专题8 判定三角形全等的基本思路（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

模型4三角形的两内角平分线夹角模型 P模型展示如图，BD,CD分别平分∠ABC, ∠ACB,则∠BDC=90+∠A, D 8.如图，在△ABC中，BE平分∠ABC,CF平 分∠ACB,BE与CF相交于点P,猜想 ∠EPF和∠A之间有怎样的数量关系， 14数学7年级下册BS版 ●跟踪训练 9.如图，在△ABC中，BO,CO分别是∠ABC和 ∠ACB的平分线.若∠A=50°，则∠BOC= [变式1]在第9题中，若将条件“∠A= 50°”改为“∠BOC=125”,其他条件不变，则 ∠A的度数为 [变式2]在第9题中，若BO,CO分别是 ∠ABC与∠ACB的三等分线（∠ABO> ∠OBC,∠ACO>∠OCB),则∠BOC= 若BO,CO分别是∠ABC与∠ACB的n等 分线（∠ABO>∠OBC,∠ACO>∠OCB), 则∠BOC= 10.如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点 A落在点A'处，且BA'平分∠ABC,CA'平 分∠ACB.若∠BA'C=110°，则∠1+∠2= 专题⑧判定三角形全等的基本思路 类型1已知两边对应相等 4.在如图所示的“风筝”图案中，已知AB= [找另一边→SSS AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.试说明 已知两边 找夹角→SAS ∠E=∠C. 思路1：通过找出三边对应相等，运用“SSS”来判定三 角形全等边相等的呈现方式：①公共边（包括全部公 共和部分公共)；②中点. 1.如图，已知AB=DE,AD=EC,D是BC的 中点，试说明△ABD≌△EDC 5.如图，O是线段AB的中点，OD∥BC且 D OD=BC. (1)试说明△AOD≌△OBC; (2)若∠ADO=35°，求∠DOC的度数， 2.如图，点A,E,C,F在同一条直线上，如果 AB=FD,BC=DE,AE=FC,那么∠DEF 与∠BCA相等吗？请说明理由. 类型2已知两角对应相等 r找夹边→ASA 已知两角 找任一等角的对边→AAS 思路2：通过找出两边的夹角相等，运用“SAS”来判定 思路1：通过找出两角的夹边相等，运用“ASA”来判 三角形全等. 定三角形全等 3.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，延 6.如图，∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD. 长AD至点E,使DE=AD,连接BE,试说 试说明△ABD≌△CDB. 明△ACD≌△EBD. 第四章三角形15专题6平行线中常见的拐点模型 【母题】两直线平行，同旁内角互补平行于同一条 直线的两条直线平行两直线平行，同旁内角互补 【变式1】∠BED=∠B+∠D∠D两直线平行， 内错角相等∠B两直线平行，内错角相等∠D 【变式2】解：(1)∠A=∠APC+∠C.理由如下： 如图1，过点P作PF∥CD. 因为PF∥CD,所以∠C=∠FPC 因为AB∥CD,所以PF∥AB, 所以∠A=∠FPA. 因为∠FPA=∠APC+∠FPC, D 图 所以∠A=∠APC+∠C. (2)∠APC=∠A一∠C.理由如下： 如图2，过点P作PQ∥AB. 因为AB∥PQ, B 所以∠A=∠APQ. 因为AB∥CD,所以PQ∥CD, 所以∠C=∠CPQ. 图2 因为∠APC=∠APQ-∠CPQ, 所以∠APC=∠A-∠C. 【跟踪训练】 1.C2.B3.C4.D5.270° 6.x十y-之=90 7.(1)55°(2)40° (3)∠QEN士2∠P=90.理由略 第四章三角形 专题7与三角形重要线段有关的常考模型 1.82.103.10【变式】5 4.85°或45°【变式】20°或80° 5.7或3【变式】5或9 6.52°或128 71)15°2)∠DAE2(a-B)(3)2(9a (4)(3)中的结论不发生变化.理由略 【变式】解：(1)15 (2)2∠DEF=∠C一∠B.理由如下： 如图，过点A作AG⊥BC于点G. DFG C 因为EF⊥BC, 所以EF∥AG,所以∠DEF=∠DAG. ·答案 因为∠B+∠C+∠BAC=180°， 所以∠BAC=180°-∠B-∠C. 因为AD是△ABC的角平分线，AG⊥BC, 所以∠DAC=7∠BAC=90-号∠B-号∠C. ∠CGA=90°，所以∠CAG=90°-∠C, 所以∠DAG=∠DAC-∠CAG=?∠C-3∠B. 所以∠DEF名∠C-名∠B, 所以2∠DEF=∠C-∠B. (3)2∠DEF=∠C-∠B 8.解：因为∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF相交 于点P, 所以∠PBC=号∠ABC,∠PCB=∠ACB. 因为∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°， 所以∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°- (合∠ABC+专∠ACB）=180-合（∠ABC+ 1 1 ∠ACB). 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， 所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A, 所以∠BPC=180-2180-∠A. 所以∠EPF=∠BPC=18o-名(180-∠A) 90+g∠A. 【跟踪训练】 9.115° 【变式10【变式2】9 180°-130 n 10.80 专题8判定三角形全等的基本思路 1.解：因为D是BC的中，点，所以BD=DC. 在△ABD和△EDC中，因为AB=ED,AD=EC, BD=DC, 所以△ABD≌△EDC(SSS). 2.解：相等理由如下： 因为AE=FC, 所以AE十EC=FC十EC, 即AC=FE. 在△ABC和△FDE中， 因为AB=FD,BC=DE,AC=FE, 所以△ABC≌△FDE(SSS), 所以∠BCA=∠DEF. 16· 3.解：因为AD是△ABC的中线， 所以BD=CD 在△ACD和△EBD中， 因为CD=BD,∠ADC=∠EDB,AD=ED, 所以△ACD≌△EBD(SAS). 4.解：因为∠BAE=∠DAC, 所以∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE, 所以∠CAB=∠EAD. 因为AB=AD,AC=AE, 所以△ABC≌△ADE(SAS), 所以∠E=∠C. 5.解：(1)因为O是线段AB的中，点， 所以AO=BO. 因为OD∥BC, 所以∠AOD=∠OBC. 在△AOD和△OBC中，因为AO=BO,∠A ∠OBC,OD=BC, 所以△AOD≌△OBC(SAS). (2)35° 6.解：在△ABD和△CDB中，因为∠A ∠CDB,BD=DB,∠ADB=∠CBD, 所以△ABD≌△CDB(ASA). 7.解：因为OA=OB,OE=OF, 所以AE=BF. 在△ACE和△BDF中， 因为∠ACE=∠BDF,∠A=∠B,AE=BF, 所以△ACE≌△BDF(AAS). 8.解：(1)因为BF=EC, 所以BF一CF=EC一CF,即BC=EF. 在△ABC和△DEF中， 因为BC=EF,∠1=∠2，AC=DF, 所以△ABC≌△DEF(SAS). (2)因为△ABC≌△DEF, 所以∠B=∠E, 所以AB∥DE. 9.解：因为DE∥AB,所以∠BAC=∠ADE. 在△ABC和△DAE中，因为∠B=∠DAE DA,∠BAC=∠ADE, 所以△ABC≌△DAE(ASA),所以BC=AE. 10.解：(1)因为AB∥DE,∠E=40°， 所以∠EAB=∠E=40° 因为∠DAB=70°， 所以∠DAE=30°. (2)在△ADE和△BCA中， 因为∠DAE=∠B,AE=AB,∠E=∠BAC, 所以△ADE≌△BCA(ASA), 所以AD=BC. 11.解：因为∠BAC+∠CAE=180°，∠DAC+ ∠CAE=180°， 所以∠BAC=∠DAC. 在△ABC和△ADC中， 因为∠B=∠D,∠BAC=∠DAC,AC=AC, 所以△ABC≌△ADC(AAS), 所以BC=DC. 12.解：(1)因为AO平分∠BAC, 所以∠EAO=∠DAO. 因为∠CEB=∠BDC=90°， 所以∠AEO=∠ADO. OD= 在△ADO和△AEO中，因为∠ADO=∠AEO, ∠DAO=∠EAO,AO=AO, 所以△ADO≌△AEO(AAS). (2)因为△ADO≌△AEO, BD= 所以DO=EO. 在△BDO和△CEO中，因为∠BDO=∠CEO, DO=EO,∠DOB=∠EOC, 所以△BDO≌△CEO(ASA). 专题9全等三角形的基本模型 1.解：(1)因为AB∥DE, 所以∠B=∠DEF. 在△ABC和△DEF中， 因为∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠DEF, 所以△ABC≌△DEF(ASA). (2)3 2.解：(1)在△BOD和△COE中， 因为∠BOD=∠COE,∠B=∠C,BD=CE, 所以△BODC≌△COE(AAS), 所以OD=OE (2)因为D,E分别是AB,AC的中点， AB= 所以AD=BD=号AB,AE=CE=2AC 因为BD=CE, 所以AD=AE,AB=AC. 在△ABE和△ACD中， 因为AB=AC,∠A=∠A,AE=AD, 所以△ABE2△ACD(SAS). ·答案17·