专题3 与平行线有关的证明（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

16.(1)A型车有45个座位，B型车有60个座位 (2)共有2种租车方案： ①租用A型车4辆，租用B型车5辆； ②租用A型车8辆，租用B型车2辆 周周清小卷8（第十章） 1.A2.D3.D4.C5.C6.C7.A8.C (m=4, 9.-2x+610.211. 12.4 n=2 13.(1)/=2, y=32=2,14.-2 y=-1 15.(1)每名熟练工每天可以安装4台新式运动器材， 每名新工人每天可以安装2台新式运动器材 (2)3种 周周清小卷9(11.1~11.2第1课时) 1.C2.B3.B4.A5.B6.D7.D8.D 9.x<号10.11.-412.21 13.(z≤号2z≤号8x<- 14,不等式的解为工>一号，不等武的所有负整数解 为-1，-2 15.2 16,(1)方程3x-2=+1的解是不等式生30 1 的“友好解” (2)k<-21 (3)2 周周清小卷10(11.2第2课时~11.3) 1.D2.B3.C4.D5.C6.D 7.m<-48.-1<x<19.-2,-1,010.17 11.(1)-2<a≤3(2)-1 12.(1)-1<x<3(2)x≤1(3)x>3 13.20套14.25次 15.(1)①3②5≤x<6(2)2≤a<3(3)①②④ 周周清小卷11（第十一章） 1.C2.A3.C4.C5.B6.C7.D8.A 9.x≥-410.-1,0,111.24 2 02.①)m>-12)3≤m<0或3≤m习 13.(1)x≤-1(2)-2≤x<2 14.20棵 15.这种方案不可行.计算过程略 16.(1)y甲=80x+3200,yz=72x+3600 (2)当x=50时，两个厂家费用相同；当10≤x<50 时，选择甲厂家购买更划算；当x>50时，选择乙厂 家购买更划算 ·答多 周周清小卷12（第十二章） 1.A2.D3.D4.C5.D6.D7.88.240 9.解：(1)810 补全频数分布直方图如图所示. 频数 16 60708090100成绩/分 (2)2072° (3)120 专题提升 第七章相交线与平行线 专题1利用数学思想求相交线 所成的角的度数 1.140°2.135° 3.(1)15°(2)2a 4.(1)OE⊥OF(2)157.59 5.65°或25°6.30°或50° 专题2平行线的判定与性质的综合应用 1.C2.A3.A4.C5.B6.A7.B8.40°9.24° 专题3与平行线有关的证明 【例1】垂直的定义同位角相等，两直线平行 同角的补角相等DG内错角相等，两直线平行 1.证明：.AB⊥BC, ∴.∠ABC=90°，即∠3+∠4=90°. ∠1+∠2=90°，且∠2=∠3， ∴.∠1=∠4， .BE∥DF 2.∠AED=∠ACB.理由略 【例2】证明：，∠ACD=∠BEF, ∴.AC∥BE,.∠BAC=∠HBE. ,AD平分∠BAC,BF平分∠HBE, 六∠BAD= ∠BAC,∠HBF-号∠HBE, ∠BAD=∠HBF,∴.AD∥BF 3.证明：AB∥CD, ∴∠4=∠BAE. ∠3=∠4， ∠3=∠BAE ∠1=∠2， ∴.∠CAE+∠1=∠CAE+∠2， 即∠BAE=∠CAD, ∴.∠3=∠CAD, .AD∥BC. 【例3】证明：，AD⊥BC,EF⊥BC, 14. .∠5=∠2=90°，∴.AD∥EF, ∴.∠4=∠1，∠3=∠F. 又AD平分∠BAC,∴∠3=∠4， ∴.∠F=∠1. 4.证明：.∠1=∠2，∠1=∠3， .∠2=∠3， .DB∥EC, .∠C=∠ABD. 又∠C=∠D, ∠D=∠ABD, .AC∥DF 【例4】证明：如图，延长EF交CD于点P. E A -B .MG∥FN,.∴.∠G+∠FNG=180°. :∠EFN=∠G,∴.∠EFN+∠FNG=180°， ∴EP∥GH,∠GHD=∠EPD. ,AB∥CD,∴∠AEF=∠EPD, .∠AEF=∠GHD 5.(1)略(2)a十15 专题4过“拐点”作已知直线的平行线 【例】两直线平行，同旁内角互补如果两条直线都 与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 两直线平行，同旁内角互补 【变式1】∠BED=∠B十∠D∠D两直线平行， 内错角相等∠B两直线平行，内错角相等∠D 【变式2】(1)∠A=∠APC+∠C.证明略 (2)∠APC=∠A-∠C.证明略 1.C2.B3.A4.57.5°5.75°6.96° 7.(1)100°(2)①540°②47° 专题5抽象出平行线模型求角度 【例】C 1.B2.B3.112°4.65°5.80°6.157 专题6利用平移求复杂图形的周长 或面积 1.A2.C3.D4.365.126.①③⑤7.216m2 第八章实数 专题7无理数的整数部分与小数部分 1.(1)2√7-2(2)-33-√7(3)6-√7 2.(1)1,2,3(2)245(3)-1(4)23 ·答 专题8实数的大小比较 1.(1)<(2)>(3)> 2.(1)<(2)>(3)> 3.√13<4</82 4.(1)>(2)>(3)> 5.(1)3-√30<-2(2)5-2<3-√5 3)5-13 2 4 专题9非负数的性质及应用 1.A2.C3.-3【变式】25 4.解：·√2x+1≥0，.当√/2x+1=0,即x= 2时， 2x十1十6有最小值，最小值为6. 5.C6.A7.68.(1)2(2)±√69.2025 第九章平面直角坐标系 专题10平面直角坐标系中的图形面积问题 【例1】12 【例2】(1)3(2)18(3)(0,5)或(0,1) 【例3】80【例4】14 1.B 2.解：(1)画出平面直角坐标系如图所示. 1 点E的坐标为(3,1). 2(o,) 3.(1)4(2)存在.点P的坐标为(0,3)或(0，-1) 专题11由点的运动引发的图形面积问题 1.(-4,1)或(0,1)2.(0,2) 3.(1)0t≤5 (2)当点P在线段BC上时，点P的坐标为（一t,2); 当点P在线段CD上时，点P的坐标为(-3,5-t) 3(-3》 第十章二元一次方程组 专题12含字母参数的二元一次方程组问题 1.A2.A3.m=-2,n=94.a=-11,b=7 z=3m+2:(2 、3 5.(1) y=-m+1 案15·专题③与平行线有关的证明 类型1利用同角或等角的余角（或补角）相 类型2利用等式的性质证角相等 等导角 【例2】近年来古风文化盛行，很多人受到影 【例1】(2025·沈阳辽中区月 响后也对古风文化产生了兴趣.图1是某古 考)如图，已知AD⊥BC, 筝的示意图，其支撑架可抽象成如图2所示 EF⊥BC,垂足分别为D,B 的图形，已知∠ACD=∠BEF,且AD平分 D F,∠2+∠3=180°，求证：∠GDC=∠B ∠BAC,BF平分∠HBE,求证：AD∥BF. 请补充证明过程，并在括号内填上相应的 依据. 证明：，AD⊥BC,EF⊥BC(已知)， D ∴.∠ADB=∠EFB=90°( 图2 .EF∥AD( ), ∴.∠1十∠2=180（两直线平行，同旁内角互补）. ,∠2+∠3=180°（已知）， .∠1=∠3( 跟踪训练 .AB∥ ( 3.如图，已知AB∥CD,∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠GDC=∠B(两直线平行，同位角相等). 求证：AD∥BC. 跟踪训练 1.如图，已知AB⊥BC,∠1+∠2=90°， ∠2=∠3，求证：BE∥DF. 人4 类型3反复利用平行线的判定与性质导角 【例3】(2024·芜湖期中)如图，已知点C,A,F 在一条直线上，AD⊥BC于点D,EF⊥BC 2.如图，已知∠1十∠2=180°，∠3=∠B,试 于点E,且交AB于点G,AD平分∠BAC.求 判断∠AED和∠ACB的数量关系，并说 证：∠F=∠1 明理由. A D 20 第七章相交线与平行线3 >跟踪训练 跟踪训练 4.如图，E为DF上的点，B为AC上的点，5.在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操 ∠1=∠2，∠C=∠D.求证：AC∥DF 作依赖于精确的方向控制.如图1，有两条 D E 平行的机械轨道AB与CD,即AB∥CD, 将机械臂与轨道AB的接触点记为M,机 械臂与轨道CD的接触点记为N,为了实 现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q 来调节三个机械臂PM,PQ和QN的位 置.在实际操作过程中，为确保稳定性，机 械臂PM,PQ和QN不共线 (1)如图2，当机械臂PM∥QN时，求证： ∠AMP=∠QND; (2)如图3，当∠AMP=30°，∠QND= 45°，∠MPQ=a时，∠PQN= (用含a的式子表示). 类型4作适当的辅助线构造中间等角 A B 【例4】(2025·沈阳沈河区期末改编)中国汉字博 Q 大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷.图1 是一个“互”字，图2是由图1抽象出的几何 图1 图2 图形，其中AB∥CD,点E,M,F在同一条 M B 直线上，点G,N,H在同一条直线上，且 MG∥FN,∠EFN=∠G.求证：∠AEF= C D ∠GHD. 图3 备用图 互可 图1 图2 4数学7年级下册RJ版