专题9 全等三角形的基本模型（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

3.解：因为AD是△ABC的中线， 所以BD=CD 在△ACD和△EBD中， 因为CD=BD,∠ADC=∠EDB,AD=ED, 所以△ACD≌△EBD(SAS). 4.解：因为∠BAE=∠DAC, 所以∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE, 所以∠CAB=∠EAD. 因为AB=AD,AC=AE, 所以△ABC≌△ADE(SAS), 所以∠E=∠C. 5.解：(1)因为O是线段AB的中，点， 所以AO=BO. 因为OD∥BC, 所以∠AOD=∠OBC. 在△AOD和△OBC中，因为AO=BO,∠A ∠OBC,OD=BC, 所以△AOD≌△OBC(SAS). (2)35° 6.解：在△ABD和△CDB中，因为∠A ∠CDB,BD=DB,∠ADB=∠CBD, 所以△ABD≌△CDB(ASA). 7.解：因为OA=OB,OE=OF, 所以AE=BF. 在△ACE和△BDF中， 因为∠ACE=∠BDF,∠A=∠B,AE=BF, 所以△ACE≌△BDF(AAS). 8.解：(1)因为BF=EC, 所以BF一CF=EC一CF,即BC=EF. 在△ABC和△DEF中， 因为BC=EF,∠1=∠2，AC=DF, 所以△ABC≌△DEF(SAS). (2)因为△ABC≌△DEF, 所以∠B=∠E, 所以AB∥DE. 9.解：因为DE∥AB,所以∠BAC=∠ADE. 在△ABC和△DAE中，因为∠B=∠DAE DA,∠BAC=∠ADE, 所以△ABC≌△DAE(ASA),所以BC=AE. 10.解：(1)因为AB∥DE,∠E=40°， 所以∠EAB=∠E=40° 因为∠DAB=70°， 所以∠DAE=30°. (2)在△ADE和△BCA中， 因为∠DAE=∠B,AE=AB,∠E=∠BAC, 所以△ADE≌△BCA(ASA), 所以AD=BC. 11.解：因为∠BAC+∠CAE=180°，∠DAC+ ∠CAE=180°， 所以∠BAC=∠DAC. 在△ABC和△ADC中， 因为∠B=∠D,∠BAC=∠DAC,AC=AC, 所以△ABC≌△ADC(AAS), 所以BC=DC. 12.解：(1)因为AO平分∠BAC, 所以∠EAO=∠DAO. 因为∠CEB=∠BDC=90°， 所以∠AEO=∠ADO. OD= 在△ADO和△AEO中，因为∠ADO=∠AEO, ∠DAO=∠EAO,AO=AO, 所以△ADO≌△AEO(AAS). (2)因为△ADO≌△AEO, BD= 所以DO=EO. 在△BDO和△CEO中，因为∠BDO=∠CEO, DO=EO,∠DOB=∠EOC, 所以△BDO≌△CEO(ASA). 专题9全等三角形的基本模型 1.解：(1)因为AB∥DE, 所以∠B=∠DEF. 在△ABC和△DEF中， 因为∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠DEF, 所以△ABC≌△DEF(ASA). (2)3 2.解：(1)在△BOD和△COE中， 因为∠BOD=∠COE,∠B=∠C,BD=CE, 所以△BODC≌△COE(AAS), 所以OD=OE (2)因为D,E分别是AB,AC的中点， AB= 所以AD=BD=号AB,AE=CE=2AC 因为BD=CE, 所以AD=AE,AB=AC. 在△ABE和△ACD中， 因为AB=AC,∠A=∠A,AE=AD, 所以△ABE2△ACD(SAS). ·答案17· 3.解：因为∠BCE=∠ACD=90°， 所以∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠DCE, 所以∠ACB=∠DCE. 在△ABC和△DEC中， 因为∠BAC=∠D,∠ACB=∠DCE,BC=EC, 所以△ABC≌△DEC(AAS), 所以AC=CD. 4.解：(1)因为CF⊥AE,BD⊥AE, 所以∠CFA=∠ADB=90°， 所以∠ABD十∠BAD=90°. 因为∠MAN=90°， 所以∠CAF+∠BAD=90°， 所以∠ABD=∠CAF 在△ABD和△CAF中， 因为∠ABD=∠CAF,∠ADB=∠CFA,AB=AC, 所以△ABD≌△CAF(AAS. (2)因为∠1=∠2，∠AEB+∠1=180°，∠CFA+ ∠2=180°，∠EAB+∠ABE+∠AEB=180°， 所以∠AEB=∠CFA,∠1=∠EAB+∠ABE. 因为∠1=∠BAC=∠EAB+∠CAF, 所以∠ABE=∠CAF. 在△ABE和△CAF中，因为∠AEB=∠CFA, ∠ABE=∠CAF,AB=CA, 所以△ABE≌△CAF(AAS), 所以BE=AF,AE=CF. 因为AF=AE+EF, 所以BE=EF十FC. (3)7 5.解：(1)因为△ABC和△ECD都是等边三角形， 所以∠BCA=∠ECD=∠BAC=∠ABC=60°， BC=AC,CE=CD, 所以∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE, 所以∠BCE=∠ACD. 在△BCE和△ACD中，BC=AC,∠BCE=∠ACD, CE=CD, 所以△BCE≌△ACD(SAS),所以BE=AD. (2)60° 专题10构造全等三角形的基本方法 【例1】(1)1<AD5 (2)AC=BM,AC∥BM.理由略 (3)EF=2AD,EF⊥AD.理由略 (4)6 ·答乳 【例2】解：(1)因为∠CAB=∠CBA=45°， 所以∠ACB=90°，所以∠CEA十∠CAE=90° 设AE与CN交于点O(图略). 因为CN⊥AE,所以∠COE=90°， 所以∠CEA+∠BCN=90°， 所以∠BCN=∠CAE. (2)【截长法】如图1，在AE上截取AF=CN,连 接CF. 在△ACF和△CBN中， 因为AF=CN,∠CAE=∠BCN, AC=CB, 所以△ACF≌△CBN(SAS), 所以CF=BN,/ACF=/B=45° 图】 所以∠ECF=45°=∠B. 因为E为BC的中点，所以CE=BE. 在△CEF和△BEN中， 因为CE=BE,∠ECF=∠B,CF=BN, 所以△CEF≌△BEN(SAS), 所以EN=EF, 所以AE=AF+EF=CN十EN. 【补短法】如图2，延长CN至点F,使CF=AE,连 接BF 在△CAE和△BCF中， 因为AC=CB,∠CAE=∠BCN, AE=CF, 所以△CAE≌△BCF(SAS), 所以∠CBF=ACE=90°， 图2 CE=BF. 因为∠CBA=45°，所以∠FBN=45°， 所以∠FBN=∠EBN. 因为E为BC的中，点，所以CE=BE=BF. 在△EBN和△FBN中，因为BE=BF,∠EBN= ∠FBN,BN=BN, 所以△EBN≌△FBN(SAS), 所以NE=NF,所以AE=CF=CN+NF= CN+EN. 【跟踪训练】 1.1<AC112.20 3.解：如图，在AB上截取AF=AD,连接EF. 因为AE平分∠BAD, 所以∠DAE=∠FAE. 在△ADE和△AFE中， 18·思路2：通过找出其中一组等角的对边相等，运用 “AAS”来判定两个三角形全等. 7.如图，已知AB,CD交于点O,E,F为AB上 的两点，OA=OB,OE=OF,∠A=∠B, ∠ACE=∠BDF,试说明△ACE≌△BDF. A、 类型3已知一边一角对应相等 (找夹角的另一边→SAS 已知一边一角 找另一角→ASA/AAS 思路1：通过找出夹角的另一边相等，运用“SAS”来判 定三角形全等. 8.如图，点C,F在线段BE上，BF=EC, ∠1=∠2，AC=DF.试说明： (1)△ABC≌△DEF; (2)AB∥DE. 思路2：通过找出另外一组角相等，运用“AAS”或“ASA” 来判定两个三角形全等，角相等呈现的方式：①公共角； ②对顶角；③同角（等角）的余角（补角）：④角平分线；⑤ 垂直；⑥平行. 9.如图，已知D是AC上的一点，AB=DA, DE∥AB,∠B=∠DAE,试说明BC=AE, D( 16数学7年级下册BS版 10.如图，AB=AE,AB∥DE,∠DAB=70°， ∠E=40°. (1)求∠DAE的度数； (2)若∠B=30°，试说明AD=BC. D 11.如图，在△ABC中，E是边BC上的一点， 连接EA并延长至点D,连接CD,∠B= ∠D,∠BAC+∠CAE=180°，试说明 BC=DC. 12.如图，已知∠BDC=∠CEB=90°，BE,CD 交于点O,且AO平分∠BAC,试说明： (1)△ADO≌△AEO; (2)△BDO≌△CEO. 专题⑨ 全等 模型1平移模型 模型 A D A 展示 B EC F B C(E)F B CE 模型 沿同一直线(BC)平移可得两个三角形重 特点 合(BE=CF) 两个三角形全等的关键：(1)加（减）共线部分 解题 CE,得BC=EF;(2)利用平行线的性质得对 思路 应角相等 1.如图，在△ABC和△DEF中，点B,E,C,F 在同一条直线上，AB∥DE,AB=DE, ∠A=∠D. (1)试说明△ABC≌△DEF; (2)若BF=11,EC=5,求BE的长. 模型2 轴对称（翻折）模型 有公 共边 模型 展示 有公共 顶点 A 模型 所给图形沿公共边所在直线或者经过公共 特点 顶点的某条直线折叠，两个三角形完全重合 两个三角形全等的关键：(1)找公共角、垂 解题 直、对顶角等条件得对应角相等；(2)找公共 思路 边、中，点、相等边、线段的和差等条件得对应 边相等 :角形的基本模型 2.如图，D,E分别是AB,AC的中点，BE,CD 相交于点O,∠B=∠C,BD=CE.试说明： (1)OD=OE; (2)△ABE≌△ACD. 模型3旋转模型 模型展示 模型特点 绕公共顶点旋转可得两个三角形重合 加（减）共顶，点的公共角部分得到一组 解题思路 对应角相等 3.如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上， ∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D,BC= CE.试说明AC=CD. 第四章三角形17 模型4一线三等角模型 模型5手拉手模型 模型展 模型展示 等边三角形等腰直角三角形 正方形 5.[阅读学习]如图1. 锐角 直角 钝角 (右手2) 模型特点已知A,P,B三点共线，且∠1=∠2=∠3 利用三角形的内角和寻找角相等，再加 (左手2) 解题思路 B 上任一组边相等，易得三角形全等 (左手1) (右手1) 图1 图2 4.(1)[理解证明]如图1，∠MAN=90°，射线 条件：(1)△ABC和△ADE都是等腰三角形； AE在这个角的内部，点B,C分别在 (2)∠BAC=∠DAE(顶角相等). ∠MAN的边AM,AN上，且AB=AC, 结论：△ABD≌△ACE. CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.试说明 [解题思路]左手拉左手（点B连点D),右手 △ABD≌△CAF. 拉右手（点C连点E),易求得∠BAD= (2)[类比探究]如图2，点B,C分别在 ∠CAE,利用“边角边”可求得△ABD≌ ∠MAN的边AM,AN上，点E,F在 △ACE. ∠MAN内部的射线AD上，已知AB=AC, [解决问题]如图2，△ABC和△ECD都是 ∠1=∠2=∠BAC.试说明BE=EF+FC. 等边三角形.已知B,C,D三点共线，AD与 (3)[拓展应用]如图3，在△ABC中，AB= BE相交于点O,AD与CE交于点F,AC与 AC,AB>BC.点D在边BC上，CD=2BD, BE交于点G, 点E,F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC. (1)试说明BE=AD; 若△ABC的面积为21，则△ACF与△BDE (2)求∠AOB的度数. 的面积之和为 图2 图3 18数学7年级下册BS版