精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025-2026学年高二下学期开学数学试题

石嘴山市第一中学2025-2026学年第二学期高二年级开学测试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的选项中，只有一项是正确答案. 1. 某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量20%分位数和75%分位数为（ ） A. 51，58 B. 51，61 C. 52，58 D. 52，61 2. 如图所示,连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有(　　)个. A. 40 B. 30 C. 20 D. 10 3. 已知随机变量，且对任意，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设，，为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余.记为.若，，则的值可以是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 6. 某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（　　） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙、丁、戊、己6人一起报名校运会的跑步项目，跑步项目共有100m短跑、400m短跑和1000m长跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目至少有一人报名，则不同的报名方法有（ ） A. 450 B. 540 C. 630 D. 900 8. 已知平面向量.若对区间内的三个任意的实数，都有，则向量夹角的最大值的余弦值为（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的选项中，只有一项是正确答案. 9. 某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了户家庭十月份的用电量（单位：），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 图中的值为 B. 样本的第百分位数约为 C. 样本平均数约为 D. 样本平均数小于样本中位数 10. 下列命题正确的是（ ） A. 设是两个随机事件，且，，若，则是相互独立事件 B. 若三个事件两两独立，则满足 C. 若，，则事件相互独立与互斥一定不能同时成立 D. 若事件相互独立，，，则 11. 已知圆O：和圆M：有两个公共点A，B，则下列结论正确的是（） A. 两圆相交 B. 直线AB的方程为 C. 两圆有两条公切线 D. 线段AB的长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，若，则__________. 13. 现有质量分别为千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是__________. 14. 在高考中,要求每位考生必须在物理、化学、生物、历史、政治、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试，小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选课方案有________种. 四、解答题：本题共77分. 15. 某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个白球和2个红球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为， （1）求的概率即 （2）求取出白球的数学期望和方差 16. 已知直线，圆. （1）求证：直线过定点； （2）当为何值时，直线被圆截得的弦最短. 17. 一个不透明的盒子中装有规格完全相同的3个小球，标号分别为，现采用有放回的方式摸球两次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为，第二次摸到的小球号码为. （1）记“”为事件，求； （2）完成两次摸球后，再将与前面3个球规格相同的4号球和5号球放入盒中，并进行第三次摸球，且将第三次摸到的小球号码记为，号码中出现偶数的个数记为，求的分布列及数学期望. 18. 如图，在直三棱柱中，． （1）求证：为直角三角形； （2）若平面与平面所成角的正弦值为，求的值． 19. 某同学参加趣味答题比赛，规则如下：第1次答题时，若答对则得2分，否则得1分；从第2次答题开始，若答对则获得上一次答题得分的2倍，否则得1分，该同学每次答对的概率都为，答错的概率都为，且每次答对与否相互独立.记第次答题得分为. （1）求； （2）求（）的分布列和期望； （3）在游戏开始前，该同学有两个选择，①从第2次开始，若第次得分刚好为时，则该同学获得胜利，游戏结束.②从第1次开始，若第次得分刚好为时，则该同学获得胜利，游戏结束.已知共有4次答题环节，求该同学选择哪个方案获得胜利的概率更大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2025-2026学年第二学期高二年级开学测试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的选项中，只有一项是正确答案. 1. 某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量20%分位数和75%分位数为（ ） A. 51，58 B. 51，61 C. 52，58 D. 52，61 【答案】B 【解析】 【分析】先把每月的降水量从小到大排列,再根据分位数的定义求解. 【详解】把每月的降水量从小到大排列为: 46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71， , 所以该地区的月降水量的分位数为; 所以该地区的月降水量的分位数为. 故选：B 2. 如图所示,连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有(　　)个. A. 40 B. 30 C. 20 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】把与正八边形有公共边的三角形分为两类：有一条公共边的三角形、有两条公共边的三角形，由分类加法计数原理，可得结论． 【详解】把与正八边形有公共边的三角形分为两类： 第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32（个）； 第二类，有两条公共边的三角形共有8（个）． 由分类加法计数原理知，共有32+8＝40（个）． 故选A 【点睛】本题考查由分类加法计数原理，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键． 3. 已知随机变量，且对任意，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的图像的对称性可得结果. 【详解】因为随机变量，且符合， 所以其图像关于直线对称，即， 故选：D 4. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求出参数，再由平行线间的距离得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得，经验证符合题意， 所以直线即与直线之间的距离． 故选：C． 5. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设，，为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余.记为.若，，则的值可以是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】结合二项式系数的性质可得，利用二项式定理求被除得余数，结合同余定义可得被17除的余数是16，由此可得结论. 【详解】因为 所以， 所以， 所以被17除的余数是16，又， 所以被17除的余数是16， 故选：C. 6. 某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设男生甲被选中为事件，女生乙被选中为事件，分别求得，，再结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】解：由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动， 设男生甲被选中为事件，其概率为， 设女生乙被选中为事件， 则男生甲被选中且女生乙也被选中的概率为， 所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为. 故选：B. 7. 甲、乙、丙、丁、戊、己6人一起报名校运会的跑步项目，跑步项目共有100m短跑、400m短跑和1000m长跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目至少有一人报名，则不同的报名方法有（ ） A. 450 B. 540 C. 630 D. 900 【答案】B 【解析】 【分析】先将6人分成3组，即分为；或，再把三组分配到3个不同项目. 【详解】先将6人分成3组，即分为；或， 共有种分组方法， 再把三组分配到3个不同项目， 则有种不同的报名方法. 故选：B 8. 已知平面向量.若对区间内的三个任意的实数，都有，则向量夹角的最大值的余弦值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设,作出图形，分析出恒成立，临界处即与重合，与重合，且GM不能充当直角三角形斜边，否则可以改变的位置，使得，此时最小，向量夹角取得最大值，利用三角函数恒等变换和图象得到答案. 【详解】设,如图， 不妨设. 设为的中点，为OC的中点，为BD的中点，为AD的中点. 则， ， 设，点在平行四边形内（含边界）. 由题知恒成立. 为了使最大，则思考为钝角，即思考点在第一或第四象限. 思考临界值即与重合，与重合，且GM不能充当直角三角形斜边，否则可以改变的位置，使得，此时最小， 所以，即， 即 即，即. 所以. 所以 ， 其中向量与夹角为，故与夹角的最大值的余弦值为. 故选：A. 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的选项中，只有一项是正确答案. 9. 某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了户家庭十月份的用电量（单位：），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 图中的值为 B. 样本的第百分位数约为 C. 样本平均数约为 D. 样本平均数小于样本中位数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据频率直方图，结合各个统计量的含义，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，由题意，，解得，，故A正确； 对于B，因为用电量在以下的频率为， 用电量在以下的频率为， 所以样本的第分位数在区间内， 设样本的第分位数为，则，解得， 即样本的第分位数约为，故B正确； 对于C，样本的平均数为，故C正确； 对于D，因为用电量在以下的频率为， 用电量在以下的频率为， 所以样本的中位数在区间内， 设样本的中位数为，则，解得， 所以样本的中位数约为， 因为，所以样本的中位数样本的平均数，故D错误. 故选：ABC. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 设是两个随机事件，且，，若，则是相互独立事件 B. 若三个事件两两独立，则满足 C. 若，，则事件相互独立与互斥一定不能同时成立 D. 若事件相互独立，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据利用独立事件的概率性质可判断ABC的正误，根据独立事件的性质及概率公式计算后可判断D的正误. 【详解】对于A，因，故是相互独立事件，故A正确. 对于B，考虑投掷两个骰子，记事件第一个骰子的点数为奇数， 事件第二个骰子点数为奇数，事件两个骰子的点数之和为奇数， 于是有，， ，可以看出事件两两独立，但不互相独立， 所以，B错误； 对于C，若事件相互独立与互斥同时成立，则 而，矛盾，故事件相互独立与互斥不能同时成立，故C正确. 对于D，由，，则，， 又事件，相互独立， 则 ， 故D选项正确； 故选：ACD. 11. 已知圆O：和圆M：有两个公共点A，B，则下列结论正确的是（） A. 两圆相交 B. 直线AB的方程为 C. 两圆有两条公切线 D. 线段AB的长为 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A：运用圆心距与半径比较确定两圆位置关系；选项B：由两圆方程相减求得两圆相交弦方程；选项C：运用两圆相交即可判断其公切线条数；选项D：运用弦长公式结合圆心到直线的距离与半径计算. 【详解】对于A，由圆：，可得其圆心为，半径， 圆：，配方得， 即该圆的圆心为，半径， 圆心距，由知两圆相交，故A正确； 对于B，将两圆方程左右相减得， 即，化简得，故B错误； 对于C，因两圆相交，则两圆有且仅有两条公切线，故C正确； 对于D，圆心到直线的距离，则，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，若，则__________. 【答案】36 【解析】 【分析】直接利用公式求解，即随机变量，则有，再根据方差的性质求解. 【详解】由题知， 所以， 解得. 故答案为：36 13. 现有质量分别为千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件概率和全概率公式的概率公式求解. 【详解】由于六件货物的质量之和不是3的倍数，因而不可能出现三个箱子的总重量都相同的情况. 设事件表示存在两个箱子，它们的总质量相同且同时最小，事件表示第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量. 考虑三个箱子的摆放顺序，可得. 当发生时，这两个箱子的货物组合只能是和和和三种可能，故. 当不发生时，表示仅有一个箱子的总质量最小，于是由对称性，得. 故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是 求出，以及，利用全概率公式求解. 14. 在高考中,要求每位考生必须在物理、化学、生物、历史、政治、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试，小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选课方案有________种. 【答案】10 【解析】 【分析】在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么在生物、政治、历史三门中可以选择1门或0门，通过分类加法原理即可得结果. 【详解】①在生物、政治、历史三门选择1门，则在物理、化学、地理中选2门， 有：种选法； ②在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选， 有种选法， 共有选法：9+1=10种． 故答案为10. 【点睛】本题主要考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，属于基础题． 四、解答题：本题共77分. 15. 某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个白球和2个红球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为， （1）求的概率即 （2）求取出白球的数学期望和方差 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）首先求出，再根据对立事件的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，求出对应的概率，然后可得答案. 【小问1详解】 因为，所以； 【小问2详解】 依题意的可能取值为、、， 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以， . 16. 已知直线，圆. （1）求证：直线过定点； （2）当为何值时，直线被圆截得的弦最短. 【答案】（1）直线恒过定点，证明见解析；（2）当时，直线被圆截得的弦最短. 【解析】 【详解】（1）要求证直线过定点，只要把直线方程左边整理为关于参数的多项式，然后令的系数和常数项均为0，可解得，这就是定点坐标；（2）要使直线被圆截得的弦最短，只要，由两直线垂直的性质可求得的值． 试题解析：（1）证明：把直线的方程整理成， 由于的任意性，有，解此方程组，得， 所以直线恒过定点； （2）当直线与垂直时，被截得的弦最短， 此时，， 由直线的方程得，由点的坐标得， ∴，解得， 所以，当时，直线被圆截得的弦最短. 【点睛】直线被圆所截的弦长问题一般用几何法求解，即求得圆心到弦所在直线的距离（弦心距），则弦长（其中是圆的半径），而圆的过定点的弦中，弦心距离最大值一定为，从而要使弦长最短，则必有结论． 17. 一个不透明的盒子中装有规格完全相同的3个小球，标号分别为，现采用有放回的方式摸球两次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为，第二次摸到的小球号码为. （1）记“”为事件，求； （2）完成两次摸球后，再将与前面3个球规格相同的4号球和5号球放入盒中，并进行第三次摸球，且将第三次摸到的小球号码记为，号码中出现偶数的个数记为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）X的分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望为.【解析】 【分析】（1）根据古典概型的计算公式即可求得答案. （2）先确定X的取值，结合独立事件概率乘积公式及组合数求得每个值对应的概率，即可得分布列，继而求得数学期望. 【小问1详解】 两次摸球，摸出的小球号码的所有情况共种， 其中，满足“”的情形有： 时，；时，；时，；共5种情况， 故； 【小问2详解】 X的可能取值为， 则，， ，， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故 18. 如图，在直三棱柱中，． （1）求证：为直角三角形； （2）若平面与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1） 在直三棱柱中， ，则有， 又，， 在中，由余弦定理可得： ， 解得：， 有，所以， 在直三棱柱中，平面， 平面，所以，， 平面，，所以平面， 平面，，所以为直角三角形. （2）2 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出，有，在直三棱柱有平面，证得即可； （2）建立空间直角坐标系，分别得出相关点坐标和平面法向量，利用向量夹角公式结合已知正弦值求长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立以为原点，分别以，， 所在直线为，，轴的空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，即， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，即， 又面与平面所成角的正弦值为， 所以， 又因此， 即，两边平方可得：， 即，求解可得：， 即或（舍去）. 19. 某同学参加趣味答题比赛，规则如下：第1次答题时，若答对则得2分，否则得1分；从第2次答题开始，若答对则获得上一次答题得分的2倍，否则得1分，该同学每次答对的概率都为，答错的概率都为，且每次答对与否相互独立.记第次答题得分为. （1）求； （2）求（）的分布列和期望； （3）在游戏开始前，该同学有两个选择，①从第2次开始，若第次得分刚好为时，则该同学获得胜利，游戏结束.②从第1次开始，若第次得分刚好为时，则该同学获得胜利，游戏结束.已知共有4次答题环节，求该同学选择哪个方案获得胜利的概率更大. 【答案】（1） （2）的分布列为： 1 2 4 （3）方案② 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）首先分析出得可能取值，再按步骤列出分布列，最后利用期望公式和等比数列求和公式即可； （3）选择方案①，计算出的值，选择方案②，计算出，两者比较大小即可. 【小问1详解】 由题意可知表示事件“第1次答错，第2，3次均答对”， 【小问2详解】 可取且表示事件“第次答错”， 所以， 当时，， 表示事件“第次答错，第次均答对”， 所以，， 表示事件“第次都答对” ， 所以 所以的分布列为： 1 2 4 【小问3详解】 若选择方案①，只可能为2，4，即:， 表示事件“第1次答错，第2次答对”， 表示事件“第2次答错，第3、4次均答对"， 因为、互斥，所以 若选择方案②，只可能为1，2，4，即:， 表示事件“第1次答对”； 表示事件“第1、2次均答对”， 而第1次答对的话，游戏已结束，故不需要考虑这种情况； 表示事件“第1次答错，第2，3，4次均答对”； 因为与互斥，所以 ， 所以应该选择方案②. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是得到，再利用等比数列的性质得到，最后列出分布列，再求出期望即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $