精品解析：四川省达州市渠县静边镇初级中学2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

四川省达州市渠县静边镇初级中学2025-2026学年九年级上学期期末数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 B. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行另一组对角相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 某运动会颁奖台如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球，请估计这个口袋中白球的数量为（ ） A. 7 B. 6 C. 4 D. 3 5. 如图，点在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则下列添加的条件中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，电线杆上的路灯距离地面6m，身高 1.2m的小丽（AB）站在距离电线杆的底部（点O）20m的A处，则小丽的影子AM长约为（ ） A. 4 m B. 5 m C. 6 m D. 8 m 7. 已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 8. 如图，在正方形中，为上的一点，连接．若，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 3 10. 如图，是反比例函数图象上一点，且A点的横坐标为．是轴负半轴上一点，且点的纵坐标为．连接，延长至点，使得，且点恰好落在反比例函数的图象上．已知，则的值为（ ）． A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若是反比例函数，则的值是_____． 12. 两个相似三角形的面积比是，其中一个三角形的周长为，则另一个三角形的周长是______． 13. 若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_________． 14. 用若干个小正方体摆出的几何体，从三个方向看到的图形分别如图：这个几何体由 _____块小正方体搭成． 15. 如图，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，连结，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 解方程： （1）； （2）（用因式分解法）． 17. 已知关于x的一元二次方程有，两个实数根 （1）若，求及m的值； （2）若，求m的值，并求，的值． 18. 如图，是由多个小正方体组合成的立体图形，每个小正方体棱长为． （1）分别画出从正面、左面、上面观察到的图形． （2）如果将这个立体图形表面涂上红色（底面不涂），则需要涂的表面积为多少？ 19. 学习相似三角形相关知识后，善于思考的小明和小颖两位同学想通过所学计算桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点和点，分别在、的延长线上取点、，使得．经测量，米，米，且点到河岸的距离为60米．已知于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 20. 如图，在中，，于点D，过点A作且，连接，，与交于点E． （1）求证：． （2）求证：四边形是矩形． 21. 2024年4月23日是世界读书日，为贯彻落实好《全国青少年学生读书行动1实施方案》，打造“人人爱读书，人人好读书”的书香校园，实验学校开展以“书香校园—我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查的学生总人数为______名，并根据题意补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是______度； （3）学校数学兴趣小组中，甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 22. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 23. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积． 24. 张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点H． （1）当点P恰好为中点时，______； （2）当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； （3）若这个零件的边．则这个零件的长、宽各是多少？ 25. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）连接，求的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县静边镇初级中学2025-2026学年九年级上学期期末数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 B. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行另一组对角相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定进行判断即可． 【详解】解：选项A中，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故A选项错误； 选项B中，当一组对边平行，另一组对边相等时，该四边形可能为等腰梯形，故B选项错误； 选项C中，由一组对边平行，一组对角相等可得另一组对边平行，所以是平行四边形，故C选项正确； 选项D中，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故D选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定，掌握平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定是解题的关键． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．据此逐项分析判断即可． 【详解】A. ，含有两个未知数，不符合题意； B. ，是一元二次方程，符合题意； C. ，未知数的最高次数是3，不符合题意； D. ，不是整式方程，不符合题意， 故选：B． 3. 某运动会颁奖台如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的定义成为解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从左边看，看到的图形是一个长方形，靠近上部分有一条横着的实线，靠近下部分有一条横着的虚线，即看到的图形如下： ． 故选：C． 4. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球，请估计这个口袋中白球的数量为（ ） A. 7 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题关键．利用利用频率估计概率可得从口袋中随机摸出一个球是白球的概率，据此求解即可得． 【详解】解：由题意可知，从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是， 则从口袋中随机摸出一个球是白球的概率， 所以估计这个口袋中白球的数量为， 故选：D． 