4.4 利用三角形全等测距离&问题解决策略：特殊化（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

4利用三角形全等测距离 A知识分点练 夯基础、 第二步：使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，使 ∠MDC= °，标记此时直杆的底端 知识点利用三角形全等测距离 点D; 1.(链接教材)利用三角形全等测距离的依据是全 第三步：测量地面上线段 的长度，即为 等三角形 相等；关键是构造 点A的高度， 2.如图，为了测量出A,B两点之间的距离，在地 若测得BM=4m,DM=6m,则直杆下滑的高 面上找到一点C,连接BC,AC,∠ACB=90°， 度AC= m. 在BC的延长线上确定点D,使CD=BC,只要 6.【新情境·生活情境】(2025·沈阳和平区期中)小 测量出AD的长度也就得到了A,B两点之间 丽与爸妈在公园里荡秋千如图，小丽坐在秋千 的距离，这样测量的依据是 ( 的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地 A.AAS B.SAS C.ASA D.SSS 面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接 住她后用力一推，爸爸在C处接住她若妈妈与 M 爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为1.4m D 和1.8m,∠BOC=90°.爸爸在C处接住小丽 第2题图 第3题图 时，小丽距离地面的高度是多少？ 3.如图，要测量河两岸相对两点A,B间的距离， 可以先过点B作BM⊥AB于点B,在BM上 取一点C,再截取BC=CD,作DE⊥BD交 地面 777777777779 AC的延长线于点E,垂足为D,测得ED=3, CD=4,则A,B两点间的距离为 4.(2024·沈阳皇姑区期末)如图，小明用一个X形工 具测量圆柱形小口容器壁的厚度.已知OA= OD,OB=OC,AB=6cm,EF=8cm,则该容 器壁的厚度为 E M 第4题图 第5题图 5.如图，在一次数学活动中，为了测量一堵墙上 点A的高度AM,小嘉设计了如下方案： 第一步：找一根长度大于AM的直杆，使直杆 靠在墙上，且顶端与点A重合，测量出直杆与 地面的夹角∠ABM=50°； 60数学7年级下册BS版 ☆问题解决策略：特殊化 ·解题策略 (2)如图4，AB与CD不平行，∠D=30°， 当面对某些因素（如形状、位置或数值等）不确定，使 ∠B=50°.求∠E的度数 得问题有多种情形的一般性问题时，可以限制这个 引起变化的因素，考虑最为特殊的情形，从特殊情形 入手并借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般 情形下的问题. 图4 易证∠D+∠1=∠E十∠3，∠B十∠4= 例[数学模型] ∠E+∠2. 如图1，AD,BC交于点O,根据“三角形内角 所以∠D+∠1+∠B+∠4= 和是180°”，不难得出两个三角形中的角存在 因为CE,AE分别是∠BCD,∠BAD的平 以下关系：①∠DOC=∠AOB;②∠D+ 分线， ∠C=∠A+∠B, 所以∠1=∠2，∠3=∠4， 所以2∠E 因为∠D=30°，∠B=50°， 所以∠E= 图1 请你将上述推理过程补充完整. [提出问题] (3)在总结前两问的基础上，直接写出图2中 ∠E与∠D,∠B之间的数量关系是 如图2，分别作出∠BAD和∠BCD的平分线， [类比应用] 两条角平分线交于点E,∠E与∠D,∠B之 (4)如图5，∠BAD与∠BCD的平分线交于点 间是否存在某种数量关系呢？ E若∠D=a,∠B=B(a<),则∠E= (用含a,3的式子表示)， E 图2 [解决问题] 特殊化处理 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况 图5 开始探究.已知∠BAD与∠BCD的平分线交 于点E (1)如图3，若AB∥CD,∠D=30°，∠B=40° 则∠E= 图3 第四章三角形61 ,跟踪训练 2.[问题引入]从1,2,3，…，n(n为整数，且n>5) 1.[提出问题] 这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和 已知在等边三角形ABC中，AD为边BC上的 共有多少种不同的结果？ 高，P为等边三角形ABC内任意一点，过点P [特殊化研究]从1,2,3这3个整数中任取2个 作PH⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为 整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ H,E,F,探究PH+PE+PF和AD之间的 将所有可能列表如下： 数量关系，并说明理由， 所取的2个整数 1,2 1,3 2,3 [解决问题]—特殊化处理 2个整数之和 5 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况 所取的2个整数之和可以为3,4,5，也就是从3 开始探究 到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以 (1)如图1，当点P与点D重合时，则DE十DF 共有3种不同的结果 和AD之间的数量关系为 仿照上述过程，类比探索下列问题： (2)如图2，若P为AD上任意一点（不与点A, (1)从1,2,3,4,5，这5个整数中任取2个整数， D重合)，则PD+PE+PF和AD之间的数 这2个整数之和共有 种不同的结果。 量关系为 (2)从1,2,3，…，10，这10个整数中任取3个整 (3)如图3，在总结前两问的基础上，请解决刚 数，这3个整数之和共有 种不同的 开始提出的问题， 结果。 [归纳结论](3)从1,2,3，…，n(n为整数，且 n>5),这n个整数中任取5个整数，这5个整 数之和共有多少种不同的结果？（结果用含n 图2 图3 的式子表示) [问题解决](4)从60张面值分别为1元、2元、 3元、…、60元的奖券（面值为整数）中，一次任 意抽取5张奖券并把面值相加，共有 种不同的金额. 62数学7年级下册BS版所以△ABC≌△DEF(SAS),所以∠ACB=∠DFE 若选③. 因为BE=CF,所以BE十EC=EC十CF, 即BC=EF」 在△ABC和△DEF中，因为AB=DE,BC=EF, AC=DF, 所以△ABC≌△DEF(SSS),所以∠ACB=∠DFE. 6.解：(1)△AFD≌△CEB,△ABC≌△CDA, △ABE≌△CDF. (2)(答案不唯一)△ABE≌△CDF.理由如下： 因为AB∥CD,所以∠BAC=∠DCA. 因为AF=CE,所以AF十EF=CE十EF, 所以AE=CF. 在△ABE和△CDF中，因为∠1=∠2，∠BAE= ∠DCF,AE=CF, 所以△ABE≌△CDF(AAS). 7.C8.D9.510.略 11.(1)△ACP≌△BPQ.理由略.此时线段PC与线 段PQ垂直 (2)存在. 当△ACP≌△BPQ时，x=1,t=1;当△ACP≌ △BQP时，x=1.5,t=2 4利用三角形全等测距离 1.对应边全等三角形2.B3.3 4.1cm5.40DM26.1.4m ☆问题解决策略：特殊化 【例】(1)35 (2)2∠E+∠3+∠2∠D+∠B40° (8∠B-=∠D+∠B)(2g-e) 【跟踪训练】 1.(1)DE+DF=AD (2)PD+PE+PF=AD (3)PH+PE十PF=AD.理由略 2.(1)7(2)22(3)(5n-24)种(4)276 章末复习 1.A2.D3.D4.35.3x-296.60°或20 7.(1)125°(2)5°8.A9.B10.C11.14 12.5s或2s13. 1 14.解：(1)如图，△DEF即为所求. ·答案 (2)根据作图得DE=AB,∠FDE=∠A,DF=AC. 所以△DEF≌△ABC(SAS). 15.解：(1)因为AC∥FD,所以∠CAO=∠FDO. 在△ACO和△DFO中，因为∠CAO=∠FDO, OA=OD,∠AOC=∠DOF, 所以△ACO≌△DFO(ASA). (2)因为△ACO2△DFO,所以OC=OF. 因为BF=CE,所以BO=EO. 在△ABO和△DEO中，因为BO=EO,∠AOB= ∠DOE,OA=OD, 所以△ABO≌△DEO(SAS), 所以∠B=∠E,所以AB∥DE. 16.解：(1)BC (2)第二小组的方案可行.理由略 (3)答案不唯一第三小组测量方案： 如图，观测者从点B沿正西方向走到点C处，使用测 量角度的仪器测得∠DCB=∠ACB=65°，CD交AB 的延长线于点D.只要测出BD的长，就能推算出河 流宽度AB 因为AB⊥BC, 所以∠ABC=∠DBC=90°. 在△ABC和△DBC中， 因为∠ABC=∠DBC,BC=BC,∠ACB=∠DCB, 所以△ABC≌△DBC(ASA), 所以AB=DB. 17.解：(1)如图，延长EB到，点G,使BG=DF,连接 AG.设∠GAB为∠1，∠DAF为∠2，∠BAE为∠3. 因为∠ABG=∠ABC=∠D= 90°，AB=AD,BG=DF, 所以△ABG≌△ADF(SAS), 所以AG=AF,∠1=∠2， G B E 所以∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF= 2∠BAD, 所以∠GAE=∠EAF. 又因为AE=AE,所以△AEG≌△AEF(SAS), 所以EG=EF. 因为EG=BE十BG,BG=DF,所以EF=BE十FD. 10·