线，所以∠EAC＝ ∠BAC＝55°.
因为AD为BC边上的高，所以∠ADC＝90°，
所以∠DAC＝90°－∠C＝40°，
所以∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝15°.
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7. 如图1，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE为∠BAC
的平分线，已知∠B＝20°，∠C＝50°.
（2）若∠C＝α，∠B＝β（α＞β），试用含α，β的式子表示∠DAE.
解：（2）因为∠C＝α，∠B＝β（α＞β），
所以∠BAC＝180°－（α＋β）.
因为AE为∠BAC的平分线，
所以∠BAE＝ ∠BAC＝90°－ （α＋β）.
因为AD为BC边上的高，所以∠ADB＝90°，
所以∠BAD＝90°－∠B＝90°－β，
所以∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝90°－β－
＝ （α－β）.
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7. 如图1，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE为∠BAC的
平分线，已知∠B＝20°，∠C＝50°.
（3）若∠C＝α，∠B＝β（α＜β），则∠DAE＝ .
（直接写出结果，无需说明理由）
（4）如图2，若∠C＝α，∠ABC＝β（α＜β），其他的条件不
变，则（3）中的结论是否发生变化？请说明理由.
（β－α）
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解：（4）（3）中的结论不发生变化.理由如下：
在△ABC中，∠BAC＝180°－∠ABC－∠C.
因为AE为∠BAC的平分线，∠C＝α，∠ABC＝β（α＜β），
所以∠BAE＝ ∠BAC＝ （180°－∠ABC－∠C）＝90°－
（α＋β）.
因为AD为BC边上的高，所以∠ADC＝90°＝∠DAB＋∠ABD.
又因为∠ABD＝180°－∠ABC＝180°－β，
所以∠DAB＝90°－（180°－β）＝β－90°，
所以∠DAE＝∠DAB＋∠BAE＝β－90°＋90°－ （α＋β）
＝ （β－α）.
故（3）中的结论不发生变化.
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[变式] 如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＜∠C.
（1）如图1，AE是△ABC的高，∠B＝35°，∠C＝65°，则
∠DAE＝ ；
15°
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[变式] 如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＜∠C.
（2）如图2，点E在AD上，EF⊥BC于点F，试探究∠DEF
与∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由；
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解：（2）2∠DEF＝∠C－∠B. 理由如下：
如图2，过点A作AG⊥BC于点G.
因为EF⊥BC，所以EF∥AG，所以∠DEF＝∠DAG.
因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C.
因为AD是△ABC的角平分线，AG⊥BC，
所以∠DAC＝ ∠BAC＝90°－ ∠B－ ∠C，∠CGA＝90°，
所以∠CAG＝90°－∠C，
所以∠DAG＝∠DAC－∠CAG＝ ∠C－ ∠B，
所以∠DEF＝ ∠C－ ∠B，所以2∠DEF＝∠C－∠B.
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[变式] 如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＜∠C.
（3）如图3，点E在AD的延长线上，EF⊥BC于点F，则
∠DEF与∠B，∠C之间的数量关系是 .
2∠DEF＝∠C－∠B
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模型4 三角形的两内角平分线夹角模型
模型展示 如图，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，则
∠BDC＝90°＋ ∠A.
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8. 如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，BE
与CF相交于点P，猜想∠EPF和∠A之间有怎样的数量关系.
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解：因为∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点P，
所以∠PBC＝ ∠ABC，∠PCB＝ ∠ACB.
因为∠BPC＋∠PBC＋∠PCB＝180°，
所以∠BPC＝180°－（∠PBC＋∠PCB）＝180°－（ ∠ABC
＋ ∠ACB）＝180°－ （∠ABC＋∠ACB）.
在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
所以∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，
所以∠BPC＝180°－ （180°－∠A），
所以∠EPF＝∠BPC＝180°－ （180°－∠A）＝90°＋ ∠A.
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跟踪训练
9. 如图，在△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平
分线.若∠A＝50°，则∠BOC＝ .
115°
【解析】因为∠A ＝50°，所以∠ABC＋∠ACB＝180°－
∠A＝ 130°.
因为BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
所以∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ACB，
所以∠OBC＋∠OCB＝ （∠ABC＋∠ACB）＝65°，
所以∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB）＝115°.
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[变式1] 在第9题中，若将条件“∠A＝50°”改为“∠BOC＝
125°”，其他条件不变，则∠A的度数为 .
70°
[变式2] 在第9题中，若BO，CO分别是∠ABC与∠ACB的三
等分线（∠ABO＞∠OBC，∠ACO＞∠OCB），则∠BOC
＝ ；
若BO，CO分别是∠ABC与∠ACB的n等分
线（∠ABO＞∠OBC，∠ACO＞∠OCB），
则∠BOC＝ .
180°－
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10. 如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A'处，
且BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB. 若∠BA'C＝110°，则
∠1＋∠2＝ .
80°
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谢谢观看
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