1.4 整式的除法（题型专练，3基础&3能力题型+培优）数学新教材北师大版七年级下册

1.4 整式的除法 题型一、单项式除以单项式 1．的运算结果是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（ 　　 ）． A． B． C． D． 3．计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．计算： ． 5．计算： ． 题型二、多项式除以单项式 6．已知面积为的长方形一边长为，另一边长为 ． 7．计算： ． 8．计算： ． 9．已知一个三角形的面积为，一条边长为，则这条边上的高为 10．计算： (1)； (2)． 题型三、整式的乘除混合运算 11．计算： ． 12．计算：． 13．计算： (1) (2) 14．计算： (1)； (2)； (3)． 15．计算： (1)； (2)； (3)． 题型一、用科学记数法表示数的除法 16．2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是 ． 17．已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为 秒． 18．五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的 倍． 19．据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 20．计算： (1)； (2)． 21．某市计划修建一个长为米，宽为米的长方形市民休闲广场．【结果均用科学记数法表示】 (1)请计算该广场的面积S； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺满该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 题型二、整式混合运算的应用 22．如图，某学校的劳动实践基地由正方形与正方形组成，其中长方形由八年级负责，其面积为．若，则劳动实践基地的面积为 ． 23．某校的一个数学兴趣小组参加了学校科技节比赛，制作了航天火箭模型．为了向全校同学宣传自己的科技作品，制作了如下图所示的宣传版画，它由一个三角形和两个梯形组成，已知宣传版画（阴影部分）的尺寸如图所示． (1)用含a，b的代数式表示图中宣传版画的总面积（结果需化简）． (2)若，，求宣传版画的总面积． 24．阅读下面材料，并完成相应的任务． 关于两个特殊两位数相乘运算的探索在学习“整式的乘除”时，同学们针对一类特殊的两位数乘两位数的运算展开探究，发现如下规律：十位数字相同、个位数字之和等于的两个两位数相乘时，可以把十位数乘比它大的数作为积的前两位，把个位数字的乘积作为积的后两位．特例分析：例如，；；_____________；_____________； 一般推理：勤思小组发现，上述规律可以用整式运算进行证明．他们的证明过程如下：设这个两位数的十位数字为，其中一个数个位数字为，这个两位数用代数式表示为；另一个两位数用代数式表示为．上述规律即表示为：． 因为，等式左边…… 又因为，等式右边…… 所以，左边右边，等式成立，即上述规律正确． 图形解释：博学小组发现，利用几何图形的面积也可以解释其中的道理．他们画出了计算的图形（相关数据在下图中进行了标注），并通过用不同方法计算这个图形的面积，验证了结论，过程如下： 四边形的面积， ， ， …… 任务：根据材料中的规律，①直接写出运算结果：___________，___________； ②再写出一个符合规律的两位数乘法算式和其运算结果：_____________； 任务：①补全材料中一般推理证明结论的过程； ②根据博学小组的方法，画出解释材料中规律的图形，并在图中标注相应数据（数据用字母，或含，的式子表示）． 25．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值： (2)若，且，求的值： (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 26．如图有两张正方形纸片和，图1将放置在内部，测得阴影部分面积为3，图2将正方形和并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为，若将3个正方形和2个正方形并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形和纸片均无重叠部分），设正方形的边长是，正方形的边长是， (1)用含、的代数式表示图1的阴影面积 (2)用含、的代数式表示图2的阴影面积 (3)求图3阴影部分面积． 27．在多项式乘法的学习中，公式变形是解决复杂问题的重要方法．已知（立方和公式），请据此完成以下任务： (1)任务一：①请你类比立方和公式，化简：___________； ②利用立方和公式计算：___________： (2)任务二：小明制作了三个正方体模型，正方体A的棱长为，正方体B的棱长为．正方体的棱长为，请你判断正方体、正方体体积之和与正方体体积的大小关系，并说明理由． (3)任务三：已知：，，为正数，当为非零整数时，求的值； 题型三、整式的混合运算 28．先化简，再求值：，其中，． 29．先化简，再求值：，其中，． 30．先化简，再求值：，其中，． 31．先化简，再求值：，其中 32．先化简，再求值：，其中，． 33．（1）先化简，再求值：，其中； （2）已知：，求的值． 34．计算： (1) (2) (3)先化简，再求值：，其中，． 35．计算： (1)． (2)先化简，再求值：，其中x，y满足． 36．定义：关于x的两个多项式A、B，若满足，则称A与B是“关于x的凤鸣多项式”．例如：若，，则，所以多项式与是关于x的凤鸣多项式． 根据上述定义，判断以下结论的正确性： ①若，，则A与B是关于x的凤鸣多项式． ②若，，，则与C是关于x的凤鸣多项式． ③已知是正整数)，A与B是关于x的凤鸣多项式，若当时，多项式的值是小于45的整数，则满足条件的所有m的值之和为6． 其中正确的结论个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 37．欢欢在计算时，因抄错运算符号，将乘号错写为加号，得到的结果是． (1)求正确的计算结果B． (2)若，在（1）的条件下，计算的结果． 38．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 39．归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律．在某次综合与实践活动中，学校数学兴趣小组研究如下“点阵”表（其中m表示行数，n表示列数），每个位置（第m行和第n列）对应一个独立的“点阵”，我们把该“点阵”中点的总个数记为．例如，观察第2行第3列的“点阵”，其点的总个数． 【观察与思考】 （1）观察第1、2行的“点阵”规律，按要求填写：①________； 通过观察归纳得：； ②________； 归纳得________（用含n的式子表示）； 【猜想与应用】 （2）基于（1）中发现的规律，学生进一步发现： 据此归纳： 对任意正整数n，有 设（且n为正整数）， 若，求n的值； 【拓展与归纳】 （3）兴趣小组继续探究，尝试归纳“点阵”的一般规律：________（用含m、n的式子表示）． 40．发现问题：边长有倍数关系的几个长方体，可以拼成新的大长方体，并且有多种拼法，表面积也随之改变．提出问题：有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是、、，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 分析问题：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 解决问题： （1）图________的大长方体表面积最小； 延伸问题： （2）现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是、、，若将这4个纸盒搭成一个大长方体，共有________种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为________； （3）现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是a、b、c，且，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，探究共有几种不同的方式，并求出搭成的大长方体的表面积最小值．（用含a、b、c的代数式表示）． 41．多边形数是一类有趣的图形数，它们表示可以在平面上用点排成某种正多边形形状的整数．对于一个正边形，其第个多边形数，记作 多边形类型 名称 数值 三角形数 1，3，6，10，15，… 正方形数 1，4，9，16，25，… 五边形数 1，5，12，22，35，… 以下给出多边形数的生成过程．对于一个边形数，当时，，即第一个边形数一定是1．第个边形数由第个边形数生成：首先，基于第个边形的两条相邻的边，每条边新增一个格点，使得这两条边各有个格点；然后，再补齐其他的边，使得最外层的每条边有个格点；最后，计算总格点数． 三角形数生成过程 四边形数生成过程    五边形数生成过程    以五边形数为例，当，最外层的每条边有2个格点，；当时，将时的五边形的右下两条相邻的边各增加一个格点，保证这两条边中每条边有3个格点；然后，再补上其他三条边，保证每条边有3个格点；最后，整个图形有12个格点（实心格点数和空心格点数之和），即．为了能够更好的理解的计算方法，我们在上表中也给了的三角形数和的四边形数的图形生成和计算过程． (1)请直接写出第6个五边形数的值：__________． (2)小明通过总结规律发现： 第个三边形数可以通过以下公式计算：； 第个四边形数可以通过以下公式计算：； 请你通过观察小明总结的规律，总结第个五边形数的计算公式： __________．（提示：总结完公式后，代入到原题例子中验证一下是否正确．） 猜想，对于第个边形数，其计算公式为：__________． (3)若的余式为，其中，，为常数，请直接写出，，的值：__________；__________；__________． 试卷第4页，共36页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 整式的除法 题型一、单项式除以单项式 1．的运算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的法则：系数相除，同底数幂的指数相减，保留独有因式，即可求解． 【详解】解： ， 故选：D． 2．下列计算正确的是（ 　　 ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，单项式除以单项式法则计算即可． 本题考查整式的加法、乘法、乘方和除法运算，需根据运算法则逐项判断． 【详解】解：∵ A: ， ∴ A错误； ∵ B: ， ∴ B错误； ∵ C: ， ∴ C错误； ∵ D: ， ∴ D正确， 故选：D． 3．计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查积的乘方运算，单项式除以单项式的运算，掌握积的乘方与单项式除以单项式的运算法则是解题关键． 先计算立方运算，再根据除法将原式转化为分数形式，利用指数运算法则简化． 【详解】解：∵， ∴， 系数化简：， 化简：， 化简：， ∴结果为． 故选：． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，先计算幂的乘方，再根据单项式除以单项式法则进行运算即可． 【详解】原式 ， 故答案为：． 5．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算；根据同底数幂的除法法则，系数相除，同底数幂的指数相减． 【详解】解：． 故答案为：． 题型二、多项式除以单项式 6．已知面积为的长方形一边长为，另一边长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式．根据长方形面积公式，另一边长等于面积除以已知边长，即可解答． 【详解】解：另一边长为：． 故答案为 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再合并所得结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，解决本题的关键是熟练掌握运算法则并正确计算． 将多项式中的每一项分别除以单项式，并利用指数法则简化即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．已知一个三角形的面积为，一条边长为，则这条边上的高为 【答案】/ 【分析】本题考查多项式除以单项式，根据三角形的面积公式列出式子，然后进行计算即可． 【详解】解：∵一个三角形的面积为，一条边长为， ∴这条边上的高为， 故答案为：． 10．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算、多项式除以单项式运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可； （2）根据多项式除以单项式运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： 题型三、整式的乘除混合运算 11．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及幂的乘方、单项式的乘法和除法，根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 12．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，根据积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式法则进行求解即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 13．计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，单项式乘多项式的应用，整式乘法混合运算，计算单项式除以单项式，零指数幂等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先计算零次幂、中间的逆用积的乘方、最后的直接计算，再计算中间的运算，最后计算加减即可； （2）先计算单项式乘以多项式，再计算多项式除以单项式． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 14．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （）先进行乘方运算，再进行乘除运算即可； （）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可； （）先进行乘方运算，再进行括号内的加减运算，最后进行除法运算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 15．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的运算，掌握单项式除以单项式法则、单项式乘以多项式法则、多项式乘以多项式法则、多项式除以单项式法则是解题的关键． （1）根据单项式除以单项式法则计算即可； （2）根据单项式乘以多单项式法则计算即可； （3）根据多项式乘以多项式法则、多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型一、用科学记数法表示数的除法 16．2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式．根据单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：人均粮食产量为： ． 故答案为． 17．已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为 秒． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除单项式，科学记数法表示的数的计算可以利用单项式的相应的运算法则求解，熟练掌握单项式除单项式、科学记数法是解题的关键．根据时间路程速度列式，再根据单项式除单项式的运算法则计算，即可以得出最后的答案． 【详解】解：由题意可得，预定轨道处光传播到地球的时间为：（秒）． 故答案为：． 18．五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的 倍． 【答案】5 【分析】本题考查了科学记数法和单项式除以单项式，先把数据用科学记数法表示，根据题意列出算式，再根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ，， ， 阵风战机价格是歼-10C的5倍． 故答案为：5． 19．据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，根据题意可得1秒等于皮秒，再由该器件执行一次擦写需要400皮秒列式求解即可． 【详解】解：， ∴该器件一秒可以擦写次， 故答案为：． 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的除法以及科学记数法，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据单项式除单项式法则计算即可； （2）利用科学记数法计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 21．某市计划修建一个长为米，宽为米的长方形市民休闲广场．【结果均用科学记数法表示】 (1)请计算该广场的面积S； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺满该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 【答案】(1)广场的面积为 (2)需要3×105块大理石地砖 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，科学记数法，正确计算是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式列式求解即可； （2）先求出一块大理石的面积，再用广场面积除以一块大理石的面积即可得到答案． 【详解】（1）解： 答：广场的面积为； （2）解：单块大理石的面积是 ． 答：需要块大理石地砖 题型二、整式混合运算的应用 22．如图，某学校的劳动实践基地由正方形与正方形组成，其中长方形由八年级负责，其面积为．若，则劳动实践基地的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式混合运算的应用，完全平方公式的应用，解题关键是能根据图形得到正确的数量关系并列式计算．设正方形的边长，进而表示出，再根据长方形面积为可得到，根据劳动实践基地的面积列式，利用完全平方公式、提公因式等将式子进行变形，最后将整体代入计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长，则， 长方形面积为． ， 劳动实践基地的面积为： ． 故答案为：． 23．某校的一个数学兴趣小组参加了学校科技节比赛，制作了航天火箭模型．为了向全校同学宣传自己的科技作品，制作了如下图所示的宣传版画，它由一个三角形和两个梯形组成，已知宣传版画（阴影部分）的尺寸如图所示． (1)用含a，b的代数式表示图中宣传版画的总面积（结果需化简）． (2)若，，求宣传版画的总面积． 【答案】(1) (2)72 【分析】本题考查了整式的混合运算、完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据宣传版画的总面积为上面的三角形的面积+中间梯形的面积+下面梯形的面积，列式计算即可得解； （2）先利用完全平方公式得出，再整体代入即可得解． 【详解】（1）解：（1）由图可得， 宣传版画的总面积为 ． （2）解：，， ， ∴宣传版画的总面积为 ． 24．阅读下面材料，并完成相应的任务． 关于两个特殊两位数相乘运算的探索在学习“整式的乘除”时，同学们针对一类特殊的两位数乘两位数的运算展开探究，发现如下规律：十位数字相同、个位数字之和等于的两个两位数相乘时，可以把十位数乘比它大的数作为积的前两位，把个位数字的乘积作为积的后两位．特例分析：例如，；；_____________；_____________； 一般推理：勤思小组发现，上述规律可以用整式运算进行证明．他们的证明过程如下：设这个两位数的十位数字为，其中一个数个位数字为，这个两位数用代数式表示为；另一个两位数用代数式表示为．上述规律即表示为：． 因为，等式左边…… 又因为，等式右边…… 所以，左边右边，等式成立，即上述规律正确． 图形解释：博学小组发现，利用几何图形的面积也可以解释其中的道理．他们画出了计算的图形（相关数据在下图中进行了标注），并通过用不同方法计算这个图形的面积，验证了结论，过程如下： 四边形的面积， ， ， …… 任务：根据材料中的规律，①直接写出运算结果：___________，___________； ②再写出一个符合规律的两位数乘法算式和其运算结果：_____________； 任务：①补全材料中一般推理证明结论的过程； ②根据博学小组的方法，画出解释材料中规律的图形，并在图中标注相应数据（数据用字母，或含，的式子表示）． 【答案】任务：①，②答案不唯一，只要正确即可得分，例如； 任务：①见解析；②图见解析． 【分析】本题考查的知识点是整式规律、整式的混合运算法则，解题关键是正确理解题意． 任务：①根据题中所给速算方法进行求解即可； ②符合题中所给的规律即可； 任务：①根据题中所给的证明步骤进行计算即可； ②结合题意画出图形． 【详解】解：任务：①由题意得：，； ②（答案不唯一）； 任务：①设这个两位数的十位数字为，其中一个数个位数字为，这个两位数用代数式表示为；另一个两位数用代数式表示为． 规律即表示为：． 等式左边， ， ， 等式右边， ， 等式左边等式右边，等式成立，即上述规律正确． ②如下图： 25．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值： (2)若，且，求的值： (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公式变形应用，整式的混合运算，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键． （1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【详解】（1）解：， ∵是一个完全平方式， ∴； （2）解： ， 去括号得：， 合并同类项得：， ， ， ， ， 解得：； （3）解：，， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为：， ，， 阴影部分的面积为：． 26．如图有两张正方形纸片和，图1将放置在内部，测得阴影部分面积为3，图2将正方形和并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为，若将3个正方形和2个正方形并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形和纸片均无重叠部分），设正方形的边长是，正方形的边长是， (1)用含、的代数式表示图1的阴影面积 (2)用含、的代数式表示图2的阴影面积 (3)求图3阴影部分面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式，整式的加减，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由图1可知，阴影部分面积正方形的面积正方形的面积，依此列式即可； （2）由图2可知，阴影部分面积边长为的正方形面积正方形的面积正方形的面积，依此列式即可； （3）由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵正方形的边长是，正方形的边长是，由图1可知， 阴影部分面积为； （2）解：； （3）解：由图1可知，阴影部分面积， 图2可知，阴影部分面积， ∴， 由图3可知，阴影部分面积 ． 27．在多项式乘法的学习中，公式变形是解决复杂问题的重要方法．已知（立方和公式），请据此完成以下任务： (1)任务一：①请你类比立方和公式，化简：___________； ②利用立方和公式计算：___________： (2)任务二：小明制作了三个正方体模型，正方体A的棱长为，正方体B的棱长为．正方体的棱长为，请你判断正方体、正方体体积之和与正方体体积的大小关系，并说明理由． (3)任务三：已知：，，为正数，当为非零整数时，求的值； 【答案】(1)①；②51 (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）①类比立方和公式可求出； ②把变形为，再进行除法运算即可； （2）根据题意得，正方体的体积为，正方体的体积为，正方体的体积为，代入得，进行整理后讨论即可得到结论； （3）把变形为，整理得，设，则，，再进行讨论即可． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴ ； 故答案为：；51； （2）解：根据题意得，正方体的体积为，正方体的体积为，正方体的体积为， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，即； （3）解：∵ ∴， ∵为非零整数， ∴， ∴， 设，则，， 当时，， ∴； 当时，，不满足为正数的条件， 故的值为． 题型三、整式的混合运算 28．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，6 【分析】先用完全平方公式和平方差公式展开计算括号里的式子，再计算多项式除以单项式化简，然后代入具体数值计算即可；本题主要考查了化简求值，整式的四则混合运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ，时， 原式 ． 29．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】本题考查了整式的乘除和代数式，先计算小括号和除法，再计算中括号，化简后，代入即可． 【详解】解： ， 将，代入，得 原式． 30．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据整式的混合运算法则进行化简，再根据指数幂的运算法则求出、的值，代入化简后的式子计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 当，，原式． 31．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，负整数指数幂，零指数幂，先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后分别求出x，y的值，代入化简后的式子计算即可得出答案． 【详解】解： ， ∴原式． 32．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．根据整式混合运算法则进行化简，再将数据代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 33．（1）先化简，再求值：，其中； （2）已知：，求的值． 【答案】（1），1 （2）50 【分析】本题考查了代数式的化简，求值，正确计算是解题的关键． （1）先化简，再代入求值即可； （2）展开并变形表达式，代入已知条件即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 把代入上式，得 原式； （2）解：， ， ， ， 将代入上式，得 原式， ， ， ， 34．计算： (1) (2) (3)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）先利用多项式乘多项式法则展开，再用完全平方公式展开，最后通过去括号、合并同类项化简式子． （2）先对进行整式除法运算，再用平方差公式展开，之后去括号、合并同类项化简． （3）先依次进行单项式乘多项式、完全平方公式的展开运算，再合并同类项整理括号内的式子，接着进行整式除法化简，最后代入、的值计算． 【详解】（1）解： ， ． （2）解： ； （3）解：原式 ． 当，时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算（包含多项式乘多项式、完全平方公式、平方差公式、整式的乘除与加减运算），熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 35．计算： (1)． (2)先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查整式的混合运算与化简求值，涉及知识点：幂的运算、整式的乘除、平方差公式、绝对值与偶次幂的非负性．解题方法是先按运算法则化简整式，再利用非负性求字母值代入计算；解题关键是准确应用幂的法则与公式，易错点是符号处理或公式展开错误． （1）先算幂的乘方，再依次进行乘除、乘法分配律运算，最后合并； （2）先利用公式化简括号内的式子，再结合非负性求，代入求值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴原式． 36．定义：关于x的两个多项式A、B，若满足，则称A与B是“关于x的凤鸣多项式”．例如：若，，则，所以多项式与是关于x的凤鸣多项式． 根据上述定义，判断以下结论的正确性： ①若，，则A与B是关于x的凤鸣多项式． ②若，，，则与C是关于x的凤鸣多项式． ③已知是正整数)，A与B是关于x的凤鸣多项式，若当时，多项式的值是小于45的整数，则满足条件的所有m的值之和为6． 其中正确的结论个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了整式混合运算——化简求值，理解已知中与是关于x的凤鸣多项式，并准确地进行计算是解题的关键． ①根据已知计算出 的值即可判断；②根据已知计算出 的值即可判断；③根据已知可得，再利用当时，多项式的值是小于的整数，确定出的值即可解答． 【详解】解：①，， ， 与是关于x的凤鸣多项式，故①正确； ②∵，，， ∴， 则 ， ∴，不满足定义， 则与C不是关于x的凤鸣多项式，故②错误； ③与是关于x的凤鸣多项式， ， ， （m是正整数）， ， ， ， ∵当时，多项式的值是小于45的整数， ， ， ， ， ， ，， ∴满足条件的所有m的值之和为6，故③正确． 综上，正确的结论有①③，共2个， 故选：C． 37．欢欢在计算时，因抄错运算符号，将乘号错写为加号，得到的结果是． (1)求正确的计算结果B． (2)若，在（1）的条件下，计算的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据错误的运算（加号）求出整式，再通过正确的运算（乘号）计算结果； （2）先求出的表达式，再与进行整式乘法运算． 【详解】（1）解：根据题意，可得， 则正确的计算结果． （2）解： ． 【点睛】本题考查了整式的加减与整式乘法运算，解题关键是先通过错误运算逆向求出整式，再按照整式运算的法则逐步计算． 38．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 【答案】(1)，1 (2)能被整除，理由见解析 (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题中求解方法是解答的关键． （1）仿照题干求解方法求解即可； （2）根据题干求解方法，得到余式为0可得结论； （3）根据题干求解方法和余式为0得到对应系数关系，，进而求得a、b值，代值求解即可． 【详解】（1）解：（1）的商式是，余式是1； 故答案为：，1； （2）解：能被整除，理由如下： （3）解：， 若多项式能被整除，如图， 所以，， 解得，， ∴． 39．归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律．在某次综合与实践活动中，学校数学兴趣小组研究如下“点阵”表（其中m表示行数，n表示列数），每个位置（第m行和第n列）对应一个独立的“点阵”，我们把该“点阵”中点的总个数记为．例如，观察第2行第3列的“点阵”，其点的总个数． 【观察与思考】 （1）观察第1、2行的“点阵”规律，按要求填写：①________； 通过观察归纳得：； ②________； 归纳得________（用含n的式子表示）； 【猜想与应用】 （2）基于（1）中发现的规律，学生进一步发现： 据此归纳： 对任意正整数n，有 设（且n为正整数）， 若，求n的值； 【拓展与归纳】 （3）兴趣小组继续探究，尝试归纳“点阵”的一般规律：________（用含m、n的式子表示）． 【答案】（1）①10；②25；③；（2）6；（3） 【分析】本题主要考查有理数的运算，数字类和图形类规律探索，整式的运算，掌握加法交换律是解题的关键． （1）①根据规律直接计算即可； ②根据规律直接计算即可；观察，得，根据规律及加法交换律得，两式相加可得，进而可得答案； （2）由可得，，再求和计算即可； （3）同（1）的计算方法计算，再根据规律求解． 【详解】解：（1）①； ②； 观察，得， 则， ∴ ， ； （2）由（1）知，，， 则，， ∴， 由得，解得（负值不合题意，已舍去）； 所以的值为6； （3）观察，得， ， ， ； 由，，， 根据规律知． 40．发现问题：边长有倍数关系的几个长方体，可以拼成新的大长方体，并且有多种拼法，表面积也随之改变．提出问题：有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是、、，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 分析问题：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 解决问题： （1）图________的大长方体表面积最小； 延伸问题： （2）现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是、、，若将这4个纸盒搭成一个大长方体，共有________种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为________； （3）现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是a、b、c，且，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，探究共有几种不同的方式，并求出搭成的大长方体的表面积最小值．（用含a、b、c的代数式表示）． 【答案】（1）1；（2）7，544；（3）共有6（且）或7（或）或8（且）种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为 【分析】本题考查了几何体的表面积，三视图，找出各种不同搭法是解题的关键； （1）根据长方体表面积公式，分别计算出表面积，即可比较出大长方体表面积最小值； （2）先找出所有搭法，的面是面积最大的面，大长方体的表面积最小时，表面出现的的最少，即可得出大长方体的表面积最小的搭法； （3）根据（2）的方法思路，分且，，，找出各种搭法，再由且，得出的面是最大的面，在所有的搭法中表面出现的的面最少时，大长方体的表面积最小，即可得出结论. 【详解】解：（1）由长方体表面积公式得： ∵图1的长、宽、高分别是、、， ∴图1的表面积为， ∵图2的长、宽、高分别是、、， ∴图2的表面积为， ∵图3的长、宽、高分别是、、， ∴图3的表面积为， ∵， ∴图1的表面积最小. 故答案为：1. （2）∵现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是、、， 又∵， ∴有7种搭法，如图所示： ∵的面是面积最大的面， ∴大长方体的表面积最小时，表面出现的的最少， ∴第③种搭法的大长方体的表面积最小为. 故答案为：7，544. （3）当且时，共有6种搭法，可分为两类： 第一类有三种情况，如图所示，表面积分别为： ； ； ； 第二类有三种情况，如图所示，表面积分别为： ； ； ； 第三类：当时，如图所示，表面一共有8个的面，3个的面，5个的面， ∴表面积为：； 当时，如图所示，表面一共有3个的面，5个的面，8个的面， ∴表面积为：； ∴共有6（且）或7（或）或8（且）种不同的方式， 又∵且， ∴的面是最大的面， ∴在所有的搭法中表面出现的的面最少时，大长方体的表面积最小， ∴搭成的大长方体的表面积最小为. 故答案为：共有6（且）或7（或）或8（且）种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为. 41．多边形数是一类有趣的图形数，它们表示可以在平面上用点排成某种正多边形形状的整数．对于一个正边形，其第个多边形数，记作 多边形类型 名称 数值 三角形数 1，3，6，10，15，… 正方形数 1，4，9，16，25，… 五边形数 1，5，12，22，35，… 以下给出多边形数的生成过程．对于一个边形数，当时，，即第一个边形数一定是1．第个边形数由第个边形数生成：首先，基于第个边形的两条相邻的边，每条边新增一个格点，使得这两条边各有个格点；然后，再补齐其他的边，使得最外层的每条边有个格点；最后，计算总格点数． 三角形数生成过程 四边形数生成过程    五边形数生成过程    以五边形数为例，当，最外层的每条边有2个格点，；当时，将时的五边形的右下两条相邻的边各增加一个格点，保证这两条边中每条边有3个格点；然后，再补上其他三条边，保证每条边有3个格点；最后，整个图形有12个格点（实心格点数和空心格点数之和），即．为了能够更好的理解的计算方法，我们在上表中也给了的三角形数和的四边形数的图形生成和计算过程． (1)请直接写出第6个五边形数的值：__________． (2)小明通过总结规律发现： 第个三边形数可以通过以下公式计算：； 第个四边形数可以通过以下公式计算：； 请你通过观察小明总结的规律，总结第个五边形数的计算公式： __________．（提示：总结完公式后，代入到原题例子中验证一下是否正确．） 猜想，对于第个边形数，其计算公式为：__________． (3)若的余式为，其中，，为常数，请直接写出，，的值：__________；__________；__________． 【答案】(1)51 (2)； (3)0，0，． 【分析】本题考查了图形类规律探索，整式四则混合运算，根据总结规律得到的计算公式是解题的关键． （1）根据题意，当在时的五边形的右下两条相邻的边各增加一个格点，再补上其他三条边，保证每条边有6个格点，进而得到增加的格点数，再加上35即可； （2）根据小明总结的规律即可解答； （3）根据题意可知，，，然后计算出的余式，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，， 当在时的五边形的右下两条相邻的边各增加一个格点，再补上其他三条边，保证每条边有6个格点，整个图形增加了有16个格点， ∴， 故答案为：51． （2）解：由题意可知，； ； 故答案为：；． （3）解：由（2）可知，，，， 那么 的余式为， ， ，． 故答案为：0，0，． 试卷第4页，共36页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $