4.3 第4课时三角形全等的综合应用（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

9.B10.511.4 12.解：(1)因为∠1=∠2， 所以∠1+∠CAE=∠2+∠CAE, 所以∠BAC=∠EAD. 在△ABC和△AED中，因为∠B=∠AED, ∠BAC=∠EAD,AC=AD, 所以△ABC≌△AED(AAS) (2)50° 13.解：(1)①因为AD⊥MN,BE⊥MN, 所以∠ADC=∠ACB=∠CEB=90°， 所以∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°， 所以∠CAD=∠BCE. 又因为AC=CB,所以△ADC≌△CEB(AAS), ②因为△ADC≌△CEB, 所以AD=CE,CD=BE, 所以DE=CE+CD=AD+BE (2)因为AD⊥MN,BE⊥MN, 所以∠ADC=∠ACB=∠CEB=90°， 所以∠CAD+∠ACD=90°， ∠BCE+∠ACD=90°， 所以∠CAD=∠BCE. 又因为AC=CB,所以△ADC≌△CEB(AAS), 所以AD=CE,CD=BE, 所以DE=CE-CD=AD一BE. (3)DE=BE-AD. 第3课时三角形全等的条件一边角边 1.B 2.A 3.AE=CF(AF=CE) 4.解：因为∠1=∠2， 所以∠1+∠EBC=∠2+∠EBC, 即∠ABC=∠EBD. 在△ABC和△EBD中， 因为AB=EB,∠ABC=∠EBD,BC=BD, 所以△ABC≌△EBD(SAS). 5.解：因为∠AED=∠CFB, 所以∠AEB=∠CFD. 因为AE=CF,BE=DF, 所以△ABE≌△CDF(SAS), 所以AB=CD,∠ABD=∠CDB, 所以AB∥CD. 6.(1)∠a(2)ac 7.解：如图所示，△ABC即为所求. ·答 8.A9.B10.659 11.解：(1)因为∠CAB=∠CBA=30°，BE⊥AB, 所以∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=120°， ∠ABE=90°， 所以∠CBE=∠CBA+∠ABE=120°， 所以∠ACB=∠CBE 在△ACD和△CBE中，因为AC=BC,∠ACD= ∠CBE,CD=BE, 所以△ACD≌△CBE(SAS). (2)60° 12.解：(1)①因为∠BAC=∠DAE, 所以∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE, 所以∠BAD=∠CAE. 因为AB=AC,AD=AE, 所以△ABD≌△ACE(SAS),所以BD=CE. ②由①，知△ABD≌△ACE, 所以∠B=∠ACE, 所以∠BCE=∠ACB十∠ACE=∠ACB+∠B= 180°-∠BAC=90°. 故答案为90°. (2)①因为∠BAC=∠DAE, 所以∠BAD十∠DAC=∠DAC+∠CAE, 所以∠BAD=∠CAE. 因为AB=AC,AD=AE, 所以△ABD≌△ACE(SAS), 所以∠B=∠ACE. 因为∠BCE=∠ACB十∠ACE=a, 所以∠B十∠ACB=a. 因为∠BAC+∠B+∠ACB=180°， 所以a+B=180°. ②a=B.理由略 第4课时三角形全等的综合应用 1.C2.A3.C 4.(1)∠A=∠C(或AD∥BC) (2)∠D=∠B (3)DF=BE 5.解：(1)①（或③） (2)若选①. 因为AB∥DE,所以∠ABC=∠DEF. 因为BE=CF,所以BE十EC=EC十CF, 即BC=EF. 在△ABC和△DEF中，因为AB=DE,∠ABC= ∠DEF,BC=EF, 9· 所以△ABC≌△DEF(SAS),所以∠ACB=∠DFE 若选③. 因为BE=CF,所以BE十EC=EC十CF, 即BC=EF」 在△ABC和△DEF中，因为AB=DE,BC=EF, AC=DF, 所以△ABC≌△DEF(SSS),所以∠ACB=∠DFE. 6.解：(1)△AFD≌△CEB,△ABC≌△CDA, △ABE≌△CDF. (2)(答案不唯一)△ABE≌△CDF.理由如下： 因为AB∥CD,所以∠BAC=∠DCA. 因为AF=CE,所以AF十EF=CE十EF, 所以AE=CF. 在△ABE和△CDF中，因为∠1=∠2，∠BAE= ∠DCF,AE=CF, 所以△ABE≌△CDF(AAS). 7.C8.D9.510.略 11.(1)△ACP≌△BPQ.理由略.此时线段PC与线 段PQ垂直 (2)存在. 当△ACP≌△BPQ时，x=1,t=1;当△ACP≌ △BQP时，x=1.5,t=2 4利用三角形全等测距离 1.对应边全等三角形2.B3.3 4.1cm5.40DM26.1.4m ☆问题解决策略：特殊化 【例】(1)35 (2)2∠E+∠3+∠2∠D+∠B40° (8∠B-=∠D+∠B)(2g-e) 【跟踪训练】 1.(1)DE+DF=AD (2)PD+PE+PF=AD (3)PH+PE十PF=AD.理由略 2.(1)7(2)22(3)(5n-24)种(4)276 章末复习 1.A2.D3.D4.35.3x-296.60°或20 7.(1)125°(2)5°8.A9.B10.C11.14 12.5s或2s13. 1 14.解：(1)如图，△DEF即为所求. ·答案 (2)根据作图得DE=AB,∠FDE=∠A,DF=AC. 所以△DEF≌△ABC(SAS). 15.解：(1)因为AC∥FD,所以∠CAO=∠FDO. 在△ACO和△DFO中，因为∠CAO=∠FDO, OA=OD,∠AOC=∠DOF, 所以△ACO≌△DFO(ASA). (2)因为△ACO2△DFO,所以OC=OF. 因为BF=CE,所以BO=EO. 在△ABO和△DEO中，因为BO=EO,∠AOB= ∠DOE,OA=OD, 所以△ABO≌△DEO(SAS), 所以∠B=∠E,所以AB∥DE. 16.解：(1)BC (2)第二小组的方案可行.理由略 (3)答案不唯一第三小组测量方案： 如图，观测者从点B沿正西方向走到点C处，使用测 量角度的仪器测得∠DCB=∠ACB=65°，CD交AB 的延长线于点D.只要测出BD的长，就能推算出河 流宽度AB 因为AB⊥BC, 所以∠ABC=∠DBC=90°. 在△ABC和△DBC中， 因为∠ABC=∠DBC,BC=BC,∠ACB=∠DCB, 所以△ABC≌△DBC(ASA), 所以AB=DB. 17.解：(1)如图，延长EB到，点G,使BG=DF,连接 AG.设∠GAB为∠1，∠DAF为∠2，∠BAE为∠3. 因为∠ABG=∠ABC=∠D= 90°，AB=AD,BG=DF, 所以△ABG≌△ADF(SAS), 所以AG=AF,∠1=∠2， G B E 所以∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF= 2∠BAD, 所以∠GAE=∠EAF. 又因为AE=AE,所以△AEG≌△AEF(SAS), 所以EG=EF. 因为EG=BE十BG,BG=DF,所以EF=BE十FD. 10·第4课时三角 A知识分点练 夯基础。 知识点三角形全等条件的综合应用 1.如图，AD为∠BAC的平分线，添加下列条件 后，不能判定△ABD≌△ACD的是 () A.∠B=∠C B.∠BDA=∠CDA C.BD=CD D.AB=AC 第1题图 第2题图 2.如图，点A,E,F,D在同一条直线上，若AB∥ CD,AB=CD,AE=FD,则图中的全等三角 形有 ( A.3对 B.2对 C.1对 D.0对 3.(2025·沈阳月考)根据下列条件能画出唯一确定 的△ABC的是 A.AB=4,BC=3,∠A=30° B.AB=3,BC=4,AC=8 C.∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D.∠A=50°，∠B=60°，∠C=70° 4.如图，已知AE=CF,∠AFD=∠CEB (1)若运用“ASA”判定△ADF≌△CBE,则需 添加条件 (2)若运用“AAS”判定△ADF≌△CBE,则需 添加条件 (3)若运用“SAS”判定△ADF≌△CBE,则需 添加条件 6 5.如图，点B,E,C,F在同一条直线上，且AB= DE,BE=CF, ,则∠ACB=∠DFE. (1)请从①AB∥DE,②∠A=∠D,③AC= 58数学7年级下册BS版 形全等的综合应用 DF中选择一个适当的条件填入横线中，使结 论成立你的选择是 (填序号). (2)结合(1)中的选择，对题干中的结论给出 说明. 6.如图，已知点A,F,E,C在同一条直线上， AB∥CD,∠1=∠2，AF=CE (1)写出图中的全等三角形： (2)选择其中一对全等三角形，说明其全等的 理由. B能力综合练 练思维、 7.已知△ABC如图1所示，则在如图2所示的4 个三角形中，和△ABC全等的三角形有() 图1 图2 A.0个B.1个C.2个 D.3个 8.(2025·成都锦江区期中)如图，嘉嘉与淇淇坐在跷 跷板两端，跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)到 地面的距离是60cm.当淇淇从水平位置CD垂 直上升25cm时，嘉嘉离地面的高度是() 淇淇 嘉嘉 A.25 cm B.30 cm C.40 cm D.35 cm 9.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,BE⊥ AC于点E,BE与AD交于点F,AD=BD= 5,则AF+CD= 10.(2025·沈阳皇姑区期末)如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC,E为CD的中点，连接AE, BE,延长AE交BC的延长线于点F. (1)试说明△ADE≌△FCE; (2)若AB=BC+AD,试说明BE⊥AF. C拓展探究练 提素养 11.(2025·盘锦大连一中月考)如图1，AB=4cm, AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm.点P在 线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运 动.与此同时点Q在线段BD上由点B向点 D运动.它们运动的时间为ts. (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相 等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等？ 请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ 的位置关系 (2)如图2，将“AC⊥AB,BD⊥AB”改为 “∠CAB=∠DBA”,其他条件不变，设点Q, P的运动速度为xcm/s,是否存在x,使得 △ACP与△BPQ全等？若存在，请求出相应 x,t的值；若不存在，请说明理由 图1 图2 第四章三角形59