1.3 乘法公式 课后巩固练习2025-2026学年北师大版七年级数学下册

2026 年春季北师大版七年级(下) 第一章 整式的乘除 1.3 乘法公式 一、选择题 1.（25-26·全国同步）下列各题中适合用平方差公式计算的是（        ） A. B. C. D. 2.（25-26·全国同步）若，则的末位数字是（    ） A. B. C. D. 3.（25-26·甘肃月考）如果，那么的值为（ ） A. B. C. D. 4.（24-25·山东期末）若是完全平方式，则的值是（      ）． A.或 B.或 C.或 D.或 5.（25-26期中）如图1，将一个底边为，高为的平行四边形纸片，沿虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的图形，这两个图能解释下列哪个等式（       ） A. B. C. D. 6.（24-25·湖南期中）如图，有、、三种不同型号的卡片，每种各张．型卡片是边长为的正方形，型卡片是相邻两边长分别为、的长方形，型卡片是边长为的正方形．从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（    ） A. B. C. D. 7.（25-26·全国同步）当时， 的值为，则的值为(        ) A. B. C. D.  8.（25-26·全国同步）对代数式，老师要求任意取一个的值后求出代数式的值．圆圆发现，大家所求得的代数式的值都大于等于，即时代数式的最小值是．利用这个发现，圆圆试着写出另外一些结论：①在时，代数式的最小值为；②在时，代数式的最小值为；③在时，代数式的最大值为；④在时，代数式的最大值为．其中正确的为（      ） A.①②③ B.①③ C.①④ D.①②③④  二、填空题 9.（25-26·全国同步）________________ 10.（25-26·云南月考）已知，则与的大小关系是________. 11.（24-25·新疆模拟）设是一个完全平方式，则的值为      ． 12.（24-25·山东期中）杨辉三角形给出了，…）的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．如图，例如此三角形中第行的个数，，，恰好对应着展开式中的各项的系数；第行的个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数，等等．根据此规律，写出的展开式为________. 13.（25-26·上海月考）如图，正方形与正方形的面积之差是，则阴影部分的面积是__________． 14.（24-25·江苏月考）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则___________________． 三、解答题 15.（24-25·全国同步）用简便方法计算： （1） （2） 16.（25-26·全国同步）化简：（1） （2） . 17.（25-26·全国同步）求代数式的值：（1） ，其中 （2）已知，． ①求的值； ②求的值． 18.（25-26·全国同步）我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题： 请根据上述规律填空：____________； 我们知道，任何一个两位数个数上数字十位上的数字为都可以表示为，根据上述规律写出：______，并用所学知识说明你的结论的正确性． 19.（25-26·福建月考）如图①是一张边长为的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． （1）请分别用含、的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为：_______ ；图②阴影部分面积为：_______ ； （2）根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式为 _____ ； （3）利用中的结论，求的值． 20.（25-26·湖北月考）数学活动课上，老师准备了图中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图所示的正方形． （1）请用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积和． 方法：________； 方法：_________． （2）请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系． （3）根据题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，求和的值． ②已知，求的值． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年春季北师大版七年级(下) 第一章 整式的乘除 1.3 乘法公式 一、选择题 1.（25-26·全国同步）下列各题中适合用平方差公式计算的是（        ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】利用平方差公式的特点可解. 【解答】解：A、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； B、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； C、能用平方差公式进行计算，，故本选项符合题意； D、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； 故选C．  2.（25-26·全国同步）若，则的末位数字是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】利用平方差公式解题. 【解答】根据题意可得 根据；；；；；···因此可由，所以的末位为 故选 3.（25-26·甘肃月考）如果，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意可知：将展开，再根据对应项系数相等求解． 【解答】解：∵ ， 而， 即， ∴ ． 故选． 4.（24-25·山东期末）若是完全平方式，则的值是（      ）． A.或 B.或 C.或 D.或 【答案】C 【解析】利用完全平方公式得到或，从而得到，然后解关于的方程． 【解答】 解：是一个完全平方式，或， ， 或． 故此题答案为． 5.（25-26期中）如图1，将一个底边为，高为的平行四边形纸片，沿虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的图形，这两个图能解释下列哪个等式（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查平方差公式的几何背景,用代数式分别表示图1、图2的面积是解决问题的关键. 根据图1和图2用代数式分别表示（1）（2）两部分的面积和，再根据拼图前后面积之间的关系可得结论. 【解答】解：图1是由（1）（2）两部分拼成的底为 ，高为 的平行四边形，因此面积为 图2中(1) (2)两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差,即 , 因此有 故选：D. 6.（24-25·湖南期中）如图，有、、三种不同型号的卡片，每种各张．型卡片是边长为的正方形，型卡片是相邻两边长分别为、的长方形，型卡片是边长为的正方形．从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】每一种卡片张，并且每种卡片至少取张，根据完全平方公式的特点可确定拼成的正方形的边长可以为，，，，，共六种情况． 【解答】解：每一种卡片张，并且每种卡片至少取张拼成正方形， 正方形的边长可以为：，，，，，六种情况； （注意每一种卡片至少用张，至多用张） 即：，需要卡片张，卡片张，卡片张； ，需要卡片张，卡片张，卡片张； ，需要卡片张，卡片张，卡片张； ，需要卡片张，卡片张，卡片张； ，需要卡片张，卡片张，卡片张； ，需要卡片张，卡片张，卡片张； 故选：． 7.（25-26·全国同步）当时， 的值为，则的值为(        ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由时，代数式的值是，求出的值，再将变形为，然后所得的值代入所求的代数式中进行计算即可得解. 【解答】解：当时，的值为， ， ， . 故选.  8.（25-26·全国同步）对代数式，老师要求任意取一个的值后求出代数式的值．圆圆发现，大家所求得的代数式的值都大于等于，即时代数式的最小值是．利用这个发现，圆圆试着写出另外一些结论：①在时，代数式的最小值为；②在时，代数式的最小值为；③在时，代数式的最大值为；④在时，代数式的最大值为．其中正确的为（      ） A.①②③ B.①③ C.①④ D.①②③④ 【答案】D 【解析】根据一个数的平方大于或等于，依此对各项逐一分析即可得出答案. 【解答】①， 当时，代数式最小值是为， 故①正确； ②， 当时，代数式最小值是为， 故②正确； ③， 当时，代数式最大值是为， 故③正确； ④， 当时，代数式最大值是为， 故④正确； 综上所述：正确的有 ①②③④ . 故此题答案为  二、填空题 9.（25-26·全国同步）________________ 【答案】 【解析】利用平方差公式. 【解答】解： 故答案为1 10.（25-26·云南月考）已知，则与的大小关系是________. 【答案】 【解析】利用作差法，再根据整式的混合运算法则运算即可作出判断． 【解答】解： ， ∴ . 故答案为：. 11.（24-25·新疆模拟）设是一个完全平方式，则的值为      ． 【答案】 【解析】直接利用完全平方公式得出的值． 【解答】解：多项式是完全平方式， ， ． 故答案为：． 12.（24-25·山东期中）杨辉三角形给出了，…）的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．如图，例如此三角形中第行的个数，，，恰好对应着展开式中的各项的系数；第行的个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数，等等．根据此规律，写出的展开式为________. 【答案】  【解析】此题暂无解析 【解答】 13.（25-26·上海月考）如图，正方形与正方形的面积之差是，则阴影部分的面积是___3________． 【答案】 【解析】本题考查平方差公式在几何图形中的应用，解题的关键是用含、的代数式表示出阴影部分的面积．设正方形与正方形的边长分别为和，根据两者面积差为，可得．利用含、的代数式表示出阴影部分的面积，将整体代入即可求解． 【解答】解：设正方形与正方形的边长分别为和， 由题意得：． 由图形可得： ． 故阴影部分的面积为 故答案为：． 14.（24-25·江苏月考）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则_______28_____________． 【答案】 【解析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【解答】解：正方形， ， ， ， 设，则：， ， ， ， ， ， ， 即：， ． 故答案为：． 三、解答题 15.（24-25·全国同步）用简便方法计算： （1） （2） 【答案】； 【解析】（1）利用平方差公式进行因式分解，然后求解计算即可； （2）利用平方差公式进行因式分解，然后求解计算即可． 【解答】（1）解： ． （2） ． 16.（25-26·全国同步）化简：（1） 【答案】 【解析】首先将原式变为： ，然后利用平方差公式，即可得到，继而求得答案． 【解答】详解：                     （2） . 【答案】. 【解析】此题暂无解析 【解答】解：原式 . 17.（25-26·全国同步）求代数式的值：（1） ，其中 【答案】， 【解析】此题暂无解析 【解答】解： ， 因为， 所以原式 （2）已知，． ①求的值； ②求的值． 【答案】； ． 【解析】（1）利用完全平方公式进行变形即可； （2）利用完全平方公式进行变形即可． 【解答】解：①，， ； ②，， ． ． 18.（25-26·全国同步）我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题： 请根据上述规律填空：____________； 我们知道，任何一个两位数个数上数字十位上的数字为都可以表示为，根据上述规律写出：______，并用所学知识说明你的结论的正确性． 【答案】，；． 【解析】根据已知算式得出规律，再得出即可； 根据已知算式得出规律，再求出即可． 【解答】， 故答案为，； ， 证明：， ， ， 故答案为． 19.（25-26·福建月考）如图①是一张边长为的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． （1）请分别用含、的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为：_______ ；图②阴影部分面积为：_______ ； （2）根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式为 _______ ； （3）利用中的结论，求的值． 【答案】 【解析】（1）用代数式表示图①中两个正方形的面积差即可；图②是长为，宽为，有长方形的面积公式进行解答即可； （2）由中图①、图②阴影部分面积相等即可； （3）根据平方差公式进行计算即可． 【解答】（1）解：图①中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图②是长为，宽为的长方形，因此面积为， 故答案为：； （2）解：由得，， 故答案为：； （3）解：原式 ． 20.（25-26·湖北月考）数学活动课上，老师准备了图中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图所示的正方形． （1）请用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积和． 方法：_________； 方法：__________． （2）请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系． （3）根据题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，求和的值． ②已知，求的值． 【答案】； ①；② 【解析】（1）利用阴影两部分直接求和与用总面积减去空白部分面积两种方法即可求解； （2）由图中阴影部分面积的表示即可得到答案； （3）①由的关系可得，进而求解即可； ②设，则，，依题意，得， ，利用整体思想求解即可． 【解答】（1）解：阴影两部分求和为：； 用总面积减去空白部分面积为：， 故答案为：；； （2）由题意得，； （3）①由得， ， 解得， ， ②设，则，， 依题意，得， ， 可求得 由整体思想，得． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $