边长缺失问题、动点存在性问题、最值与范围问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

边长缺失问题、动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 边长缺失问题、动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 考点目录 边长缺失问题 动点存在性问题 最值与范围问题 考点一 边长缺失问题 例1．（25-26高二上·江苏·期末）如图，在三棱锥中，平面，，平面平面，棱的中点为O． (1)求证：平面； (2)若，，直线与平面所成角的正弦值为，求实数m的值． 例2．（2026·河南南阳·模拟预测）如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点. (1)证明：； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求. 例3．（25-26高二上·北京·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，，，，. (1)点在棱上，若平面，求证：为的中点； (2)若与平面所成的角为，求的长． 变式1．（2026·河北沧州·一模）如图所示，在四棱锥中，平面，平面，是等边三角形． (1)若为棱上一点，直线与平面交于点，证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 变式2．（25-26高二上·安徽·期末）如图，在直三棱柱中，．    (1)求证：为直角三角形； (2)若平面与平面所成角的正弦值为，求的值． 变式3．（25-26高二上·陕西安康·期末）如图，在长方体中，. (1)证明：平面； (2)若平面与平面所成角的正弦值为，求. 考点二 动点存在性问题 例1．（24-25高二上·福建莆田·期末）如图，在三棱锥中，是斜边为AC的等腰直角三角形，是边长为4的等边三角形，且，为棱AC的中点． (1)证明：平面ABC； (2)问：在线段BC上是否存在点M（不与B、C重合），使得二面角为30°，若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点． (1)求二面角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)若是与的交点，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，指明点的位置，若不存在说明理由． 例3．（25-26高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 变式1．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且. (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)设的中点为，在平面内取点，使得直线平面，问点是否在内？并求的长. 变式2．（25-26高三上·广东广州·月考）如图，四棱柱的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且，是侧棱上的点，，是线段上的动点．    (1)以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立空间直角坐标系（右手系），写出点的坐标． (2)求点到平面的距离． (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 变式3．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 考点三 最值与范围问题 例1．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）在平面四边形ABCD中，为边长为2的正三角形，为等腰三角形且，将沿向上翻折至，其中P为动点． (1)若，证明：平面； (2)当直线与平面所成角的正弦值取到最大值时，求点到平面的距离． 例2．（25-26高二上·山东泰安·期末）如图，为圆柱的母线，为下底面圆周上的点，与直径交于点为中点，为直径上的动点. (1)证明：； (2)若圆柱的体积为，侧面积为，二面角的正弦值为. （i）求； （ii）设直线与平面，平面所成角分别为，求的最大值. 例3．（2026·四川泸州·二模）如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面，已知，是棱上的点． (1)若是棱的中点，求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成的角的最大值． 变式1．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，点E，F为下底面圆周上的点，且是正三角形，点P是上底面圆周上一动点，G为直线与的交点. (1)证明： （i）面； （ii）不论点P在何位置，三棱锥的外接球半径大小不变. (2)求二面角的余弦值的取值范围. 变式2．（25-26高三上·山东日照·期末）如图，在直三棱柱中，，，，．若分别为棱上的动点，且，点在平面上的射影为点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 变式3．（2025·山东烟台·三模）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，且二面角的大小为．底面为平行四边形，，，点Q在棱上且． (1)若，证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $边长缺失问题、动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 边长缺失问题、动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 考点目录 边长缺失问题 动点存在性问题 最值与范围问题 考点一 边长缺失问题 例1．（25-26高二上·江苏·期末）如图，在三棱锥中，平面，，平面平面，棱的中点为O． (1)求证：平面； (2)若，，直线与平面所成角的正弦值为，求实数m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵平面，平面，， ，，为中点，， 又平面平面平面，平面平面， 平面， 平面，， 又平面，平面． （2）取中点E，连接，为的中位线， ，平面， 以所在直线分别为x轴，y轴、z轴建立下图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，则 即， 取， ∵， 设直线与平面所成角为， ∴， ∴，所以或，解得或（舍去）. 例2．（2026·河南南阳·模拟预测）如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点. (1)证明：； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)或2 【详解】（1）连接，交于点，连接. 因为四边形是菱形，则，， 因为为的中点，则， 又，且，故得， 故四边形是平行四边形，则. 又平面平面，平面平面， ，平面， 则平面，又平面， 则，故. （2）因，，则， 又得，即两两垂直， 故以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 设，则，于是， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 依题意，， 解得或，则或. 例3．（25-26高二上·北京·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，，，，. (1)点在棱上，若平面，求证：为的中点； (2)若与平面所成的角为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在中，过点作交于点，连接. 由，故，故四点共面. 由平面，平面， 平面平面，所以， 即四边形是平行四边形，故，又， 故，即是的中位线，所以为的中点. （2）过作于，连接，因为为等腰直角三角形，， 故，所以为中点，则且， 故四边形为平行四边形，则，又，所以， 因为，则，又因为平面平面， 平面平面，平面，故平面， 又平面，故，又，， 、平面，故平面，又平面， 故，则，故、、两两垂直， 故以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 则，， 所以. 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以平面的一个法向量为， 则， 化简得，又，故，即. 变式1．（2026·河北沧州·一模）如图所示，在四棱锥中，平面，平面，是等边三角形． (1)若为棱上一点，直线与平面交于点，证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)或28 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以平面， 由已知，四点共面， 又因为平面，平面平面，所以， 因为平面，平面，所以平面． （2）令， 取的中点为，连接，过作，且交于， 因为，平面，所以平面， 因为是正三角形，，所以． 以为坐标原点，方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为，则，即， 取，则， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或， 即或28． 变式2．（25-26高二上·安徽·期末）如图，在直三棱柱中，．    (1)求证：为直角三角形； (2)若平面与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【详解】（1）在直三棱柱中， ，则有， 又，， 在中，由余弦定理可得： ， 解得：， 有，所以， 在直三棱柱中，平面， 平面，所以，， 平面，，所以平面， 平面，，所以为直角三角形. （2）建立以为原点，分别以，， 所在直线为，，轴的空间直角坐标系，    设，则，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，即， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，即， 又面与平面所成角的正弦值为， 所以， 又因此， 即，两边平方可得：， 即，求解可得：， 即或（舍去）. 变式3．（25-26高二上·陕西安康·期末）如图，在长方体中，. (1)证明：平面； (2)若平面与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【详解】（1）在长方体中，，且， 则四边形为平行四边形，即， 因为平面，平面， 所以平面. （2）以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为平面与平面所成角的正弦值为， 所以平面与平面所成角的余弦值为， 则， 解得，即. 考点二 动点存在性问题 例1．（24-25高二上·福建莆田·期末）如图，在三棱锥中，是斜边为AC的等腰直角三角形，是边长为4的等边三角形，且，为棱AC的中点． (1)证明：平面ABC； (2)问：在线段BC上是否存在点M（不与B、C重合），使得二面角为30°，若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点M在棱BC的靠近点B的三等分点处 【详解】（1）由题可知，，且， ∴． 连接BO，如图，则，且． ∵是边长为4的等边三角形， ∴，，且． 从而有，故． ∵， ∴平面． （2）假设存在满足题意的点． 由（1）可知，可以О为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． ，，． 设，． 则． 设平面AMP的法向量为， 则 令，得． 易知平面的一个法向量为． ∵平面PAM与平面PAC的夹角为30°， ∴， 解得或（舍去）， ∴存在，且点M在线段BC的靠近点B的三等分点处， 即． 例2．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点． (1)求二面角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)若是与的交点，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，指明点的位置，若不存在说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点在靠近的三等分点处. 【详解】（1） 由题可知，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为平面的一个法向量为， ，设平面的一个法向量为， 则，令，则，故， 设二面角为，所以， 故二面角的余弦值为. （2）由（1）可得， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，故， 因为，所以点到平面的距离. （3）在线段上存在点，且点在靠近的三等分点处. 因为是的交点，所以， 设在上，，故， ，平面的一个法向量， 若平面，则满足，即， 解得，即点在靠近的三等分点处. 例3．（25-26高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在点， 【详解】（1）取的中点，连接，如下图： 因为为棱的中点，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）由题意知平面，且，可知两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 易知 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，可得； 又， 设平面的一个法向量为， 可得，令，可得，即， 所以， 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； （3）假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是， 设，，即，可得, 所以， 则点到平面的距离是，又，可得, 所以，， 即存在点到平面的距离是,. 变式1．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且. (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)设的中点为，在平面内取点，使得直线平面，问点是否在内？并求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不在内， 【详解】（1）取的中点，连结，，因为，所以. 在中，，所以，在中，， 在中， ，，，所以， 所以，又因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）连结，，，， 所以，且，由（1）可知平面， 又因为平面， 所以，，所以两两垂直， 如图，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，     取，得，则， 所以点到平面的距离. （3）设，由在平面内可知， 即， 所以，即，所以. 因为平面，所以是平面的一个法向量，所以， 即，解得，故，. 所以点不在内，. 变式2．（25-26高三上·广东广州·月考）如图，四棱柱的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且，是侧棱上的点，，是线段上的动点．    (1)以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立空间直角坐标系（右手系），写出点的坐标． (2)求点到平面的距离． (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3)存在，点在线段上且与点的距离为2 【详解】（1）依题意可得四边形是菱形， 又，连接，则是正三角形， 取的中点，连接，得，． 因为四棱柱的侧棱与底面垂直，即平面， 又，平面，所以，， 所以，，两两垂直． 则以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．    由直四棱柱的棱长均为6，且， 则，所以， 从而点的坐标为． （2）由，则， 则结合（1）得，，，， 所以，，设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，，所以， 又， 所以点到平面的距离为． （3）设，则， 设平面的一个法向量为， 则，即结合（2）得， 取，则，，所以， 又， 则， 化简得，解得或， 因为，所以，即． 故当点在线段上且与点的距离为2时，平面与平面夹角的余弦值为． 变式3．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【详解】（1）由已知，连接，因为为线段的中点，所以； 因为平面平面，又平面平面，又面， 所以平面；取边的中点记为，则； 以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，所以； （2）由（1），，，， 所以，，， 记平面的法向量为， 所以， 不妨取，得， 所以为平面的一个法向量； 记直线与平面的所成角为， 则， 所以，直线与平面的所成角的正弦值为； （3）设，其中， ，， ，， ， 记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得， 即； 则点到平面的距离， 整理得：即， 解得或（舍去）， 所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为． 考点三 最值与范围问题 例1．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）在平面四边形ABCD中，为边长为2的正三角形，为等腰三角形且，将沿向上翻折至，其中P为动点． (1)若，证明：平面； (2)当直线与平面所成角的正弦值取到最大值时，求点到平面的距离． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【详解】（1）为边长为2的正三角形，， 为等腰三角形且，， ，， ，， 在中，，，为等腰三角形， 取中点，连接，, ，平面，平面，，平面. （2），平面，以为原点，分别以为轴， 过作平面的垂线作为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 为边长为2的正三角形，为等腰三角形且， ，，，设， 为边长为2的正三角形，，， ，设，则， ， 平面的法向量为， 设直线AP与平面ABD所成的角为， 则， 设， 设，，， ，，， 转化为， ，， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时，，，， 即时，，则， 则，即，即， 则直线AP与平面ABD所成角的正弦值取到最大值为时，， ，则， 设点A到平面BPD的距离为， 点到平面ABD的距离为， ，， ， ， ， 点到平面的距离为. 例2．（25-26高二上·山东泰安·期末）如图，为圆柱的母线，为下底面圆周上的点，与直径交于点为中点，为直径上的动点. (1)证明：； (2)若圆柱的体积为，侧面积为，二面角的正弦值为. （i）求； （ii）设直线与平面，平面所成角分别为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）2；（ii） 【详解】（1）为圆柱的母线， 平面， 平面 ， 且为中点， ， ， 平面 平面， . （2）（i）由（1）得， 为二面角的平面角 设圆柱的半径为，高为，则 解得，即，， ， ， 在 中，， ， ∴. 故. （ii）以为原点，建系如图，其中轴与垂直，则， ， 平面， 与平面所成角为，， 设，， 设平面的一个法向量为 ，即，取，得， 又 ， ， 令，即， ， ∴当，即时， 的最大值为. 例3．（2026·四川泸州·二模）如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面，已知，是棱上的点． (1)若是棱的中点，求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成的角的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由平面平面，且底面为正方形，得，根据面面垂直的性质定理得平面， 因为，是中点，由等腰三角形三线合一，得， 又，结合平面，得平面， 因为平面，所以， 由于，根据线面垂直的判定定理，可得平面； （2）由二面角的大小为，结合平面，可知， 如图以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 由，得各点坐标：， 设（），则，故的坐标为， 向量，设平面的法向量为，由得； 由得，令，则，故法向量， 直线的方向向量为， 设直线与平面所成角为，则， 二次函数（开口向上），其最小值在顶点处取得，最小值为，故的最小值为， 代入得的最大值为：， 因此，. 变式1．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，点E，F为下底面圆周上的点，且是正三角形，点P是上底面圆周上一动点，G为直线与的交点. (1)证明： （i）面； （ii）不论点P在何位置，三棱锥的外接球半径大小不变. (2)求二面角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，证明见解析； (2). 【详解】（1）（i）是等边三角形，且的外接圆为圆，为的中心， 为圆的直径，， 四边形为正方形，， 平面与圆所在的平面交于，平面与圆所在的平面垂直， 圆所在的平面， 圆所在的平面，，，平面， 平面. （ii）的外接圆为圆，平面， 三棱锥的外接球的球心在上， 设球心为，球的半径为，则，， ，，，， ，， 为的中点，，，， 不论点P在何位置，三棱锥的外接球半径大小不变. （2）以为原点，过作的平行线作为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，，，设， ，， 设平面的法向量为， 则，即，解得， ，， 平面的一个法向量为，， 二面角的平面角为， 则， 设， ，，， 转化为， 当时，， 当时，， ，，，，，， ，； 当，， ，，，，，， ，； 综上可知，， 则二面角的余弦值的取值范围为. 变式2．（25-26高三上·山东日照·期末）如图，在直三棱柱中，，，，．若分别为棱上的动点，且，点在平面上的射影为点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【详解】（1），，， 由余弦定理得， 故，故⊥， 直三棱柱中，⊥， 又，平面， 故⊥平面， 又平面，所以平面⊥平面； （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 点在平面上的射影为点，， ，， 设，， 故， ，故，整理得， 又，故，又，解得， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得，故， 设直线与平面所成角大小为， 则， 因为，所以， 直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 变式3．（2025·山东烟台·三模）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，且二面角的大小为．底面为平行四边形，，，点Q在棱上且． (1)若，证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）若，即Q为中点，连接交于点M，连接， 因为为的中位线，所以， 因为平面，面， 所以平面． （2）因为，，，所以． 以A为坐标原点，，所在直线为x，y轴，过A且垂直平面的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为是边长为2的正三角形，所以P和中点连线的距离为， 因为二面角的大小为， 所以点P到底面的距离为， 点P在底面的射影到的距离为， 所以点P在底面的射影在边上且靠近C的四分之一等分点处， 所以， 所以， 因为，所以， 又，． 又，设平面的一个法向量， 则，即， 令，则，， 即，， 又，设直线与平面所成角为， 则， 整理得． 所以当时，， 所以． 即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $