☆问题解决策略：转化（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦“图形的轴对称”中的转化策略，通过问题链（两点在直线两侧、同侧求最短路径，角内部三角形周长最小等）构建学习支架，衔接基础图形性质与复杂问题解决，帮助学生逐步掌握转化思想。 其亮点在于以“将军饮马”“面积转化”等问题为载体，培养学生几何直观与推理意识，如通过对称将同侧线段和转化为异侧直线距离。采用例题解析与跟踪训练结合，助力学生形成转化思维，教师可直接用于分层教学，提升课堂效率。

初中数学 七年级下册·（BS版） 第五章　图形的轴对称 ☆问题解决策略：转化 类型1　利用转化策略求最小值 例1李老师在上“问题解决策略：转化”这一堂课时，探究了 以下几个问题，请你完成解答过程： 问题一：如图，A，B两点在直线l的两侧，在l上求作一点 P，使得PA＋PB最小. 解：如图，连接AB，与直线l交于点P，点P即为所求. 上一页 下一页 问题二：如图，A，B两点在直线l的同一侧，在l上求作一点 P，使得PA＋PB最小. 解：如图，首先作点B关于直线l的对称点B'.连接AB'，与直线 l交于点P，连接AP，BP，点P即为所求. 上一页 下一页 问题三：如图，A是锐角∠MON内部的任意一点，在∠MON 的两边OM，ON上各取一点B，C组成三角形，使三角形的周 长最小. 解：如图，作点A关于OM的对称点D，再作点A关于ON的对 称点E，连接DE，分别与OM，ON交于B，C两点，连接 AB，AC. 此时三角形ABC的周长最小. 上一页 下一页 问题四：如图，AB是锐角∠MON内部的一条线段，在∠MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形的周长最小. 解：如图，作点A关于OM的对称点E，再作点B关于ON的对 称点F，连接EF，分别与OM，DN交于C，D两点，连接 AC，BD. 此时四边形ABDC的周长最小. 上一页 下一页 问题五：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC ＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD和 AC上的动点，求PC＋PQ的最小值. 上一页 下一页 解：如图，过点C作CM⊥AB，交AB于点M，交AD于点P， 过点P作PQ⊥AC于点Q. 因为AD是∠BAC的平分线. 所以PQ＝PM，所以PC＋PQ＝PC＋PM，这时PC＋PQ取 得最小值，即CM的长度. 因为AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠ACB＝90°， S△ABC＝ AB·CM＝ AC·BC， 所以CM＝ ＝ ，即PC＋PQ的最小值为 . 上一页 下一页 解题策略　对称、翻折→化同为异、化折为直. 例如，“将军饮马”问题可以通过翻折、对称等轴对称性质 把两条线段的和转化到一条线段上，然后根据两点之间线段 最短、点到直线的垂直距离最短去解决. 上一页 下一页 类型2　利用转化策略求图形面积 例2如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8， AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F. 当AB＋CE＝ CD时，求图中阴影部分的面积. 上一页 下一页 解：因为AB∥CD，所以∠BAD＝∠D. 因为AB＋CE＝CD，CE＋DE＝CD，所以AB＝DE. 在△BAF和△EDF中， 因为∠BFA＝∠EFD，∠BAD＝∠D，AB＝DE， 所以△BAF≌△EDF（AAS），所以S△BAF＝S△EDF. 在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8， 所以S阴影＝S四边形ACEF＋S△BAF＝S四边形ACEF＋S△EDF＝S△ACD＝ AC·AD＝ ×6×8＝24. 上一页 下一页 解题策略　 求图形面积时，可以将不规则图形的面积转化为规则图形的 面积，也可以利用相关性质将分散的图形转化为整体图形， 再进行求解. 上一页 下一页 跟踪训练 1. 如图，军官从军营C出发先到河边（河流用AB表示）饮 马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？下列 给出的四个图形中，符合要求的是（　C　） A B C D C 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 2. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，EF 垂直平分BC，M是直线EF上的任意一点，则AM＋CM的最 小值是 ⁠. 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 3. 如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD交于点 O，E为边AD上一动点，连接OE，OF⊥OE交CD于点F， 则图中两个阴影部分的面积之和为 ⁠. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 4. （2024·沈阳康平期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝ 6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC. 若E，F分别是BD， BC上的动点，则CE＋EF的最小值为 ⁠. [变式] 在第4题中，若∠ABC＝68°，则当CE＋EF的值最小 时，∠CEF的度数为 ⁠. 6　 68°　 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 5. （2025·沈阳一二○中月考）如图，在面积为12的△ABC中， AB＝AC，BC＝4，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB， 交AB于点E，交BC的延长线于点F，P为直线EF上一动点， 则△PBD周长的最小值为 ⁠. 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 6. （2024·抚顺新抚区期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝ 50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别为BC，DC上的点，当 △AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 ⁠. 80°　 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 【解析】如图，分别作点A关于BC和CD的对称点A'，A″，连接A'A″，交BC于点E，交CD于点F，则△AEF周长的最小值即A'A″的长度. 因为∠C＝50°，∠ABC＝∠ADC＝90°，所以∠DAB＝130°， 所以∠A'＋∠A″＝180°－130°＝50°. 由轴对称的性质，得AE＝A'E，AF＝A″F， 所以∠A'＝∠EAA'，∠FAD＝∠A″， 所以∠EAA'＋∠A″AF＝50°， 所以∠EAF＝130°－50°＝80°.故答案为80°. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AB ＝5，P，D分别为边AC，AB上的动点，则PB＋PD的最小值 为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 【解析】如图，作点B关于AC的对称点B'， 根据轴对称性的性质，得BC＝B'C，BP＝B'P， 所以BP＋PD＝B'P＋PD. 当B'，P，D三点共线，且B'D⊥AB时，PB ＋PD取得最小值，最小值为B'D的长度. 过点B'作B'D⊥AB于点D，交AC于点P，连接AB'， 所以S△ABB'＝S△ABC＋S△AB'C＝2S△ABC，即 AB·B'D＝2× BC·AC， 所以5B'D＝24，所以B'D＝ ，即PB＋PD的最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 8. 如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，D是BC的中点， EF垂直平分AB，交边AB于点E，交边AC于点F，在EF上确 定一点P，使｜PB－PD｜最大，则这个最大值为 ⁠. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 【解析】如图，延长BC交直线EF于点P，在EF上任取一点P'不与点P重合，连接P'B，P'D. 因为｜P'B－P'D｜＜BD，｜PB－PD｜＝｜PD＋BD－PD｜ ＝BD， 所以｜PB－PD｜＞｜P'B－P'D｜， 所以此时｜PB－PD｜最大，最大值为BD的长. 因为D是BC的中点， 所以BD＝ BC＝ ×10＝5，所以｜PB－PD｜的最大值为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 谢谢观看 $