第五章 问题解决策略：转化-【初中学霸创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步课件(北师大版·新教材)

该初中数学课件核心围绕“转化”策略展开，通过工厂储物点选址的实际问题导入，抽象为直线同侧两点到直线上一点距离和最短的数学问题，以“两点之间线段最短”旧知为基础，通过作对称点将同侧问题转化为异侧问题，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以现实问题为载体发展数学眼光，抽象实际情境为数学模型，通过对比同侧与异侧点问题的问题链培养数学思维，用对称性质和线段公理的数学语言表达转化过程。随堂小测如正方形阴影面积计算、小区服务中心选址等实例强化应用，助力学生提升复杂问题解决能力，为教师提供结构化的教学方案。

☆ 问题解决策略：转化 学习目标 1.借助已学知识转化复杂问题的能力，提高利用轴对称解决实际问题的能力。（难点） 2.借助已学知识转化复杂问题的能力。（重点） 课时导入 如图，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间。你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短? 如果把大门、车间和储物点所在的位置都看作点，把道路看作一条直线，那么上述问题可以抽象成怎样的数学问题? 理解问题 可以抽象为在直线上确定一个点，使得该点到直线同侧的两点的长度之和最短。 拟定计划 （1）你以前遇到过类似的问题吗?关于“最短”，你有哪些认识? （2）相信你能解决以下问题：如图，直线l的两侧分别有A，B两点，在直线l上确定一个点C，使AC+CB最短。原问题与这个问题有什么区别和联系?你能将原问题转化为（2）这样的问题吗？ 垂线段最短，两点之间线段最短。 原问题两点在直线同侧， 这个问题两点在直线两侧。 实施计划 写出你的解决方案，并说明道理。 如图，作点B关于l的对称点B'，根据轴对称的性质，对于l上任意一点C，都有BC=B'C，因此AC+BC=AC+B'C，问题转化为：在直线l上确定一个点C，使AC+B'C最短。 根据“两点之间线段最短”，连接AB'，与l交于点C，点C就是所要确定的点。 l A B B' C 知识讲解 将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，这就是转化策略。 面对新研究的问题时，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题。转化是解决数学问题的一种重要策略。 通过转化，可以把一个问题转化为与它等价的问题，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的。 归纳总结 随堂小测 1. 如图，正方形的边长为4，分别以正方形的两条边为直径画半圆，并连接对角线，则图中阴影部分的面积是________。（结果保留π） 4π-8 随堂小测 2. 如图，A，B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短。下面四种选址方案符合要求的是（ ） B 3. 如图，点P为∠AOB内一定点，点M，N分别是射线OA，OB上的点，当△PMN的周长最小时，∠MPN=110°，则∠AOB=________。 35° 4. 如图，∠AOB=45°，点M，N分别在射线OA，OB上，MN=3，△OMN的面积为6，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线MN上运动时，△OP1P2的面积最小值为多少? 解：如图，连接OP，过点O作OH⊥MN交NM的延长线于H， 由题意，得∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，OP1=OP=OP2， 因为S△OMN=MN·OH=6，且MN=3，所以OH=4， 因为∠AOB=45°， 所以∠P1OP2=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=90°， 所以△OP1P2的面积为OP1·OP2=OP 2， 由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，OP取得最小值，最小值为OH=4，所以△OP1P2的面积的最小值为×42=8。 小结 面对新研究的问题时，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题。转化是解决数学问题的一种重要策略。 通过转化，可以把一个问题转化为与它等价的问题，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的。 课后作业 完成课本P137 T1、T2、T3 绿卡图书—走向成功的通行证 $