专题1 数与式-第03讲 整式与因式分解-2026年中考数学一轮复习

第03讲 整式与因式分解 一、选择题：本题共24小题，每小题3分，共72分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列计算正确的是． A. B. C. D. 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.下列计算，正确的是(    ) A. B. C. D. 5.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 6.以下计算正确的是(    ) A. B. C. D. 7.因式分解：(    ) A. B. C. D. 8.将多项式分解因式为：，则(    ) A. B. C. D. 9.下列各式在实数范围内因式分解正确的是(    ) A. B. C. D. 10.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 11.计算的结果是(    ) A. B. C. D. 12.化简的结果是(    ) A. B. C. D. 13.观察下面图形，从图到图可用式子表示为(    ) A. B. C. D. 14.若，则  (    ) A. B. C. D. 15.分解因式的结果是(    ) A. B. C. D. 16.已知关于的整式：，其中，，，，为整数，且，下列说法：的项数不可能小于等于；若，则可能分解为一个整式的平方；若，且，，，，均为正整数，则满足条件的共有个其中正确的个数是(    ) A. B. C. D. 17.对任意整数，都能  (    ) A. 被整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 18.观察下列单项式：，，，，，探究发现其中规律，你认为从左到右第个单项式是(    ) A. B. C. D. 19.如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成个正方形和个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为(    ) A. B. C. D. 20.计算的结果是(    ) A. B. C. D. 21.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 22.如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形阴影部分，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图所示的长方形．这两幅图能解释的等式是  (    ) A. B. C. D. 23.如果多项式是完全平方式，则常数的值为(    ) A. B. C. D. 24.下列计算结果正确的是(    ) A. B. C. D. 二、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 25.本小题分 已知，，有三个代数式：，，． 因式分解 在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式并化简． 26.本小题分 已知，求代数式的值． 27.本小题分 已知，，为有理数，且多项式能够写成的形式． 求的值． 若，，为整数，且，试求，，的值． 28.本小题分 请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． 若，则； 对于任意实数，，一定有； 两个连续正奇数的平方差一定是的倍数； 一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 29.本小题分 对于整式． 当时，求的值甲、乙二人分别给出了自己的思路： 甲的思路：将代入整式求值 乙的思路：先化简整式，然后再将代入求值． 请你选一个人的思路，完成求值 若为正整数，请说明的值为奇数． 30.本小题分 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： 类比应用，求           ； 若为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 31.本小题分 已知关于的多项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ，解得：，． 另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知关于的多项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 已知关于的多项式有一个因式为，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：．、不是同类项不能合并，故原计算错误，不符合题意； B.，故原计算错误，不符合题意； C.，故原计算错误，不符合题意； D.，故原计算正确，符合题意； 故选：． 根据合并同类项，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式对每一项判断解答即可． 本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式，熟记对应法则是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：、应为，故选项错误； B、应为，故选项错误； C、应为，故选项错误； D、，故选项正确． 故选：． 依据合并同类项的法则、去括号的法则即可解决． 本题主要考查合并同类项的法则、去括号法则，熟练掌握法则和性质是解题的关键． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是整式的加减，利用合并同类项的法则进行判断即可． 【解答】 解：与不是同类项不能合并，故A错误； B.，故B错误； C.，故C错误； D. ，故D正确． 故选D． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 选项A根据合并同类项法则判断即可；选项B根据同底数幂的乘法法则判断即可，选项C根据同底数幂的除法法则判断即可，选项D根据幂的乘方运算法则判断即可． 【解答】 解：与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B.，故本选项不合题意； C.，故本选项不合题意； D.，故本选项符合题意； 故选：． 5.【答案】  【解析】解：、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意； 故选：． 根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法法则进行计算，从而作出判断． 本题考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法运算，掌握运算法则是解题关键． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查整式的运算熟练掌握幂的乘方与积的乘方，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则是解题的关键． 利用幂的乘方与积的乘方，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则即可求解． 【解答】 解：、，A错误； B、不能合并同类项，B错误； C、，C错误； D、，D正确． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：． 故答案为：． 故选：． 根据平方差公式进行计算即可． 本题考查公式法分解因式，掌握平方差公式是正确解答的关键． 8.【答案】  【解析】解：， ， ，， ，， ． 故选：． 先求出、的值，再代入求值即可． 本题主要考查因式分解十字相乘法等，理解题意是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：． 根据因式分解的方法，逐一进行因式分解，判断即可． 本题考查了实数范围内分解因式，提公因式法与公式法的综合运用，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键． 10.【答案】  【解析】解：选项A：与所含字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：根据积的乘方法则，，故C正确； 选项D：与不是同类二次根式，不能直接相减，故D错误． 11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】  15.【答案】  【解析】解：原式  ，  故选：． 将原式提取公因式后再利用平方差公式因式分解即可． 本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：根据，且，，，，为整数，的项数至少都是项，故不可能小于等于，故正确； 若，则，假设可以分解为： ， ， ， 若，缺少项，若，多了常数项，假设不成立，故错误； 若，且，，，，均为正整数， 则有，，，，， ，，，， ，，，，，共三种情况，故错误； 故选：． 根据，，，，的大小关系及范围，列出所有的情况进行求解． 本题考查了多项式的概念，因式分解，解题的关键是根据，，，，的大小关系及范围，列出所有的情况． 17.【答案】  【解析】，对任意整数，都能被整除． 18.【答案】  【解析】解：观察可得，从左到右第个单项式是， 第个单项式是， 故选：． 先找出规律，再得出第个单项式． 本题考查了单项式，正确找出规律是解题的关键． 19.【答案】  20.【答案】  【解析】【分析】本题考查多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的法则计算即可． 【解答】解：故选B． 21.【答案】  【解析】解：， 选项的运算不正确，不符合题意； ， 选项的运算不正确，不符合题意； ， 选项的运算正确，符合题意； ， 选项的运算不正确，不符合题意． 故选：． 利用幂的乘方与积的乘方的性质，合并同类项的法则，完全平方公式和平方差公式对每个选项进行主要判断即可得出结论． 本题主要考查了，幂的乘方与积的乘方的性质，合并同类项的法则，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握上述性质与公式是解题的关键． 22.【答案】  23.【答案】  【解析】解：， ， 故选A． 根据完全平方公式的乘积二倍项和已知平方项先确定出另一个数是，平方即可． 本题考查了对完全平方公式的应用，由乘积二倍项确定做完全平方运算的两个数是解题的关键． 24.【答案】  【解析】解：、，计算正确，符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选：． 根据合并同类项，单项式乘单项式，整式的除法运算法则逐一判断即可． 此题考查合并同类项，单项式乘单项式，整式的除法． 25.【答案】【小题】 解： 【小题】 选择，，则所得分式为或 选择，，则所得分式为或 选择，，则所得分式为或． 26.【答案】原式 当时 即 原式 27.【答案】；  ，，．  【解析】， 根据题意得：是的一个因式， ，即，是方程的解， ， 得：； ， ， ， ， 解得， ，为大于的正整数， ，，，，， ，也是正整数， ，， ， 解得：． 由于是的一个因式，则说明当时，，从而得到关于，，的两个等式，对两个等式变形，可得； 由结合，即可求出的范围，但是，为大于的正整数，且，可求出，从而求出、． 此题考查了因式分解分组分解法，掌握因式分解的方法是关键． 28.【答案】都是假命题．是真命题．  是假命题，反例：当，时，结论不成立；  是假命题，反例：当时结论不成立；  是真命题，证明如下：  设两个连续的正奇数为，为正整数，    ，  为正整数，  是的倍数，  两个连续正奇数的平方差一定是的倍数．  是假命题，反例：当四边形为等腰梯形时结论不成立．  【解析】因为，所以，即，所以或，得或，举个例子即可；  因为，所以，所以，举例判断本题错误；  设两个连续的正奇数为，为正整数，，据此可得本题正确；  等腰梯形是一组对边平行，另一组对边相等的四边形，但并不是平行四边形，据此解答． 本题考查了因式分解的应用、平行四边形的判定、命题与定理，解决本题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式解决问题． 29.【答案】【小题】 若选甲的思路：将代入，得任选一种思路即可 【小题】 易得，， 若为正整数，的值为奇数． 30.【答案】【小题】 【小题】 证明：式子的值是某一个整数的平方， 理由如下： ， 令， 则上式， 为正整数， 是整数， 式子的值是某一个整数的平方． 【解析】  本题考查因式分解，解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想． 利用整体思想和完全平方公式进行化简即可； 【详解】解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，得：原式， 故答案为：；   利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可． 31.【答案】解：设另一个因式是，则 ， 则， 解得：． 则另一个因式是：，． 设另一个因式是，则 ， 则， 解得． 故的值是．  【解析】本题考查了因式分解的意义及多项式乘多项式的法则，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． 设另一个因式是，则：，根据对应项的系数相等即可求得和的值； 设另一个因式是，利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出的值即可得解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $