专题03 全等三角形模型之一线三等角模型与手拉手的二种模型（高效培优专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

专题03 全等三角形模型之一线三等角模型与手拉手的二种模型 目录 题型一：全等三角形模型之一线三等角模型 1 题型二：全等三角形模型之手拉手模型 10 题型一：全等三角形模型之一线三等角模型 【常见模型及证法】 1）一线三等角（K型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB+CD=BC。 2）一线三等角（K型图）模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB-CD=BC。 1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2）（异侧型）证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 1．（25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）如图①，在中，，过点在外作直线，于点，于点． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）利用“”，可得，从而，，根据，等量代换即可说明； （2）利用“”，可得，从而，，再根据，等量代换即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， （） ，， ， ； （2）解：成立，理由如下， ， ， ， ， ， 在和中， ， （） ，， ， ． 2．（25-26八年级上·广西来宾·期末）（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：． （2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状． 【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）为等边三角形 【分析】（1）只需要证明，根据已知条件，结合全等三角形的判定定理即可解答； （2）运用类比的方法，同样可以证明； （3）结合（2）及已知条件，利用可以证明； 接下来根据全等三角形的性质可以得到，，至此问题即可解答． 【详解】（1）证明：直线l，直线l， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：成立，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 3．（24-25七年级下·河南郑州·期末）综合与实践 在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足 (1)如图1，当时，猜想线段、、之间满足的数量关系，并进行证明； (2)如图2，当 时，问题(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请进行证明； (3)如图3，在△中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，△的面积是，请求出△与△的面积之和． 【答案】(1)，证明见解析 (2)成立，理由见解析 (3)4 【分析】此题考查三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题意得，可得，有和，即可证明结论； （2）根据，得，即可证明，则有和，即有成立； （3）根据全等三角形的判定和性质定理以及三角形的面积的计算即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，， 则． （2）解：仍然成立， 理由：， ， ， ， ， ，， ； （3）解：同（2）可得， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， 即 ， 4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型． (1)如图1，在中，，点在直线上，过点作于点，过点作于点，由得___________．又知道，可以推理得到，进而得到___________． (2)当图1中的直线绕点旋转到图2的位置时，求证：． (3)当图1中的直线绕点旋转到图3的位置时，请直接写出．之间的数量关系：___________． (4)如图4，若将（1）中的条件改为：在中，， D，A，E三点都在直线上，且满足，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4)成立，理由见解析 【分析】本题考查了几何变换综合题，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键，在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论． （1）由垂直得，由同角的余角相等得，因此根据可以证明，结合全等三角形的对应边相等证得结论； （2）根据全等三角形的判定定理推知，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得； （3）同理（2）可得，，进而即可得出； （4）同理（1）可以证明，根据全等三角形的判定定理推知． 【详解】（1）证明：， 在和中 ，， （2）证明： 在和中 ，， （3）， 同理（2）可得： ，， ． （4）成立，理由如下： 在和中 5．（25-26八年级上·湖北·期中）（1）如图1，在中，，，直线经过点，过点分别向直线作垂线，垂足分别为，求证：； （2）如图2，若为等腰三角形，，点，，在直线上，满足，猜想，，有何数量关系，并说明理由； （3）如图3，以的边为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．若，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，判定三角形全等的方法包括，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． （1）考虑一线三垂直模型，先推导得到，然后证明； （2）先大胆猜想，然后证明，利用推导得到，证得，进而得到，，通过等量替换进而完成证明； （3）作辅助线，过点作交的延长线于点，过点作于点，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】解：（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， 在和中， ； （2），理由如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示： ，，， ， ， ， 在和中， ， ，同理可证明：， ， ， ， 的面积等于40． 题型二：全等三角形模型之手拉手模型 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 6．（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）如图，在中，，D是BC上一点（不与点B，C重合）．以AD为一边在AD的右侧作，使，，连接CE． (1)①试说明：； ②若，求的度数． (2)设，，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【答案】(1)①说明见解析；② (2) 【分析】（1）①通过角的等量关系得到，再结合已知边相等，利用判定； ②先由全等得到角的关系，结合等腰直角三角形的性质推导的度数． （2）通过全等三角形的角的关系，结合三角形内角和，推导与的数量关系． 【详解】（1）解：①∵， ∴，即：． 在 和中： ∴． ②∵，， ∴． 由①知，， ∴． ∴． （2）解：由①知，，则． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 7．（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，掌握相关结论是解题关键； （1）由题意得，结合即可求解； （2）证即可求解； （3）证，得，；推出，；根据，得；进而得，即可求解； 【详解】解：（1）∵都是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）由题意得： ， ∴，即， ∴， ∴，； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 8．（25-26八年级上·吉林·期中）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形．          (1)如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，，则有________； (2)类比探究：如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，则________． 【答案】(1) (2)与的数量关系是，位置关系是；见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质． （1）根据证明即可； （2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即； （3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴ 在和中，， ∴． 故答案为：； （2）解：与的数量关系，位置关系是． 理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）的方法得，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·山西朔州·期中）综合与探究 问题背景：和为等腰直角三角形，，，，连接． 问题初探： （1）如图1，当B，E，C三点在同一条直线上时， ①与的位置关系为_________． ②与的数量关系为_________． 拓展探究： （2）如图2，当B，E，C三点不在同一条直线上时，与交于点F，试判断（1）中与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由． （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断（2）中与的位置关系和数量关系是否仍然成立． 【答案】（1）① ；② ；（2）与的位置关系和数量关系没有发生变化，见解析；（3）与的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系； 【分析】（1）根据题意证明，再根据全等可得，，即可求解； （2）根据题意证明，设与交于点，再根据全等可得，，即可求解； （3）根据题意证明，设与交于点，再根据全等可得，即可求解； 【详解】解：（1）理由：延长交于点，如图 在和中， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为： ① ；②； （2）由题意得， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 设与交于点；如图；          ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的位置关系和数量关系没有发生变化； （3）设， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 设与交于点；如图； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不垂直， ∴与的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系； 10．（25-26九年级上·河南新乡·期中）【课本再现】如图，，都是等边三角形．与有什么关 系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？(不用解答) 【探究应用】 （1）如图2，，都是等腰直角三角形， ，， ． ①写出与的数量关系和位置关系： ； ②的面积与的面积相等吗？并说明理由． 【问题解决】 （2）如图，将绕点A逆时针旋转得到点恰好落在 上，与交于点 ．若与关于直线对称，且，，则 ①∠= ° ②线段的长是 ． 【答案】（1）①，；②相等；（2）①，②6． 【分析】本题考查了图形的旋转，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，添加适当的辅助线是本题的关键． （1）根据，都是等边三角形，把绕点A逆时针旋转得到 即可； ①证明，再由全等三角形的性质和三角形外角的性质即可证明结论，②和的边，再过D作于Y，过B作于X，构造，得相等边对应高相等，从而证明两个三角形面积相等， （2）①利用轴对称的性质求出，然后根据旋转的性质得出答案； ②利用旋转的性质和轴对称的性质求出和即可解决问题． 【详解】解：（1）①结论：，． 证明：如图，设交于点，交于点， ∵ ． ∴，即， 又∵，， ， ， ， ， ，即， 综上所述：，． ②的面积与的面积相等， 如图，过D作于Y，过B作于X，   ， ∵， ， 又∵， ， ， ∵，，， ，即， 的面积与的面积相等， （2）①∵与关于对称， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， 故答案为：； ②由旋转的性质可知，， ∵与关于对称， ∴， ∴， 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03全等三角形模型之一线三等角模型与手拉手的二种模型 题型归纳 目录 题型一：全等三角形模型之一线三等角模型1 题型二：全等三角形模型之手拉手模型… .10 题型专练 题型一：全等三角形模型之一线三等角模型 【常见模型及证法】 1)一线三等角(K型图)模型（同侧型） 锐角一线三等角直角一线三等角(“K型图”)钝角一线三等角 人 条件：∠A=LCED=∠B,AE=DE: 结论：△ABE兰△ECD,AB+CD=BC。 2)一线三等角（K型图)模型（异侧型） 锐角一线三等角直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：∠DCF=∠ABC=∠AED,AE=DE:结论：△ABE=AECD,AB-CD=BC。 I)(同侧型)证明：：∠AEC=∠B+∠BAE,∠B=∠AED,∴∠AEC-∠AED十∠BAE, '∠AEC=∠AED+∠CED,∴.∠BAE-∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C,∠BAE-∠CED,AE=ED:∴.△ABE=△ECD, .AB=EC,BE=CD,BC=BE+EC,..AB+CD=BC. 2)(异侧型)证明：：∠DCF=∠ABC,∠ECD=∠ABE, :∠ABC=∠AEB+∠A,∠AEID=∠AEB+∠CED,∠ABC=∠AED, 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED,∴∠A=∠CED, 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED,∠ECD=∠ABE,AE=ED:∴.△ABE兰△ECD .AB=EC,BE=CD,.BC=EC-BE,:.AB-CD=BC. 1.(25-26八年级下·云南玉溪·开学考试)如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC过点C在△ABC 外作直线I,AM⊥I于点M,BN⊥I于点N 图① 图② (I)试说明：MN=AM+BN: (2)如图②，将(1)中条件改为∠ADC=∠CEB=∠ACB=a(90°<a<180,AC=BC,请问(1)中的结 论DE=AD+BE是否还成立？请说明理由， 2.(25-26八年级上·广西来宾期末)(1)如图①，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，DE是过点A 的直线，BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E,且BD=AE,求证：DE=BD+CE, E A E D E 图① 图② 图③ (2)如图②，在△ABC中，AB=CA,D,A,E三点都在直线I上，并且有∠BDA仁∠AEC=∠BAC=a, 且Q≠90°，请问DE=BD+CE是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由 (3)拓展与应用：如图③，D,E是D,A,E三点所在直线1上的两动点(D,A,E三点互不重合)，点 F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD,CE.若 ∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状. 3.(24-25七年级下·河南郑州期末)综合与实践 在直线m上依次取互不重合的三个点D、A、E,在直线m上方有AB=AC,且满足 ∠BDA=∠AEC=∠BAC=C (I)如图1，当α=90°时，猜想线段DE、BD、CE之间满足的数量关系，并进行证明； D A m 图1 2/8 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，当0<a<180°时，问题(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由：若成立，请进行 证明； A E m 图2 (3)如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC,∠BAD<∠CAE,∠BDA=∠AEC-∠BAC,直线m 与CB的延长线交于点F,若BC=3BF,△ABC的面积是12，请求出△FBD与△ACE的面积之和. B D m 图3 4.(25-26八年级上·云南昆明·期末)一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶 点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型. B D 图1 图2 图3 B 图4 (I)如图1，在△ABC中，∠BAC=0,AB=AC,点A在直线MN上，过点B作BD⊥MN于点D,过点 C作CE⊥MN于点E,由∠DAB+∠DBA=90°，∠DAB+∠CAE=90°得∠DBA= 又知道 ∠BDA=∠AEC,AB=AC,可以推理得到△ABD≌ACAE,进而得到AD=CE,AE= (2)当图1中的直线MN绕点A旋转到图2的位置时，求证：DE=BD-CE. (3)当图1中的直线MN绕点A旋转到图3的位置时，请直接写出DE,BD,CE.之间的数量关系： (4)如图4，若将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线MN上，且满足 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BDA=∠BAC=∠AEC=a,其中a为任意锐角或钝角，请问结论△ABD≌△CAE是否成立？若成立，请 给出证明；若不成立，请说明理由. 5.(25-26八年级上湖北期中)(1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90,AB=AC,直线1经过点A, 过点B,C分别向直线I作垂线，垂足分别为D,E,求证：△ABD≌△CAE; (2)如图2，若△ABC为等腰三角形，AB=AC,点A,D,E在直线I上，满足∠CEA=∠BAC=∠ADB, 猜想DE,BD,CE有何数量关系，并说明理由； (3)如图3，以△ABC的边AB,AC为一边向外作△BAD和△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD, AC=AE,AG是边BC上的高，延长GA交DE于点H.若AH=4,AG=I0,求△DAE的面积. H B A G 图1 图2 图3 题型二：全等三角形模型之手拉手模型 1)双等边三角形型 A 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE-AD;③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD: 证明：，△ABC和△DCE均为等边三角形，∴.BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60 .∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即：∠BCE=∠ACD,∴.△ACD≌△BCE(SAS), .BE=AD,∠CBE=∠CAD,又.∠CMB=∠AMF,'.∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又. ∠CBE=∠CAD,BC=AC,∴.△BCQ≌△ACP(AAS) .CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2)双等腰直角三角形型 4/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE=AD:③∠ANM=∠BCM=90°；④CW平分∠BND。 证明：，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，.BC-AC,CE-CD,∠BCA=∠ECD-90° ∴.∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD,∴.△ACD≌△BCE(SAS), ∴.BE=AD,∠CBE=∠CAD,又.∠CMB=∠AMN,∴.∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP LAD,CO LBE,则∠CQB=∠CPA=90°，又： ∠CBE=∠CAD,BC-AC,'.△BCQ≌△ACP(AAS) ∴.CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3)双等腰三角形型 条件：BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD,C为公共点；连接BE,AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE-AD;③∠BCM=∠AFM;④CF平分∠BFD。 证明：：∠BCA=∠ECD,∴.∠BCA+∠ACE-∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD, 又，BC=AC,CE-CD,∴.△ACD≌△BCE(SAS),.BE=AD,∠CBE∠CAD, 又：∠CMB=∠AMF,∴.∠BCM=∠AFM,过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90° 又，∠CBE=∠CAD,BC-AC,∴.△BCQ≌△ACP(AAS) .CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 6.(25-26八年级上·浙江嘉兴·月考)如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC上一点（不与点B,C重 合).以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE. B (I)①试说明：△ABD≌△ACE: 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若∠BAC=90°，求∠BCE的度数 (2)设∠BAC=,∠BCE=P,则a,B之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论 7.(25-26八年级上河南新乡·期中)(1)如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，连接AD,BE.若 BE∥CD,则∠BEC的度数是 图1 图2 图3 (2)如图2，△ABC和△CDE都是等边三角形，点A,D,E在同一条直线上，连接BE.求证： AE=BE+CE, (3)如图3，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A,D,E在同一条直线 上，CM⊥AE于点M,连接BE,求∠AEB的度数以及线段CM,AE,BE之间的数量关系， 8.(25-26八年级上·吉林·期中)问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点， 并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图 形 B 图1 图2 图3 (I)如图1，△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，即AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,分别 连接BD,CE,则有△ABD≌△ (2)类比探究：如图2，△ABC和△ADE是都是等腰三角形，即AB=AC,AD=AE,且∠BAC= ∠DAE=9O°，B,C,D在同一条直线上.请判断线段BD与CE存在怎样的数量关系及位置关系，并说明 理由； (3)问题解决：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE =90°，点A,D,E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE,若AE=7,BE=2,则 CM= 9.(25-26八年级上·山西朔州·期中)综合与探究 问题背景：△ABE和△CDE为等腰直角三角形，∠AEB=∠CED=9O°，AE=BE,CE=DE,连接 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD,AC. 图1 图2 图3 问题初探： (1)如图1，当B,E,C三点在同一条直线上时， ①BD与AC的位置关系为 ②BD与AC的数量关系为 拓展探究： (2)如图2，当B,E,C三点不在同一条直线上时，BD与AC交于点F,试判断(1)中BD与AC的位 置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由， (3)如图3，将(2)中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断(2)中BD 与AC的位置关系和数量关系是否仍然成立. 10.(25-26九年级上·河南新乡·期中)【课本再现】如图，△ABD,△AEC都是等边三角形.BE与CD有 什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？（不用解答） D H 图1 图2 图3 【探究应用】 (1)如图2，△ABD,△AEC都是等腰直角三角形，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°. ①写出BE与CD的数量关系和位置关系：-； ②△ABC的面积与△AED的面积相等吗？并说明理由， 【问题解决】 (2)如图3，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,点D恰好落在BC上，DE与CA交于点F·若 △ABD与△AFD关于直线AD对称，且BC=9,BD=3,则 ①∠DAE=.· ②线段EF的长是一· 7/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8/8