1.5.2三角形的三条内角平分线-课件--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学八年级下册培优精做课件 1.5.2三角形的三条内角平分线 第一章 三角形的证明 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年3月3日 2026年3月3日星期二2时25分33秒 2026年3月3日星期二2时25分34秒 1. 在角平分线的基础上归纳出三角形三条内角的平分线的相关性质。(重点) 2. 能够运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题。 (难点) 学习目标 在一个三角形居住区内修有一个学校 P，P 到 AB、BC、CA 三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校 P 的位置，P 在何处？ A B C 问题：角平分线的性质和判定是什么？ 性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 判定：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上. 例1 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E. (1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长； E D A B C 解：∵ AD 是△ABC 的角平分线， DC⊥AC，DE⊥AB， ∴ DE = CD = 4 cm ( 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )。 ∵ AC = BC， ∴∠B =∠BAC ( 等边对等角 ). ∵∠C = 90°， 探究点：三角形的角平分线 ∴∠B = ×90° = 45°. (2) 求证：AB＝AC＋CD. 证明：由 (1) 的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED (HL). ∴ AC＝AE. ∵ BE＝DE＝CD， ∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD. E D A B C 在等腰 Rt△BDE 中， ∴ BE = DE ( 等角对等边 )。 探究点：三角形的角平分线 C 返回 中考考法 7 2．(8分)如图所示，D，E在∠BAC两边上且AD＝AE，AG是△BAC内部的一条射线且AG⊥DE于点F。 中考考法 8 (1)求证：AG平分∠BAC； 证明：∵AD＝AE，AG⊥DE， 即AF⊥DE，∴AF平分∠DAE，即AG平分∠BAC。 中考考法 9 (2)分别作∠BDE和∠CED的平分线，相交于点P，求证：P在∠BAC的平分线AG上。 解：过点P作PQ⊥DE于点Q，PH⊥AB于点H，PM⊥AC于点M，如图，∵DP平分∠BDE，EP平分∠CED， ∴PQ＝PH，PQ＝PM，∴PH＝PM， ∴点P在∠HAM的平分线上， ∵AG平分∠BAC，∴点P在∠BAC的平分线AG上。 返回 中考考法 10 【练一练】 1. 如图，已知 BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为 E，F，BE，CF 相交于点 D. 若 BD = CD，求证：AD 是∠BAC 的平分线. 证明：∵ BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD =∠CED = 90°. 在 △BDF 和 △CDE 中， ∠BFD = ∠CED， ∠BDF = ∠CDE， BD = CD， ∴△BDF≌△CDE (AAS). ∴ DF = DE. 又 DF⊥AB，DE⊥AC， ∴AD 是∠BAC 的平分线. 探究点：三角形的角平分线 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 结论：三角形的三条角平分线相交于一点. 探究点：三角形的角平分线 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？ 结论：过交点作三角形三边的垂线段相等. 你能证明以上两个结论吗？ 探究点：三角形的角平分线 3．到三角形三条边距离相等的点是三角形____的交点。横线上应填(　　) A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线 C．三条中线 D．三条高线 A 返回 中考考法 14 4．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，下面结论中正确的是(　　) A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＜∠2 D．∠1＝2∠2 B 返回 中考考法 15 点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下： 试试看，你会写出证明过程吗？ A B C P F H D E I G AP 是∠BAC 的平分线 BP 是∠ABC 的平分线 PI = PH PG = PI PH = PG 点 P 在∠BCA的平分线上 探究点：三角形的角平分线 例3 已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P. 求证：∠A 的平分线经过点 P. D E F A B C P N M 探究点：三角形的角平分线 ∴点 P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)， 同理 PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即∠A 的平分线经过点 P. D E F A B C P N M 证明：如图，过点 P 分别作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为 D，E，F. ∵BM 是 △ABC 的角平分线， ∴ PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 探究点：三角形的角平分线 5．[咸阳期中]如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠BOC＝110°，则∠A的度数为(　　) A．35° B．40° C．50° D．70° B 返回 中考考法 19 6．[宝鸡期中]如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(　　) A．△ABC的三条中线的交点处 B．△ABC三边垂直平分线的交点处 C．△ABC三条角平分线的交点处 D．△ABC三条高所在直线的交点处 C 返回 中考考法 20 结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 【归纳总结】 探究点：三角形的角平分线 【练一练】 2. 如图，在直角△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM＝4， (1) 点 O 到△ABC 三边的距离和 为 . M A B C P O D 温馨提示：不存在垂线段——构造应用 12 E N 探究点：三角形的角平分线 解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，ON⊥BC 于点 N，连接 OC. (2) 若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积. M E N A B C P O D 探究点：三角形的角平分线 3. 如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等． 若∠A＝40°，则∠BOC 的度数为 (　　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 解析：O 到△ABC 三边的距离相等，所以 O 是内心，即三条角平分线的交点，故 BO，CO 都是内角平分线， 则∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠CBO＋∠BCO＝70°，∠BOC＝180° － 70°＝110°. 探究点：三角形的角平分线 三角形内角 平分线的性质 性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 应用：位置的选择问题 课堂小结 1. 如图，BO与CO分别是△ABC中∠ABC与 ∠ACB的平分线.若∠BAC＝52°， 则∠BAO＝(　B　) A. 25° B. 26° C. 30° D. 32° 第1题图　　 B 2. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB平分线的 交点P恰好在BC边的高AD上，则△ABC一定 是(　C　) A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 C 第2题图 3. 如图，△ABC的三条角平分线交于点O，且三 边AB，BC，CA的比为4∶6∶7，S△ABO＝8，则 S△CAO＝ ⁠. 14　 4. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝7， BC＝24，AC＝25.点P是△ABC三个内角平分线 的交点，PD⊥BC于点D，求线段PD的长. 解：如图，过点P作PE⊥AB于E，作PF⊥AC于F. ∵点P是△ABC三个内角平分线的交点，且PD⊥BC， ∴PE＝PF＝PD. 设PD＝x， 则S△ABC＝ BC∙PD＋ AB∙PE＋AC∙PF＝ AB∙BC， 即×24x＋×7x＋×25x＝×7×24，解得x＝3， ∴PD＝3. 7．(4分)如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置。 解：如图，点P即为所求。 返回 中考考法 31 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且相交于点F，则下列说法错误的是(　　) A．BF＝CF B．点F到∠BAC两边的距离相等 C．CE＝BD D．点F到A，B，C三点的距离相等 D 返回 中考考法 32 9．如图，l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(　　) A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 D 返回 中考考法 33 10．[宿州期中]如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是50，60，70，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(　　) A．1∶1∶1 B．7∶6∶5 C．6∶5∶7 D．5∶6∶7 D 返回 中考考法 34 11．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，连接AO，过点O作OH⊥BC于点H。若∠BAC＝60°，OH＝5，则OA＝________。 10 返回 中考考法 35 中考考法 36 返回 中考考法 37 1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧。分别交AB，AC于M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内部相交于点P，作射线AP，交边BC于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E，若AB＝3，AC＝ 5，则△CDE的周长是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 12．(4分)如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF，求证：∠BPC＝90°＋∠A。 证明：∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF， ∴点P是△ABC三个内角平分线的交点， ∴CP平分∠ACB，BP平分∠ABC， ∴∠PCB＝∠ACB，∠PBC＝∠ABC， ∴∠BPC＝180°－∠PCB－∠PBC＝180°－∠ACB－∠ABC＝180°－(∠ACB＋∠ABC)＝180°－(180°－∠A)＝90°＋∠A。 $