空间向量求空间角度与空间距离问题、动点存在性问题、最值与范围问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

空间向量求空间角度与空间距离问题、动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 空间向量求空间角度与空间距离问题、动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 考点目录 空间向量求空间角度与空间距离问题 动点存在性问题 最值与范围问题 考点一 空间向量求空间角度与空间距离问题 例1．（2026·江苏·一模）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，为的中点，，，. (1)证明：； (2)若点在棱上，二面角的正切值为，求点到平面的距离. 例2．（25-26高二上·北京延庆·月考）如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的大小； (3)求点到平面的距离. 例3．（24-25高二上·湖南常德·期中）在直三棱柱中，，点是的中点，点是的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 变式1．（25-26高二上·吉林松原·期末）如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，，，且，点为的中点． (1)证明：平面． (2)求点到平面的距离． (3)求平面与平面所成角的余弦值． 变式2．（25-26高三上·广东惠州·期末）如图，在四棱柱中，平面，，，，，，分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 变式3．（25-26高三上·天津·期末）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，为棱的中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 考点二 动点存在性问题 例1．（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，且. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在棱上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由. 例2．（25-26高二上·湖北武汉·期末）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面，，，， (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)若点在线段上，且.是否存在，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 例3．（25-26高二上·江西吉安·期末）如图，在四棱锥中，，. (1)证明：平面ABCD； (2)若点都在半径为的球的表面上， （i）求PD的长度； （ii）棱PB上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 例4．（2026·广东茂名·一模）如图，在四棱锥中，平面分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 变式1．（25-26高二上·四川遂宁·期末）如图，平面，，，，，.    (1)证明：平面； (2)若. （ⅰ）求平面与平面所成角的余弦值； （ⅱ）判断在线段上是否存在一点，使得三棱锥的体积为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 变式2．（25-26高三上·北京西城·月考）如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，，．    (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)若直线上存在点，使得，求线段的长度． 变式3．（25-26高二上·天津·月考）如图，在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点. (1)请判断直线与平面是否垂直，并证明你的结论； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 变式4．（25-26高二上·贵州毕节·期中）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. (1)取线段中点，连接，证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 考点三 最值与范围问题 例1．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图1，半圆的圆心为，直径为的中点，将扇形沿着翻折使到达的位置，如图，点分别在上且不与端点重合，    (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 例2．（2026·河北·模拟预测）等边三角形绕边上的高旋转一周形成一个圆锥，如图，已知C，D均为弧的三等分点（点靠近点），为母线的中点，．    (1)已知为内一点，且平面，作出点的轨迹并证明； (2)求平面和平面所成二面角的正弦值； (3)设为圆锥底面圆周上一点，求三棱锥体积的最大值． 例3．（25-26高二上·浙江台州·期末）如图所示，在平面四边形中，，为等边三角形，沿将折起，设二面角的平面角为.    (1)当时， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）求三棱锥外接球的表面积； (2)记平面与平面的夹角为，当为何值时，取到最大值. 例4．（25-26高三上·广西崇左·期末）如图，在四棱锥中，，，两两垂直，，，且. (1)证明：平面平面. (2)设，三棱锥的体积为. （i）求的单调区间； （ii）当取得最大值时，求直线与平面所成角的正弦值. 变式1．（25-26高二上·四川成都·期中）在平行六面体中，，，，． (1)以为空间的一个基底，求平面的一个法向量； (2)求点到平面的距离； (3)动点P满足，且，，当时，求直线与平面所成角的取值范围； 变式2．（25-26高二上·江西抚州·期末）如图，在三棱柱中，为的中点，，且平面． (1)求证：平面； (2)若点在线段上运动（包括端点），求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围． 变式3．（2025·陕西·模拟预测）把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长为，，分别为下底面椭圆的左、右焦点，为上底面椭圆的右焦点，，为下底面上过点的一条动弦（与不重合），点在下底面椭圆上（与点，不重合），是在上底面的投影． (1)证明：平面； (2)求四面体的体积的取值范围； (3)设平面与平面的夹角为，求的最小值． 变式4．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）如图，在圆台中，，分别为上、下底面圆的直径，，分别为上、下底面圆的圆心，，，，分别为上、下底面圆周上的动点，其中异于，，在下底面的射影为点. (1)设. （ⅰ）证明：. （ⅱ）求四棱锥的体积. (2)求二面角的正弦值的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量求空间角度与空间距离问题、动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 空间向量求空间角度与空间距离问题、动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 考点目录 空间向量求空间角度与空间距离问题 动点存在性问题 最值与范围问题 考点一 空间向量求空间角度与空间距离问题 例1.(2026江苏一模)如图，在三棱锥A-BCD中，△ABD是边长为2的等边三角形，E为BD的中点， BC=V2,AC=2,∠DBC=45°. (1)证明：AE⊥BC; ②)若点F在棱CD上，二面角D-4B-F的正切值为25，求点F到平面ABC的距离 【答案】(1)证明见解析 2②7 14 【详解】(I)因为△ABD是边长为2的等边三角形，E为BD的中点，所以AE⊥BD, 在△BCD中，由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·COs∠DBC，,所以CD=√2， 因为E为BD中点，所以CE=I, 因为△ABD是边长为2的等边三角形，所以AE=√3， 则AE2+CE2=AC2,所以AE⊥CE, 又AE⊥BD,BDCE=E,BDC平面BCD,CEC平面BCD, 所以AE⊥平面BCD,又因为BCc平面BCD,所以AE⊥BC (2)解法一：以向量EC,ED,E所在方向建立空间直角坐标系， 空间向量求空间角度与空间距离问题、动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 ZA D 则A0,0,√5)，B(0,-1,0),C1,0,0),D(01,0), 因为F在线段CD上，设F(a,1-a,0)0≤a≤1)， 则BF=(a,2-a,0),BA=(0,l,√3)， 设平面ABF的法向量为乃=(x,,2), -F-0即a+2-= 则 元·BA=0y+V5z,=0, 0取n=a-2,a,-30 -a 又平面ABD的法向量为n2=(L,0,0), 因为二面角D-AB-F的正切值为2 5 m'n 1a-2 5 所以cos%,2 1xa-22+a2+ 37, 3 整理得4如+9如-9=0，朝得a=现3合去，所以丽-(0小 设平面ABC的法向量为万=(x,y,z),则 〔元BC=0,即 x+y=0, i.BA=0,y+V3z=0, 取z=1,则n=(3,-V3,1), 5 所以点F到平面4BC的距离d=万-BF-2-2 1714 解法二：过F作FH⊥BD,垂足为H,过H作HG⊥AB,垂足为G,连接GF, 2 空间向量求空间角度与空间距离问题、动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 D 因为AE⊥平面BCD,AEC平面ABD,所以平面ABD⊥平面BCD, 平面ABDO平面BCD=BD,FHc平面BCD,所以FH⊥平面ABD, 又ABC平面ABD,所以AB⊥HF, 又GHOFH=H,GH,FHc平面GHF,所以AB⊥平面GHF, GFc平面GHF,故AB⊥GF,所以LFGH是二面角D-AB-F的平面角， 面=面角0-48-F的正切雀为29，放品25 GH 5 设FH=25x,GH=5x,所以BH=10x 3, 在△BCD中，BC=√2，BD=2,CD=√2， 故CD2+BC2=4=BD2,故△BCD为等腰直角三角形， 故∠DC-子，放DH=2-10=FH=2N5x. 所以-，阴=a5x=故DP=5H-35,故8 DC-4' 设D到平面48C的距腐为d,则。c=,c可得xdx5三5 3 23 2.该P到半有8C的电将为2酒-引河 故d= 7 14 例2.(2526高二上北京延庆月考)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D、E、N分 别为棱PA、PC、BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4,AB=2. 空间向量求空间角度与空间距离问题、动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 D B (1)求证：MN/平面BDE; (②)求平面BDE与平面APC所成角的大小； (3)求点A到平面BDE的距离. 【答案】(1)见详解； 回等 (3)√2 【详解】(1)取EC中点Q,连接MQ,NQ,如下图： D 在BEC中，点O,N分别为EC,BC的中点，所以2N IEB,且EBc平面BDE,QN￠平面BDE,所以QNII平面 BDE, 在△PMQ中，点D,E分别为PM,PQ的中点，所以MQ∥DE,且DEc平面BDE,MQ￠平面BDE,所以MQII平 面BDE, 且ONMO=Q,QN,Mg在平面MNQ内，所以平面MNQ/平面BDE, 因为MNc平面MWQ,所以MWN/I平面BDE (2)以A为原点，分别以AB,AC,AP为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系， 由题得：A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0),如下图： D E - B 4 空间向量求空间角度与空间距离问题、动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 mBD=0 即 -2x+2z=0 设平面BDE的法向量为m=(x,y,z）,BD=(-2,0,2),DE=(0,2,0),则有 m.DE=0’ ,令x=1, 2y=0 则m=(1,0,1): 平面APC的法向量为n=(L,0,0), m 1×1+0×0+1×0 则两平面夹角O满足cos0= 心+，P+00,所以9是 故平面8DE与平面PC所成角为号 (3)由题得AB=(20,0),点A到平面BDE的距离为d=A6lcos(AB,m》- B.m_2+0+0=2 √2 故点A到平面BDE的距离为√2 例3.(24-25高二上·湖南常德·期中)在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AC=BC=2,AA,=2√2，∠ACB=90°，点M是 AA的中点，点N是BC的中点 B B (1)求证：MN∥平面AB,C; (2)求点C到平面BMC的距离； (3)求平面BC,M与平面C,MA夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 24v5 3 3)-27 1 【详解】(1)如图所示，取BC中点D,连结ND,AD, 空间向量求空间角度与空间距离问题、动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 D B A 因为直三棱柱ABC-AB,C中点M是AA,的中点，点N是BC,的中点， 所以DN∥BB∥44，且DN=号88=44=AM, 即DN∥AM且DN=AM, 所以四边形A,MND为平行四边形，所以MN∥A,D, 又因为MNd平面A,B,C,ADC平面AB,C, 所以MN∥平面AB,C, (2)解法一：因三棱柱ABC-A,B,C,为直三棱柱，所以CC⊥BC, 又∠ACB=90°，即CA⊥BC, 因为CAC,C=C,CA,CCc平面ACC,A,所以BC⊥平面ACC,A, 在平面ACC,A中，过C作C,H⊥CM,因为C,Hc平面ACCA,所以BC⊥CH, 因为CM∩BC=C,，CM,BCc平面BMC,所以C,H⊥平面BMC, 故CH为C点到平面BMC的距离， M B 在等腰三角形CMC,中，C,C=2√2，CM=CM=V6, 所以CH=CCAC45 CM 3 解法二：因为直三棱柱ABC-AB,C中CA⊥CB,所以CA,CB,CC两两垂直， 6 空间向量求空间角度与空间距离问题、动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 以点C为原点，CB,CA,CC所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， B A 则B(20,0,A0,2,0,C(0,0,22,M(0,2,V2, 所以CB=(20,0,CM=(0,2,2),cC,=(0,0,22): 设平面BMC的法向量i=(x,,), 万-CM=2+22,=0解得平面8MC的一个法向量元=-0,1-5， 则 CB=2x=0 所以点C到平面BMC的距离d= CC列_-4_45 33 (3)易知CB=(2,0,0)是平面C,MA的法向量，设m=（x2,y2,2)是平面BC,M的法向量， 因为BC=（-2,0,2V2),BM=-2,2,V2), m-BC=-2x2+2√2z2=0 则 解得平面BC,M的一个法向量m=2,1,√2)， m-BM=-2x2+2y,+√2z2=0 设角O是平面BC,M与平面C,MA的夹角， mCB 则o=cos(m,cB 4_2万 CB V7×27 由题知二面角B-CM-A的平面角是钝角， 所以平面BCM与平面CMA夹角的余弦值为-2 7 变式1.(25-26高二上吉林松原·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,四边形ABCD为平行四 边形，其中PA=√5，AB=1,AD=2AB,且∠ABC=60°，点E为PD的中点. 空间向量求空间角度与空间距离问题、动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 A B (I)证明：PB∥平面AEC. (②)求点B到平面AEC的距离. (3)求平面PBC与平面AEC所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 Qv5 2 3)2 5 【详解】(I)连接BD,交AC于F,连接EF E 因为口ABCD中，F为对角线交点，所以F为BD的中点， 又E是PD中点，所以EFPB, 又EFC平面AEC,所以PB平面AEC, 所以PB∥平面AEC (2)在ABC中，∠ABC=60°，AB=1,BC=AD=2AB=2, 由余弦定理得AC=√AB2+BC2-2AB·BC·cos60°=√5， 则AB2+AC2=4=BC2,所以AB⊥AC 又PA⊥底面ABCD,AC,ABc平面ABCD，,所以PA⊥AB,PA⊥AC 所以以A为原点，以AB,AC,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 6 空间向量求空间角度与空间距离问题、动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 Z 则4aa0,aua,co5o,nf-i0小，Paa,号9， 所以AE 99元-5o,厦-a mAE=0 设平面AEC法向量为m=(x,y,z,则 mAC=0 「15 一X+ 即{ 22少+ 2=0,令2=1，则x=5,y=0,所以m=5,0 N5y=0 BA.m -1x 5 所以点B到平面AEC的距离d= m V+12· (3)由(2)得BP=-1,0,N5),BC=-1,V5,0) 设平面BPC的法向量为i=(a,b,c, iBP=0 -a+V3c=0 则 即 令c=1,则a=5,b=1,所以元=5,1,1 BC=0 -a+V3b=0 所以平面AEC与平面BPC所成锐二面角余弦值为 cos(m,n= V3xV5+125 2×V5 5 变式2.(25-26高三上广东惠州期末)如图，在四棱柱ABCD-A,B,CD,中，AA⊥平面ABCD,AB1AD, ABIIDC,AB=AA,=2,AD=DC=1,M,N分别为DD,B,C的中点. 9 空间向量求空间角度与空间距离问题、动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 A D B M D (I)求证：D,N∥平面CB,M; (2)求直线D,N到平面CB,M的距离； (3)求平面CB,M与平面BB,CC夹角的余弦值 【答案】(I)证明见解析； @i 11 6222 11 【详解】(1)取CB中点P,连接NP,MP,如图： A M 由N是BC的中点，故NP1ICC,且NP=CG, 2 由M是DD,的中点，故DM=DD,=CC,且D,MICC,则有D,MINP,D,M=NP, 故四边形DMPN是平行四边形，故DN/MP,又MPc平面CBM,D,N丈平面CBM,故D,N∥平面CB,M (2)以A为原点，AB,AD,AA,所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图： B M 10