专题10 构造全等三角形的基本方法（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

专题10 构造全等三角形的基本方法 方法1倍长中线法 [拓展](4)如图4，(3)中的其他条件不变， 例1【一题多问】问题：如图1，在△ABC中，若 AD是△ABC的高线，延长DA交EF于点 AB=6,AC=4,求边BC上的中线AD的取 G.若AD=3,AG=2,则△AEF的面积是 值范围 小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解 决方法：如图2，延长AD到点M,使DM= AD,连接BM,可证△ACD≌△MBD,从而 把AB,AC,2AD集中在△ABM中，利用三 角形三边的关系即可判断中线AD的取值 图4 范围. 方法2截长补短法 (1)直接写出图1中AD的取值范围： 例2如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA (2)猜想图2中AC与BM的数量关系和位 45°，CA=CB,E为BC的中点，CN⊥AE 置关系，并说明理由 交AB于N,连接EN.试说明： (1)∠BCN=∠CAE; (2)AE=CN十EN(请用截长法和补短法分 别说明) 图1 图2 (3)如图3，AD是△ABC的中线，AB= AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°，判断 线段EF和AD的数量关系和位置关系，并 说明理由. 图3 第四章三角形19 跟踪训练 4.[问题情境]在几何图形中，共顶点处的两个角 1.如图，AD是△ABC的边 中，较小的角是较大的角的一半时，我们称之为 BC上的中线.若AB=5, 半角模型截长补短法是解决这类问题常用的 AD=3,则AC的取值范 B 方法 围是 如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E是 ∠EAF=45°，AE,AF与BC,CD分别交于 CD的中点，AB⊥AE,垂足为A,且AB=4, E,F两点，连接EF.为了探究EF,BE,DF AE=5,求四边形ABCD的面积， 之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长CB到点H,使BH=DF,连接 AH,先证明△ADF≌△ABH,再证明 △AHE≌△AFE,从而得到EF,BE,DF 之间的数量关系。 [知识应用](1)EF,BE,DF之间的数量关 系为 (2)如图3，AB=AD,∠B=∠D=90°，以A 为顶点的∠BAD=120°，∠EAF=60°，AE, AF与BC,CD分别交于E,F两点，连接 EF,你认为(1)中的结论还成立吗？请说明 理由. [知识拓展](3)如图4，在四边形ABCD中， AB=AD=a,BC=b,CD=c,∠ABC与∠D 3.如图，AD∥BC,AE平分∠BAD,BE平分 互补，AE,AF与BC,CD分别交于E,F两点， ∠ABC,点E在CD上.试说明AD+BC= AB. 连接EF,且∠EAF= 专∠RAD,则△ErC的 周长为 (用含a,b,c的式子表示) 45 B E H-B E 图1 图2 609 E 图3 图4 20数学7年级下册BS版3.解：因为∠BCE=∠ACD=90°， 所以∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠DCE, 所以∠ACB=∠DCE. 在△ABC和△DEC中， 因为∠BAC=∠D,∠ACB=∠DCE,BC=EC, 所以△ABC≌△DEC(AAS), 所以AC=CD. 4.解：(1)因为CF⊥AE,BD⊥AE, 所以∠CFA=∠ADB=90°， 所以∠ABD十∠BAD=90°. 因为∠MAN=90°， 所以∠CAF+∠BAD=90°， 所以∠ABD=∠CAF 在△ABD和△CAF中， 因为∠ABD=∠CAF,∠ADB=∠CFA,AB=AC, 所以△ABD≌△CAF(AAS. (2)因为∠1=∠2，∠AEB+∠1=180°，∠CFA+ ∠2=180°，∠EAB+∠ABE+∠AEB=180°， 所以∠AEB=∠CFA,∠1=∠EAB+∠ABE. 因为∠1=∠BAC=∠EAB+∠CAF, 所以∠ABE=∠CAF. 在△ABE和△CAF中，因为∠AEB=∠CFA, ∠ABE=∠CAF,AB=CA, 所以△ABE≌△CAF(AAS), 所以BE=AF,AE=CF. 因为AF=AE+EF, 所以BE=EF十FC. (3)7 5.解：(1)因为△ABC和△ECD都是等边三角形， 所以∠BCA=∠ECD=∠BAC=∠ABC=60°， BC=AC,CE=CD, 所以∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE, 所以∠BCE=∠ACD. 在△BCE和△ACD中，BC=AC,∠BCE=∠ACD, CE=CD, 所以△BCE≌△ACD(SAS),所以BE=AD. (2)60° 专题10构造全等三角形的基本方法 【例1】(1)1<AD5 (2)AC=BM,AC∥BM.理由略 (3)EF=2AD,EF⊥AD.理由略 (4)6 ·答乳 【例2】解：(1)因为∠CAB=∠CBA=45°， 所以∠ACB=90°，所以∠CEA十∠CAE=90° 设AE与CN交于点O(图略). 因为CN⊥AE,所以∠COE=90°， 所以∠CEA+∠BCN=90°， 所以∠BCN=∠CAE. (2)【截长法】如图1，在AE上截取AF=CN,连 接CF. 在△ACF和△CBN中， 因为AF=CN,∠CAE=∠BCN, AC=CB, 所以△ACF≌△CBN(SAS), 所以CF=BN,/ACF=/B=45° 图】 所以∠ECF=45°=∠B. 因为E为BC的中点，所以CE=BE. 在△CEF和△BEN中， 因为CE=BE,∠ECF=∠B,CF=BN, 所以△CEF≌△BEN(SAS), 所以EN=EF, 所以AE=AF+EF=CN十EN. 【补短法】如图2，延长CN至点F,使CF=AE,连 接BF 在△CAE和△BCF中， 因为AC=CB,∠CAE=∠BCN, AE=CF, 所以△CAE≌△BCF(SAS), 所以∠CBF=ACE=90°， 图2 CE=BF. 因为∠CBA=45°，所以∠FBN=45°， 所以∠FBN=∠EBN. 因为E为BC的中，点，所以CE=BE=BF. 在△EBN和△FBN中，因为BE=BF,∠EBN= ∠FBN,BN=BN, 所以△EBN≌△FBN(SAS), 所以NE=NF,所以AE=CF=CN+NF= CN+EN. 【跟踪训练】 1.1<AC112.20 3.解：如图，在AB上截取AF=AD,连接EF. 因为AE平分∠BAD, 所以∠DAE=∠FAE. 在△ADE和△AFE中， 18· 因为AD=AF,∠DAE=∠FAE, AE=AE, 所以△ADE≌△AFE(SAS), 所以∠D=∠AFE. 因为AD∥BC, 所以∠D+∠C=180°. 因为∠AFE+∠BFE=180°， 所以∠C=∠BFE. 因为BE平分∠ABC,所以∠CBE=∠FBE. 在△BCE和△BFE中，因为∠C=∠BFE, ∠CBE=∠FBE,BE=BE, 所以△BCE2△BFE(AAS), 所以BC=BF, 所以AD+BC=AF+BF=AB. 4.(1EF=DF+BE (2)成立.理由略 (3)b+c 第五章图形的轴对称 专题11尺规作图 1解：如图，点P即为所求. 2.解：如图，点D即为所求， 3解：如图，点G为所求. 4.解：解法1：如图，点P即为所求 A B 解题思路2：先作OD平分∠AOB,再作∠ACP= ∠AOB,CP交OD于点P. ·答 5.解：如图，△ABC即为所求. N M 6解：如图，点C即为所求. B M 7.解：如图，△ABC即为所求 a 专题12利用轴对称的性质解决折叠问题 1.D2.180°-2a3.100°4.35°或125°5.108 第六章变量之间的关系 专题13折线与儿何动点、行程问题 1.212.33.243或14 4.解：(1)1800(2)3(3)3000 (4)当时间在0~6分钟内时，骑车速度为1200÷6= 200(米/分)； 当时间在6~9分钟内时，骑车速度为(1200一 600)÷(9-6)=200(米/分)； 当时间在12~15分钟内时，骑车速度为(1800- 600)÷(15-12)=400(米/分). 15千米/时=250米/分. 因为400>250， 所以在12~15分钟时小明的骑车速度最快，不在安 全限度内」 5.(1)0.4km/min(2)4km(3)5min 6.1)相遇(2)80(31040(4)3或？ 4 7.(1)42014070(2)3 (8)号h或9h或号h 8.(1)2510 (2)101.5 ()h或好h 案19·