5. 如图，点在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则下列添加的条件中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：∵在和中，， ∴当时，满足两组角对应相等，可判断，故A不符合题意； 当时，满足两组角对应相等，可判断，故B不符合题意； 当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C不符合题意； 当时，不能判断，故D符合题意； 故选：D． 6. 如图所示，电线杆上的路灯距离地面6m，身高 1.2m的小丽（AB）站在距离电线杆的底部（点O）20m的A处，则小丽的影子AM长约为（ ） A. 4 m B. 5 m C. 6 m D. 8 m 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键． 根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解． 【详解】解：如图，设路灯底部为点，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：( m) ． 故选：B． 7. 已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3， ∴， ∴， ∴， 故选：A 8. 如图，在正方形中，为上的一点，连接．若，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理等等，先由正方形的性质和三角形内角和定理得到，，再由旋转的性质得到，则，据此根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得到， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质，根据矩形的性质得到是解题的关键．根据勾股定理的逆定理可以证明为直角三角形，根据三个角都是直角的四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，时，的值最小，由此即可得出结论． 【详解】连接，如图， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∵于点E，于点F， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，当的值最小时，的值最小， 当时，的值最小， 此时， ∴的最小值为， 故选：C． 10. 如图，是反比例函数图象上一点，且A点的横坐标为．是轴负半轴上一点，且点的纵坐标为．连接，延长至点，使得，且点恰好落在反比例函数的图象上．已知，则的值为（ ）． A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求出点B的坐标关于a、b的代数式是关键． 如图：作轴，作轴，可证明得、，求出点B的坐标即可求出k的值． 【详解】解：如图：作轴，作轴， 根据题意：，，， ∴， ∴， ∵点A的横坐标为a,且在反比例函数图象上， ∴点B的横坐标为,， ∴ ∴点B的纵坐标为：， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若是反比例函数，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数定义求参数，解不等式及绝对值方程等知识，由反比例函数定义得到，且，求解即可得到，熟记反比例函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：是反比例函数， ，且， 则，且， ， 故答案为：． 12. 两个相似三角形的面积比是，其中一个三角形的周长为，则另一个三角形的周长是______． 【答案】或##9或4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，另一个三角形的周长为，根据面积之比为可得周长的比为，然后分和解答即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：另一个三角形的周长为， ∵两个相似三角形的面积比是， ∴周长的比为， 当时，解得； 当，解得； 故答案为：或． 13. 若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系、代数式求值，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．据此得到，即可求解． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故答案为：5． 14. 用若干个小正方体摆出的几何体，从三个方向看到的图形分别如图：这个几何体由 _____块小正方体搭成． 【答案】##三 【解析】 【分析】本题考查了根据三视图还原几何体，根据从三个方向看到的图形得出这个几何体有2列，第1列1个小正方体，第2列2个小正方体，即可求解． 【详解】解：该几何体中小方块的分布情况如下图所示： 所以这个几何体由3块小正方体搭成， 故答案为：3． 15. 如图，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，连结，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，记的交点为，证明，，由对折可得：，证明，求解，，证明，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，记的交点为， ∵矩形，， ∴，，，， ∴，， 由对折可得：， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，， 由对折可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，熟练的证明是解本题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 解方程： （1）； （2）（用因式分解法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程； （1）可得，，，求出利用公式法求解即可； （2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【小问1详解】 解：，，， ， 则， ，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得：，． 17. 已知关于x的一元二次方程有，两个实数根 （1）若，求及m的值； （2）若，求m的值，并求，的值． 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】（1）直接把代入原方程中求出m的值，然后解一元二次方程即可； （2）根据，可得该方程有两个相等的实数根，即可利用一元二次方程根的判别式求出m的值，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）把代入，得 ∴， ∴此时该一元二次方程为，即， 解得，， ∴，． （2）∵， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 此时该一元二次方程为，即 解得． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法． 18. 如图，是由多个小正方体组合成的立体图形，每个小正方体棱长为． （1）分别画出从正面、左面、上面观察到的图形． （2）如果将这个立体图形表面涂上红色（底面不涂），则需要涂的表面积为多少？ 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查简单组合体的形状图，熟练掌握形状图的画法是解题的关键． （1）根据简单组合体的三视图的画法画出图形即可； （2）根据形状图进行计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：（）， 故答案为：． 19. 学习相似三角形相关知识后，善于思考的小明和小颖两位同学想通过所学计算桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点和点，分别在、的延长线上取点、，使得．经测量，米，米，且点到河岸的距离为60米．已知于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 【答案】桥的长度为90米 【解析】 【分析】过作于，可得，即可得出，再由，可得，进而得出的长． 【详解】解：如图所示，过作于， ， ， ， ， ，． ， ， 即 解得， 答：桥的长度为90米． 【点睛】本题主要考查了利用相似三角形的实际应用．掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 20. 如图，在中，，于点D，过点A作且，连接，，与交于点E． （1）求证：． （2）求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，再根据，由平行线的性质得，即可证明，由全等三角形的性质即可得出结论； （2）证出四边形是平行四边形，再由得，则可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵在中，，于点D， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 21. 2024年4月23日是世界读书日，为贯彻落实好《全国青少年学生读书行动1实施方案》，打造“人人爱读书，人人好读书”的书香校园，实验学校开展以“书香校园—我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查的学生总人数为______名，并根据题意补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是______度； （3）学校数学兴趣小组中，甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1）， 补全条形统计图如下： （2）144 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图、画树状图或列表法求概率、概率公式． （1）利用选择A类的学生人数除以其所占的百分比求得样本总量，再利用总人数减去其他类的学生人数求得D类的学生人数，再补全条形统计图即可； （2）利用C类的学生人数除以样本的总人数求得其所占的百分比，再乘以即可求解； （3）画树状图可得共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：被调查学生总人数：（名）， 的人数（名）， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：C“科技类”所对应的圆心角度数是， 故答案为：144； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， ∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 22. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 【答案】（1）50元；（2）八折 【解析】 【分析】（1）设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）设该商品至少打m折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）设每件的售价定为x元， 则有：， 解得：(舍)， 答：每件售价为50元； （2）设该商品至少打m折， 根据题意得：， 解得：， 答：至少打八折销售价格不超过50元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键． 23. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质证明再结合BE＝DF，从而可得结论； （2）先利用正方形的性质证明 再求解EF的长，再利用四边形AECF的面积，即可得到答案． 【小问1详解】 证明： 正方形ABCD， 【小问2详解】 如图，连结AC， 正方形ABCD， ∴四边形AECF的面积 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，掌握“正方形的对角线相等且互相垂直平分”是解本题的关键． 24. 张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点H． （1）当点P恰好为中点时，______； （2）当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； （3）若这个零件的边．则这个零件的长、宽各是多少？ 【答案】（1）60 （2）这个零件的边长为； （3）矩形的长为，宽为． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）根据，得到，利用相似三角形的性质可得到答案； （2）设正方形的边长为，根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，据此求解即可； （3）设矩形的宽为，则长为，然后根据相似三角形，列出比例关系式求解． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ， ∴； 故答案为：60； 【小问2详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， 设正方形的边长为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 答：这个零件的边长为； 【小问3详解】 解：设矩形宽为，则长为， 同理， ∴， ∴， 解得，， 故矩形的长为，宽为． 25. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）连接，求的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【答案】（1）； （2）4 （3）点E的坐标为 【解析】 【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）利用的面积，即可求解； （3）设点，，又，利用等腰直角三角形的性质列方程组，解方程组即可求解. 【小问1详解】 解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：设一次函数与x轴交于点D， 令，则，令，则， ∴的面积 ； ； 【小问3详解】 解：设点，又， 由旋转知：为等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．利用待定系数法确定反比例函数与一次函数的解析式；要能够借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $