1.5.1角平分线的性质与判定-课件--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学八年级下册培优精做课件 1.5.1角平分线的性质与判定 第一章 三角形的证明 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年3月3日 2026年3月3日星期二2时22分21秒 2026年3月3日星期二2时22分23秒 1. 复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理。(重点) 2. 能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题。 (难点) 3. 通过探索角平分线的判定定理的过程，提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力。 学习目标 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点 M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) O N M A B 思考：在∠AOB 的角平分线上任意取一点 C，分别折出过点 C 且与∠AOB 的两边垂直的直线，垂足分别为D， E，将∠AOB 再次对折，线段 CD 与 CE 能重合吗? 改变点 C 的位置，线段 CD 和 CE 还相等吗? 结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 探究点1：角平分线的性质 对此你能得出什么结论？动手证一证. C A O B C D E 【证一证】已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E。 求证：PD = PE。 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， ∴∠PDO =∠PEO = 90°。 ∴△PDO≌△PEO (AAS). ∴ PD = PE(全等三角形的对应边相等). B A D O P E C 1 2 ∵OC 是∠AOB 的平分线， ∴∠1 =∠2. ∵OP = OP， 1．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 C 返回 中考考法 6 2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD，则下列关系不一定成立的是(　　) A．PC＝PD B．OC＝OD C．CD垂直平分OP D．PO平分∠CPD C 返回 中考考法 7 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 角的平分线； (2) 点在该平分线上； (3) 垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. B A D O P E C 应用格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE。 PD⊥OA，PE⊥OB， 【知识要点】 例1 如图，AD 为∠BAC 的平分线，DF⊥AC 于点 F， ∠B＝90°，DE＝DC，试说明：BE＝FC。 解：∵∠B＝90°， ∴ BD⊥AB. ∵ AD 为∠BAC 的平分线，且 DF⊥AC， ∴ DB＝DF. 在 Rt△BDE 和 Rt△FDC 中， ∴ Rt△BDE≌Rt△FDC ( HL )。∴ BE＝FC。 DE＝DC， DB＝DF， 3．[教材P37“例1”变式]如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC＝8 cm，AD＝5 cm，DE⊥AB，则AE＝________ cm。 4 返回 中考考法 10 4．(4分)[西安交大附中月考]如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC于点E。求证：AB＝BE。 中考考法 11 返回 中考考法 12 【练一练】 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4 cm，则 PE = ______cm. B A C P M D E 4 温馨提示：存在两条垂线段——直接应用 定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 它是真命题吗？你能证明吗？ 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 逆命题 P A O B C D E 探究点2：角平分线的判定 【证一证】已知：如图，点 P 为∠AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. ∴ OP 平分∠AOB. ∵PD = PE ，OP = OP ， 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， ∴∠ODP =∠OEP = 90°. ∴ Rt△DOP≌Rt△EOP (HL). ∴∠1 =∠2 (全等三角形的对应角相等). B A D O P E C 1 2 定理：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： (1) 位置关系：点在角的内部； (2) 数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 【知识要点】 例2 如图，在△ABC中，∠BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且DE = DF，求 DE 的长. A B C D E F 解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且 DE = DF， ∴ AD 平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上). 又∵∠BAC= 60°，∴∠BAD = 30°. 在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10， A B C D E F ∴ DE = AD = ×10 = 5 (在直角三 角形中，如果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜边的一半) . 例3 如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F. 求证：点 F 在∠DAE 的平分线上． 证明： 过点 F 作 FG⊥AE 于 G，FH⊥AD 于 H，FM⊥BC 于 M. ∵ 点 F 在∠BCE 的平分线上， FG⊥AE，FM⊥BC， ∴ FG＝FM. 又∵点 F 在∠CBD 的平分线上， 　　　　FH⊥AD，FM⊥BC， ∴ FM＝FH. ∴ FG＝FH. ∴ 点 F 在∠DAE 的平分线上.　　　 G H M A B C F E D ┑ ┑ ┑ 5．如图，OC是∠MON内部一条射线，P为射线OC上一点，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B。下面不能判定OP是∠MON的平分线的是(　　) A．∠MOC＝∠NOC B．PA＝PB C．OA＝OB D．PB＝OB D 返回 中考考法 20 6．如图，DA⊥AC，DE⊥BC，若AD＝5 cm，DE＝5 cm，∠ACB＝58°，则∠DCE＝(　　) A．26° B．29° C．58° D．32° B 返回 中考考法 21 O N M A B 方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上. 解：如图所示. P. 【回顾导入】 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 角平分线 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 课堂小结 1. 如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点， PD⊥OA于点D. 若PD＝6，则点P到OB的距离 为 . 6　 2. 如图，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N， PM＝PN. 若∠BOC＝30°，则∠AOB的度数 是 . 第2题图　　　 60°　 3. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的 平分线BD交AC于点D，DC＝2AD，点D到BC 的距离为5，则AC＝ ⁠. 第3题图 15　 4. 如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，求证：OP垂直平分AB. 证明：∵P为∠MON平分线上一点， PA⊥OM，PB⊥ON， ∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝90°. 在Rt△PAO和Rt△PBO中， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL). ∴OA＝OB. ∵OP平分∠AOB， ∴OP垂直平分AB. 7．如图，已知点P为∠AOB内部一点，PA⊥OA，PB⊥OB，PA＝PB，C为OP上一点，CD⊥OB于点D，且CD＝7，则点C到OA的距离是________。 7 返回 中考考法 29 8．(4分)如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。 中考考法 30 返回 中考考法 31 9． 如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则(　　) A．d1与d2一定相等 B．d1与d2一定不相等 C．l1与l2一定相等 D．l1与l2一定不相等 A 返回 中考考法 32 3 返回 中考考法 33 11．[咸阳月考]如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，若∠ADC＝120°，连接AE，则∠BAE＝________°。 30 返回 中考考法 34 12．[东营中考]如图，在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是________。 3 返回 中考考法 35 13．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，直线DE是AB的垂直平分线，与AB交于点E，与BC交于点D，连接AD。 中考考法 36 (1)求证：AD平分∠BAC； 证明：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠C＝90°，∴∠CAD＝90°－∠B－∠DAB＝30°， ∴∠CAD＝∠DAE。∴AD平分∠BAC。 中考考法 37 (2)若CD＝2，求△ABD的面积。 返回 中考考法 38 14．(8分) 如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AC上的一点(不与点A，C重合)，连接BD，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E。 (1)若BD是∠ABC的平分线，求证：BD＝2AE； 中考考法 39 证明：如图，延长BC，AE，相交于点F， ∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠FEB＝90°， ∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝90°＝∠ACB，∠ACB＝∠AEB。 ∵∠BDC＝∠ADE， ∴易得∠CBD＝∠CAF。 又∵BC＝AC，∴△BCD≌△ACF， ∴BD＝AF。 中考考法 40 ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠FBE。 ∵BE＝BE，∴∠AEB＝∠FEB＝90°， ∴△ABE≌△FBE(ASA)， ∴AE＝FE，∴AF＝2AE， ∴BD＝2AE。 中考考法 41 证明：∵∠BAC＝90°，∴CA⊥AB。 ∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴DA＝DE。 在Rt△ABD和Rt△EBD中， ∴Rt△ABD≌Rt△EBD，∴AB＝EB。 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴△BDE和△CDF都是直角三角形。 ∵D是BC的中点，∴BD＝CD。 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)。∴DE＝DF。 ∴AD是△ABC的角平分线。 10．如图，在x轴、y轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧在第一象限交于点P。若点P(a，2a－3)，则a的值为________。 解：易知DE⊥AB，AD＝BD。 ∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝CD。 ∵∠B＝30°，∴AD＝BD＝2DE＝2CD＝4。 ∴AC＝＝2， ∴△ABD的面积为×BD×AC＝×4×2＝4。 $