4.1 第2课时三角形的三边关系&第3课时三角形的三条重要线段（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

章末复习 1.B2.A3.094.35.C6.B7. 8.解：(1)2012 (2)1或2 (3)能. 因为任意摸出1个球是红球的概率为5， 1 1 所以盒子中球的数量为3÷5-15（个）， 所以盒子中黑球的数量减少了20一15=5（个）， 所以取出5个黑球，可以使得任意摸出1个球是红球 的桃率为行 (4)4 9解：1号 (2)公平理由如下： 由1得P小明去观看足球比案)=之， 41 P(哥哥去观看足球比赛)=9-一一2 因为P(小明去观看足球比赛)=P(哥哥去观看足球 比赛)，所以这个游戏规则公平 (3)如图，将转盘平均分成8个区域，其中红色占3 份，白色占1份，蓝色和黄色共占4份，转动转盘，转 盘停止后，若转盘指针指向红色，则哥哥去 红色蓝色 4 蓝色 红色 红色 黄色 蓝色白色 第四章 三角形 1认识三角形 第1课时三角形及其内角和 1.B 2.(1)3△ABD,△ABC,△ADC (2)∠BBD(3)∠BDA∠C 3.D4.A5.C6.60°7.C8.D9.直角 10.C【变式】∠BCD和∠A11.67.5° 12.D13.C14.20或30【变式】2或6 15.30°或52.5° ·答乳 16.解：解法1：因为DF⊥AB,所以∠AFE=90°. 因为∠A=35°， 所以∠AEF=90°-35°=55°， 所以∠CED=55°. 因为∠D=42°， 所以/ACD=180°-55°-42°=83° 解法2：因为DF⊥AB,所以∠BFD=90°. 因为∠D=42°，所以∠B=90°-42°=48°. 因为∠A=35°， 所以/ACB=180°-35°-48°=97°， 所以∠ACD=180°-97°=83°. 17.解：【感知】∠1=2∠A 【探究】2∠A=∠1十∠2. 理由：因为∠1+∠ADA+∠2+∠A'EA=360°， ∠A+∠A'+∠A'DA+∠A'EA=360°， 所以∠A+∠A'=∠1+∠2. 由折叠的性质可得∠A=∠A', 所以2∠A=∠1+∠2. 【拓展】28° 第2课时三角形的三边关系 1.B2.413.B4.C5.24 6.B【变式】18或217.C8.等腰9.3a-b-c 10.解：(1)各边的长分别是48cm,48m,24。 5 cm,5 cm,5 cm (2)能.理由如下： ①当底边长为4cm时，腰长为24,4-10(cm. 2 ②当腰长为4cm时，底边长为24一4一4=16(cm). 因为4十4<16， 所以不能构成三角形，故舍去， 所以能构成一边长为4cm的等腰三角形，另两边长 为10cm,10cm. 第3课时三角形的三条重要线段 1.C2.(1)AD(2)AE(3)BF 3.BC BC SwE SAA 4.内部重心5.9【变式】2 6.247.D8.25°9.40 10.∠ECB=45°，∠ECD=15° 1 1.D12cm【空式】}m【变式2 13.(1)1(2)122°(3)130° 7· 14.解：(1)过，点B作边AC上的高BG如图所示. (2)BG=DE+DF SAABD 2AC.DF BG-DE+DF (3)BG=2DE.理由如下： 由(2)知BG=DE+DF. 因为D为BC中点， 所以号AB,DE=号AC.DF: 因为AB=AC,所以DE=DF, 所以BG=2DE. (4)DF=DE+BG 2全等三角形 1.△ADC AD∠DCA2.D 3.解：如题图1，△ABE≌△DCE. 对应边：AB与DC,AE与DE,BE与CE. 对应角：∠A与∠D,∠AEB与∠DEC,∠B与∠C. 如题图2，△ACB≌△DEF. 对应边：AC与DE,CB与EF,AB与DF. 对应角：∠A与∠D,∠C与∠DEF,∠ABC与∠F. 4.B5.B6.C7.58 8.3cm【变式1】2cm【变式2】4 9.(1)2(2)25°10.B11.C12.180° 13.解：(1)因为△ABC≌△DAE, 所以BC=AE,AC=DE. 因为AE=AC十CE,所以BC=DE十CE. (2)当△ABC满足∠ACB为直角时，BC∥DE 14.(1)63°(2)31 15.1D(8-3)t(2)3或4 3探索三角形全等的条件 第1课时三角形全等的条件一边边边 1.C【变式】32.D3.SSS 4.BC-DC ED EC DC SSS 5.解：因为BE=CF, 所以BE+EC=CF+EC,即BC=EF. 在△ABC和△DEF中，因为AC=DF,AB=DE, BC=EF,所以△ABC≌△DEF(SSS). 6.c ·答 7.解：如图，△ABC即为所求. D B 8.稳定9.3 10.D11.D12.4 13.解：AC⊥BC.理由如下： 因为AE=EF+BF,CE=BF, 所以AE=EF+CE,所以AE=CF. 在△ACE和△CBF中， 因为AC=CB,AE=CF,CE=BF, 所以△ACE≌△CBF(SSS), 所以∠CAE=∠BCF. 因为AE⊥CD,所以∠AEC=90°， 所以∠CAE+∠ACE=90°， 所以∠ACB=∠BCF+∠ACE=∠CAE十 ∠ACE=90°， 所以AC⊥BC. 14.解：在△ABD和△ACE中，因为AB=AC,AD= AE,BD=CE, 所以△ABD≌△ACE(SSS),所以∠BAD=∠1， ∠ABD=∠2. 因为B,D,E三，点共线，所以∠3=180°-∠BDA. 因为∠BAD+∠ABD=180°-∠BDA, 所以∠3=∠BAD十∠ABD=∠1十∠2. 第2课时三角形全等的条件 —角边角、角角边 1.A2.④3.∠B=∠D 4解：因为DE∥AB,所以∠EDC=∠B. 在△CDE和△ABC中， 因为∠EDC=∠B,CD=AB,∠DCE=∠A, 所以△CDE≌△ABC(ASA), 所以DE=BC. 5.解：如图所示，△ABC即为所求. 4益一公 6.C7.∠B=∠C 8.解：(1)因为AB∥CD, 所以∠ABD=∠EDC 在△ABD和△EDC中， 因为∠ABD=∠EDC,∠1=∠2，AD=EC, 所以△ABD≌△EDC(AAS). (2)5 案8·第2课时 三 A知识分点练 夯基础 知识点1三角形按边分类 1.如图，将三角形按某种常见关系进行分类，则 关于P,Q区域的说法正确的是 A.P是等边三角形，Q是等腰三角形 B.P是等腰三角形，Q是等边三角形 C.P是直角三角形，Q是锐角三角形 D.P是钝角三角形，Q是等腰三角形 三边都 不相等 的三角 形 E 第1题图 第2题图 2.如图，已知AB=AC,AD=BD=DE=CE= AE,则图中共有 个等腰三角形，共有 个等边三角形， 知识点2三角形的三边关系 3.(2025·连云港)下列数据为3根小木棒的长（单 位：cm),能搭成三角形的是 () A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,5,8 D.4,5,10 4.用长度分别为4，m,7的三根木棒可以搭建一 个三角形木架，则m的值可能是 ( A.12 B.11 C.4 D.3 5.(教材P90随堂练习T2变式)在△ABC中，AB 11,AC=2,且BC的长为奇数，那么△ABC的 周长是多少？ 角形的三边关系 B能力综合练 练思维、 6.(教材P94习题T11变式)若等腰三角形中有两条边 的长分别是2,5，则该三角形的周长是() A.9 B.12 C.9或12 D.无法确定 [变式]等腰三角形的一边长是5cm,另一边 长是8cm,其周长是 cm. 7.如图，直线m,n相交于点P,点A,B在直 线m上，点Q在直线n上，连接QA,QB.下 列结论不正确的是 A.PA+PQ>QA 10 B.PQ-PB<QB C.PA+PB>QA+QB D.PA+PB<QA+QB 8.已知a,b,c为△ABC的三边长，b,c满足 (b-2)2十|c-3|=0,且a为方程|x-4|= 2的解，则△ABC是 三角形 9.(2025·鞍山月考)已知△ABC三边分别是a, b,c,化简|a十b-c|-c-a+b|+|b-a-c= C拓展探究练 提素养 10.【分类讨论思想】用一条长24cm的细绳围成 一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长 分别是多少？ (2)能围成一边长为4cm的等腰三角形吗？ 为什么？ 第四章三角形47 第3课时 三角形 A知识分点练 夯基础■ 知识点1三角形的高线 1.下列选项中，画出△ABC的边AC上的高正确 的是 2.(教材P93习题T6变式)如图. (1)在△ABC中，BC边上的高是 (2)在△AEC中，CE边上的高是 (3)在△BCF中，BC边上的高是 D 第2题图 第3题图 知识点2三角形的中线及重心 3.(链接教材)如图，AD是△ABC的中线，则D 是 的中点，BD=CD= S△ABD= 4三角形的三条中线交于一点，这个点一定在三 角形的 (填“内部”或“外部”)，这个点 称为三角形的 5.如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的 中线.若DE=3cm,则EC= cm B E D D 第5题图 第6题图 [变式]在第5题的条件下，若△ABC的面积 为8，则△ABE的面积为 6.(2025·济南槐荫区期中)如图，在△ABC中， AB=10,AC=8,AD为BC上的中线.若 △ACD的周长为22，则△ABD的周长是 48数学7年级下册BS版 的三条重要线段 知识点3三角形的角平分线 7.如图，BD是△ABC的角平分线.若∠CBD= 40°，则∠ABC的度数为 () A.65° B.70 C.75° D.80° 第7题图 第8题图 8.如图，AD是△ABC的角平分线，AE是 △ACD的角平分线.若∠BAC=100°，则 ∠DAE的度数是 9.如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB= 34°，AD是△ABC的角平分线，交BC于点D, 过点D作DE∥AB交AC于点E,则∠ADE 的度数为 D 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CDB= 90°，CE是△ABC的角平分线.已知∠CEB= 105°，求∠ECB,∠ECD的度数. DE B能力综合练 练思维、 11.(2025·太原月考)如图，在△ABC中，AD是高， AE是角平分线，AF是中线，则下列结论错 误的是 A.BF=CF B.∠BAE=∠EAC C.∠C十∠CAD=90°D.SABAE=SAEAC B 第11题图 第12题图 12.如图，在△ABC中，已知D,E,F分别为BC AD,CE的中点.若S△ABc=1cm2,则SABEF= [变式1]在第12题中，若D为边BC上任意 一点（不与点B,C重合），其他条件不变，则 SABEF- [变式2](2025·济南市中区 期中)一块面积为10的三角 形纸板如图所示，其中D, E,F分别是线段AF,BD,B CE的中点，则阴影部分的面积为 13.如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在 边AB上（不与点A,B重合），CD与BE交于 点O. (1)若CD是中线，BC=4,AC=3,则△BCD 与△ACD的周长差为 (2)若CD是高，∠ABC=64°，求∠BOC的 度数； (3)若CD是角平分线，∠A=80°，求∠BOC 的度数. C拓展探究练 提素养 14.在△ABC中，AB=AC,D为直线BC上任意 一点，连接AD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC 于点F,BG⊥AC于点G [画图](1)如图1，当点D在边BC上时，画出 △ABC中边AC上的高BG. [探究](2)如图1，通过观察、测量，猜想DE, DF,BG之间的数量关系为 .为了 说明DE,DF,BG之间的数量关系，小明是这 样做的. 解：因为S△ABC= +S△ACD, 所以2AC·BG=2AB·DE+ 因为AB=AC,所以 [运用](3)如图2，当D为BC的中点时，判断 BG与DE之间的数量关系，并说明理由 [拓展](4)如图3，当点D在CB的延长线上 时，请直接写出DE,DF,BG之间的数量 关系 图1 图2 图3 第四章三角形49